Systèmes linéaires d’équations, Matrices, Déterminants
Sylvain Dotti
Commençons par un petit problème d’impôts à calculer :
Une entreprise fait un bénéfice avant impôts de 100 000 €. Elle s’est engagée à verser 10% de son bénéfice net d’impôts à la Croix Rouge. Elle doit ensuite payer un impôt local pour la taxe
professionnelle égal à 5% de son bénéfice (après donation à la Croix Rouge), puis un impôt national sur les sociétés de 40% de son bénéfice (après que la donation et l’impôt local aient été prélevés). Quels sont les montants de l’impôt local, de l’impôt national et de la donation versée à la Croix Rouge ? Le langage mathématique est là pour clarifier la situation :
Soient 𝐶, 𝐿 et 𝑁 les montants versés à la croix rouge, aux impôts locaux et aux impôts nationaux. Le bénéfice après impôts est de 100 000 − 𝐿 − 𝑁
Donc
𝐶 = 0,10 × (100 000 − 𝐿 − 𝑁) ⇔ 𝐶 = 10 000 − 0,1𝐿 − 0,1𝑁 ⇔ 𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁 = 10 000 Rappelons que ⇔ signifie « est équivalent à ».
La deuxième égalité permettra par la suite d’introduire les matrices plus facilement, mais elle est bien sûr équivalente à la première. De plus, 𝐿 = 0,05 × (100 000 − 𝐶) ⇔ 𝐿 = 5 000 − 0,05𝐶 ⇔ 0,05𝐶 + 𝐿 = 5 000 et enfin, 𝑁 = 0,40 × (100 000 − 𝐶 − 𝐿) ⇔ 𝑁 = 40 000 − 0,4𝐶 − 0,4𝐿 ⇔ 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 𝑁 = 40 000
donc les trois informations peuvent être regroupées en un système d’équations : {
𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁 = 10 000 (1) 0,05𝐶 + 𝐿 = 5 000 (2) 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 𝑁 = 40 000 (3)
Résolvons ce système en utilisant les deux méthodes étudiées au collège et au lycée : Méthode par substitution
Grâce à (2) je peux écrire 𝐿 = 5 000 − 0,05𝐶 et substituer 5 000 − 0,05𝐶 à 𝐿 dans les équations (1) et (3), c’est à dire remplacer 𝐿 par 5 000 − 0,05𝐶 dans les équations (1) et (3) :
(1) ⇔ 𝐶 + 0,1(5 000 − 0,05𝐶) + 0,1𝑁 = 10 000 ⇔ 1𝐶 + 500 − 0,005𝐶 + 0,1𝑁 = 10 000
⇔ 0,4𝐶 + 2 000 − 0,02𝐶 + 𝑁 = 40 000 ⇔ 0,38𝐶 + 𝑁 = 38 000
Les équations (1) et (3) n’ont plus que deux inconnues 𝐶 et 𝑁. On peut les regrouper dans un système {0,995𝐶 + 0,1𝑁 = 9 500 (4)0,38𝐶 + 𝑁 = 38 000 (5)
que l’on va résoudre en utilisant la Méthode par combinaison
En multipliant l’équation (5) par 0,1, j’obtiens
(5) ⇔ 0,038𝐶 + 0,1𝑁 = 3 800 qui a le même coefficient devant l’inconnue 𝑁 que (4).
Je peux soustraire ces deux équations pour éliminer l’inconnue 𝑁 et obtenir une seule équation d’inconnue 𝐶 :
0,995𝐶 − 0,038𝐶 + 0,1𝑁 − 0,1𝑁 = 9 500 − 3 800 ⇔ 0,957𝐶 = 5 700
⇔ 𝐶 =5 700
0,957≈ 5 956,11
Il suffit alors de remplacer la valeur de 𝐶 dans l’équation (5) pour obtenir 𝑁 : 𝑁 = 38 000 − 0,38𝐶 ≈ 38 000 − 0,38 × 5 956,11 = 35 736,68 Et enfin, on peut remplacer la valeur de 𝐶 dans l’équation (2) pour obtenir 𝐿 :
𝐿 = 5 000 − 0,05𝐶 ≈ 5 000 − 0,05 × 5 956,11 = 4 702,19
Autrement dit, le montant versé à la Croix Rouge est de 5 956,11€, le montant de l’impôt local est de 4 702,19€ et le montant de l’impôt national est de 35 736,68€.
Conclusion :
Poser un système d’équations est la bonne méthode pour clarifier le problème. La résolution n’est pas encore trop longue, mais le deviendra si on passe à 5 ou 10 (voire plus) inconnues.
Pour simplifier le système et sa résolution, l’idée est de l’écrire sous la forme 𝑎𝑥 = 𝑏 (par exemple 3𝑥 = 4) dont la solution peut s’écrire
𝑥 = 𝑏 𝑎=
1
𝑎× 𝑏 = 𝑎−1× 𝑏 lorsque 𝑎 ≠ 0.
Dans notre exemple l’inconnue 𝑥 est constituée des trois nombres 𝐶, 𝐿 et 𝑁. On peut donc les ranger dans un tableau pour écrire
𝑥 = [𝐶𝐿 𝑁
]
Les trois nombres à droite de l’égalité sont 10 000 ; 5 000 et 40 000, on peut aussi les ranger dans un tableau pour écrire
𝑏 = [10 0005 000 40 000 ]
Il reste à représenter les coefficients liés aux inconnues 𝐶, 𝐿 et 𝑁. On peut, en suivant la même idée, choisir de les ranger dans le tableau suivant
𝑎 = [0,051 0,1 0,11 0 0,4 0,4 1 ] Ces tableaux de nombres sont appelés des matrices.
Il faut donc créer une multiplication entre les matrices pour pouvoir écrire 𝑎 × 𝑥 = 𝑏, c’est à dire pour que 𝑎 × 𝑥 = [0,051 0,1 0,11 0 0,4 0,4 1 ] × [ 𝐶 𝐿 𝑁 ] = [𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁0,05𝐶 + 𝐿 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 𝑁] de sorte que [𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁0,05𝐶 + 𝐿 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 𝑁] = [ 10 000 5 000 40 000 ] = 𝑏
et que l’écriture 𝑎 × 𝑥 = 𝑏 représente bien le système {
𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁 = 10 000 (1) 0,05𝐶 + 𝐿 = 5 000 (2) 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 𝑁 = 40 000 (3)
Ensuite, il faudra trouver un inverse pour 𝑎, c’est à dire, une matrice notée 𝑎−1 telle que 𝑎 × 𝑥 = 𝑏
⇔ 𝑎−1× 𝑎 × 𝑥 = 𝑎−1× 𝑏 ⇔ "1" × 𝑥 = 𝑎−1× 𝑏
⇔ 𝑥 = 𝑎−1× 𝑏
où 𝑎−1× 𝑎 sera égal à une matrice notée pour l’instant "1", car elle marchera comme le nombre 1 des réels, c’est à dire qu’elle vérifiera "1" × 𝑥 = 𝑥.
I Les matrices, les opérations sur les matrices Définition :
Un tableau de nombres à 𝑛 lignes et 𝑚 colonnes peut se représenter ainsi : 𝐴 =[ 𝑎1,1 𝑎1,2 … 𝑎1,𝑚 𝑎2,1 𝑎2,2 … 𝑎2,𝑚 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 … 𝑎𝑛,𝑚 ] Ce tableau de nombres s’appelle une matrice.
Cette matrice peut aussi se représenter ainsi
𝐴 = [ 𝑎1,1 𝑎1,2 … 𝑎1,𝑗 … 𝑎1,𝑚 𝑎2,1 𝑎2,2 … 𝑎2,𝑗 … 𝑎2,𝑚 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑖,1 𝑎𝑖,2 … 𝑎𝑖,𝑗 … 𝑎𝑖,𝑚 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 … 𝑎𝑛,𝑗 … 𝑎𝑛,𝑚]
où le premier indice est le numéro de la ligne, le deuxième indice le numéro de la colonne. Par exemple, 𝑎𝑖,𝑗 est le nombre situé sur la 𝑖è𝑚𝑒 ligne et la 𝑗è𝑚𝑒 colonne.
𝐴 =(𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
Pour indiquer que l’objet mathématique 𝐴 est une matrice à 𝑛 lignes et 𝑚 colonnes, on écrit 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ)
Je rappelle que ∈ signifie « appartient à », que ℝ est l’ensemble des nombres réels, et donc la phrase mathématique 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) signifie « 𝐴 appartient à l’ensemble des matrices à 𝑛 lignes et 𝑚 colonnes à coefficients réels ». Exemples : 𝐴 = [2 30 1] ∈ ℳ2,2(ℝ) 𝐵 = [1 1 0 4 4 −1] ∈ ℳ2,3(ℝ) 𝐶 = [ 34 −2,5] ∈ ℳ3,1(ℝ) 1) L’addition, la soustraction de matrices
Un système 𝑆1: {2𝑥 + 3𝑦 = −54𝑥 − 𝑦 = 2 n’est pas toujours présenté immédiatement sous cette forme, Il est équivalent à 𝑆2: {−𝑥 + 5𝑦 + 3𝑥 − 2𝑦 = −52𝑥 − 3𝑦 + 2𝑥 + 2𝑦 = 2 .
Matriciellement, 𝑆1 s’écrira
[24 −13 ] × [𝑥𝑦] = [−52 ] alors que 𝑆2 s’écrira
[−12 −35 ] × [𝑥𝑦] + [3 −22 2 ] × [𝑥𝑦] = [−52 ] qu’on pourra factoriser en
([−1 5
2 −3] + [3 −22 2 ]) × [ 𝑥
𝑦] = [−52 ] Cela nous invite à définir l’addition de matrice de sorte que
[−12 −35 ] + [3 −22 2 ] = [24 −13 ]
On ajoute deux matrices 𝐴 et 𝐵 de même taille (même nombre de lignes, même nombre de colonnes) en ajoutant leurs coefficients :
Si 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
et 𝐵 = (𝑏𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
alors la matrice 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 a pour coefficients (𝑐𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚 Où
𝑐𝑖,𝑗= 𝑎𝑖,𝑗 + 𝑏𝑖,𝑗 ∀𝑖, 𝑗 Je rappelle que le symbole ∀ signifie « quel(s) que soi(en)t »
Un exemple similaire donnerait l’idée de la soustraction de matrice.
On soustrait deux matrices 𝐴 et 𝐵 de même taille (même nombre de lignes, même nombre de colonnes) en soustrayant leurs coefficients :
Si 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
et 𝐵 = (𝑏𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
alors la matrice 𝐶 = 𝐴 − 𝐵 a pour coefficients (𝑐𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚 Où
Exemples : [24 −11 ] + [0,5 1] = [0 1 4,5 0] 2 2 [31 4 ] + [ 0 −3 2,2] = [ 3 −2 6,2] [1 5 −1 0 0 2 ] + [0 0 00 0 0] = [1 5 −10 0 2 ] [2 1 4 −1] − [ 0 1 0,5 1] = [3,5 −2] 2 0 [3 2 1] − [−1 −2 −3] = [4 4 4]
Remarque : Une matrice dont tous les coefficients sont nuls, s’appelle une matrice nulle. On les note 𝑂 ou 𝑂𝑛,𝑚 pour préciser le nombre de lignes ou de colonnes.
Elles se comportent comme le nombre 0 :
𝐴 + 𝑂𝑛,𝑚 = 𝑂𝑛,𝑚+ 𝐴 = 𝐴 ∀𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) 2) La multiplication des matrices
Reprenons l’exemple : 𝑎 × 𝑥 = [0,051 0,1 0,11 0 0,4 0,4 1 ] × [ 𝐶 𝐿 𝑁 ] = [𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁0,05𝐶 + 𝐿 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 𝑁] peut s’écrire [𝐶𝐿 𝑁 ] [0,051 0,1 0,11 0 0,4 0,4 1 ] × = [ 1𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁 0,05𝐶 + 1𝐿 + 0𝑁 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 1𝑁]
Il faut alors imaginer que la colonne[𝐶𝐿 𝑁
] tombe sur la première ligne [1 0,1 0,1] où le premier coefficient 𝐶 est multiplié au premier coefficient 1, le deuxième coefficient 𝐿 est multiplié au deuxième coefficient 0,1 et enfin, le troisième coefficient 𝑁 est multiplié au troisième coefficient 0,1, puis ajouter ces trois termes pour obtenir 1𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁.
De même on peut remarquer que 0,05𝐶 + 1𝐿 + 0𝑁 s’obtient en faisant tomber la colonne[𝐶𝐿 𝑁 ] sur la deuxième ligne [0,05 1 0] où le premier coefficient 𝐶 est multiplié au premier coefficient 0,05, le deuxième coefficient 𝐿 est multiplié au deuxième coefficient 1 et enfin, le troisième coefficient 𝑁 est multiplié au troisième coefficient 0 puis en ajoutant ces trois
Enfin, on peut remarquer que 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 1𝑁 s’obtient en faisant tomber la colonne[𝐶𝐿 𝑁
] sur la troisième ligne [0,4 0,4 1] où le premier coefficient 𝐶 est multiplié au premier coefficient 0,4, le deuxième coefficient 𝐿 est multiplié au deuxième coefficient 0,4 et enfin, le troisième coefficient 𝑁 est multiplié au troisième coefficient 1 puis en ajoutant ces trois termes. Cela donne l’idée de la définition de la multiplication d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) par une matrice 𝐵 ∈ ℳ𝑚,1(ℝ) :
Si 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑘)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑘≤𝑚
et 𝐵 = (𝑏𝑘,1)1≤𝑘≤𝑚 alors la matrice 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 a pour coefficients (𝑐𝑖,1)1≤𝑖≤𝑛 Où 𝑐𝑖,1= ∑ 𝑎𝑖,𝑘× 𝑏𝑘,1 𝑚 𝑘=1 ∀𝑖 Exemples : [4 1] [20 −11 3 1 ] × [4 1] = [ 2 1 0 −1 3 1 ] × = [0 × 4 + 1 × (−1)2 × 4 + 1 × 1 3 × 4 + 1 × 1 ] = [−19 13 ] [0,54 1 ] [−1 −1 −21 0 5 0 0 1 ] × [0,54 1 ] = [−1 −1 −21 0 5 0 0 1 ] × = [−1 × 4 − 1 × 0,5 − 2 × 11 × 4 + 0 × 0,5 + 5 × 1 0 × 4 + 0 × 0,5 + 1 × 1 ] = [ 9 −6,5 1 ]
La multiplication d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) par une matrice 𝐵 ∈ ℳ𝑚,𝑝(ℝ) suit la même idée. Montrons-là sur cet exemple :
[1 −1 2 0 −1 1] [2 1
3 −2] × [1 −1 20 −1 1] = [23 −21 ] ×
= [2 × 1 + 1 × 0 2 × (−1) + 1 × (−1) 2 × 2 + 1 × 13 × 1 − 2 × 0 3 × (−1) − 2 × (−1) 3 × 2 − 2 × 1] = [2 −3 53 −1 4]
c’est à dire que la matrice [1 −1 20 −1 1] est vue comme la succession de colonnes [10] , [−1−1], [21], tandis que la multiplication [23 −21 ] × [1 −1 20 −1 1] est vue comme la succession des
multiplications [23 −21 ] × [10] , [23 −21 ] × [−1−1] , [23 −21 ] × [21].
De manière plus générale, pour définir la multiplication d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) par une matrice 𝐵 ∈ ℳ𝑚,𝑝(ℝ), il faut voir la matrice 𝐵 comme une succession de colonnes 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑝 que l’on peut noter
𝐵 = [𝐵1 𝐵2 … 𝐵𝑝] et la matrice 𝐴 × 𝐵 devient la succession de colonnes
De manière plus formelle, on peut définir la multiplication d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) par une matrice 𝐵 ∈ ℳ𝑚,𝑝(ℝ) de la manière suivante :
Si 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑘)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑘≤𝑚
et 𝐵 = (𝑏𝑘,𝑗)1≤𝑘≤𝑚
1≤𝑗≤𝑝 alors la matrice 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 a pour coefficients (𝑐𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛1≤𝑗≤𝑝 Où 𝑐𝑖,𝑗 = ∑ 𝑎𝑖,𝑘× 𝑏𝑘,𝑗 𝑚 𝑘=1 ∀𝑖, 𝑗 Exemples : [ 4−1 −11 ] [1 20 2] × [ 4−1 −11 ] = [1 20 2] × = [1 × 4 + 2 × (−1) 1 × 1 + 2 × (−1)0 × 4 + 2 × (−1) 0 × 1 + 2 × (−1)] = [ 2 −1 −2 −2] [1 2 0 2] [ 4 1 −1 −1] × [1 20 2] = [ 4−1 −11 ] × = [ 4 × 1 + 1 × 0−1 × 1 − 1 × 0 −1 × 2 − 1 × 24 × 2 + 1 × 2 ] = [ 4−1 −410] [4 −10 3 24 6 −2 −5 ] × [1 0 00 1 0 0 0 1 ] = [4 × 1 − 1 × 0 + 2 × 0 4 × 0 − 1 × 1 + 2 × 0 4 × 0 − 1 × 0 + 2 × 10 × 1 + 3 × 0 + 4 × 0 0 × 0 + 3 × 1 + 4 × 0 0 × 0 + 3 × 0 + 4 × 1 6 × 1 − 2 × 0 − 5 × 0 6 × 0 − 2 × 1 − 5 × 0 6 × 0 − 2 × 0 − 5 × 1 ] = [4 −10 3 24 6 −2 −5 ] [13 −1 −10 4 ] × [10 50 2 −1 ] = [1 × 1 + 0 × 0 + 4 × 2 1 × 5 + 0 × 0 + 4 × (−1)3 × 1 − 1 × 0 − 1 × 2 3 × 5 − 1 × 0 − 1 × (−1)] = [91 161 ] Remarques :
Si 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑛(ℝ), on peut noter 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ) et on dit que 𝐴 est une matrice carrée d’ordre 𝑛. Si 𝐴, 𝐵 ∈ ℳ𝑛(ℝ), alors 𝐴 × 𝐵 et 𝐵 × 𝐴 existent toujours, mais ne sont pas forcément égaux (cf exemples précédents).
Si 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) et si 𝐵 ∈ ℳ𝑚,𝑝(ℝ) et si 𝑝 ≠ 𝑛, 𝐴 × 𝐵 existe mais pas 𝐵 × 𝐴 Si 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ) alors 𝐴 × [ 1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 0 … 0 1] = [ 1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 0 … 0 1] × 𝐴 = 𝐴
La matrice [ 1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 0 … 0 1]
est telle que tous ses coefficients sont égaux à 0 sauf ceux sur la
diagonale descendante qui sont égaux à 1. Elle se note souvent 𝐼𝑛 car elle se nomme identité ou matrice identité (le nombre 𝑛 signifiant le nombre de lignes et de colonnes). On a donc 𝐼𝑛 ∈ ℳ𝑛(ℝ), 𝐼𝑛 = [ 1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 0 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 0 … 0 1] et, quelle que soit 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ)
𝐴 × 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛× 𝐴 = 𝐴
C’est à dire que la matrice 𝐼𝑛 joue le même rôle pour la multiplication des matrices que le nombre 1 pour la multiplication des nombres réels.
3) Multiplication d’une matrice par un scalaire
Une autre multiplication existe pour les matrices, c’est la multiplication d’un nombre (appelé scalaire) avec une matrice, elle sera notée en général avec un point.
Elle vient de l’idée qu’un système d’équations est équivalent à un autre si on multiplie chaque équation par un même nombre.
Par exemple
{
𝐶 + 0,1𝐿 + 0,1𝑁 = 10 000 0,05𝐶 + 𝐿 = 5 000 0,4𝐶 + 0,4𝐿 + 𝑁 = 40 000 est équivalent à (en multipliant de part et d’autre des égalités par 2)
{ 0,1𝐶 + 2𝐿 = 10 000 2𝐶 + 0,2𝐿 + 0,2𝑁 = 20 000 0,8𝐶 + 0,8𝐿 + 2𝑁 = 80 000
On avait écrit le premier système sous la forme matricielle 𝑎 × 𝑥 = 𝑏, le deuxième système doit donc s’écrire sous la forme matricielle (2 . 𝑎) × 𝑥 = (2 . 𝑏)
Donc 2 . [0,051 0,1 0,11 0 0,4 0,4 1 ] = [ 2 0,2 0,2 0,1 2 0 0,8 0,8 2 ] et 2 . [10 0005 000 40 000 ] = [20 00010 000 80 000 ] Définition :
Soit 𝜆 ∈ ℝ et 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) telle que 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
Alors la matrice 𝜆 . 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) et a pour coefficients (𝜆 × 𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
Exemple : −3 . [ 20 14 −3 −2 ] = [−60 −12−3 9 6 ] Remarques :
La soustraction entre matrices aurait pu être définie grâce à la multiplication par le scalaire −1. En effet
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−1) . 𝐵
quelles que soient les matrices 𝐴 et 𝐵 pourvu qu’elles aient la même taille.
Dans ma définition, j’ai placé le scalaire 𝜆 avant la matrice 𝐴, c’est l’écriture la plus utilisée, mais l’écriture 𝐴 . 𝜆 est aussi valable, par exemple
[0 4 0,5] . 3 = [0 12 1,5]
Concluons ce paragraphe en affirmant (sans démonstration) que les règles opératoires sur les nombres réels restent toutes valables sur les matrices :
Soient 𝐴, 𝐵, 𝐶 trois matrices, 𝜆 un scalaire alors
𝐴 × 𝐵 × 𝐶 = (𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = 𝐴 × (𝐵 × 𝐶) 𝐴 × (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 × 𝐵 + 𝐴 × 𝐶 (𝐵 + 𝐶) × 𝐴 = 𝐵 × 𝐴 + 𝐶 × 𝐴 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝜆 . (𝐵 + 𝐶) = 𝜆 . 𝐵 + 𝜆 . 𝐶 (𝐵 + 𝐶) . 𝜆 = 𝐵 . 𝜆 + 𝐶 . 𝜆 ⋮ sauf 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙
Cela implique que les identités remarquables s’écrivent différemment. Par exemple :
(𝐴 + 𝐵)2 = (𝐴 + 𝐵) × (𝐴 + 𝐵) = 𝐴 × 𝐴 + 𝐴 × 𝐵 + 𝐵 × 𝐴 + 𝐵 × 𝐵 = 𝐴2+ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐴 + 𝐵2 mais
(𝐴 + 𝐵)2 ≠ 𝐴2+ 2 . 𝐴𝐵 + 𝐵2 𝑒𝑛 𝑔é𝑛é𝑟𝑎𝑙
Enfin, les calculs entre parenthèse sont prioritaires, puis les multiplications sont prioritaires par rapport aux additions et soustractions.
II Résolution de l’équation 𝐴 × 𝑋 = 𝐵 avec 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ), 𝑋 ∈ ℳ𝑚,1(ℝ), 𝐵 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ) 1) Regardons le cas où 𝑛 = 𝑚 = 1, c’est à dire l’équation 𝑎𝑥 = 𝑏
Trois cas se présentent :
1𝑒𝑟 cas, si le nombre réel 𝑎 ≠ 0, alors 𝑥 = 𝑏 𝑎
C’est à dire que l’équation 𝑎𝑥 = 𝑏 admet une unique solution 𝑥 =𝑏𝑎 Ce que l’on note
𝒮 = {𝑏 𝑎} où 𝒮 est l’ensemble des solutions.
Par exemple, l’équation 3𝑥 = 2 admet pour seule solution le nombre 𝑥 =23 2è𝑚𝑒 cas, si 𝑎 = 0 et 𝑏 ≠ 0, alors l’équation s’écrit 0𝑥 = 𝑏 c’est à dire 0 = 𝑏.
Autrement dit, résoudre l’équation 0 = 𝑏 revient à trouver les nombres réels 𝑥 tels que 0 = 𝑏. Mais comme 𝑏 ≠ 0, il ne peut pas exister de tels nombres 𝑥.
L’équation 0𝑥 = 𝑏 n’admet aucune solution, on dit aussi que l’ensemble des solutions est vide, Ce que l’on note :
𝒮 = ∅ où ∅ est l’ensemble vide.
3è𝑚𝑒 cas, si 𝑎 = 0 et 𝑏 = 0, alors l’équation s’écrit 0𝑥 = 0 c’est à dire 0 = 0.
Autrement dit, résoudre l’équation 0 = 0 revient à trouver les nombres réels 𝑥 tels que 0 = 0. Mais comme 0 est toujours égal à 0, quel que soit le nombre 𝑥, tous les nombres réels 𝑥 sont les solutions de cette équation. On note
𝒮 =] − ∞ ; +∞[ ou bien
𝒮 = ℝ
2) Regardons les cas où 𝑚 = 2, c’est à dire les cas où il y a deux inconnues 𝑥 et 𝑦 Exemple 1 :
L’équation 𝑥 + 𝑦 = 2 qui s’écrit aussi matriciellement [1 1] × [𝑥𝑦] = [2] avec 𝐴 = [1 1], 𝑋 = [𝑥𝑦] et 𝐵 = [2],
admet une infinité de solutions, qui se décrivent comme suit : 𝑦 = 2 − 𝑥
donc 𝑋 = [2 − 𝑥] est solution de l’équation 𝐴 × 𝑋 = 𝐵 quel que soit le nombre réel 𝑥. 𝑥 On note
𝒮 = {[2 − 𝑥] ; ∀𝑥 ∈ ℝ} 𝑥 On aurait pu aussi écrire
𝑥 = 2 − 𝑦 et noter
𝒮 = {[2 − 𝑦𝑦 ] ; ∀𝑦 ∈ ℝ}
Exemple 2 :
Le système {𝑥 + 𝑦 = 2 (1)𝑥 − 𝑦 = 1 (2) qui s’écrit aussi matriciellement
[1 1 1 −1] × [ 𝑥 𝑦] = [21] avec 𝐴 = [1 1 1 −1] , 𝑋 = [ 𝑥 𝑦] et 𝐵 = [21], admet une unique solution
𝒮 = {[ 3 2 1 2 ]}
En effet, en ajoutant les deux équations (1) + (2), on obtient 2𝑥 = 3, c’est à dire 𝑥 =32, Alors que si on effectue la soustraction (1) − (2), on obtient 2𝑦 = 1, c’est à dire 𝑦 =12 Exemple 3 :
Le système {2𝑥 + 2𝑦 = 4 (2) qui s’écrit aussi matriciellement 𝑥 + 𝑦 = 2 (1) [1 1 2 2] × [ 𝑥 𝑦] = [24] avec 𝐴 = [1 1 2 2] , 𝑋 = [ 𝑥 𝑦] et 𝐵 = [24],
est équivalent à la seule équation 𝑥 + 𝑦 = 2
En effet, on passe de l’équation (1) à l’équation (2) par une multiplication par 2, les équations (1) et (2) sont donc équivalentes.
Comme dans l’exemple 1, le système à une infinité de solutions qui se décrivent comme suit : 𝒮 = {[2 − 𝑥] ; ∀𝑥 ∈ ℝ} 𝑥
Exemple 4 :
Le système {𝑥 + 𝑦 = −1 qui s’écrit aussi matriciellement 𝑥 + 𝑦 = 2
[1 1 1 1] × [ 𝑥 𝑦] = [−12 ] avec 𝐴 = [1 1 1 1] , 𝑋 = [ 𝑥 𝑦] et 𝐵 = [−12 ], n’a aucune solution.
En effet, quels que soient les nombres 𝑥 et 𝑦, leur somme ne peut pas être à la fois égale à 2 et à −1. On note
𝒮 = ∅
On remarque que la matrice [11 −11 ] va donner une seule solution au système, alors que les matrices [1 1
1 1] et [1 12 2] vont donner une infinité ou aucune solution au système. Cela se généralise à tous les systèmes de deux équations à deux inconnues.
Propriété :
Le système {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 qui s’écrit aussi matriciellement
[𝑎 𝑏𝑐 𝑑] × [𝑥𝑦] = [𝑓] 𝑒 avec 𝐴 = [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑] , 𝑋 = [ 𝑥
𝑦] et 𝐵 = [𝑒𝑓], admet une unique solution 𝑋 = [𝑥𝑦] si et seulement si [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑] n’est pas un tableau de proportionnalité c’est à dire, si et seulement si 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐
c’est à dire, si et seulement si 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 Définition :
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 s’appelle le déterminant de la matrice 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑], et on note det(𝐴) = |𝑎 𝑏
𝑐 𝑑| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 Propriété :
Lorsque det(𝐴) ≠ 0, la solution 𝑋 = [𝑦]𝑥 du système {𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 se calcule grâce à𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 la méthode de Cramer : 𝑥 =| 𝑒 𝑏 𝑓 𝑑| |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| 𝑒𝑡 𝑦 = |𝑎 𝑒𝑐 𝑓| |𝑎 𝑏𝑐 𝑑| Exercice :
Résoudre le système {4𝑥 − 5𝑦 = 2 𝑥 + 𝑦 = −1 grâce à la méthode de Cramer Solution :
Le système s’écrit matriciellement
[4 −5 1 1 ] × [ 𝑥 𝑦] = [−12 ] avec 𝐴 = [4 −51 1 ] , 𝑋 = [𝑦] et 𝐵 = [𝑥 −12 ] det(𝐴) = |4 −5 1 1 | = 4 × 1 − 1 × (−5) = 9 ≠ 0 donc le système admet une unique solution 𝑋 = [𝑥𝑦] avec
𝑥 = | 2 −5 −1 1 | 9 = 2 × 1 − (−1) × (−5) 9 = −3 9 = − 1 3 et 𝑦 =|4 2 1 −1| 9 = 4 × (−1) − 1 × 2 9 = −6 9 = − 2 3 d’où 𝒮 = {[− 1 3 −2 3 ]} Exercice :
Résoudre les systèmes suivants a) {−𝑥 + 2𝑦 = 3 4𝑥 + 𝑦 = −1 b) {2𝑥 + 𝑦 = −1 −𝑥 −1 2𝑦 = 1 2 c) {−10𝑥 + 2𝑦 = 1 5𝑥 − 𝑦 = 2 Solution :
a) Le système {−𝑥 + 2𝑦 = 3 4𝑥 + 𝑦 = −1 s’écrit matriciellement [−1 2 4 1] × [ 𝑥 𝑦] = [−13 ] or |−1 2 4 1| = −1 × 1 − 4 × 2 = −9 ≠ 0 donc le système admet une unique solution 𝑋 = [𝑥𝑦]
où 𝑥 =| 3 2 −1 1| −9 = 3 × 1 − (−1) × 2 −9 = 5 −9 et 𝑦 =|−1 3 4 −1| −9 = −1 × (−1) − 4 × 3 −9 = −11 −9 = 11 9 Conclusion : 𝒮 = {[ 5 −9 11 9 ]} b) Le système {2𝑥 + 𝑦 = −1 (1)−𝑥 −1 2𝑦 = 1 2 (2) s’écrit matriciellement [−1 −2 11 2 ] × [𝑥𝑦] = [−11 2 ] or |−1 −2 11 2 | = 2 × (−1 2) − (−1) × 1 = 0 Il n’y a pas une seule solution au système.
On peut remarquer que pour passer de la première ligne à la deuxième ligne de la matrice[−1 −2 11
2
] il faut multiplier par −12, c’est aussi la manière de passer de l’équation (1) à l’équation (2). Les deux équations sont donc équivalentes, et le système est équivalent à la seule équation 2𝑥 + 𝑦 = −1 qui s’écrit aussi 𝑦 = −1 − 2𝑥.
Il y a donc une infinité de solutions au système, qui peuvent s’écrire comme suit : 𝒮 = {[−1 − 2𝑥] ; ∀𝑥 ∈ ℝ} 𝑥
c) Le système {−10𝑥 + 2𝑦 = 1 (2) s’écrit matriciellement 5𝑥 − 𝑦 = 2 (1)
[ 5−10 −12 ] × [𝑥𝑦] = [21] or
| 5 −1
−10 2 | = 5 × 2 − (−10) × (−1) = 0 Il n’y a pas une seule solution au système.
On peut remarquer que pour passer de la première ligne à la deuxième ligne de la
matrice[ 5−10 −12 ] il faut multiplier par −2, cela donne l’idée de transformer l’équation (1) en la multipliant par −2 pour trouver −10𝑥 + 2𝑦 = −4.
Le système {−10𝑥 + 2𝑦 = 1 est donc équivalent au système {5𝑥 − 𝑦 = 2 −10𝑥 + 2𝑦 = −4 −10𝑥 + 2𝑦 = 1 , on voit qu’il n’a aucune solution, car il n’existe pas de nombres 𝑥 et 𝑦 tels que −10𝑥 + 2𝑦 soit à la fois égal à −4 et à 1.
Conclusion :
Exemple 1 :
L’équation 𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = 4 s’écrit matriciellement [1 3 −5] × [ 𝑥 𝑦
𝑧] = [4] Elle admet une infinité de solutions 𝑋 = [
𝑥 𝑦
𝑧] que l’on peut décrire de la manière suivante : Comme 𝑥 = 4 + 5𝑧 − 3𝑦,
𝒮 = {[4 + 5𝑧 − 3𝑦𝑦 𝑧
] , ∀𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}
C’est donc en quelque sorte un infini à 2 paramètres, contrairement à l’exemple suivant, où l’infini que décrit l’ensemble des solutions n’a qu’un paramètre.
Exemple 2 :
Le système {2𝑦 + 3𝑧 = −1 s’écrit matriciellement 2𝑥 + 5𝑧 = 4 [2 0 5
0 2 3] × [ 𝑥 𝑦
𝑧] = [ 4−1]
On peut réécrire le système (grâce à une transposition et une division par 2) de la manière suivante
⇔ {2𝑦 = −1 − 3𝑧 2𝑥 = 4 − 5𝑧
⇔ {𝑦 = −0,5 − 1,5𝑧 𝑥 = 2 − 2,5𝑧
Cela donne une infinité de solutions 𝑋 = [ 𝑥 𝑦
𝑧] que l’on peut décrire comme suit : 𝒮 = {[−0,5 − 1,5𝑧2 − 2,5𝑧 𝑧 ] , ∀𝑧 ∈ ℝ} Exemple 3 : Le système { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 (1) 5𝑥 − 2𝑧 = 4 (2) 7𝑥 + 2𝑦 = 6 (3) s’écrit matriciellement [1 15 0 −21 7 2 0 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 1 4 6 ]
En réalité, l’équation (3) ne donne pas plus d’information que les équations (1) et (2). En effet, on peut remarquer que 2 × (1) + (2) donne (3), c’est à dire que si trois nombres 𝑥, 𝑦, 𝑧 vérifient les équations (1) et (2) alors forcément ils vérifient (3) aussi.
Le système précédent est donc équivalent au système suivant {𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 (1)5𝑥 − 2𝑧 = 4 (2) qui a une infinité de solutions à un paramètre :
{𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 5𝑥 − 2𝑧 = 4 ⇔ { 𝑦 = 1 − 𝑧 − 𝑥 𝑥 =4 5+ 2 5𝑧 ⇔ {𝑦 = 1 − 𝑧 − ( 4 5+ 2 5𝑧) 𝑥 = 4 5+ 2 5𝑧 ⇔ {𝑦 = 1 5− 7 5𝑧 𝑥 =4 5+ 2 5𝑧 𝒮 = {[ 4 5+ 2 5𝑧 1 5− 7 5𝑧 𝑧 ] ; ∀𝑧 ∈ ℝ } Exemple 4 : Le système { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 (1) 5𝑥 − 2𝑧 = 4 (2) 7𝑥 + 2𝑦 = 2 (3) s’écrit matriciellement [1 15 0 −21 7 2 0 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 1 4 2 ]
En réalité, l’équation (3) n’est pas compatible avec les équations (1) et (2).
En effet, on peut remarquer que 2 × (1) + (2) donne 7𝑥 + 2𝑦 = 6, c’est incompatible avec l’équation (3), c’est à dire qu’on ne peut pas trouver des nombres 𝑥 et 𝑦 tels que 7𝑥 + 2𝑦 donne à la fois 2 et 6.
Conclusion
𝒮 = ∅
Au point de vue matriciel, si 𝐴 = [1 15 0 −21
7 2 0
] alors on peut écrire la troisème ligne en fonction des deux autres, et dans ce cas, le système 𝐴 × 𝑋 = 𝐵 peut avoir une infinité ou bien aucune solution.
Pour que le système 𝐴 × 𝑋 = 𝐵 n’ait qu’une seule solution, il faut en fait que chaque ligne soit « indépendante » des deux autres, c’est à dire ne puisse pas s’écrire comme combinaison des deux autres lignes. C’est ce qui est décrit dans la propriété suivante :
Le système {
𝑎1,1𝑥 + 𝑎1,2𝑦 + 𝑎1,3𝑧 = 𝑏1 𝑎2,1𝑥 + 𝑎2,2𝑦 + 𝑎2,3𝑧 = 𝑏2 𝑎3,1𝑥 + 𝑎3,2𝑦 + 𝑎3,3𝑧 = 𝑏3
qui s’écrit aussi matriciellement
[ 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 𝑏1 𝑏2 𝑏3] avec 𝐴 = [ 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 ] , 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] et 𝐵 = [ 𝑏1 𝑏2 𝑏3] admet une unique solution 𝑋 = [
𝑥 𝑦 𝑧]
si et seulement si chaque ligne de 𝐴 ne peut pas s’écrire comme combinaison des deux autres lignes, c’est à dire, si et seulement si
𝑎1,1𝑎2,2𝑎3,3+ 𝑎1,2𝑎2,3𝑎3,1+ 𝑎2,1𝑎3,2𝑎1,3− 𝑎3,1𝑎2,2𝑎1,3− 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3− 𝑎3,2𝑎2,3𝑎1,1≠ 0 Définition :
𝑎1,1𝑎2,2𝑎3,3+ 𝑎1,2𝑎2,3𝑎3,1+ 𝑎2,1𝑎3,2𝑎1,3− 𝑎3,1𝑎2,2𝑎1,3− 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3− 𝑎3,2𝑎2,3𝑎1,1 s’appelle le déterminant de la matrice 𝐴 = [ 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3], et on note det(𝐴) = | 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3| = 𝑎1,1𝑎2,2𝑎3,3+ 𝑎1,2𝑎2,3𝑎3,1+ 𝑎2,1𝑎3,2𝑎1,3− 𝑎3,1𝑎2,2𝑎1,3− 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3 − 𝑎3,2𝑎2,3𝑎1,1
Cette méthode de calcul du déterminant s’appelle la règle de Sarrus Propriété :
Lorsque det(𝐴) ≠ 0, la solution 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] du système { 𝑎1,1𝑥 + 𝑎1,2𝑦 + 𝑎1,3𝑧 = 𝑏1 𝑎2,1𝑥 + 𝑎2,2𝑦 + 𝑎2,3𝑧 = 𝑏2 𝑎3,1𝑥 + 𝑎3,2𝑦 + 𝑎3,3𝑧 = 𝑏3 se calcule grâce à la méthode de Cramer :
𝑥 = | 𝑏1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑏2 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑏3 𝑎3,2 𝑎3,3| | 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 | , 𝑦 = | 𝑎1,1 𝑏1 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑏2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑏3 𝑎3,3| | 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 | 𝑒𝑡 𝑧 = | 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑏1 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑏2 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑏3| | 𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 | Exercice : Résoudre le système { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3 12𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 0
3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0 grâce à la méthode de Cramer
Solution :
Le système s’écrit matriciellement
[12 2 −31 1 1 3 4 1 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 3 0 0 ] avec 𝐴 = [12 2 −31 1 1 3 4 1 ] , 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] et 𝐵 = [ 3 0 0 ] det(𝐴) = 1 × 2 × 1 + 12 × 4 × 1 + 1 × (−3) × 3 − 3 × 2 × 1 − 4 × (−3) × 1 − 12 × 1 × 1 = 35 ≠ 0
donc le système admet une unique solution 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] avec 𝑥 = |3 10 2 −31 0 4 1 | 35 = 6 + 0 + 0 − 0 − 0 − (−36) 35 = 42 35= 6 5 𝑦 = |12 0 −31 3 1 3 0 1 | 35 = 0 + 0 − 27 − 0 − 0 − 36 35 = −63 35 = − 9 5
𝑧 = |12 2 01 1 3 3 4 0 | 35 = 0 + 0 + 144 − 18 − 0 − 0 35 = 126 35 = 18 5 Conclusion : 𝒮 = {[ 6 5 −9 5 18 5 ]} Exercice :
Résoudre les systèmes suivants a) {𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 52𝑦 − 𝑧 = 1 5𝑥 − 𝑧 = 0 b) { 4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 7 −8𝑥 + 10𝑦 − 2𝑧 = −14 40𝑥 − 50𝑦 + 10𝑧 = 70 Solution : a) Le système {𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 52𝑦 − 𝑧 = 1 5𝑥 − 𝑧 = 0 s’écrit matriciellement [1 −10 2 −12 5 0 −1 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 5 1 0 ] or |1 −10 2 −12 5 0 −1 | = −2 + 0 + 5 − 20 − 0 − 0 = −17 ≠ 0 donc le système admet une unique solution 𝑋 = [
𝑥 𝑦 𝑧] où 𝑥 = |5 −11 2 −12 0 0 −1 | −17 = −10 + 0 + 0 − 0 − 0 − 1 −17 = −11 −17= 11 17 𝑦 = |1 50 1 −12 5 0 −1 | −17 = −1 + 0 − 25 − 10 − 0 − 0 −17 = −36 −17= 36 17 et 𝑧 = |1 −1 50 2 1 5 0 0 | −17 = 0 + 0 − 5 − 50 − 0 − 0 −17 = −55 −17= 55 17 Conclusion :
𝒮 = {[ 11 17 36 17 55 17]} b) Le système { 4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 7 (1) −8𝑥 + 10𝑦 − 2𝑧 = −14 (2) 40𝑥 − 50𝑦 + 10𝑧 = 70 (3) s’écrit matriciellement [−84 −510 −21 40 −50 10 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 7 −14 70 ] or |−84 −510 −21 40 −50 10 | = 400 + 400 + 400 − 400 − 400 − 400 = 0 Le système n’admet pas une seule solution.
En fait, on peut remarquer que l’équation (2) se déduit de l’équation (1) par une multiplication par −2, et que l’équation (3) se déduit de l’équation (1) par une multiplication par 10.
Les trois équations sont donc équivalentes, le système est équivalent à la seule équation 4𝑥 − 5𝑦 + 𝑧 = 7, et admet une infinité de solutions qu’on peut décrire en l’écrivant
𝑧 = 7 − 4𝑥 + 5𝑦 Ainsi, 𝒮 = {[ 𝑥 𝑦 7 − 4𝑥 + 5𝑦] ; ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}
4) Finissons par les cas où 𝑚 = 𝑛 est quelconque, c’est à dire les cas où il y a 𝑛 inconnues 𝑥1, 𝑥2… 𝑥𝑛
Les propriétés précédentes se généralisent dans le cas où 𝑛 est quelconque, c’est à dire dans le cas où il y a 𝑛 inconnues qu’on regroupe dans la matrice colonne 𝑋 = [
𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛
], Il faut seulement définir le déterminant d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ).
Première remarque :
Le déterminant généralise le nombre dans le sens où
l’équation 𝑎𝑥 = 𝑏 admet une unique solution à condition que 𝑎 ≠ 0, et
l’équation matricielle 𝐴 × 𝑋 = 𝐵 admet une unique solution à condition que det(𝐴) ≠ 0. On peut donc dire que dans le cas d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ1(ℝ), c’est à dire 𝐴 = [𝑎], det(𝐴) = 𝑎. Deuxième remarque :
Pour 𝑛 ≥ 4, le déterminant ne se calcule plus en ajoutant les diagonales descendantes et en soustrayant les diagonales montantes.
On le définit grâce aux déterminants de matrices carrées d’ordre 2 ou 3 Définitions :
Soit 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑛
alors on note 𝐴𝑖,𝑗 la matrice appartenant à ℳ𝑛−1(ℝ) obtenue à partir de la matrice 𝐴 en supprimant la 𝑖è𝑚𝑒 ligne et la 𝑗è𝑚𝑒 colonne.
Par exemple si 𝐴 = [ 2 −1 3 0,5 4 4,5 −1 2 −3 −1 0 0 4 −5 10 1 −1 0 3 −8 3 −3 7 −7 0 ] alors 𝐴4,5= [ 2 −1 3 0,5 4,5 −1 2 −3 0 0 4 −5 3 −3 7 −7 ]
a été obtenue à partir de la matrice 𝐴 en lui supprimant la 4è𝑚𝑒 ligne et la 5è𝑚𝑒 colonne. 𝑀𝑖,𝑗 = det (𝐴𝑖,𝑗) est appelé le (𝑖, 𝑗)è𝑚𝑒 mineur de la matrice 𝐴.
Par exemple 𝑀4,5= det(𝐴4,5) = | 2 −1 3 0,5 4,5 −1 2 −3 0 0 4 −5 3 −3 7 −7 | sera calculé grâce à la définition qui va suivre.
𝐶𝑖,𝑗 = (−1)𝑖+𝑗× 𝑀
𝑖,𝑗 est appelé le (𝑖, 𝑗)è𝑚𝑒 cofacteur de 𝐴. Par exemple 𝐶4,5= (−1)4+5𝑀4,5= (−1)9𝑀4,5= −1𝑀4,5= −𝑀4,5= − | 2 −1 3 0,5 4,5 −1 2 −3 0 0 4 −5 3 −3 7 −7 | sera calculé grâce à la définition qui va suivre.
Le déterminant d’une matrice 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑛
∈ ℳ𝑛(ℝ) est donné par la formule det(𝐴) = 𝑎1,1𝐶1,1+ 𝑎1,2𝐶1,2+ ⋯ + 𝑎1,𝑛𝐶1,𝑛 = 𝑎1,1𝑀1,1− 𝑎1,2𝑀1,2+ ⋯ + (−1)1+𝑛𝑎 1,𝑛𝑀1,𝑛 et sera noté det(𝐴) = | 𝑎1,1 𝑎1,2 … 𝑎1,𝑛 𝑎2,1 𝑎2,2 … 𝑎2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛,1 𝑎𝑛,2 … 𝑎𝑛,𝑛 |
Pour calculer 𝑀𝑖,𝑗 qui est le déterminant d’une matrice appartenant à ℳ𝑛−1(ℝ), on utilise le même procédé et on se ramène au calcul de déterminants de matrices appartenant à ℳ𝑛−2(ℝ). On continue ce procédé jusqu’à ce qu’on ait à calculer des déterminants de matrices
appartenant à ℳ3(ℝ) ou à ℳ2(ℝ). Exercice :
𝐴 = [3 0 12 4 5 6 9 7 ] 𝑒𝑡 𝐵 = [ 2 0 0 1 −1 4 7 −1 −1 5 2 0 1 6 −2 1 ] Solution : det(𝐴) = |3 0 12 4 5 6 9 7 | = 3 × |4 59 7| − 0 × |2 56 7| + 1 × |2 46 9| = 3 × (4 × 7 − 9 × 5) − 0 × (2 × 7 − 6 × 5) + 1 × (2 × 9 − 6 × 4) = 3 × 4 × 7 − 3 × 9 × 5 − 0 × 2 × 7 + 0 × 6 × 5 + 1 × 2 × 9 − 1 × 6 × 4 = 3 × 4 × 7 + 0 × 6 × 5 + 1 × 2 × 9 − 1 × 6 × 4 − 3 × 9 × 5 − 0 × 2 × 7 = −57 On remarque que cette définition du déterminant d’une matrice appartenant à ℳ3(ℝ) se calculant grâce à trois déterminant de matrices appartenant à ℳ2(ℝ) est exactement la même que celle donnée par la règle de Sarrus.
det(𝐵) = | 2 0 0 1 −1 4 7 −1 −1 5 2 0 1 6 −2 1 | = 2 × |45 72 −10 6 −2 1 | − 0 × |−1−1 72 −10 1 −2 1 | + 0 × |−1 4 −1−1 5 0 1 6 1 | − 1 × |−1 4−1 5 72 1 6 −2 | = 2 × (8 + 10 + 0 − (−12) − 35 − 0) − 0 + 0 − 1 × (10 − 42 + 8 − 35 − 8 + 12) = −10 + 55 = 45 5) Propriétés du déterminant Dans un système { 𝑎1,1𝑥1+ 𝑎1,2𝑥2+ ⋯ + 𝑎1,𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎2,1𝑥1+ 𝑎2,2𝑥2+ ⋯ + 𝑎2,𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2 ⋮ 𝑎𝑛,1𝑥1+ 𝑎𝑛,2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛,𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
on peut bien entendu changer l’ordre des équations sans changer la ou les solutions éventuelles du système.
On peut donc comprendre que
det(𝐴) = 𝑎𝑖,1𝐶𝑖,1+ 𝑎𝑖,2𝐶𝑖,2+ ⋯ + 𝑎𝑖,𝑛𝐶𝑖,𝑛 = (−1)𝑖+1𝑎
𝑖,1𝑀𝑖,1+ (−1)𝑖+2𝑎𝑖,2𝑀𝑖,2+ ⋯ + (−1)𝑖+𝑛𝑎𝑖,𝑛𝑀𝑖,𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑖
On dit dans ce cas, que l’on a développé le déterminant suivant la 𝑖è𝑚𝑒 ligne.
En pratique, on choisira la ligne de la matrice 𝐴 ayant le plus de zéros pour le développement du déterminant.
Exercice : Calculer
| 3 2 0 −1 −1 1 1 0 4 0 0 0 1 2 1 2 | 𝑒𝑡 | −4 3 1 2 0 0 1 0 2 1 −1 0 1 2 5 4 | Solution :
En développant suivant la troisième ligne, on trouve | 3 2 0 −1 −1 1 1 0 4 0 0 0 1 2 1 2 | = 4 × |2 0 −11 1 0 2 1 2 | − 0 × |−1 13 0 −10 1 1 2 | + 0 × |−1 13 2 −10 1 2 2 | − 0 × |−1 1 13 2 0 1 2 1 | = 4 × (4 − 1 + 0 − (−2) − 0 − 0) − 0 + 0 − 0 = 20
En développant suivant la deuxième ligne, on trouve | −4 3 1 2 0 0 1 0 2 1 −1 0 1 2 5 4 | = −0 × |31 −1 01 2 2 5 4 | + 0 × |−42 −1 01 2 1 5 4 | − 1 × |−4 3 22 1 0 1 2 4 | + 0 × |−4 32 1 −11 1 2 5 | = −0 + 0 − 1 × (−16 + 8 + 0 − 2 − 0 − 24) + 0 = 34 Remarque :
On a décidé en début de ce cours de ranger les inconnues suivant une matrice colonne, par exemple, dans le cas de deux inconnues 𝑥 et 𝑦, de les ranger dans la matrice 𝑋 = [𝑥𝑦]. Ce choix est bien sûr arbitraire, on aurait tout aussi bien pu choisir de les ranger dans la matrice ligne [𝑥 𝑦]. D’ailleurs, si le système
{2𝑥 − 4𝑦 = 53𝑥 − 2𝑦 = 1 se traduit matriciellement par l’équation
[2 −43 −2] × [𝑥𝑦] = [5 1] on peut remarquer qu’il peut aussi se traduire par
[𝑥 𝑦] × [ 2 3
−4 −2] = [5 1]
L’opération qui consiste à passer de l’équation matricielle [2 −43 −2] × [𝑥𝑦] = [5
1] à l’équation matricielle [𝑥 𝑦] × [ 2 3
−4 −2] = [5 1] s’appelle la transposition.
Elle consiste simplement à inverser les lignes et les colonnes d’une matrice. Définition :
Si 𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ) est telle que 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑚
alors la transposée de 𝐴 se note 𝐴𝑡, et vérifie 𝐴𝑡 = (𝑎
𝑗,𝑖)1≤𝑗≤𝑚 1≤𝑖≤𝑛
∈ ℳ𝑚,𝑛(ℝ)
c’est à dire que 𝐴𝑡 se déduit de la matrice 𝐴 en inversant les lignes et les colonnes. Remarque :
Si 𝐴 = [2 −4
3 −2] alors 𝐴𝑡 = [ 2−4 −23 ] Si 𝐵 = [51] alors 𝐵𝑡 = [5 1]
Grâce à ce changement d’écriture, on peut comprendre que det(𝐴) = det(𝐴𝑡) ∀𝐴 ∈ ℳ 𝑛(ℝ) Par exemple, si 𝐴 = [3 21 1 51 0 4 −1 ] alors 𝐴𝑡 = [3 12 1 04 5 1 −1 ] Et on a bien det(𝐴) = 3 × 1 × (−1) + 1 × 4 × 5 + 2 × 1 × 0 − 0 × 1 × 5 − 4 × 1 × 3 − 1 × 2 × (−1) = 7 et det(𝐴𝑡) = 3 × 1 × (−1) + 1 × 4 × 5 + 2 × 1 × 0 − 0 × 1 × 5 − 4 × 1 × 3 − 1 × 2 × (−1) = 7
La propriété précédente permet de développer le déterminant d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ) suivant n’importe quelle colonne :
𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 𝑎1,𝑗𝐶1,𝑗+ 𝑎2,𝑗𝐶2,𝑗+ ⋯ + 𝑎𝑛,𝑗𝐶𝑛,𝑗 = (−1)1+𝑗𝑎
1,𝑗𝑀1,𝑗+ (−1)2+𝑗𝑎2,𝑗𝑀2,𝑗+ ⋯ + (−1)𝑛+𝑗𝑎𝑛,𝑗𝑀𝑛,𝑗 𝑞𝑢𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑒 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑗
Remarque :
En pratique, pour calculer le déterminant d’une matrice 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ) avec 𝑛 ≥ 4, on le développe suivant la ligne ou la colonne où il y a le plus de zéros.
Exercice : Calculer | | 1 5 3 0 0 2 0 −1 0 1 3 4 0 2 0 0 0 0 0 3 1 2 5 −1 −1 | | 𝑒𝑡 || 3 2 0 4 0 −1 0 −1 2 3 2 1 0 1 2 5 3 0 1 0 1 4 0 1 3 | | Solution :
En développant suivant la 4è𝑚𝑒 ligne, on obtient
| | 1 5 3 0 0 2 0 −1 0 1 3 4 0 2 0 0 0 0 0 3 1 2 5 −1 −1 | | = −0 + 0 − 0 + 0 − 3 × | 1 5 3 0 2 0 −1 0 3 4 0 2 1 2 5 −1 |
En développant suivant la 4è𝑚𝑒 colonne, on obtient
| | 1 5 3 0 0 2 0 −1 0 1 3 4 0 2 0 0 0 0 0 3 1 2 5 −1 −1 | | = −3 × | 1 5 3 0 2 0 −1 0 3 4 0 2 1 2 5 −1 | = −3 × (−0 + 0 − 2 × |1 52 0 −13 1 2 5 | + (−1) × |1 52 0 −13 3 4 0 |) = 6 × |1 52 0 −13 1 2 5 | + 3 × |1 52 0 −13 3 4 0 | = 6 × (−41) + 3 × 13 = −207
En développant suivant la 3è𝑚𝑒 colonne, on obtient | | 3 2 0 4 0 −1 0 −1 2 3 2 1 0 1 2 5 3 0 1 0 1 4 0 1 3 | | = +0 − (−1) × | 3 2 4 0 2 1 1 2 5 3 1 0 1 4 1 3 | + 0 − 0 + 0
En développant suivant la 4è𝑚𝑒 colonne, on obtient
| | 3 2 0 4 0 −1 0 −1 2 3 2 1 0 1 2 5 3 0 1 0 1 4 0 1 3 | | = | 3 2 4 0 2 1 1 2 5 3 1 0 1 4 1 3 | = −0 + 2 × |3 2 45 3 1 1 4 1 | − 0 + 3 × |3 2 42 1 1 5 3 1 | = 2 × (9 + 80 + 2 − 12 − 12 − 10) + 3 × (3 + 24 + 10 − 20 − 9 − 4) = 126
La méthode de Cramer peut être longue quand il s’agit de calculer des déterminants de matrices appartenant à ℳ𝑛(ℝ) pour 𝑛 ≥ 3. On peut utiliser aussi la méthode de Cramer pour calculer une inconnue, puis utiliser la substitution pour trouver les autres inconnues.
Exercices :
a) Résoudre le système {𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 32𝑥 + 3𝑦 = 1 −2𝑥 + 6𝑧 = 0
en utilisant la méthode de Cramer pour trouver 𝑥, puis en utilisant la substitution.
b) Résoudre le système {
𝑤 − 2𝑥 + 𝑦 = 2 2𝑥 − 0,5𝑦 − 𝑧 = 3
𝑤 + 𝑥 = −1 2𝑤 + 𝑦 + 2𝑧 = −4
en utilisant la méthode de Cramer pour trouver 𝑤, puis en utilisant la substitution.
c) Résoudre le système {
2𝑦 + 3𝑧 = 0 −𝑤 + 2𝑥 + 𝑧 = 1 2𝑤 − 𝑥 + 4𝑦 = 0
5𝑥 − 7𝑦 = 1
en utilisant la méthode de Cramer pour trouver 𝑦, puis en utilisant la substitution.
Solutions : a) Le système {𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 32𝑥 + 3𝑦 = 1 −2𝑥 + 6𝑧 = 0 s’écrit matriciellement [ 12 −1 23 0 −2 0 6 ] × [ 𝑥 𝑦 𝑧] = [ 3 1 0 ] Or, | 12 −1 23 0 −2 0 6 | = 18 + 0 + 0 + 12 − 0 + 12 = 42 ≠ 0
donc le système admet une unique solution 𝑋 = [ 𝑥 𝑦 𝑧] où 𝑥 = |3 −1 21 3 0 0 0 6 | 42 = 54 + 0 + 0 − 0 − 0 + 6 42 = 60 42= 10 7 On peut remplacer 𝑥 par sa valeur dans l’équation −2𝑥 + 6𝑧 = 0 pour trouver
−2 ×10 7 + 6𝑧 = 0 ⇔ 6𝑧 = 20 7 ⇔ 𝑧 = 20 6 × 7= 10 21 puis
remplacer 𝑥 par sa valeur dans l’équation 2𝑥 + 3𝑦 = 1 pour trouver 2 ×10 7 + 3𝑦 = 1 ⇔ 3𝑦 = 1 − 20 7 ⇔ 3𝑦 = − 13 7 ⇔ 𝑦 = − 13 21 Conclusion : 𝒮 = {[ 10 7 −13 21 10 21 ]} b) Le système { 𝑤 − 2𝑥 + 𝑦 = 2 2𝑥 − 0,5𝑦 − 𝑧 = 3 𝑤 + 𝑥 = −1 2𝑤 + 𝑦 + 2𝑧 = −4 s’écrit matriciellement [ 1 −2 1 0 0 2 −0,5 −1 1 1 0 0 2 0 1 2 ] × [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 2 3 −1 −4 ] Or,
en développant le déterminant ci-dessous suivant la 3è𝑚𝑒 ligne, on trouve | 1 −2 1 0 0 2 −0,5 −1 1 1 0 0 2 0 1 2 | = 1 × |−22 −0,5 −11 0 0 1 2 | − 1 × |10 −0,5 −11 0 2 1 2 | + 0 − 0 = (2 + 0 + 0 − 0 − 2 − 4) − 1(−1 + 0 − 2 − 0 − 0 + 1) = −4 + 2 = −2 ≠ 0
donc le système admet une unique solution 𝑋 = [ 𝑤
𝑥 𝑦 𝑧
] où (en développant suivant la 4e colonne)
𝑤 = | 2 −2 1 0 3 2 −0,5 −1 −1 1 0 0 −4 0 1 2 | −2 = −1 × |−12 −2 11 0 −4 0 1 | + 2 × | 23 −22 −0,51 −1 1 0 | −2 = −1(2 + 4 − 2) + 2 × (3 − 1 + 2 + 1) −2 = −4 + 10 −2 = −3 On peut remplacer 𝑤 par sa valeur dans l’équation 𝑤 + 𝑥 = −1 pour trouver
puis remplacer 𝑤 et 𝑥 par leurs valeurs respectives dans l’équation 𝑤 − 2𝑥 + 𝑦 = 2 pour trouver
𝑤 − 2𝑥 + 𝑦 = 2 ⇔ −3 − 2 × 2 + 𝑦 = 2 ⇔ 𝑦 = 9
et enfin, remplacer 𝑦 et 𝑥 par leurs valeurs respectives dans l’équation 2𝑥 − 0,5𝑦 − 𝑧 = 3 pour trouver 2𝑥 − 0,5𝑦 − 𝑧 = 3 ⇔ 2 × 2 − 0,5 × 9 − 𝑧 = 3 ⇔ 𝑧 = −3,5 Conclusion : 𝒮 = {[ −3 2 9 −3,5 ]} c) Le système { 2𝑦 + 3𝑧 = 0 −𝑤 + 2𝑥 + 𝑧 = 1 2𝑤 − 𝑥 + 4𝑦 = 0 5𝑥 − 7𝑦 = 1 s’écrit matriciellement [ 0 0 2 3 −1 2 0 1 2 −1 4 0 0 5 −7 0 ] × [ 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 ] = [ 0 1 0 1 ] Or,
En développant le déterminant ci-dessous suivant la première ligne, on obtient | 0 0 2 3 −1 2 0 1 2 −1 4 0 0 5 −7 0 | = 2 × |−12 −1 02 1 0 5 0 | − 3 × |−12 −12 04 0 5 −7 | = 2 × (1 × |2 −10 5 | − 0 + 0) − 3 × (−7 + 20 + 28) = 20 − 3 × 41 = −103 ≠ 0 donc le système admet une unique solution 𝑋 = [
𝑤 𝑥 𝑦 𝑧
] où (en développant suivant la première ligne)
𝑦 = | 0 0 0 3 −1 2 1 1 2 −1 0 0 0 5 1 0 | −103 = −3 × |−12 −1 02 1 0 5 1 | −103 = −3 × (1 + 10 − 4) −103 = −21 −103= 21 103 On peut remplacer 𝑦 par sa valeur dans l’équation 2𝑦 + 3𝑧 = 0 pour trouver
2𝑦 + 3𝑧 = 0 ⇔ 2 × 21 103+ 3𝑧 = 0 ⇔ 3𝑧 = −2 × 3 × 7 103 ⇔ 𝑧 = − 14 103 Puis remplacer 𝑦 par sa valeur dans l’équation 5𝑥 − 7𝑦 = 1 pour trouver
5𝑥 − 7 × 21 103= 1 ⇔ 5𝑥 = 147 103+ 103 103⇔ 5𝑥 = 250 103 ⇔ 𝑥 = 50 103
et enfin, remplacer 𝑧 et 𝑥 par leurs valeurs respectives dans l’équation −𝑤 + 2𝑥 + 𝑧 = 1 pour trouver −𝑤 + 2𝑥 + 𝑧 = 1 ⇔ −𝑤 + 2 × 50 103− 14 103= 1 ⇔ 𝑤 = 2 × 50 103− 14 103− 1 = − 17 103
𝒮 = {[ − 17 103 50 103 21 103 − 14 103]}
Finissons le paragraphe avec quelques propriétés de la transposition des matrices et du déterminant :
Soient 𝐴 et 𝐵 deux matrices de même taille, et 𝜆 ∈ ℝ alors (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡+ 𝐵𝑡
(𝐴𝑡)𝑡= 𝐴 (𝜆. 𝐴)𝑡 = 𝜆. 𝐴𝑡 Vérifions cela sur un exemple :
Si 𝐴 = [−1 43 0] et 𝐵 = [20 −51 ] alors 𝐴 + 𝐵 = [1 5 3 −5], (𝐴 + 𝐵)𝑡= [1 3 5 −5] 𝐴𝑡 = [−1 3 4 0] , 𝐵𝑡= [21 −50 ], 𝐴𝑡+ 𝐵𝑡 = [15 −53 ] 2. 𝐴𝑡 = 2. [−1 3 4 0] = [−2 68 0] 2. 𝐴 = 2. [−1 43 0] = [−2 86 0], (2. 𝐴)𝑡 = [−2 6 8 0] Soient 𝐴 et 𝐵 deux matrices telles que 𝐴 × 𝐵 existe alors
(𝐴 × 𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡× 𝐴𝑡 Vérifions cela sur un exemple :
Si 𝐴 = [0 1 4] et 𝐵 = [−1 02 5 −1 2 ] alors 𝐴 × 𝐵 = [0 1 4] × [−1 02 5 −1 2 ] = [−2 13] (𝐴 × 𝐵)𝑡= [−2 13] 𝐵𝑡× 𝐴𝑡 = [−1 2 −1 0 5 2 ] × [ 0 1 4 ] = [−2 13]
Cela permet de prouver l’équivalence entre les équations matricielles : ∀𝐴 ∈ ℳ𝑛,𝑚(ℝ), ∀𝑋, 𝐵 ∈ ℳ𝑚,1(ℝ)
𝐴 × 𝑋 = 𝐵 ⇔ (𝐴 × 𝑋)𝑡 = 𝐵𝑡 ⇔ 𝑋𝑡× 𝐴𝑡 = 𝐵𝑡 6) Calcul de l’inverse d’une matrice carrée d’ordre 𝑛
Le système 𝐴 × 𝑋 = 𝐵 avec 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ), 𝑋, 𝐵 ∈ ℳ𝑛,1(ℝ) admet une unique solution lorsque det(𝐴) ≠ 0.
Ce sera la condition nécessaire à l’existence de la matrice inverse 𝐴−1. En effet, notre but était d’écrire la solution 𝑋 sous la forme 𝑋 = 𝐴−1× 𝐵 car l’idée était de pouvoir écrire
𝐴 × 𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝐴−1× 𝐴 × 𝑋 = 𝐴−1× 𝐵 ⇔ 𝐼
𝑛 × 𝑋 = 𝐴−1× 𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1× 𝐵 Propriétés et définitions :
Soit 𝐴 ∈ ℳ𝑛(ℝ) telle que det(𝐴) ≠ 0,
Il existe une matrice notée 𝐴−1 appartenant à ℳ
𝑛(ℝ) qui vérifie 𝐴 × 𝐴−1 = 𝐴−1× 𝐴 = 𝐼
𝑛 𝐴−1 s’appelle la matrice inverse de 𝐴
Elle se calcule grâce à la formule
𝐴−1 = 1
det(𝐴) . (𝐶𝑜𝑚(𝐴)) 𝑡 où
𝐶𝑜𝑚(𝐴) est la comatrice de 𝐴, c’est à dire la matrice composée de tous les cofacteurs de 𝐴, autrement dit, 𝐶𝑜𝑚(𝐴) = (𝐶𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑛 = ((−1) 𝑖+𝑗𝑀 𝑖,𝑗)1≤𝑖≤𝑛 1≤𝑗≤𝑛 Exemples : Si 𝐴 = [ 2 1
−1 3], det(𝐴) = 6 + 1 = 7 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe. 𝐶𝑜𝑚(𝐴) = [ 3 1 −1 2] car 𝐶1,1= (−1)1+1× 𝑀 1,1= 1 × 𝑀1,1= 𝑀1,1= 3 𝐶1,2= (−1)1+2× 𝑀 1,2= −1 × 𝑀1,2= −𝑀1,2= −(−1) = 1 𝐶2,1= −𝑀2,1= −1 𝐶2,2= 𝑀2,2= 2 donc (𝐶𝑜𝑚(𝐴))𝑡= [3 −11 2 ] donc 𝐴−1= 1 7. [3 −11 2 ] = [ 3 7 − 1 7 1 7 2 7 ] Si 𝐵 = [0 12 1 4], det(𝐵) = 0 × 4 − 1 × 1 2= − 1 2 ≠ 0 donc 𝐵−1 existe. 𝐶𝑜𝑚(𝐵) = [−41 −1 2 0 ] car 𝐶1,1= 𝑀1,1= 4 𝐶1,2= −𝑀1,2= −1 𝐶2,1= −𝑀2,1= − 1 2 𝐶2,2= 𝑀2,2= 0 donc
(𝑐𝑜𝑚(𝐵))𝑡= [ 4 −12 −1 0 ] donc 𝐵−1 = 1 − 12. [ 4 −1 2 −1 0 ] = −2. [ 4 −12 −1 0 ] = [−8 12 0] Si 𝐶 = [1 0 12 1 1 0 0 2
], det(𝐶) = 2 × |1 02 1| = 2 × 1 = 2 ≠ 0 donc 𝐶−1 existe.
𝐶𝑜𝑚(𝐶) = [ 20 −4 02 0 −1 1 1 ] car 𝐶1,1= 𝑀1,1 = |1 10 2| = 2 𝐶1,2= −𝑀1,2= − |2 10 2| = −4 𝐶2,1= −𝑀2,1= − |0 10 2| = −0 = 0 𝐶2,2= 𝑀2,2= |1 10 2| = 2 𝐶1,3= 𝑀1,3 = |2 10 0| = 0 𝐶2,3= −𝑀2,3= − |1 00 0| = −0 = 0 𝐶3,2= −𝑀3,2= − |1 12 1| = −(−1) = 1 𝐶3,1= 𝑀3,1= |0 1 1 1| = −1 𝐶3,3= 𝑀3,3= |1 0 2 1| = 1 donc (𝐶𝑜𝑚(𝐶))𝑡 = [−4 22 0 −11 0 0 1 ] donc 𝐶−1=1 2. [ 2 0 −1 −4 2 1 0 0 1 ] = [ 1 0 −1 2 −2 1 1 2 0 0 1 2 ] Si 𝐷 = [ 41 0 30 2 −1 1 0
], det(𝐷) = −0 + 0 − 1 × |4 31 2| = − |4 31 2| = −5 ≠ 0 donc 𝐷−1 existe.
𝐶𝑜𝑚(𝐷) = [−2 −23 3 −41
0 −5 0
] car (par exemple)
𝐶1,2= −𝑀1,2= − | 1−1 02| = −(1 × 0 − (−1) × 2) = −2 𝐶3,2= −𝑀3,2= − |4 31 2| = −(8 − 3) = −5
𝐷−1 = 1 −5. [ −2 3 0 −2 3 −5 1 −4 0 ] = [ 0,40,4 −0,6 0−0,6 1 −0,2 0,8 0]
7) Résolution d’équations matricielles
Exercice 1 :
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [ 2 0 −1 2]
b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 + 𝐵 = 𝐶 avec 𝑋 = [𝑥𝑦] , 𝐵 = [−1
5 ] , 𝐶 = [ 0−2] Solution :
det(𝐴) = 4 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe,
𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [2 10 2] car (par exemple)
𝐶1,2= −𝑀1,2= −(−1) = 1 donc 𝐴−1= 1 4. [2 01 2] = [ 1 2 0 1 4 1 2 ] or 𝐴𝑋 + 𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐵 ⇔ 𝐴−1𝐴𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐵) ⇔ 𝐼2𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐵) ⇔ 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐵) donc 𝑋 = [ 1 2 0 1 4 1 2 ] × ([ 0 −2] − [−15 ]) = [ 1 2 0 1 4 1 2 ] × [ 1 −7] = [ 1 2× 1 + 0 × (−7) 1 4× 1 + 1 2× (−7) ] = [ 1 2 −13 4 ] Exercice 2 :
a) Calculer l’inverse de la matrice [ 3 −3 −1 0 ]
b) En déduire la solution de l’équation 𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 = 𝐶 avec
𝐴 = [3 −10 4 ] , 𝐵 = [ 0−1 −4−2] , 𝑋 = [𝑥𝑦] , 𝐶 = [−21 ] Solution :
| 3−1 −30 | = −3 ≠ 0 donc la matrice [ 3−1 −30 ] est inversible.
[ 3−1 −30 ]−1= 1 −3. [0 31 3] =[ 0 −1 1 −3 −1] Or 𝐴𝑋 + 𝐵𝑋 = 𝐶 ⇔ (𝐴 + 𝐵)𝑋 = 𝐶 ⇔ (𝐴 + 𝐵)−1(𝐴 + 𝐵)𝑋 = (𝐴 + 𝐵)−1𝐶 ⇔ 𝐼2𝑋 = (𝐴 + 𝐵)−1𝐶 ⇔ 𝑋 = (𝐴 + 𝐵)−1𝐶 et en effet, 𝐴 + 𝐵 est bien inversible car
𝐴 + 𝐵 = [3 −10 4 ] + [ 0 −2 −1 −4] =[ 3 −3 −1 0 ] donc 𝑋 = [ 10 −1 −3 −1] × [ 1 −2] = [ 2 5 3 ] Exercice 3 :
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [−1 4 −1 2]
b) En déduire la solution de l’équation 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 avec 𝑋 = [𝑥𝑦] , 𝐵 = [−1
0 ] , 𝐶 = [ 1−1] Solution : det(𝐴) = 2 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe, 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [ 2 1 −4 −1] donc 𝐴−1 =1 2. [2 −41 −1] = [ 1 −2 1 2 − 1 2 ] or 𝐴(𝑋 + 𝐵) = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 + 𝐴𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐴𝐵 ⇔ 𝐴−1𝐴𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐴𝐵) ⇔ 𝐼2𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐴𝐵) ⇔ 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐴𝐵) donc 𝑋 = [1 −21 2 − 1 2 ] × ([ 1 −1] − [−1 4−1 2] × [−10 ]) = [ 1 −2 1 2 − 1 2 ] × ([ 1 −1] − [11]) = [ 1 −2 1 2 − 1 2 ] × [ 0 −2] = [4 1] Exercice 4 :
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐴 = [1 2 −10 2 0
0 0 4
b) En déduire la solution de l’équation (𝑋𝑡+ 𝐵𝑡)𝐴𝑡= 𝐶𝑡 avec 𝑋 = [𝑦𝑥 𝑧] , 𝐵 = [ −1 0 5 ] , 𝐶 = [−20 1 ] Solution : det(𝐴) = 8 ≠ 0 donc 𝐴−1 existe, 𝑐𝑜𝑚(𝐴) = [−8 4 08 0 0 2 0 2 ] donc 𝐴−1= 1 8. [ 8 −8 2 0 4 0 0 0 2 ] = [ 1 −1 1 4 0 1 2 0 0 0 1 4] Or (𝑋𝑡+ 𝐵𝑡) × 𝐴𝑡 = 𝐶𝑡 ⇔ ((𝑋𝑡+ 𝐵𝑡) × 𝐴𝑡)𝑡 = (𝐶𝑡)𝑡 ⇔ (𝐴𝑡)𝑡× (𝑋𝑡+ 𝐵𝑡)𝑡= 𝐶 ⇔ 𝐴 × ((𝑋𝑡)𝑡+ (𝐵𝑡)𝑡) = 𝐶 ⇔ 𝐴 × (𝑋 + 𝐵) = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 + 𝐴𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐴𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐴𝐵) ou (𝑋𝑡+ 𝐵𝑡) × 𝐴𝑡 = 𝐶𝑡 ⇔ 𝑋𝑡𝐴𝑡+ 𝐵𝑡𝐴𝑡 = 𝐶𝑡 ⇔ (𝐴𝑋)𝑡+ (𝐴𝐵)𝑡 = 𝐶𝑡 ⇔ (𝐴𝑋 + 𝐴𝐵)𝑡 = 𝐶𝑡 ⇔ 𝐴𝑋 + 𝐴𝐵 = 𝐶 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝐶 − 𝐴𝐵 ⇔ 𝑋 = 𝐴−1(𝐶 − 𝐴𝐵) donc 𝑋 = [ 1 −1 1 4 0 1 2 0 0 0 1 4] × ([−20 1 ] − [ 1 2 −1 0 2 0 0 0 4 ] × [−10 5 ]) = [ 1 −1 1 4 0 1 2 0 0 0 1 4] × ([−20 1 ] − [ −6 0 20 ]) = [ 1 −1 1 4 0 1 2 0 0 0 1 4] × [−26 −19] = [ 13 4 −1 −19 4 ]
Exercice 5 :
a) Calculer l’inverse de la matrice 𝐷 = 𝐼3− [0,7 0,2 0,20,1 0,6 0,1 0,1 0,1 0,6] b) En déduire la solution de l’équation 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵 avec
𝐴 = [ 0,7 0,2 0,2 0,1 0,6 0,1 0,1 0,1 0,6] , 𝐵 = [ 10 10 10 ] , 𝑋 = [𝑥𝑦 𝑧] Solution : 𝐷 = [−0,10,3 −0,2 −0,20,4 −0,1 −0,1 −0,1 0,4 ] det(𝐷) = 0,048 − 0,002 − 0,002 − 0,008 − 0,008 − 0,003 = 0,025 ≠ 0 donc 𝐷−1 existe, 𝑐𝑜𝑚(𝐷) = [0,15 0,05 0,050,1 0,1 0,05 0,1 0,05 0,1] donc 𝐷−1 = 1 0,025. [ 0,15 0,1 0,1 0,05 0,1 0,05 0,05 0,05 0,1] = [ 6 4 4 2 4 2 2 2 4 ] Or 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵 ⇔ 𝑋 − 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝐼3𝑋 − 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇔ (𝐼3 − 𝐴)𝑋 = 𝐵 ⇔ 𝑋 = (𝐼3− 𝐴)−1𝐵 = 𝐷−1𝐵 donc 𝑋 = [6 4 42 4 2 2 2 4 ] × [1010 10 ] = [14080 80 ]
8) Compléments (démonstrations de quelques propriétés vues précédemment)
a) Méthode de Cramer pour un système de deux équations à deux inconnues Propriété :
Le système {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 qui s’écrit aussi matriciellement [𝑎 𝑏
𝑐 𝑑] × [ 𝑥
𝑦] = [𝑓] 𝑒 avec 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑] , 𝑋 = [𝑥𝑦] et 𝐵 = [𝑒𝑓],
admet une unique solution 𝑋 = [𝑥𝑦] lorsque det(𝐴) = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0.
𝑥 =| 𝑒 𝑏 𝑓 𝑑| |𝑎 𝑏 𝑐 𝑑| 𝑒𝑡 𝑦 =| 𝑎 𝑒 𝑐 𝑓| |𝑎 𝑏 𝑐 𝑑| preuve : Supposons que 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0.
En multipliant par 𝑐 la première équation et par −𝑎 la deuxième équation, on obtient {𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 ⇔ {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 – 𝑎𝑐𝑥 − 𝑎𝑑𝑦 = −𝑎𝑓 𝑎𝑐𝑥 + 𝑏𝑐𝑦 = 𝑒𝑐
On peut ajouter les deux équations pour obtenir
𝑏𝑐𝑦 − 𝑎𝑑𝑦 = 𝑒𝑐 − 𝑎𝑓 c’est à dire (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)𝑦 = 𝑒𝑐 − 𝑎𝑓 c’est à dire 𝑦 =𝑒𝑐 − 𝑎𝑓 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 = 𝑎𝑓 − 𝑒𝑐 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = |𝑎 𝑒𝑐 𝑓| |𝑎 𝑏 𝑐 𝑑|
On peut aussi multiplier par 𝑑 la première équation et par – 𝑏 la deuxième équation pour obtenir
{𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 ⇔ {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 – 𝑏𝑐𝑥 − 𝑏𝑑𝑦 = −𝑏𝑓 𝑎𝑑𝑥 + 𝑏𝑑𝑦 = 𝑒𝑑 On peut ajouter les deux équations pour obtenir
𝑎𝑑𝑥 − 𝑏𝑐𝑥 = 𝑒𝑑 − 𝑏𝑓 c’est à dire (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)𝑥 = 𝑒𝑑 − 𝑏𝑓 c’est à dire 𝑥 =𝑒𝑑 − 𝑏𝑓 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = |𝑓 𝑑|𝑒 𝑏 |𝑎 𝑏 𝑐 𝑑|
b) Démontrons la propriété suivante Soit 𝐴 = [
𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3
],
chaque ligne de 𝐴 ne peut pas s’écrire comme combinaison des deux autres lignes si et seulement si
𝑎1,1𝑎2,2𝑎3,3+ 𝑎1,2𝑎2,3𝑎3,1+ 𝑎2,1𝑎3,2𝑎1,3− 𝑎3,1𝑎2,2𝑎1,3− 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3− 𝑎3,2𝑎2,3𝑎1,1≠ 0 c’est à dire, si et seulement si det(𝐴) ≠ 0.
Autrement dit,
chaque ligne de 𝐴 peut s’écrire comme combinaison des deux autres lignes si et seulement si 𝑎1,1𝑎2,2𝑎3,3+ 𝑎1,2𝑎2,3𝑎3,1+ 𝑎2,1𝑎3,2𝑎1,3− 𝑎3,1𝑎2,2𝑎1,3− 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3− 𝑎3,2𝑎2,3𝑎1,1= 0 c’est à dire, si et seulement si det(𝐴) = 0.
preuve :
Supposons que la ligne [𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3] soit combinaison (linéaire) des deux autres lignes. Cela veut dire qu’il existe deux nombres 𝛼 et 𝛽 tels que
c’est à dire [𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3] = [𝛼𝑎2,1 𝛼𝑎2,2 𝛼𝑎2,3] + [𝛽𝑎3,1 𝛽𝑎3,2 𝛽𝑎3,3] soit [𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3] = [𝛼𝑎2,1+ 𝛽𝑎3,1 𝛼𝑎2,2+ 𝛽𝑎3,2 𝛼𝑎2,3+ 𝛽𝑎3,3] Autrement dit, { 𝛼𝑎2,1+ 𝛽𝑎3,1= 𝑎1,1 𝛼𝑎2,2+ 𝛽𝑎3,2= 𝑎1,2 𝛼𝑎2,3+ 𝛽𝑎3,3= 𝑎1,3
Ces nombres 𝛼 et 𝛽 sont solutions du système précédent. Il y a alors deux possibilités :
Soit ces trois équations sont équivalentes, cela veut dire que les trois colonnes de 𝐴 sont
proportionnelles entre elles, c’est à dire qu’il existe des nombres 𝜆 et 𝜈 tels que [ 𝑎1,1 𝑎2,1 𝑎3,1] = 𝜆. [ 𝑎1,2 𝑎2,2 𝑎3,2] et [ 𝑎1,2 𝑎2,2 𝑎3,2] = 𝜈. [ 𝑎1,3 𝑎2,3 𝑎3,3] et donc forcément [ 𝑎1,1 𝑎2,1 𝑎3,1] = 𝜆𝜈. [ 𝑎1,3 𝑎2,3 𝑎3,3] Dans ce cas-là, le déterminant de 𝐴 peut s’écrire
𝑎1,1𝑎2,2𝑎3,3+ 𝑎1,2𝑎2,3𝑎3,1+ 𝑎2,1𝑎3,2𝑎1,3− 𝑎3,1𝑎2,2𝑎1,3− 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3− 𝑎3,2𝑎2,3𝑎1,1= 𝜆𝜈𝑎1,3𝜈𝑎2,3𝑎3,3+ 𝜈𝑎1,3𝑎2,3𝜆𝜈𝑎3,3+ 𝜆𝜈𝑎2,3𝜈𝑎3,3𝑎1,3− 𝜆𝜈𝑎3,3𝜈𝑎2,3𝑎1,3− 𝜆𝜈𝑎2,3𝜈𝑎1,3𝑎3,3−
𝜈𝑎3,3𝑎2,3𝜆𝜈𝑎1,3= 𝜆𝜈2(3𝑎
1,3𝑎2,3𝑎3,3− 3𝑎1,3𝑎2,3𝑎3,3) = 0
Soit le système précédent est équivalent à deux équations à deux inconnues, par exemple les
deux premières (ça marcherait aussi en prenant la première et la troisième, ou bien, la deuxième et la troisième)
{𝛼𝑎𝛼𝑎2,1+ 𝛽𝑎3,1= 𝑎1,1 2,2+ 𝛽𝑎3,2= 𝑎1,2
Et donc les nombres 𝛼 et 𝛽 sont obtenus grâce aux formules suivantes 𝛼 =𝑎1,1𝑎3,2− 𝑎1,2𝑎3,1
𝑎2,1𝑎3,2− 𝑎2,2𝑎3,1 𝛽 =𝑎2,1𝑎1,2− 𝑎2,2𝑎1,1 𝑎2,1𝑎3,2− 𝑎2,2𝑎3,1 La troisième équation 𝛼𝑎2,3+ 𝛽𝑎3,3= 𝑎1,3 s’écrit alors
𝑎1,1𝑎3,2− 𝑎1,2𝑎3,1 𝑎2,1𝑎3,2− 𝑎2,2𝑎3,1𝑎2,3+ 𝑎2,1𝑎1,2− 𝑎2,2𝑎1,1 𝑎2,1𝑎3,2− 𝑎2,2𝑎3,1𝑎3,3= 𝑎1,3 c’est à dire (𝑎1,1𝑎3,2− 𝑎1,2𝑎3,1)𝑎2,3+ (𝑎2,1𝑎1,2− 𝑎2,2𝑎1,1)𝑎3,3= 𝑎1,3(𝑎2,1𝑎3,2− 𝑎2,2𝑎3,1) c’est à dire 𝑎1,1𝑎3,2𝑎2,3− 𝑎1,2𝑎3,1𝑎2,3+ 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3− 𝑎2,2𝑎1,1𝑎3,3= 𝑎1,3𝑎2,1𝑎3,2− 𝑎1,3𝑎2,2𝑎3,1 c’est à dire 𝑎1,1𝑎2,2𝑎3,3+ 𝑎1,2𝑎2,3𝑎3,1+ 𝑎2,1𝑎3,2𝑎1,3− 𝑎3,1𝑎2,2𝑎1,3− 𝑎2,1𝑎1,2𝑎3,3− 𝑎3,2𝑎2,3𝑎1,1= 0 Supposons que 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑎 𝑎 = 0
