Contribution à la détection et à l’estimation des défauts pour des systèmes linéaires à commutations

HAL Id: tel-02883210

https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-02883210

Submitted on 28 Jun 2020

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub-

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

pour des systèmes lineaires à commutations

Khaled Laboudi

To cite this version:

Khaled Laboudi. Contribution à la detection et à l’estimation des defauts pour des systèmes lineaires à commutations. Automatique / Robotique. Université de Reims Champagne-Ardenne, 2017. Français.

�tel-02883210�

UNIVERSITÉ DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE

ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES – TECHNOLOGIES – SANTÉ (547) THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE REIMS CHAMPAGNE-ARDENNE Discipline : AUTOMATIQUE, SIGNAL, PRODUCTIQUE, ROBOTIQUE

Spécialité : Automatique

Présentée et soutenue publiquement par

Khaled LABOUDI

Le 9 novembre 2017

Thèse dirigée par NOUREDDINE MANAMANNI ET NADHIR MESSAI

Contribution à la détection et à l’estimation des défauts pour des systèmes linéaires à commutations

JURY

Mme Véronique CARRE-MENETRIER, Professeur, Université de Reims Champagne Ardenne, Président M. Noureddine MANAMANNI, Professeur, Université de Reims Champagne Ardenne, Directeur de thèse M. Nadhir MESSAI, Maître de Conférences, Université de Reims Champagne Ardenne, Encadrant M. Houcine CHAFOUK, Professeur, ESIGELEC Rouen, Rapporteur M. Michael DEFOORT, Maître de Conférences HDR, Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambrésis, Rapporteur

M. Didier THEILLIOL, Professeur, Université de Lorraine, Examinateur

M. Mamadou MBOUP, Professeur, Université de Reims Champagne Ardenne, Invité

Ce travail de thèse traite de la problématique d’estimation des défauts et de l’état hybride pour une classe de systèmes linéaires à commutations. L’objectif est de développer une méthode afin de synthétiser un observateur et un estimateur dédiés respectivement à l’estimation de l’état hybride et des défauts. Après la présentation d’un état de l’art sur les techniques d’estimation, de stabilité et de diagnostic pour les systèmes linéaires à commutations, la thèse est scindée en deux parties.

La première partie propose une méthode d’estimation de l’état continu et des défauts dans le cas où l’état discret du système est connu. En se basant sur une transformation de coordonnées qui découple un sous-ensemble de l’état du système des défauts, nous avons synthétisé dans un premier temps un observateur hybride pour estimer l’état continu du système, et dans un second temps, un estimateur permettant la reconstruction des défauts. L’estimateur de défauts proposé dépend de la dérivée de la sortie du système. Pour cette raison, un différenciateur robuste et exact basé sur des techniques des modes glissants est utilisé. Dans la seconde partie de ce mémoire, l’état discret du système est supposé inconnu. Une approche basée sur des méthodes algébriques est proposée afin d’estimer les instants de commutation entre les différents sous-systèmes. Par la suite, l’estimation de l’état hybride (état continu et état discret) et des défauts est considérée dans le cas où l’état discret du système est inconnu. Ce dernier est reconstruit en se basant sur les instants de commutations estimés et sur une séquence de commutation connue. L’état continu du système est estimé en se basant sur une méthode de placement de pôles permettant d’améliorer les performances de la phase transitoire.

Enfin, en exploitant les résultats trouvés dans la première partie, l’estimation des

défauts est considérée en estimant la sortie du système avec un différenciateur

algébrique. Ce différenciateur donne des résultats plus intéressants vis-à-vis du bruit par rapport au différenciateur basé sur les techniques des modes glissants utilisé dans la première partie.

Mots clés : Système linéaire à commutation, estimation de l’état hybride, es-

timation des défauts, fonction de Lyapunov, les techniques des modes glis-

sants, algèbre différentielle.

This work deals with the problem of estimation of fault and hybrid state for a class

of switched linear systems. The objective is to develop a method to synthesize an

observer and an estimator dedicated respectively to the estimation of the hybrid

state and the faults. After presenting a state of the art for estimation, stability

and diagnostic techniques for switched linear systems, the report is divided into

two parts. The first part proposes a method for estimating the continuous state

and the faults in the case where the discrete state of the system is known. Based

on a coordinate transformation which decouples a subset of the state of the system

of faults, we first synthesized a hybrid observer to estimate the continuous state

of the system and, in a second step, an estimator allowing the reconstruction

of faults. The proposed fault estimator depends on the derivative of the system

output. For this reason, a robust and accurate differentiator based on sliding mode

techniques is used. In the second part of this paper, the discrete state of the system

is assumed unknown. An algebraic approach is proposed to estimate the switching

times between the different subsystems. Thereafter, the estimation of the hybrid

state (continuous and discrete state) and of the faults is considered in the case

where the discrete state of the system is unknown. The latter is reconstructed

from the estimated switching times and on a known switching sequence. The

continuous state of the system is estimated using a pole placement method allowing

improve the performances of the transient phase. Finally, by exploiting the results

found in the first part, the estimation of the faults is considered by estimating

the output of the system with an algebraic differentiator. This differentiator gives

more interesting results at the noise compared to the differentiator based on the

sliding mode techniques used in the first part.

Keywords: Switched linear systems, hybrid state estimation, fault estimation,

Lyapunov function, sliding mode techniques, differential algebra.

Ce travail de thèse a été réalisé au Laboratoire CReSTIC de l’Université de Reims Champagne Ardenne et en particulier au sein de l’équipe Auto.

L’achèvement de ce manuscrit n’a été possible sans l’aide et le soutien de plusieurs personnes qui ont contribué de prés ou de loin à ma formation le long de mes études et recherches scientifiques.

Je tiens à remercier tout particulièrement et à témoigner toute ma reconnaissance aux personnes suivantes, pour l’expérience enrichissante et pleine d’intérêt qu’elles m’ont fait vivre durant la thèse au sein du laboratoire CReSTIC.

En premier lieu, je tiens à remercier mon directeur de thèse, monsieur Noureddine MANAMANNI, et mon Codirecteur , monsieur Nadhir MESSAI pour la confiance qu’ils m’ont accordé en acceptant d’encadrer ce travail doctoral, pour leurs mul- tiples conseils et pour toutes les heures qu’ils ont consacré à diriger cette recherche.

Pour l’ensemble du personnel du CReSTIC, pour leur accueil sympathique et leur coopération professionnelle tout au long de ma thèse.

Mes sincères remerciements à Monsieur Mamadou MBOUP, professeur à l’uni- versité de Reims Champagne Ardenne, pour ses conseils, pour son soutien et sa contribution dans ce travail.

J’exprime également ma profonde reconnaissance à Madame Véronique CARRE- MENETRIER et Monsieur Didier THEILLIOL, qui me font l’honneur d’examiner ce travail. J’adresse mes profonds remerciements à monsieur Houcine CHAFOUK et monsieur Michael DEFOORT, pour avoir accepté d’évaluer ce travail.

Mes remerciements profonds à tous mes amies et collègues, en particulier ceux et

celles qui m’ont apporté un soutien moral et une amitié inoubliable et précieuse.

Enfin, je remercie tous les membres de ma famille pour leur aide et encouragement.

Résumé i

Abstract iii

Remerciements v

Table des matières vii

Table des figures xiii

Liste des tableaux xvii

Introduction générale 1

1 Notions introductives à la synthèse d’observateurs et au diagnostic 7

1.1 Introduction . . . . 7 1.2 Notions introductives sur les systèmes dynamiques hybrides . . . . 10 1.2.1 Structure générale d’un système dynamique hybride . . . . 10 1.2.2 Modélisation des systèmes dynamiques hybrides . . . . 11

1.2.2.1 Tour d’horizon sur la modélisation des systèmes

dynamiques hybrides . . . . 11

1.2.2.2 Automate hybride . . . . 12

1.2.3 Les systèmes à commutation . . . . 14

1.2.3.1 Loi de commutations dépendante de l’état . . . . . 15

1.2.3.2 Loi de commutation dépendante du temps . . . . . 16

1.3 Généralité sur les systèmes linéaires à commutations . . . . 18

1.3.1 Modélisation des systèmes linéaires à commutations . . . . . 18

1.3.2 Notions générales sur l’estimation d’état hybride dans les SLC. 19 1.3.2.1 Problèmes d’observation . . . . 19

1.3.2.2 Synthèse d’observateurs dans les SLC . . . . 20

1.3.3 Stabilité des systèmes linéaires à commutations . . . . 24

1.3.3.1 Fonction de Lyapunov quadratique Commune . . . 25

1.3.3.2 Fonction de Lyapunov Quadratique Multiple . . . 26

1.3.3.3 Fonction de Lyapunov quadratique à commutations 27 1.4 Problématiques et objectifs du diagnostic des systèmes dynamiques 29 1.4.1 Classification des défauts . . . . 30

1.4.2 Diagnostic de défauts à base de modèle . . . . 32

1.4.2.1 Diagnostic de défauts à base de modèle des sys- tèmes continus . . . . 33

1.4.2.2 Diagnostic des systèmes linéaires à commutations . 40 1.4.3 Estimation des défauts . . . . 42

1.5 Conclusion . . . . 43

2 Synthèse d’un observateur hybride : État discret du système connu 47 2.1 Introduction . . . . 47

2.2 Présentation de la problématique et des hypothèses . . . . 49

2.3 Observation d’un système linéaire à commutations . . . . 51

2.3.1 Estimation de l’état continu . . . . 51

2.3.1.1 Cas où les matrices des défauts sont identiques pour tous les modes . . . . 51

2.3.1.2 Cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 56

2.3.2 Estimation des défauts . . . . 62

2.3.2.1 Synthèse de l’estimateur . . . . 62

2.3.2.2 Différenciateur d’ordre supérieur basé sur les tech- niques des modes glissants . . . . 63

2.4 Exemple de simulation . . . . 65

2.4.1 Exemple1 : Cas où les matrices des défauts sont identiques pour tous les modes . . . . 65

2.4.1.1 Présentation de l’exemple numérique . . . . 65

2.4.1.2 Synthèse de l’observateur hybride . . . . 67

2.4.2 Exemple2 : Cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes. . . . 68

2.4.2.1 Présentation de l’exemple numérique. . . . 68

2.4.2.2 Synthèse de l’observateur hybride . . . . 69

2.4.3 Résultats numériques . . . . 70

2.5 Conclusion . . . . 74

3 Synthèse d’un estimateur pour la détection des instants de commu- tations 77 3.1 Introduction . . . . 77

3.2 Présentation de la problématique . . . . 80

3.3 Notions mathématiques . . . . 82

3.3.1 Outils mathématiques . . . . 82

3.3.2 Transformée de Laplace de quelques fonctions utiles . . . . . 86

3.3.3 Transformée de Laplace inverse de quelques fonctions utiles . 87 3.4 Estimation des instants de commutations dans un SLC . . . . 89

3.4.1 Cas d’un système avec une seule sortie . . . . 90

3.4.1.1 Développements préliminaires . . . . 90

3.4.1.2 Principe de détection . . . . 96

3.4.2 Cas d’un système à plusieurs sorties . . . . 98

3.4.2.1 Présentation de l’algorithme . . . 100

3.4.2.2 Discussion . . . 102

3.5 Résultats de simulation . . . 103

3.6 Conclusion . . . 107

4 Synthèse d’un observateur hybride pour un SLC : État discret inconnu109 4.1 Introduction . . . 109

4.2 Présentation de la problématique . . . 110

4.3 Placement de pôle dans une région LMI . . . 113

4.3.1 La D−stabilité . . . 114

4.3.2 Définition d’une région LMI . . . 115

4.3.3 Présentation de quelques régions LMIs . . . 117

4.4 Estimation de l’état hybride . . . 120

4.4.1 Reconstruction de l’état discret . . . 120

4.4.2 Synthèse de l’observateur de l’état continu . . . 121

4.5 Estimation du vecteur de défauts . . . 126

4.5.1 Différenciateur basé sur les techniques algébriques . . . 127

4.5.1.1 Développement préliminaire . . . 127

4.5.1.2 Différenciateur d’ordre minimal . . . 131

4.5.1.3 Différenciateur d’ordre non-minimal . . . 134

4.6 Exemple Numérique . . . 136

4.6.1 Estimation de l’état discret . . . 137

4.6.2 Estimation de l’état continu . . . 139

4.6.3 Estimation des défauts . . . 142

4.7 Conclusion . . . 147

Conclusion et perspectives 149

Annexes 153

A Complément de Schur 155

B Algorithme de super Twisting 157

C Notions mathématiques 159

D Démonstration du théorème 4.5 161

E Démonstration du théorème 4.6 163

Bibliographie 165

1.2.1 Structure générale d’un système dynamique hybride . . . . 10

1.2.2 Représentation graphique du thermostat par un automate hybride 14 1.2.3 Loi de commutation dépendante de l’état . . . . 16

1.2.4 Loi de commutations dépendante du temps . . . . 17

1.3.1 Le rôle d’un observateur dans un processus . . . . 20

1.3.2 Observateur continu . . . . 21

1.3.3 Observateur discret . . . . 22

1.3.4 Observateur hybride : Estimation de l’état discret à partir de l’état continu estimé . . . . 23

1.3.5 Observateur hybride : Estimation de l’état continu à partir de l’état discret estimé . . . . 24

1.3.6 Fonction de Lyapunov Multiple : (a) Sa valeur croit après chaque instant de commutations, (b) Sa valeur ne croit pas après chaque instant de commutations . . . . 27

1.4.1 Caractéristiques de défaut en fonction du temps . . . . 31

1.4.2 Principe d’un système générateur de résidus . . . . 32

1.4.3 Architecture de diagnostic à base de modèle . . . . 34

1.4.4 Résidus directionnels . . . . 39

2.3.1 Saut de l’état transformé à un instant de commutation . . . . 58

2.4.1 Signal de commutations λ (t) : cas sans saut dans l’état transformé 66 2.4.2 Signal de commutations λ (t) : cas avec saut dans l’état transformé 69 2.4.3 Évolution de la fonction de Lyapunov V (ε

(t)) ; (a) : cas où les

matrices des défauts sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . 70 2.4.4 Erreur d’estimation ˆ x

− x

; (a) : cas où les matrices des défauts

sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 70 2.4.5 Erreur d’estimation ˆ x

− x

; (a) : (a) : cas où les matrices des dé-

fauts sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 71 2.4.6 Erreur d’estimation ˆ x

− x

; (a) : cas où les matrices des défauts

sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 71 2.4.7 Erreur d’estimation ˆ x

− x

; (a) : (a) : cas où les matrices des dé-

fauts sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 72 2.4.8 Erreur d’estimation ˆ x

− x

; (a) : cas où les matrices des défauts

sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 72 2.4.9 Norme de l’erreur d’estimation kˆ x − xk ; (a) : cas où les matrices

des défauts sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . . 73 2.4.10 Défaut f

et son estimation ˆ f

; (a) : cas où les matrices des défauts

sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 73 2.4.12 Estimation des défauts en utilisant un différenciateur d’Euler : Cas

où les matrices des défauts sont identiques pour tous les modes . . 73

2.4.11 Défaut f

et son estimation ˆ f

; (a) : cas où les matrices des défauts sont identiques pour tous les modes, (b) : cas où les matrices des

défauts sont différentes pour tous les modes . . . . 74

3.2.1 Structure générale de l’estimation des instants de commutations . 81 3.2.2 Changement de dynamique dans un signal . . . . 82

3.3.1 Courbe représentative de la fonction f

. . . . 83

3.3.2 Représentation graphique de la distribution de Dirac . . . . 84

3.3.3 Représentation d’une fonction qui change de dynamique en un point : (a) : changement de dynamique sans rupture, (b) : change- ment de dynamique avec rupture . . . . 85

3.4.1 Restriction de la sortie y

dans l’intervalle I

. . . . 91

3.5.1 Évolution de la sortie y et des différentes fonctions J

. . . 106

4.2.1 Structure générale de l’observateur hybride proposé . . . 112

4.2.2 Les limites des performances d’un système linéaire . . . 113

4.3.1 Région LMI : (a) bande verticale, (b) bande horizontale, (c) disque 118 4.4.1 Évolution de l’observateur et du système entre deux instants de commutations . . . 122

4.4.2 Région LMI utilisée . . . 123

4.5.1 Dérivée réelle de la fonction sin et son estimation par un différen- ciateur d’ordre minimal : κ = 1, µ = 1 . . . 133

4.6.1 Signal de commutations λ . . . 137

4.6.2 Signal de commutations λ et son estimation ˆ λ . . . 139

4.6.3 État x

, son estimation ˆ x

et l’erreur d’estimation ˆ x

− x

: (a) : cas avec région LMI (théorème 4.3), (b) : cas sans région LMI (théorème 2.2) . . . 141

4.6.4 État x

, son estimation ˆ x

et l’erreur d’estimation ˆ x

− x

: (a) :

cas avec région LMI (théorème 4.3), (b) : cas sans région LMI

(théorème 2.2) . . . 141

4.6.5 État x

, son estimation ˆ x

et l’erreur d’estimation ˆ x

− x

: (a) : cas avec région LMI (théorème 4.3), (b) : cas sans région LMI (théorème 2.2) . . . 142 4.6.6 État x

, son estimation ˆ x

et l’erreur d’estimation ˆ x

− x

: (a) :

cas avec région LMI (théorème 4.3), (b) : cas sans région LMI (théorème 2.2) . . . 142 4.6.7 État x

, son estimation ˆ x

et l’erreur d’estimation ˆ x

− x

: (a) :

cas avec région LMI (théorème 4.3), (b) : cas sans région LMI (théorème 2.2) . . . 143 4.6.8 Norme de l’erreur d’estimation kˆ x − xk : (a) : cas avec région LMI

(théorème 4.3), (b) : cas sans région LMI (théorème 2.2) . . . 143 4.6.9 Estimation en ligne de défauts avec la méthode algébrique : (a) :

défaut f

et son estimation ˆ f

, (b) : défaut f

et son estimation ˆ f

. 145 4.6.10 Estimation hors ligne de défauts avec la méthode algébrique : (a) :

défaut f

et son estimation ˆ f

, (b) : défaut f

et son estimation ˆ f

. 145 4.6.11 Estimation en ligne de défauts avec la méthode de modes glissants :

(a) : défaut f

et son estimation ˆ f

, (b) : défaut f

et son estimation

f ˆ

. . . 146

3.1 Détection des instants de commutations par les différents estima- teurs : Système d’ordre quatre . . . 106 4.1 Détection des instants de commutations par les différents estima-

teurs : Système d’ordre cinq . . . 138

La majorité des systèmes physiques sont décrits, soit par un modèle continu, ou soit par un modèle à évènement discret. Par ailleurs, différents systèmes complexes de types hétérogènes ne peuvent pas être modélisés uniquement par un modèle continu, ou uniquement par un modèle à évènement discret. Néanmoins, ce type de systèmes peut être modélisé par le mixage de deux types de modèles. En effet, l’interaction entre les systèmes numériques tels que les calculateurs numériques, logiciels, composants logiques,..., et les processus physiques de nature continue, a conduit dans plusieurs applications industrielles, à l’apparition et à la forma- lisation d’une nouvelle classe de systèmes, appelée, système dynamique hybride (SDH). Ce type de systèmes fait intervenir d’une façon explicite et simultanée, deux types de dynamiques, une dynamique continue et une autre événementielle.

La dynamique continue peut être en temps continu ou en temps discret. D’autre part, la dynamique discrète est liée à un système à événements discret (SED) dont l’espace d’état est un ensemble discret fini.

Dans les SDH, nous trouvons différentes classes de systèmes, comme par exemple,

les systèmes linéaires à saut [Mariton 90], les systèmes linéaires affines constants

par morceaux [Bemporad 00] et les systèmes à commutations [Liberzon 03]. En

raison de son importance de point de vue théorique et pratique, nous nous inté-

ressons dans cette thèse à cette dernière classe de systèmes dans le cas linéaire, et

qui est plus connue sous le nom de classe des systèmes linéaires à commutations

(SLC). Ces systèmes jouent un rôle important dans différentes applications, comme

par exemple la gestion de l’énergie électrique par les convertisseurs électriques. Un

SLC est un système dynamique qui se compose d’une part, de plusieurs systèmes

linéaires, chacun d’entre eux évolue avec une dynamique donnée, et d’autre part

d’une règle qui orchestre les commutations entre eux, appelée généralement « état discret ».

L’étude des SLC, a retenu aussi bien l’attention des chercheurs qui s’intéressent à l’étude des systèmes continus, que à ceux qui s’intéressent à l’étude des systèmes à événement discret (SED). Les premiers travaux de recherches sur ce type de système ont été menés sur la modélisation. En effet, cette dernière est une étape nécessaire, en vue de la commande, de l’estimation, de l’étude de stabilité ou du diagnostic. Elle permet de représenter d’une façon homogène les deux types de dynamiques. Ceci permet généralement, lors de l’étude des SLC, de ne pas utiliser uniquement des méthodes classiques issues de l’automatique des systèmes continus ou des SED, mais de développer également d’autre méthodes qui prennent en compte les deux types de dynamiques et leurs interactions.

D’autre part, dans un système physique, la connaissance en temps réel de certaines variables est nécessaire, voire indispensable pour la maitrise de son comportement.

Néanmoins, en raison des contraintes physiques ou économiques, la mesure directe de ces variables ne peut pas être possible. Ainsi, le recours à des observateurs permettant d’estimer ces variables devient naturel. Différents travaux existent dans la littérature sur la synthèse d’observateurs. Pour des SLC, la différence entre les approches existantes est liée généralement à la connaissance ou non de l’état discret du système. En effet, lorsque l’état discret est disponible à chaque instant, le problème se limite seulement à la synthèse d’observateurs pour estimer les variables continues. Par ailleurs, lorsque l’état discret est inconnu, la synthèse d’observateurs pose des problèmes supplémentaires pour les SLC. En effet, les SLC commutent entre plusieurs systèmes linéaires, et par conséquent, l’estimation des variables continues dans ce type de systèmes revient à identifier dans un premier temps, dans quel système linéaire évolue le système global, et dans un second temps d’estimer les variables continues que nous cherchons.

D’autre part, la sécurité, la fiabilité et la performance sont trois points impor-

tants pour le fonctionnement d’un système. Néanmoins, ces propriétés peuvent

être dégradées lors d’une occurrence d’un défaut, entrainant un endommagement

du système. Par conséquent, pour palier ce problème et garantir la sûreté de fonc-

tionnement, la mise en place d’un système de diagnostic est devenue une étape

ont eu un intérêt grandissant dans toutes les applications. En effet, la complexité croissante des systèmes industriels exige un niveau de sécurité, de fiabilité et de performance élevé. Ceci peut être assuré par un système de diagnostic. La tâche principale de diagnostic consiste à détecter dans un premier temps le défaut quand il apparait, de le localiser en donnant précisément son origine, sa nature et les causes liées à son apparition. Il existe deux classes de techniques de diagnostic.

La première est la classe des méthodes sans modèle mathématique. Dans cette classe, le diagnostic se réalise par l’analyse des données. La deuxième classe est celle des méthodes avec modèle mathématique. Les méthodes utilisées dans cette classe sont basées sur une modélisation par un modèle mathématique permettant de voir l’état normal ou anormal du système.

Le diagnostic des défauts des SLC est également un nouveau chalenge pour les automaticiens. La majorité des travaux effectués dans ce cadre sont des extensions des méthodes issues de diagnostic à base de modèle mathématique des systèmes continus. De plus, les méthodes de diagnostic pour les SLC sont employées selon la connaissance ou non de l’état discret à chaque instant. Ainsi, le diagnostic des SLC est plus compliqué lorsque l’état discret est inconnu. En effet, la procédure de diagnostic commence par la mise en œuvre des techniques permettant d’identifier le système linéaire actif à chaque instant.

Cependant, la tâche principale de diagnostic s’effectue en générant un signal d’alarme

lorsqu’un défaut se produit (détection), et en identifiant son emplacement (locali-

sation). Cette tâche de diagnostic est basée généralement sur des signaux appelés

résidus. Ces derniers sont conçus d’une façon à être inférieurs à un seuil en ab-

sence des défauts et un ou plusieurs d’entre eux deviennent supérieurs au seuil en

présence de défaut. Toutefois, en présence de bruit, l’effet d’un défaut à faible am-

plitude peut être caché. Ceci est inacceptable dans des applications qui demandent

un niveau de sécurité élevé. Par conséquent, ces problèmes de détection ont mo-

tivé les chercheurs pour prospecter d’autres alternatives. L’estimation de défauts

est parmi les alternatives de diagnostic qui a intéressé les chercheurs. En effet, elle

représente une extension des approches de détection et de localisation. En d’autres

termes, l’estimation de défaut permet non seulement de détecter et de localiser le défaut, mais d’identifier également son amplitude et son évolution.

Ce travail de thèse se focalise sur le problème d’estimation et de diagnostic dans un SLC avec bruit de mesure. Toutefois, la majeure partie des travaux réalisés considèrent que l’état discret du système est connu. Cette condition sera utilisée dans un premier temps afin de synthétiser d’une part, un observateur permettant l’estimation de l’état continu, et d’autre part, un estimateur permettant la recons- truction de défauts. Une projection de l’état continu du système dans une autre base est réalisée afin de découpler un sous-ensemble de l’état de défauts. L’esti- mateur de défauts proposé dépend de la dérivée de la sortie du système. Pour cette raison, un différenciateur robuste et exact basé sur des techniques des modes glissants est utilisé.

Dans un second temps, l’état discret du système est supposé inconnu. De ce fait, afin de reconstruire cet état discret, nous proposons une approche d’estimation des instants de commutations sous l’hypothèse que la séquence de commutation est connue. L’approche proposée est basée sur des méthodes algébriques. Ainsi, lorsque nous avons un système avec une seule sortie, un seul estimateur veille à détecter les instants de commutation. Néanmoins, dans le cas d’un système à plusieurs sorties, un estimateur est associé à chacune des sorties, suivi d’un bloc de décision permettant de minimiser d’une part, les fausses détections et d’autre part la non détection.

Enfin, une autre approche pour l’estimation de l’état continu et de défauts est proposée dans le cas où l’état discret du système est inconnu. Ainsi, afin d’améliorer la qualité d’estimation de défauts, nous considérons un estimateur basé sur des méthodes algébriques pour estimer la dérivée de la sortie du système.

Ce manuscrit de thèse contient quatre chapitres et est organisé de la façon suivante :

Le premier chapitre fourni une étude bibliographique sur la modélisation des

SDH et sur les techniques d’estimation, de stabilité et de diagnostic dans les SDH

et particulièrement dans les SLC. Ce premier chapitre contient trois parties. La

première partie aborde quelques notions introductives sur les SDH. Ainsi, nous

passerons en revue quelques éléments de modélisation et quelques classes de ce

type de système.

tation des notions générales de diagnostic. Ainsi, nous décrivons quelques concepts fondamentaux des approches de diagnostic à base de modèle et d’estimation des défauts.

Le deuxième chapitre considère le problème d’estimation simultanée de l’état continu et des défauts actionneurs dans un SLC avec bruit de mesure, dans le cas où l’état discret est connu. Une transformation de coordonnées est effectuée afin de découpler un sous ensemble de l’état du système des défauts. Par la suite, la synthèse d’observateur pour estimer l’état continu du système dans deux cas de figure est considérée. Dans le premier cas, les matrices des défauts sont considérées identiques, ce qui permet d’avoir un état sans discontinuité à chaque instant. Quant au second cas, les matrices des défauts sont considérées différentes, ce qui engendre un saut dans l’état du système transformé à chaque instant de commutation.

La dernière partie de ce chapitre est consacrée à la synthèse d’un estimateur des défauts. Nous allons montrer que cet estimateur est en fonction de la dérivée de la sortie. Par conséquent, nous estimons cette dérivée par un différenciateur d’ordre élevé basé sur les techniques des modes glissants.

Le troisième chapitre présente une approche permettant la détection des ins- tants de commutation dans un SLC avec bruit mesure. Après une présentation de la problématique et de quelques notions mathématiques, nous développons dans un premier temps un estimateur basé sur une approche algébrique permettant la détection des instants de commutations dans un système avec une seule sortie. Par la suite, la méthode proposée est généralisée pour un système à plusieurs sorties.

Dans ce cas, pour chaque sortie, nous avons un estimateur. Ainsi, un bloc de dé- cision est mis en place afin d’orchestrer les sorties des différents estimateurs. A la fin de ce chapitre, nous montrons l’efficacité de l’approche proposée à travers un exemple.

Le quatrième chapitre considère le problème d’estimation d’état hybride (état

discret et état continu) et des défauts dans un SLC avec bruit de mesure et état

discret inconnu. L’état discret est reconstruit en se basant sur la séquence de

commutations connue et sur les instants de commutations détectés par l’approche

proposée dans le troisième chapitre. L’estimation de l’état continu est considérée avec une méthode de placement de pôles afin d’améliorer les performances de la phase transitoire. Par la suite, l’estimation des défauts est considérée et les résul- tats trouvés dans le deuxième chapitre sont exploités. Contrairement au chapitre 2, la dérivée de la sortie est estimée dans ce chapitre par un différenciateur algé- brique. Nous montrerons que l’utilisation de ce dernier donne des résultats plus intéressants vis-à-vis du bruit par rapport au différenciateur basé sur les techniques des modes glissants présenté dans le deuxième chapitre. Ceci va être confirmé à travers un exemple de simulation qui montre également l’amélioration de la qualité d’estimation, particulièrement dans la phase transitoire, par rapport aux résultats du deuxième chapitre.

Nous terminerons le mémoire de thèse par une conclusion et des perspectives.

Notions introductives à la synthèse d’observateurs et au diagnostic

1.1 Introduction

La progression technologique dans plusieurs domaines comme par exemple les do- maines électriques, mécaniques et hydrauliques a suscité le développement de tech- niques d’estimation, de contrôle et de diagnostic. Une représentation par un modèle mathématique simplifié de ces systèmes est nécessaire afin d’étudier ses proprié- tés physiques. Certains systèmes sont représentés par des modèles dans lesquels les variables varient d’une façon continue. Nous pouvons citer comme exemple le courant électrique dans un circuit électrique ou la température dans une chambre climatisée.

D’autres systèmes dit événementiel ou discret font intervenir plutôt des variables

qui varient d’une façon événementielle. Par exemple, l’état ouvert ou fermé d’un

commutateur dans un redresseur ou dans une vanne. Ces deux types de systèmes

ont fait l’objet d’études approfondies liées à la conception d’outils spécifiques pour

la commande, l’observation ou le diagnostic. Ces outils ne sont pas toujours adap-

tés pour des systèmes qui ont une forte interaction entre les parties continues et

les parties discrètes. Par conséquent, une nouvelle catégorie de systèmes dyna-

miques dits hybride est apparue. Formellement, les systèmes dynamiques hybrides

(SDH) sont des systèmes qui font intervenir explicitement et simultanément des dynamiques continues et événementielles.

Plusieurs travaux se sont focalisés sur l’étude de cette classe de systèmes. Par exemple, la modélisation des SDH a été traitée par différentes communautés scien- tifiques. Plusieurs résultats de modélisation de ce type de systèmes ont été obtenus.

Généralement, les modèles proposés sont une extension des modèles proposés soit pour des systèmes continus ou bien pour des systèmes discrets. Dans ce cadre, on trouve la modélisation par Automate hybride [Lygeros 03] ou la modélisation basée sur les réseaux de Petri mixte [Vibert 97].

La problématique de la commande des SDH a eu à son tour un intérêt énorme pour la communauté de recherche. Dans ce cadre, plusieurs formulations du problème de la commande hybride ont été employées. Certaines formulations accordent une grande importance à la partie discrète au détriment de la partie continue [Alur 95] [Asarin 99], alors que d’autres accordent plus d’importance à la partie continue [Branicky 95] [Branicky 98]. Cependant, il existe d’autres formulations qui prennent en compte les deux dynamiques [Tittus 98].

Par ailleurs, le problème de stabilité est une autre problématique qui a attiré l’at- tention de différents chercheurs. La majorité des travaux réalisés autour de cette problématique consiste à exploiter des approches classiques, telles que l’approche de Lyapunov [Liberzon 03] [Hespanha 04] [Hien 09]. Plusieurs travaux ont été ef- fectués dans le but de la mise en point des concepts de base concernant la stabilité des SLC. Le premier diagnostic des problèmes de la stabilité a été effectué dans [Liberzon 99a]. Les auteurs de ce papier ont résumé ces problèmes en trois points.

Le premier point consiste à trouver la condition qui garantie la stabilité asymp- totique du SLC pour n’importe quel signal de commutations. Quant au deuxième point, il consiste à identifier les classes de signaux de commutations pour lesquelles le système à commutation est asymptotiquement stable. Le troisième point consiste à construire un signal de commutations pour lequel le SLC est asymptotiquement stable.

D’autre part, le problème de synthèse d’observateurs hybrides est une autre thé- matique qui a été largement traitée [Balluchi 02] [Pettersson 05] [Birouche 06]

[Pettersson 06]. Ces observateurs hybrides permettent d’estimer l’état continu,

l’état discret du SDH ou les deux états simultanément. Le problème principal dans la synthèse de ces observateurs concerne la recherche des conditions de convergence.

Ce problème est généralement lié à des conditions de stabilité formulées sous la forme d’inégalités matricielles à résoudre.

Le problème de diagnostic des SDH a fait également l’objet de plusieurs travaux de recherches. La majorité de ces travaux consiste à étendre, soit des méthodes issues des systèmes continus [Rocha Loures 05] [Kajdan 07] [Xu 07], ou bien des méthodes issues des systèmes à événements discrets [Saadaoui 06b] [Xu 07]. Néan- moins, ce problème a été traité également en considérant simultanément les deux dynamiques [Bayoudh 09] [Mohammadi 09] [Daigle 10].

Le travail développé dans cette thèse s’intéresse aux problèmes d’estimation de l’état continu, de l’état discret et des défauts pour un système linéaire à com- mutation (SLC) qui représente une classe particulière de SDH. De ce fait, nous introduisons dans ce chapitre des outils nécessaires pour nos travaux de recherche que nous détaillons dans les chapitres suivants.

Ce chapitre se déclinera en trois parties. La première partie abordera des notions introductives sur les SDH. Ainsi, on passera en revue quelques éléments de modé- lisations de ce type de systèmes et on présentera quelques classes de SDH.

La seconde partie quant à elle, sera consacrée aux problématiques des SLC. L’étude qui en découle s’articule autour de trois axes. Le premier axe sera dédié à une pré- sentation et une modélisation de ce type de systèmes. Le deuxième se focalisera sur les problèmes d’estimation. Quant au troisième axe, il sera consacré aux problèmes de stabilité des SLC.

Enfin, l’objectif de la troisième partie de ce chapitre sera de présenter les notions

générales de diagnostic des systèmes dynamiques, et particulièrement pour les SLC.

1.2 Notions introductives sur les systèmes dynamiques hybrides

1.2.1 Structure générale d’un système dynamique hybride

D’une façon générale, un SDH peut être considéré comme l’agrégation de systèmes continus, d’un SED et d’une interface qui gère l’interaction entre les deux dyna- miques, continues et discrètes (figure 1.2.1) [Antsaklis 00]. L’évolution d’un SDH est donnée par des équations différentielles qui dépendent généralement de ces deux dynamiques.

Partie discrète

Partie continue Interface Entrées discrètes

Entrées continues

Sorties discrètes

Sorties continues

E nt ré es hybri de s S ort ie s hybri de s

Figure 1.2.1 – Structure générale d’un système dynamique hybride

La dynamique discrète des SDH, appelée généralement état discret du SDH, dé-

termine la dynamique continue spécifique de la variable continue du SDH. Elle est

liée à un SED dont l’espace d’état est un ensemble discret fini. Chaque élément

de cet ensemble représente un mode. Le passage d’un mode à un autre se produit

par l’intermédiaire d’une interface qui traduit l’interaction entre la partie continue

et la partie discrète. Ce phénomène d’interaction se nomme phénomène hybride

[Branicky 95].

Généralement l’action de ce phénomène se réalise par la commutation d’un mo- dèle continu à un autre ou par une discontinuité apparaissant sur le vecteur d’état.

D’autre part, ce phénomène peut être déclenché par un système à événement dis- cret décrivant la dynamique du système global à chaque instant. Ce phénomène peut être également déclenché lorsque les variables continues atteignent un seuil bien défini.

1.2.2 Modélisation des systèmes dynamiques hybrides

1.2.2.1 Tour d’horizon sur la modélisation des systèmes dynamiques hybrides

La modélisation des SDH est une étape essentielle pour toutes études à savoir ; la stabilité, l’estimation, le contrôle, etc. Ainsi, afin de représenter d’une façon homo- gène les deux types de dynamiques, des chercheurs ont pu étendre des approches issues de l’automatique continu pour intégrer l’aspect discret. A titre d’exemple, dans [Buisson 98], les auteurs ont modélisé un SDH en faisant une extension du principe de modélisation par bon-graph.

D’autres chercheurs ont pu étendre des approches issues de l’automatique dis- cret pour intégrer l’aspect continu. C’est le cas d’une modélisation par l’extension de modélisation par réseaux de Petri hybride ou par des automates à état finis [Puri 96].

Des approches mixtes [Belkhiat 12] sont également proposées pour modéliser les SDH. Celles-ci intègrent en parallèle dans le même formalisme de modélisation d’une façon rigoureuse et explicite les deux aspects continu et discret.

Dans la littérature, on trouve une catégorie de modèles issues des approches mixtes

qui reposent sur la collaboration de deux aspects continu et discret. Ces modèles

sont basés soit sur les aspects évènementiels, ou soit sur les aspects continus géné-

ralisés par des équations d’état. Dans les deux cas, l’aspect hybride apparait dans

l’interface d’interaction. En effet, l’aspect discret gouverne le modèle continu en

choisissant les équations différentielles continues qui correspondent au mode dis-

cret actif. De plus, l’aspect continu agi sur le modèle discret en validant ou forçant

le franchissement des transitions.

Différents types de modèles basés sur les approches mixtes existent dans la litté- rature [Zaytoon 01]. L’automate hybride [Lygeros 03] est le modèle le plus connu parmi tous les modèles basés sur ces approches. Ce modèle est assez simple et dé- finit proprement les interactions entre la partie continue et la partie discrète, ainsi que le comportement global du système qui en découle. Ce modèle sera présenté dans la section suivante. Toutefois, on retrouve également les Statecharts hybrides qui utilisent une structuration hiérarchisée nécessaire pour améliorer la structu- ration dans les automates hybrides [Zaytoon 01]. Ce type de modélisation a été utilisé dans les travaux de Kesten [Kesten 91]. On trouve également des modèles basés sur les réseaus de Petri mixtes qui sont utilisés généralement pour modéliser des phénomènes associés aux systèmes à événements discrets [Vibert 97].

1.2.2.2 Automate hybride

Différentes définitions d’automate hybride existent dans la littérature. Chacune d’entre elles est utilisée selon l’objectif visé. Dans ce manuscrit, nous allons présen- ter une définition générale proposée dans [Alur 95], [Henzinger 95] et [Lygeros 03].

Cette définition a été choisie en raison de sa richesse qui permet une modélisation réaliste d’un SLC.

Définition 1.1. Un automate hybride H est une collection de plusieurs compo- sants , H = {Q, X, h, Init, Inv, E, G, R} avec

— Q = {q

, q

, · · · } un ensemble fini des états discrets.

— X ⊆ R

représente l’espace d’état où les variables d’état continu prennent leurs valeurs.

— h : Q × X → R

une fonction qui associe à chaque état discret q ∈ Q un champ de vecteur h (q, .).

— Init ⊆ Q × X représente l’ensemble des états initiaux.

— Inv : Q → 2

étant une application qui associe à chaque état discret q ∈ Q un ensemble Inv (q) ⊆ X appelé domaine invariant.

— E ⊆ Q × Q l’ensemble de transition discrètes. Le couple (q, q

) représente

une transition du mode q vers le mode q

.

— G : E → 2

une application qui associe à chaque couple (q, q

) ∈ E une condition de garde nécessaire pour le franchissement de la transition du mode q vers le mode q

.

— R : E × X → 2

étant une application de réinitialisation. Elle affecte une nouvelle valeur à l’état continu x après chaque transition.

Le couple (q, x), où q ∈ Q et x ∈ X, désigne l’état de l’automate H.

Exemple 1.1. (Système de chauffage)

Considérons l’exemple du système de régulation de la température dans une pièce.

Le système comporte deux modes distincts correspondant à l’opération marche- arrêt du thermostat. La dynamique de la température change selon l’état de la pièce. En effet, la température croît lorsque le chauffage est en mode marche et elle décroit lorsque ce dernier est en mode arrêt. Initialement le chauffage est hors tension et la température de la pièce est inférieure à une température minimale θ

. Lorsque on commence le processus de régulation de la température, le chauffage reste allumé tant que la température de la pièce est inférieure à une température maximale θ

. Une fois le capteur détecte une température ambiante égale à la température maximale θ

, le chauffage s’arrête. La température ambiante com- mence à diminuer en raison de pertes de la chaleur. Quand le capteur détecte une température ambiante égale à la température minimale θ

, le chauffage se rallume.

Ce système peut être modélisé par un automate hybride dont les éléments sont donnés comme suit :

— Q = {ON, OF F } est l’ensemble des deux états discrets ; ON correspond au mode marche et OF F correspond au mode arrêt ;

— X = R désigne la plage de la température ambiante ;

— h (ON, x) = −x + αu et h (OF F, x) = −x où α est une constante positive et u est la commande extérieure ;

— Init = {OF F } × {x < θ

} ;

— Inv (ON ) = {x ∈ R : x < θ

} et Inv (OF F ) = {x ∈ R : x > θ

} ;

— E = {(ON, OF F ) , (OF F, ON )} représente deux possibilités de transi-

tions ; une du mode ON vers le mode OF F et une autre du mode OF F

vers le mode ON ;

— G (ON, OF F ) = {x ∈ R : x = θ

} et G (OF F, ON ) = {x ∈ R : x = θ

} ; Cet automate hybride peut être représenté par un graphe orienté comme indiqué dans la figure 1.2.2 présentée ci-dessous [Kurovszky 02]. Il contient des sommets et des branches. Pour chaque sommet, on spécifie le mode discret q ∈ Q, l’équation différentielle ˙ x = h (q, x) et le domaine invariant Inv (q). Chacune de ses branches représente la transition (q, q

) et contient la condition de garde G (q, q

). Enfin, l’état initial est marqué par une flèche sans sommet source. Il pointe vers le sommet qui contient le mode initial.

x = θ

; x := x

x = θ

; x := x OFF

! x = − x x > θ

ON

!

x = −x + α u x < θ

x < θ

Figure 1.2.2 – Représentation graphique du thermostat par un automate hybride

1.2.3 Les systèmes à commutation

Plusieurs classes de SDH existent dans la littérature. Par exemple, les systèmes linéaires à sauts [Vidal 02], les systèmes linéaires affines constants par morceaux [Johansson 03] et les systèmes à commutations [Liberzon 99a].

Dans le cadre de cette thèse, la classe des systèmes à commutations est étudiée.

Plusieurs travaux effectués sur ce type de systèmes existent dans la littérature [Liberzon 99a] [Liberzon 99b] [Schaft 00] [Liberzon 03] [Liberzon 04]. Différents systèmes physiques peuvent être modélisés par ce type de systèmes. On peut citer par exemple, le système de chauffage présenté dans l’exemple 1.1.

Les systèmes à commutations sont composés de plusieurs sous-systèmes et d’une loi de commutations qui définie à chaque instant le sous-système actif.

La forme générale d’un système à commutations en temps continu peut être définie

comme suit [Lin 09] :







˙

x (t) = h (λ, x, u)

y (t) = g (λ, x, u) (1.2.1)

avec x ∈ R

l’état continu du système, u ∈ R

la commande, y ∈ R

la sortie et t ∈ R

où R

représente l’ensemble de nombres réels positifs. La fonction λ est une fonction constante par morceaux qui prend ses valeurs dans un ensemble fini I qui contient une collection de modes discrets (I = {1, · · · , N }). Cette fonction représente l’évolution de l’état discret du système. Elle orchestre les commuta- tions entre les sous systèmes et décrit les différents régimes du fonctionnement du système. N est le nombre de modes composant le système à commutations. La fonction λ change ses valeurs à chaque instant de commutations. Ainsi, le système à commutations évolue à un instant donné t dans le mode i ∈ I lorsque λ = i.

Une classification des systèmes à commutations peut être définie par la nature de la commutation d’un mode à un autre. Dans ce contexte, on peut identifier par exemple ; la classe des systèmes où la loi de commutations dépend de l’état, la classe des systèmes avec une loi de commutations dépendant du temps, et enfin une autre classe où la loi de commutations dépend à la fois de l’état et du temps.

Dans ce qui suit, une présentation de ces deux lois de commutations sera donnée.

1.2.3.1 Loi de commutations dépendante de l’état

Dans un système à commutations ayant une loi de commutations dépendant de l’état, la commutation d’un mode à un autre ne dépend que du vecteur d’état continu du système. En effet, l’espace d’état est divisé en plusieurs régions de fonctionnements. Dans chaque région, un système dynamique en temps continu évolue selon des équations différentielles appropriées. Lorsque la trajectoire de l’état atteint une surface de l’espace d’état appelée surface de commutations, une commutation se produit instantanément et l’état continu du système change de dynamique (figure 1.2.3).

Dans cette figure on a quatre régions R

, R

, R

et R

. Chaque région définie

l’espace d’état dans lequel un sous-système χ

, i = 1, 2, 3, 4 évolue. Il y a quatre

surfaces de commutations définies par les équations S

(x) = 0, S

(x) = 0,

S

(x) = 0 et S

(x) = 0. Chaque surface S

représente une surface de commuta- tions du mode i vers le mode j ou du mode j vers le mode i. Cette figure montre que lorsque la trajectoire de l’état atteint la surface de commutations entre la ré- gion 1 et la région 2, l’état change de dynamique et évolue dans la région 2 avec les équations différentielles appropriées au sous-système 2.

R

R

R

R

S₁₂

( )

S₂₃

( )

S

( ) x ^{= 0}

S₁₄

( )

Trajectoire de l’état

Figure 1.2.3 – Loi de commutation dépendante de l’état

1.2.3.2 Loi de commutation dépendante du temps

Dans ce cas, l’évolution de l’état discret λ est gérée par le temps. Ainsi, le système à

commutations évolue dans un intervalle de temps donné avec une dynamique puis

avec une autre dynamique dans l’intervalle suivant. Chaque dynamique représente

un mode q. La figure 1.2.4 montre l’évolution d’un système à commutations sous

une loi de commutations dépendante du temps. Dans un premier temps, le premier

sous système fonctionne avec sa propre dynamique. A l’instant t = t

, l’état discret

λ change de valeur, et le système à commutations évolue dans le deuxième mode

jusqu’à l’instant t

. Le temps qui sépare deux instants de commutations est appelé

temps de séjour. Il vaut τ

lorsque le système à commutations a évolué dans le

mode 1 entre l’instant t

et l’instant t

et τ

dans le deuxième mode entre les deux

instants t

et t

.

Temps mode 1

t

t

t

t

t

t

mode q t

mode 2

τ

τ

τ

Figure 1.2.4 – Loi de commutations dépendante du temps

En résumé, une commutation dépendante de l’état fait référence à la localisation des états dans le plan de phase, alors qu’une commutation dépendante du temps se produit à un instant donné.

Dans cette thèse, on s’intéresse à une classe particulière de systèmes à commu- tations, à savoir, la classe des systèmes linéaires à commutations (SLC), où la commutation dépend du temps. Un effort particulier a été apporté à cette classe de systèmes en raison de leur richesse qui permet une modélisation réaliste de plusieurs problèmes, ainsi que de leur simplicité permettant la conception d’outils algorithmiques pour leur étude.

On s’intéresse dans ce travail à l’estimation de l’état hybride (état continu et

état discret) et des défauts dans un SLC. Pour cela, dans le but de présenter le

contexte général de l’approche proposée, les deux sections suivantes représentent

une modélisation des SLC et offrira un état de l’art en ce qui concerne l’estimation,

la stabilité et le diagnostic des SLC.

1.3 Généralité sur les systèmes linéaires à commutations

1.3.1 Modélisation des systèmes linéaires à commutations

Un SLC se compose de plusieurs sous-systèmes linéaires et une règle qui orchestre la commutation entre eux [Pettersson 97] [Branicky 98] [Decarlo 00].

Dans ces systèmes, l’état continu évolue sur un intervalle de temps avec une dy- namique (parmi un ensemble fini de dynamiques) puis avec une autre dynamique sur l’intervalle de temps suivant.

L’étude de ce type de système durant ces dernières années a fournie plusieurs résul- tats sur certains problèmes, tels que la comandabilité [Sun 02] [Sun 05] [Ji 07], l’ob- servabilité [Bemporad 99] [Egerstedt 05] [Hespanha 05], la stabilité [Decarlo 00]

[Liberzon 03] [Hespanha 04], ainsi que le diagnostic [Wang 09] [Belkhiat 11] [Du 14].

Formellement, un SLC (Σ

) peut être défini comme suit :

(Σ

) :



 

 

˙

x (t) = A

x (t) + B

u (t) y (t) = C

x (t) + D

u (t)

(1.3.1)

avec x ∈ R

l’état continu du système, u ∈ R

la commande et y ∈ R

la sortie.

La fonction λ représente l’état discret du système, elle est définie de la même façon que dans l’équation (1.2.1).

Lorsqu’à un instant t, λ = i, i ∈ I, le SLC (1.3.1) évolue selon la dynamique du système linéaire Σ

donné par

(Σ

) :



 

 

˙

x (t) = A

x (t) + B

u (t) y (t) = C

x (t) + D

u (t)

(1.3.2)

Pour tout i ∈ I, les matrices A

∈ {A

, · · · A

}, B

∈ {B

, · · · B

}, C

∈ {C

, · · · C

}

et D

∈ {D

, · · · D

} sont des matrices connues de dimensions appropriées.

Dans la suite de la thèse, on note par Σ = {Σ

, · · · , Σ

} l’ensemble de tous les systèmes linéaires constituant le SLC (1.3.1).

Afin de présenter le contexte général dans lequel s’inscrit l’approche de synthèse d’observateur qu’on propose, on passera en revue dans la suite de cette section, les concepts fondamentaux d’estimation dans les SLC. Ainsi, un état de l’art sur l’estimation dans un SLC sera présenté.

1.3.2 Notions générales sur l’estimation d’état hybride dans les SLC.

1.3.2.1 Problèmes d’observation

Dans plusieurs systèmes, la connaissance en temps réel de certaines variables est une étape importante voire indispensable pour la synthèse de lois de commande, la détection et le diagnostic de défauts ou la supervision [Besançon 07] (figure 1.3.1).

Ces variables peuvent être déterminées en utilisant des capteurs physiques pour mesurer directement certaines grandeurs. Néanmoins, pour des raisons techniques, ces derniers ne sont pas toujours éligibles pour être installés ou peuvent être trop couteux. Par conséquent, une autre alternative a été proposée. Celle-ci repose sur la synthèse d’observateur d’état permettant l’estimation de l’état du système.

Ces observateurs sont des algorithmes basés sur un modèle du système. Ils estiment l’état du système en se basant sur les variables connues, à savoir ; la commande u et la sortie mesurée y.

La synthèse d’un observateur est généralement basée sur le principe de retour

d’information. En effet, si l’état initial x (0) connu et l’état discret λ est disponible,

l’observateur peut reconstruire à partir de cet état initial, l’état complet x en

intégrant le système (1.3.1). Néanmoins, si cet état initial est inconnu, la tâche

devient plus compliquée. Ainsi, à partir d’une condition initiale quelconque ˆ x (0),

l’observateur essaye de corriger l’estimation de l’état ˆ x en se basant sur l’erreur

entre la sortie mesurée et estimée.

Observateur

Processus Capteur

Commande

Surveillance (défauts) Identifications

(paramètres) Entrées

Actions Sorties mesurées

Perturbations

Système à commander

Figure 1.3.1 – Le rôle d’un observateur dans un processus 1.3.2.2 Synthèse d’observateurs dans les SLC

L’observateur d’état a été introduit au début pour les systèmes linéaires [Luenberger 66]

[Kalman 60]. Dans ce cas, la convergence de l’observateur proposé est basée sur un choix adéquat d’un gain L permettant de rendre la matrice A − LC stable. Le calcul de ce gain est basé généralement sur une technique de placement de pôles pour l’observateur de Luenberger ou en résolvant une équation de Ricatti pour l’observateur de Kalman.

La synthèse d’observateur pour les SLC a été traitée par différents chercheurs.

La différence entre les approches existantes est liée généralement à la connais- sance ou non de l’état discret et/ou de l’état continu. En effet, certaines approches considèrent que l’un des deux états est inconnu et l’objectif principal repose sur l’estimation de l’état inconnu en utilisant l’état et les autres variables connues. Par exemple, l’estimation de l’état continu en supposant que l’état discret est connu (fi- gure 1.3.2) a été étudiée par plusieurs chercheurs. Dans ce contexte, on peut citer par exemple les travaux de Alessandri et al. dans [Alessandri 01, Alessandri 03]

dans lesquels une extension de l’observateur de Luenberger pour un SLC avec

un état discret connu a été faite. Dans le même cadre, Bejarano et al. ont pro- posé dans [Bejarano 11b, Bejarano 11c], un observateur basé sur les techniques des modes glissants pour estimer l’état d’un SLC avec des entrées inconnues et état discret connu. Dans le même contexte, nous trouvons les travaux de Defoort et al. [Defoort 12] dans lesquels, un observateur d’ordre réduit a été synthétisé.

L’observateur proposé permet l’estimation de l’état continu pour un SLC avec des entrées inconnues. La classe étudiée de systèmes comprend des systèmes ayant des modes dans lesquels l’état n’est pas entièrement observable.

Système

u y

Estimation de l’état continu Observateur continu:

ˆ x

Figure 1.3.2 – Observateur continu

D’autres travaux ont porté sur l’estimation de l’état discret en supposant que l’état continu est connu (figure 1.3.3). Ce problème a été étudié par Orani et al dans [Orani 11]. En effet, l’état continu a été supposé connu et un algorithme basé sur les techniques des modes glissants a été proposé afin de reconstruire l’état discret dans un système à commutations non linéaires incertains. Des méthodes algébriques ont été utilisées dans [Fliess 08] afin de reconstruire en temps réel le signal de commutations.

Lorsque l’état discret et l’état continu du système sont tous les deux non dis-

ponibles, le problème de l’estimation simultanée de ces deux états semble être

particulièrement difficile et la tâche devient plus compliquée. Ainsi, l’observateur

est généralement constitué de deux parties ; une pour reconstruire l’état discret et

une autre pour estimer l’état continu du SLC. Dans ce contexte, ce problème a été

étudié par plusieurs chercheurs et a été abordé avec deux approches. La première

(figure 1.3.4) consiste à estimer l’état continu dans un premier lieu et d’estimer

l’état discret dans un second lieu. Dans ce cadre, on trouve les travaux de Saa-

Système

u y

Estimation de l’état discret Observateur discret:

λ ˆ x

Figure 1.3.3 – Observateur discret

daoui et al [Saadaoui 07] où un observateur hybride basé sur un algorithme de super twisting a été proposé pour un système à commutations avec sauts afin de reconstruire l’état continu du système. L’état continu estimé est utilisé par la suite pour estimer la partie discrète.

La deuxième approche traite l’estimation d’une manière inverse. En effet, une es-

timation de l’état discret se fait dans un premier temps afin de l’utiliser pour

estimer l’état continu dans un deuxième temps (figure 1.3.5). Balluchi a traité ce

problème dans [Balluchi 02]. Il a proposé un observateur hybride constitué d’une

part, d’un observateur discret qui identifie l’état discret du système et d’autre

part, d’un observateur continu qui converge d’une façon exponentielle afin d’esti-

mer l’état continu du système. Dans [Saadaoui 06b], Saadaoui et al. ont synthétisé

un observateur en mode glissant d’ordre deux permettant de reconstruire les états

continus et discrets dans un système à commutations. Dans [Saadaoui 06a], un

observateur basé sur les techniques des modes glissants est appliqué pour l’estima-

tion de l’état continu en présence d’incertitudes. Dans le même contexte, Bejarano

et al. ont synthétisé dans [Bejarano 09] [Bejarano 11a], un observateur basé sur

les techniques des modes glissants, permettant de reconstruire en un temps fini,

l’état discret dans un premier lieu et l’état continu dans un second lieu dans un

SLC. Une batterie d’observateurs et un algorithme de décision ont été synthéti-

sés dans [Hector 12] afin d’estimer simultanément, l’état continu et l’état discret