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Etude des circuits électriques
I. Introduction :
Le calcul d’une grandeur électrique (courant, tension) dans un dipôle par les méthodes classiques (loi des nœuds, loi des mailles…) devient de plus en plus difficile et long surtout lorsqu’il s’agit d’un montage électrique complexe ou un peut complexe.
D’où la nécessité d’utiliser les théorèmes qui facilitent la résolution d’un tel problème on trouve :
Théorème de Kirchoff.
Théorèmes de Thévnin.
Théorème de Norton.
Théorème de superposition.
Théorème de millman.
II. Théorème de Kirchoff : 1. Opérations préalables :
a- Etablir le schéma équivalent des montages ; chaque électromoteur est remplacé par (E0,r).
b- Orienter les conducteurs dans un sens arbitraire.
c- Flécher toutes les tensions.
d- Choisir un sens de parcour arbitraire.
2. Les deux lois de kirchoff : a. Loi des nœuds :
La somme des courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme algébrique des courants qui en sortent.
b. Loi des mailles :
Le long d’une maille la somme algébrique des tensions est égale a zéro (0).
3. Système d’équations :
Les courants de chaque branche sont les inconnues du problème.
Le nombre d’équation est égale au nombre des courants (nombre de branches).
On appliquant la loi des nœuds ; on démontre que pour n nœud on ne peut obtenir que (n - 1) équations indépendantes.
On appliquant la loi des mailles ; on ne peut obtenir que m = b – (n – 1) équations indépendantes.
Prof : Bergam Mjid Page 2 4. Exemple :
Soit le montage suivant :
Avec : E1=10V, E2=40V
R1=10Ω, R2=2R1, R3=R1/3
Q1 : calculer les courants I1, I2, I3 ? Réponse :
Nombre de branches : b = 3
Nombre des nœuds : n = 2 donc n - 1= 1 équation indépendante par loi des nœuds Nombre d’équation par loi des mailles : m = b - (n - 1) = 2
(2) ⇒
Dans (1) ⇒ ⇒
(3) x 3 donne (A) x 10 donne
(C)- (D) donne 20.I2 = -180
Soit donc I2 = = -9A ⇒ I2 = - 9A Et
⇒ I3 = -15A Et I1 = 15 + 9 ⇒ I1= 24A
I3
R3 I1
I2
(E2,R2) (E1,R1)
I2
R3 I1
R1
U3 U2
E2 U1
R2
E1
I3
Prof : Bergam Mjid Page 3 III. théorème de Thévnin :
1. Enoncé du théorème :
Tout circuit électrique à base des éléments linéaires, compris entre deux points A et B est équivalent à un générateur de Thévnin ayant :
Une f.é.m. (force électromotrice) ou Eth la différence de potentiel entre A et B à vide (IAB = 0 ; la charge débranchée).
Une résistance interne Rth vue entre A et B quand les sources de tension sont court-circuitées et les sources de courant sont remplacées par un circuit ouvert.
<=>
2. Technique de calcul de (Eth, Rth) :
a. Débrancher la charge entre A et B (IAB=0) b. On considérant que IAB=0, on calcul Eth = UAB
c. On court-circuite les sources de tension et on enlève les sources de courant, puis on calcul Rth = RAB.
3. Exemple :
Soit le montage suivant : Avec R1= R2 = R3 = 1kΩ = 2R E = 12V
Q : calculer le modèle de thévnin (Eth, Rth) ? Réponse :
1/ I = 0
Donc U = 0
D’où
⇒ Eth = 6V 2/ Rth = RAB
= R’ R
=
Rth Ω
A
Rth
B Eth
linéaire
B A
Circuit
R2
B R A R3 R1
E
I R3
E R1
A
R2 U
UAB
B
Prof : Bergam Mjid Page 4 IV. Théorème de Norton :
1. Enoncé du théorème :
Un circuit linéaire vue entre deux points A et B est équivalent à un générateur unique dont :
Le courant de court circuit Icc est celui que l’on mesure lorsqu’on court- circuite les deux bornes A et B.
La résistance interne RAB est celle que l’on mesure entre A et B lorsque toutes les sources de tension sont remplacées par des court-circuits et toutes les sources de courant sont remplacées par des circuits ouverts.
<=>
2. Exemple :
Soit le montage suivant :
Déterminer les éléments (Icc, RAB) de Norton entre A et B.
Application numérique : R = 10Ω, I = 6Ω, E = 20V Réponse :
Calcul de RAB : RAB = Req = R = 10Ω
Calcul de Icc=In :
On appliquant la loi des nœuds on trouve : I = Icc + I1
Avec I1 =
Donc I = Icc + ⇒ Icc = I - ⇒ Icc = 4A 3. Equivalence entre thévnin et Norton:
I = Icc - U = Eth – Rth.I
⇒ I =
linéaire
B A
Circuit
In=Icc A
Rn
B
A
R R
I E
B
B A
R R
Icc A
R
B I1
E R
I
In=Icc A
Rn I
U
B A
Rth I
B Eth
U
Prof : Bergam Mjid Page 5 V. Théorème de superposition:
Ce théorème est disponible lorsqu’un montage comporte plusieurs générateurs.
1. Enoncé :
La tension entre deux points A et B d’un circuit électrique est la somme algébrique des tensions que produise entre A et B chaque générateur lorsque les autres sont remplacés par leurs résistances internes.
2. Exemple :
Q : calculer UAB en utilisant le théorème de superposition
R R R R R R R R R
R R R R R R R R R
et
VI. Théorème de Milman :
Ce théorème est indispensable lorsque le circuit électrique contient plusieurs générateurs. Soit le montage :
1) Remplacer chaque modèle de thévnin par un modèle de Norton.
2) Calculer U = f (E1, E2, …, En, R1, R2, …, Rn)
R2 ... Rn
E2 ...
E1 En
A
B R1
B E2 A E1
R3 R2
R1
B E2 A
UAB1 R3 R2
R1
B E1
A
UAB2 R3 R2
R1
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<=>
R
et Donc
Exemple :
Soit le montage suivant :
VII. Association des résistances : 1. Dipole équivalent :
Le dipole équivalent à un ensemble des dipoles unique qui aurait exactement la meme caractéristique U(t) que l’ensemble considéré.
2. Association série :
U = U1 + U2 U = Req. I
U1 = R1.I
U2 = R2.I donc Req = R1 + R2 Donc U = (R1 + R2). I
Regle: la résistance équivalente à la mise en série de deux ou plusieurs résistances égale à la somme algébrique des valeurs des résistances.
...
En/Rn Rn
E1/R1 E2/R2
A
B R2
R1
I
Req
E1/R1 Rn
...
A R2
B R1
E2/R2 ...
En/Rn
UAB R3
E2 R2 R1
R
E1 E3
A
B
U1 U
R2
U2 I R1
I Req
U
Prof : Bergam Mjid Page 7 2.1. Diviseur de tension :
Soit deux résistances R1 et R2 en série alimentées par une tension U comme montre le montage.
On a U1 = R1. I Et Soit donc
Exemple : le potentiomètre :
Calculer U1 = f (U, a) et U2 = f (U, a) Réponse :
On applique le diviseur de tension :
3. Association parallèle :
R R
Donc
Avec t t
G est appelée conductance.
A
U2
Req U
U1
R1
B
R2 I
(1- a)P aP U
U2 U
U1 R1
R2
R1 I1
R2 I
I2 U
I
U
Req
Prof : Bergam Mjid Page 8 Régle : La conductance équivalente à la mise en parallèle de deux ou plusieurs
conductances égale à la somme algébrique des conductances.
3.1. Diviseur de courant : Soit le montage suivant :
Question : calculer I1 = f (I) I2 = f (I)
Réponse:
On a
=>
Donc
Et
4. Théorème de Kennely :
Le théorème de Kennely permet de passer d'un schéma en triangle à un schéma en étoile et inversement :
R1 I1
R2 I
I2 U
Prof : Bergam Mjid Page 9 Remarque : le theoreme de kennely est utiliser pour faire la simplification des shemas.
