Chapitre 8 Fonctions g´en´eratrices

Chapitre 8

Fonctions g´en´eratrices

Plan

1. D´efinitions et op´erations ´el´ementaires 2. Applications

R´esolution de r´ecurrences D´enombrements

Lectures conseill´ees :

I MCS, Chapitre 15

I R. Sedgewick et P. Flagolet,Analysis of Algorithms, Addison-Wesley, 1995.

http://aofa.cs.princeton.edu/.

I Cours “Analyse de structures de donn´ees et d’algorithmes” de C. Lavault http://lipn.univ-paris13.fr/~lavault/Polys/Polymath.pdf

Introduction

Les fonctions g´en´eratrices forment un lien entre l’analyse math´ematique des fonctions `a valeurs r´eelles, et les probl`emes portant sur less´equences.

Motivation : Utiliser les fonctions g´en´eratrices pour r´esoudre des r´ecurrences et des probl`emes de d´enombrement d’ensembles.

Notation : Dans ce chapitre, on d´enotera less´equencesen utilisant les symboles h. . .i.

D´efinition

D´efinition :Lafonction g´en´eratrice ordinairecorrespondant `a la s´equence infiniehg0,g1,g2,g3, . . .i est las´erie formelle

G(x) =g0+g1x+g2x²+g3x³+· · ·= X1 n=0

gnxⁿ.

Notations :

I hg0,g1,g2,g3, . . .i !g0+g1x+g2x²+g3x³+· · ·

I [xⁿ]G(x) est le coefficient de xⁿ dans la s´equence g´en´er´ee parG(x).

Remarque : Les fonctions g´en´eratrices ne seront que tr`es rarement

´evalu´ees. Dans ce chapitre, les questions de convergence n’ont donc en g´en´eral pas d’importance.

Exemples :

I h0,0,0,0, . . .i !0 + 0x+ 0x²+ 0x³+· · ·= 0

I h1,0,0,0, . . .i !1 + 0x+ 0x²+ 0x³+· · ·= 1

I h3,2,1,0, . . .i !3 + 2x+ 1x²+ 0x³+· · ·= 3 + 2x+x²

Rappel : 1 +z+z²+z³+· · ·= X1 n=0

zⁿ= 1 1 z.

On a donc :

I h1,1,1,1, . . .i ! X1 n=0

xⁿ= 1

1 x

I h1, 1,1, 1, . . .i ! X1 n=0

x²ⁿ

! ₁ X

n=0

x²ⁿ⁺¹

!

= X1

n=0

x²ⁿ

! x

X1 n=0

x²ⁿ

!

= 1 x

1 x² = 1 1 +x

I h1,a,a²,a³, . . .i ! X1 n=0

(ax)ⁿ= 1 1 ax

I h1,0,1,0,1,0, . . .i ! X1 n=0

x²ⁿ= 1 1 x²

Multiplication par une constante

Propri´et´e : Sihf0,f1,f2, . . .i !F(x), alors

hcf0,cf1,cf2, . . .i !c ·F(x).

D´emonstration :

hcf0,cf1,cf2, . . .i ! X1 n=0

cfnxⁿ

= c

X1 n=0

fnxⁿ = c·F(x)

Addition

Propri´et´e : Si

hf0,f1,f2, . . .i !F(x) et hg0,g1,g2, . . .i !G(x), alors hf0+g0,f1+g1,f2+g2, . . .i !F(x) +G(x).

D´emonstration :

hf0+g0,f1+g1,f2+g2, . . .i ! X1 n=0

(fn+gn)xⁿ

=

X1 n=0

fnxⁿ

! +

X1 n=0

gnxⁿ

!

= F(x) +G(x)

Exemples

I Multiplication par une constante :

h1,0,1,0,1,0, . . .i !1 +x²+x⁴+x⁶+. . .= 1 1 x² En multipliant la fonction g´en´eratrice par 2 :

h2,0,2,0,2,0, . . .i !2 + 2x²+ 2x⁴+ 2x⁶+. . .= 2 1 x²

I Addition :

h 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . . i ! ₁¹_x

+ h 1, -1, 1, -1, 1, -1, . . . i ! _1+x¹

h 2, 0, 2, 0, 2, 0, . . . i ! ₁¹_x +_1+x¹

= ₁²_x2

D´ecalage vers la droite

Propri´et´e : Sihf0,f1,f2, . . .i !F(x), alors h0,0, . . . ,0

| {z }

k z´eros

,f0,f1,f2, . . .i !x^k ·F(x).

D´emonstration : h

k z´eros

z }| {

0,0, . . . ,0,f0,f1,f2, . . .i ! X1 n=0

fnx^n+k

= x^k X1 n=0

fnxⁿ = x^kF(x)

D´erivation et int´egration

Propri´et´e : Sihf0,f1,f2, . . .i !F(x), alorshf1,2f2,3f3, . . .i !F⁰(x).

D´emonstration :

hf₁,2f₂,3f₃, . . .i ! X1 n=1

nf_nx^{n 1}= d dx

X1 n=0

f_nxⁿ= d dxF(x)

Propri´et´e : Sihf0,f1,f2, . . .i !F(x), alors h0,f₀,^f₂¹,^f₃², . . . ,^f_nⁿ, . . .i !Rx

0 F(t)dt.

(D´erivation = multiplication par l’index et d´ecalage vers la gauche Int´egration = division par l’index et d´ecalage vers la droite)

Application

Exercice : Trouver une fonction g´en´eratrice pour la s´equence h0,1,4,9,16, . . .i.

R´eponse : SoitF(x) = 1

1 x. On a successivement

I h1,1,1,1, . . .i !F(x)

I h1,2,3,4, . . .i !F⁰(x)

I h0,1,2,3, . . .i !x·F⁰(x)

I h1,4,9,16, . . .i !(x·F⁰(x))⁰

I h0,1,4,9,16, . . .i !x·(x·F⁰(x))⁰.

En d´eveloppant, on obtienth0,1,4,9,16, . . .i ! x·(1 +x) (1 x)³ .

Produit

Propri´et´e :

Si ha0,a1,a2, . . .i !A(x) ethb0,b1,b2, . . .i !B(x), alors hc0,c1,c2, . . .i !A(x)·B(x),

o`u

cn=a0bn+a1bn 1+a2bn 2+. . .+anb0.

D´emonstration : SoientA(x) = X1 n=0

anxⁿ et B(x) = X1 n=0

bnxⁿ, on a

C(x) =A(x)·B(x) = X1 n=0

cnxⁿ.

Coefficientscn :

b0x⁰ b1x¹ b2x² b3x³ · · ·

a0x⁰ a0b0x⁰ a0b1x¹ a0b2x² a0b3x³ · · · a1x¹ a1b0x¹ a1b1x² a1b2x³ · · · a2x² a2b0x² a2b1x³ · · ·

a3x³ a3b0x³ · · ·

... · · ·

(hc0,c1,c2, . . .i est appel´ee laconvolution des s´equences ha0,a1,a2, . . .i et hb0,b1,b2, . . .i)

Sommes partielles

Propri´et´e : Siha0,a1,a2, . . .i !A(x),alors

hs0,s1,s2, . . .i ! A(x)

1 x o`u sn= Xn

i=0

ai pourn 0.

D´emonstration : On a :

h1,1,1, . . .i ! 1 1 x.

Par la r`egle du produit, le ni`eme terme de A(x)/(1 x) est donn´e par :

a0·1 +a1·1 +a2·1 +. . .+an·1 = Xn

i=0

ai.

Exemple : somme des carr´es

Supposons qu’on veuille calculersn= Xn i=0

i² (voir chapitre 5).

On sait que (cf. transp. 408) :

h0,1,4,9,16, . . .i ! x·(1 +x) (1 x)³ Par la propri´et´e pr´ec´edente :

hs0,s1,s2,s3, . . .i ! x·(1 +x) (1 x)⁴ snest donc le coefficient de xⁿ dans ^x₍₁^·(1+x)_x)4.

Extraction des coefficients

Propri´et´e (s´eries de Taylor) :Si F(x) est la fonction g´en´eratrice pour la s´equence

hf0,f1,f2, . . .i, alors

f0 =F(0), fn= F⁽ⁿ⁾(0)

n! pour n 1 D´emonstration :

Directe en d´erivantF(x) =f0+f1x+f2x²+. . ..

Exemple :

I F(x) = ₁¹_x ) ^F(n)_n!^(x) = _n!(1^n!_x)n+1 ) ^F(n)_n!⁽⁰⁾ = _{n!(1 0)}^n! n+1 = 1

I F(x) =e^x ) ^F(n)(0)_n! = _n!¹

Exemple : somme des carr´es

I Calculons le ni`eme terme de F(x) = x(1 +x)

(1 x)⁴ = x

(1 x)⁴+ x² (1 x)⁴.

I Par les propri´et´es d’addition et de d´ecalage vers la droite, le coefficient de xⁿ dansF(x) est donc le coefficient dex^{n 1} dans

1

(1 x)⁴ et le coefficient de x^{n 2} dans ₍₁¹_x)4.

I Soit G(x) = 1/(1 x)⁴,

G⁽ⁿ⁾(x) = (n+ 3)!

6(1 x)ⁿ⁺⁴ )G⁽ⁿ⁾(0)

n! =(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1) 6

I Finalement : Xn i=0

i²= (n+ 2)(n+ 1)n

6 +(n+ 1)n(n 1)

6 =(2n+ 1)(n+ 1)n 6

Formule de Newton g´en´eralis´ee

Soit la fonction g´en´eratrice F(x) = (1 +x)^↵, avec↵>0. On a : F⁽ⁿ⁾(x) =↵(↵ 1)(↵ 2). . .(↵ k+ 1)(1 +x)^{↵ k}, dont on d´eduit :

(1 +x)^↵ = X1 n=0

C_↵ⁿxⁿ

o`u

C_↵ⁿ= Qk 1

i=0(↵ i)

n! .

Dans le cas o`u ↵=k est un entier, on retrouve la formule du binˆome de Newton :

(1 +x)^k = Xk n=0

C_kⁿxⁿ, avec C_kⁿ= _{(k n)!n!}^k! .En d’autres mots :

Synth`ese : fonctions g´en´eratrices usuelles

(1 +x)^↵= X1 n=0

C_↵ⁿxⁿ 1

1 x = X1 n=0

xⁿ x

(1 x)² = X1 n=0

nxⁿ 1

(1 x)^↵+1 = X1 n=0

C_n+↵ⁿ xⁿ

ln(1 +x) = X1 n=1

( 1)ⁿ⁺¹ n! xⁿ

exp(x) =X

n=0

xⁿ n!

1

1 x =

X1 n=0

nxⁿ x²

(1 x)³ = X1 n=2

C_n²xⁿ x^m

(1 x)^m+1 = X1 n=m

C_n^mxⁿ

ln( 1 1 x) =

X1 n=1

xⁿ n

Exercice : prouvez les

Synth`ese : op´erations entre fonctions g´en´eratrices

SoitU(x),V(x), etW(x) des fonctions g´en´eratrices avec [xⁿ]U(x) =un, [xⁿ]V(x) =vn et [xⁿ]W(x) =wn.

wn=↵un+ vn , W(x) =↵U(x) + V(x) w_n=

Xn

k=0

u_{n k}v_k , W(x) =U(x)V(x) v_n=u_{n k} , V(x) =x^kU(x) vn=un un 1etvo= 0 , V(x) = (1 x)U(x)

v_n= Xn k=0

u_k , V(x) = U(x) 1 x v_n= (n+ 1)u_n+1 , V(x) = d

dxU(x) vn= u_{n 1}

n etv0= 0 , V(x) = Z x

0

U(t)dt