Chapitre8 : loi binomiale et problèmes Page 1
Chapitre 8 : loi binomiale et problèmes
Objectifs :
*Connaitre la définition et savoir reconnaitre une épreuve et un schéma de Bernoulli
* Connaitre la définition et savoir reconnaitre une loi binomiale
*Savoir calculer une probabilité à partir des coefficients binomiaux dans le cadre d’une loi binomiale.
*Savoir calculer l’espérance mathématique I. Schéma de Bernoulli
Définition : Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues que l'on peut nommer « succès » notée ou « échec » notée . On note p la probabilité de S. Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p est la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes.
Exemple : Dans un casino, le jeu de roulette est constitué de 18 secteurs rouges, 18 noirs et un vert.
Un joueur décide de ne miser que sur le rouge.
1) Quelle est la probabilité qu’il gagne ? Quelle est la probabilité qu’il perde ?
et On a ainsi définit une épreuve de Bernoulli de paramètre Pour les questions suivantes, on utilisera un arbre.
2) Le joueur joue 2 parties de suites.
a) Quelle est la probabilité qu’il perde les 2 parties ? b) Quelle est la probabilité qu’il gagne les 2 parties ?
c) Combien de chemins de l’arbre conduisent à « le joueur gagne une seule partie » ? d) Quelle est la probabilité qu’il gagne une seule partie ?
3) Le joueur joue 3 parties de suites.
a) Quelle est la probabilité qu’il perde les 3 parties ? b) Quelle est la probabilité qu’il gagne les 3 parties ?
c) Combien de chemins de l’arbre conduisent à « le joueur gagne une seule partie » ? d) Quelle est la probabilité qu’il gagne une seule partie ?
Chapitre8 : loi binomiale et problèmes Page 2 e) Combien de chemins de l’arbre conduisent à « le joueur perd une seule partie » ?
f) Quelle est la probabilité qu’il perde une seule partie ?
4) Donner le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de succès et calculer l’espérance dans les cas ou le joueur joue 2 parties et 3 parties.
Que constate-t-on ?
5) Quelle information manque-t-il pour déterminer la probabilité qu’il perde une seule partie en 4,5,6,7,… parties de suites sans faire d’arbre ?
Exercices : 10à12,14,16à18p210 Hyperbole ES/L 2011 Nathan II. Loi binomiale
Définition : On réalise un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. Soit X le nombre de succès obtenus. On dit que X est la variable aléatoire associée à ce schéma. Si k est un entier compris entre 0 et n, l’événement « on a obtenu k succès » est notée {X=k} et la probabilité de cet
événement est notée P(X=k). On dit que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p.
Définition : Soit un entier naturel non nul, n, et k un entier compris entre 0 et n.
Le coefficient binomial est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli.
Chapitre8 : loi binomiale et problèmes Page 3 Propriété : Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n :
Propriété : L'espérance d'une loi binomiale de paramètre n et p est : E(X) = n x p
Exemple : Lors de l’examen du code de la route, 40 questions sont posées sous forme de QCM. Pour chaque question, une seule des 4 réponses est exacte.
1) Quelle est la probabilité de répondre à exactement 36 questions justes ? 2) Quelle est la probabilité de répondre à plus de 36 questions justes ? 3) Quelle est la probabilité de répondre à au moins 36 questions justes ? 4) Quelle est la probabilité de répondre à moins de 36 questions justes ? 5) Quelle est la probabilité de répondre à au plus 36 questions justes ?
6) A combien de questions peut on espérer avoir juste en moyenne en répondant au hasard ?
Chapitre8 : loi binomiale et problèmes Page 4 A la calculatrice:
Pour obtenir le coefficient binomial : On utilise le mode de calcul de la calculatrice.
Rentrer la valeur du n de l’énoncé
Faire puis aller dans Prb et choisissez 3 : nCr (combinaison sur certains modèles)
Rentrer la valeur du k de l’énoncé et appuyer sur
Voici un exemple d’affichage (pour n=5 et k=3):
Pour obtenir la probabilité P(X=k) :
Dans , accéder à la fonctionnalité suivante : puis entrer n,p,k en
utilisant la vrai virgule :
Pour obtenir la probabilité P(X k) : Dans le catalogue, accéder à la fonctionnalité
suivante : puis entrer n,p,k.
Pour obtenir le coefficient binomial : On utilise le mode Run de la calculatrice.
Rentrer la valeur du n de l’énoncé
Faire puis pour accéder au catalogue des fonctionnalités. Appuyer sur C pour obtenir
la liste commençant par C.
Choisir le C . Rentrer la valeur du k de l’énoncé et appuyer sur
Voici un exemple d’affichage (pour n=5 et k=3):
Pour obtenir la probabilité P(X=k) : Dans le catalogue, accéder à la fonctionnalité
suivante : puis entrer k,n,p en utilisant la vrai virgule :
Pour obtenir la probabilité P(X k) : Dans le catalogue, accéder à la fonctionnalité
suivante : puis entrer k,n,p.
Exercices :
19,21à23p211+24à27,29,31,32p212+33,35,37,39p213+40p214+44p215+46,48p216+51p217+69p220+
72p221 Hyperbole ES/L 2011 Nathan Exercices supplémentaires :
p200,203,205,207à209+13,15p210+20p211+28,30p212+p218,219Hyperbole ES/L 2011 Nathan
