SOLUTION BV POUR UNE CLASSE D'EQUATIONS D'EVOLUTION DANS LES ESPACES DE HILBERT

SOLUTION BV POUR UNE CLASSE D'EQUATIONS D'EVOLUTION DANS LES ESPACES DE HILBERT

Reçu le 27/06/1999– Accepté le 15/04/2002

Résumé

Dans ce travail, on montre l'existence de solutions à variation bornée continue à droite pour un problème d'évolution concernant le sous différentiel d'une fonction convexe, propre, semi-continue inférieurement dans un espace de Hilbert.

Mots clés: Problème d'évolution, variation bornée, sous-différentiel, semi- continuité inférieure.

Abstract

This work is devoted to an existence result for bounded variation right continuous solution of an evolution problem for the sub-differential of a proper convex lower semi-continuous function in a Hilbert space.

Key words: Evolution problem, bounded variation, sub-differential, lower semi- continuous.

M.S.C. (1991): 34A60, 34G20, 35K22.

e travail est consacré à l'étude d'une classe de problèmes d'évolution non linéaires pour des inclusions différentielles de la forme:

 











 



) 0

0 (

0 sur ))

( ( x u

T , .

p . p dr t

u , t ) t r(

u 

(P) où (t,.)est le sous-différentiel d'une fonction (t,.)convexe, propre, semi-continue inférieurement, définie sur un espace de Hilbert H, dr est une mesure positive de Stieltjes sur ^{I }

 

^0,T d'une fonction

 



 0, :I

r non décroissante continue à droite, telle que r(T). Il est bien connu que A(t,.)(t,.)est un opérateur maximal monotone.

Plusieurs auteurs ont étudié ce type de problème dans le cas où dt

dr est la mesure de Lebesgue, dans le cas général d'un opérateur maximal monotone [1-3] lorsque A(t,.)(t,.)[4,5] et surtout dans le cas particulier du processus de Rafle où (t,.)est la fonction indicatrice d'un ensemble convexe fermé (voir [6] et ses références). Peralba [5] a obtenu un théorème d'existence d'une solution absolument continue

)

(drdt en supposant que la fonction duale de(t,.)est contrôlée par une fonction absolument continue:

) ( ) ( ) ( ) , (

* ) , (

* tu  su ku at as



k étant une fonction Lipschitzienne et a absolument continue. Kunze et Marques [2] ont généralisé ce résultat en établissant l'existence de solutions à variation bornée pour le problème:

 









 



) 0

0 (

0 sur ))

( ( ) (

x u

T , .

p . p dr t

u , t A r t u

(P') où A est un opérateur maximal monotone. La mesure positive est la mesure de Stieltjes d'une fonction non décroissante et continue à droite,

C

صخلم

يف ريغت وذ لح دوجو نع نهربن لاقملا اذه

نم رمتسم دودحم نيميلا

ةقلعتم ةيروطت ةلأسمل

نم رمتسم فصن يتاذ بدحم عباتل يتحتلا لضافتلاب لفسلأا يف .ترابليه ءاضف

تاملكلا ةيحاتفملا ،دودحم ريغت ،ةيروطت ةلأسم :

.لفسأ نم رارمتسا ،يتحت لضافت

M. YAROU D. AZZAM

Département de Mathématiques Centre universitaire de Jijel Jijel, Algérie

en supposant que la variation de A(.)est contrôlée par dr au sens suivant:

T t s )

s ( r ) t ( r ,.)) s ( A ,.), t ( A (

dis   0   (1)

où dis(.,.)est la pseudo-métrique introduite par [3]:











   







  : ( ), ( ), 1,,2 1

) , , (

2 1

1 2 2 2 1

1 x DA y A x i

y y

x x y Sup y A A

dis _{i i i i i}

avec la condition:

 

0 ( ( )) pour t

) 1 )(

( )

0(t,u ct u ,T , u D At

A    

) ,

0(tu

A étant l'élément de norme minimale de A(t,u). Dans ce papier, on montre l'existence d'une solution à variation bornée continue à droite pour A(t,.)(t,.)et drla mesure de Stieltjes en exploitant les arguments développés dans [2] et en utilisant la technique de régulation de Yosida comme dans [5], c'est-à-dire étudier le problème régularisé (univoque), puis majorer les dérivées des solutions des équations régularisées et faire un passage à la limite (0).

NOTATIONS ET PRELIMINAIRES

On considère un espace de Hilbert H muni du produit scalaire .,. et de la norme associée  .,I

 

0,T et









 ,

: ,.)

(t I H

 une fonction convexe propre

semi-continue inférieurement; A(t,.)(t,.): D(A(t,.)) H2H

 est le sous-différentiel de (t,.) de domaine ,.)

(

* ,.)), (

(At t

D  la fonction duale de (t,.) définie par



u,v (t,v):v H



Sup ,.) t (

*    

 . Pour tout0,

l'opérateur régulariséA(t,.)(approximation Yosida de )

(t

A ) défini sur H tout entier par A_(t,.) _¹(IJ_(t))(.) est univoque et Lipschitzien de rapport _¹ ,

,.))1

( ( )

(t  I At ^

J_  étant la résolvante deA(t,.)et on a (voir [5]):

 

^u

u prox prox

prox u ) u , t ( ) u (, A

. *t,.

, t

*

,.) t

*(

  









 



 

1 1

1













 



où _⁽t^,u⁾^inf_vH



21_ uv ²⁽t^,v⁾



et prox_fudésigne le point proximal de u par rapport à f, c'est-à-dire l'unique point où la fonction v₂¹ vu² f(v)atteint son minimumA⁰(t,u)A(t,u)désignera l'élément de norme minimale de A(t,u), A⁰(t,u) dist(0,A(t,u)). On se réfère à [1] pour les différentes définitions et propriétés des opérateurs maximaux monotones.

La variation var(u,I)d'une fonction u:IHest le suprémum sur l'ensemble de toutes les subdivisions de I des nombres



ⁿ_i₁u(t_i)u(t_i₁) ; u est à variation bornée (VB)

si sa variation var(u,I)est finie. On écrira u VBCD si u est à variation bornée continue à droite. On dira que

H I

u:  est solution de (P) si u(t)D(A(t,.))pour tout

 

^T

t0, et s'il existe une densité u'L¹(I,H,dr)de du par rapport à dr vérifiant (P).

Remarquons que l'unicité résulte classiquement de la monotonie de A(t,.)et rappelons quelques résultats utiles pour établir le théorème d'existence: une version discrète du lemme de Gronwall [2] et le lemme de Crandall et Pazy sur la convergence des suites dans un espace de Hilbert [5].

Lemme 1. Soient (a_i),(_i),(_i) et ( a_i) des suites de nombres réels non négatifs vérifiant pour tout iN,

i i i

i i

i a a a

a_1 ( ₀... _1)(1) , alors







 









 

^







1 0 1

0

exp ^j

k k k

j

k k

j k

a    pour jN

Lemme 2. Si (z_n)est une suite d'éléments d'un espace de Hilbert, (_n) une suite strictement décroissante de réels positifs vérifiant z_nz_m,_nz_n_mz_m0,n,mN alors la suite

 

^z_n est croissante; si de plus elle est bornée, la suite (z_n)converge dans H.

THEOREME D'EXISTENCE Problème régularisé

Considérons le problème régularisé qui se présente sous la forme suivante:













 ) 0

0 (

)) ( , ( x u

t u dr t

du





 

) (P_

pour tout0. Soit (_n)

 

0,1 une suite décroissante de réels positifs tendant vers zéro. En vertu de [7] (lemme 1), il existe une suite (P_n) de partitions finies de

T t t t t

I _iⁿ _{i v} ^{n n} _vⁿ

n

n     



 ,0 ...

) (

: _{0 0 1} , 0t_iⁿt_iⁿ_1_n,

n n i n

i rt

t

r( ) ( _1) , 1iv_n, nN En partant de x₀, construisons la suite:

 

























 n n

i n i n i n i n

i n i

n

v i

x t A t r t r x x

x x

,..., 0 ), , ( ) ( )

( _{1 1 1}

1 0 0



(3)

Posons A_(t_iⁿ_1,x_iⁿ_1)y_iⁿet définissons les fonctions suivantes [8]: _n :I I, Y_n:I Het X_n:IH définies pour tout ^t

 

^t_iⁿ_-1^,t_i^{n ,} i1,...,vn:

in n n(0)0  (t)t

 (4) in

n n

n y Y t y

Y (0) ₁ () (5) in in in

n

n x X t x r t r t y

X (0) ₀ () ( () ( _1)) (6) On a: 0_n(t)t_n

(2)

On déduit que:

()   () ( )

,

0 0 Y sdrs

x t

X n t n

n ^{ }



(7)

 

n iⁿ n i

i n i

n i n n i

i n n n i

i

n t t t

t r t r

x t x

X t A y t

Y , ,

) ( ) )) ( ( , ( )

( ₁

1 1 1

1 



 

  



 





 _

Etablissons deux propositions qui nous seront utiles

pour la suite.

Proposition 3. Supposons pour tout (s,t) tels que T

t s 



0 , et uH,

)) ( ) ( ( ) , (

* ) , (

* t u  s u  u rt rs

 (9)

Alors0,vH, on a:

)) ( ) ( 2( ) ( )

(t,v A s,v rt r s

A   

 

 (10)

Preuve.

Posons^p(^t) ^prox^*

 

^t,_^{. v} et ^(t,u)₂^{1uv2}



^*

 

^t,_^u



^.

On a (t,p(t))Min



(t,u),uH



, donc0(t,p(t)) qui s'écrit aussi ^{v p(t) }



^*

 

^t,_^.



^{p(t), d'où}

 

_ ^

 

_

 t ^pt t ^u t

p u t p

v (), ()) * , * ,

(    ⁽⁾  et donc

2

12 ()

)) ( , ( ) ,

(tu t pt  u pt

 .

D'après l'hypothèse, on a alors:

 

 

 



^{* ,}



^{- ( () ( ))}

,

* )

, (

2 u 21

2 21

s r t r t

v u

s v

u u s

u u

































(t,p(t))¹₂up(t)²u(r(t)r(s))

^₂^{1 p(t)v2}



^*

 

^t,p_^(t)



^1₂ ^{up(t)2u(r(t)r(s))}

 

 

)) ( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ( ) (

,

* )

(

2 2

1 ) ( 2

21

s r t r u t p u s r t r t p

s v

t

p ^pt

















  _

 

 

 

₂^{1 2}

) 2 (

2 1

) ( ))

( ) ( ( ) ( -

,

* )

(

t p u s r t r t p u

s v

t

p ^pt













  _



⁽⁾



^{( () ( ))} ₂^{1 ()2}

)) ( , ( ) ,

(su s pt  u  pt rt rs  upt



Comme (s,p(s))(s,p(t)), en prenant u p(s) dans la dernière inéquation, on obtient:

 

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 2

)) ( ) ( ( ) ( ) ( 2 ) ( )

( ²

s r t r s p t p

s r t r s p t p s

p t p















D'où l'on tire p(t)p(s) 2(r(t)r(s))et finalement l'inégalité recherchée.

Remarque 4.

Si on suppose *(t,x)*(s,x) T

t s , s r t

r() ( )) 0  

( , on obtient

)2

, ( ) ,

(t v A s v

A_  _ _⁴(r(t)r(s)). Proposition 5. Supposons pour tout

, ,

,...,

0 v n N

i _n   0,



iⁿ



n i n

i x ct x

t

A_( , )  ()1

(11) alors il existe une constante positive K tel que pour tout i=

0,…,vn

1



^{( ) (} n1⁾



n i n i

n i n i

i K, x x K r t r t

x   _   _ (12)

 



T



dr K x

x Sup X

SupVar K X

Sup

in in v n i n

n n n

n 0,

) (

,

1 1

 



 





 



(13)

)) ( ) ( ( ) ( )

(t X s Krt rs

X_n  _n  

Preuve. Remarquons que pour éviter plus de technique de calcul, on peut supposer c(t)constante, quitte à l'approximer par une suite de fonctions étagées ([9], lemme 3.3.1). Posons r(t_iⁿ)r(t_iⁿ_1)_iⁿOn a:

 

n



iⁿ



n i n i n i

n i n i

n i

i x rt r t A t ,x c x

x  _1  ( ) ( _1) _( _{1 1})  1 _1 Donc

   

iⁿ

n i n

i n i n i n i n

i  x_ c 1 x_  x_ 1c c

x _{1 1 1}

Ce qui assure, d'après la version discrète de l'inégalité de Gronwall pour a_i x_iⁿ_1 , que:

 



  

^ 



 



 ₀ ⁱ_k¹_{0 k}ⁿ₁ exp ⁱ_k¹_{0 k}ⁿ₁

n

i x c c

x  

 

 



x₀ c.dr 0,T



exp



c.dr

  

0,T

 



Si on pose k



x₀ c.dr

  

0,T

 

exp



c.dr

  

0,T

 

, on déduit que x_iⁿ k.

De plus, (1 )

) ( )

( ₁

1 c k

t r t r

x x

n i n i

n i n

i  







 , donc de (8), on a

 

T t k c t

Y_n()  (1 ),  0, etX_n(t) x₀f _0t, Y_n(s)dr(s)

 



t,



dr ) k ( c

x₀  1 0 .

Par conséquent, Sup_nX_n x₀ c(1k)dr

  

0,T



k'. D'autre part, x_iⁿx_iⁿ_1 c_iⁿ(1k)_,

d'où

 

_  





 

_ 



 _n ^v_iⁿ _iⁿ _iⁿ _n ^v_iⁿ _iⁿ

n

nX Sup x x Sup c k

SupVar( ) _{1 1 1} (1 )

 



,T



dr k c k

c(1 ) ^v_iⁿ_{1 i}^k  (1 ) 0





_^{ .}

Et Xn(t)^Xn(s) ^



 st, Yn()dr()^



 _st, Yn()dr()^ ))

( ) ( ( ) 1

( k rt rs

c  

 .

   

 















































 n

n v n v

n v n v

n n n

n n n

n n

n n n

n n n

n n

n

n n n

n y t t ,t

t r t r ...

y t r t r x ...

t , t t y t r t r y t r t r x

t , t t y t r t r x t X

1 1

1 0 1 0

2 1 2

1 1

0 1 0

1 0 1

0 0

, )) ( ) ( ( ))

( ) ( (

...

...

...

)) ( ) ( ( )) ( ) ( (

)) ( ) ( ( )

(

(8)

(14)

En prenant KSup(k,k,'c(1k)), on a les résultats recherchés.

Donc (X_n) est une suite de fonctions VBCD uniformément bornées (en variation et en norme). En vertu de ([6], lemme 0.2.1), X_n(t)converge faiblement vers une fonction X(t)pour^t

 

^0,T ; en particulier: X(0)x₀.

Et, en prenant la limite inf dans (14), on a:

)) ( ) ' ( ( ) ( ) '

(t Xt Krt rt

X    .

En plus, de façon analogue à ([4], lemme 1), on a:

)) ( , ) (

( ) ) ( ) ( ) (

( _{1 1}

1 1

' n

i n n n i

n i i

in in n n

n A t X t

t r t r

x t x

dr Y t t dX

X _{ }



 



 



 _

pour

 

n iⁿ i t t

t _1, et Xn^'(0)0 avec X_n K nN

 ,

' .

Par conséquent, (X^'_n)L²(I,H,dr)est bornée et converge donc faiblement vers Z dans L²(I,H,dr). D'autre part, on a, pour tout, H, ,X(t)X(0) 

 

 

t dX X

t

X_{n n n}

n , () (0) lim . 0,

lim _    _

 



 



 



^{ }

 _

t t n

t

n X dr Z dr Zdr

, , 0

' 0 ,

0 , 1 , ,

1

lim   

Donc

 

     

 Zdr Zdr

  

t



X t X t dX t dr X

t ( ) 0,

) 0 ( ) ( , 0 ,

0 ) ' (

,

0 











pour t

 

0,T i.e X'Zdrp.p.dans I, et donc X_n^' X' faiblement.

Montrons que X_n X fortement uniformément sur I .



^t_i^{n t,}_iⁿ

 

^tm_j ^t,m_j

 

^tm_j ^t,m_j

 

^t_i^nt,_iⁿ



t : N j , i , I

t    _1  _1 avec _1  _1



pour n<m. On a:

) ,

1 (

1 n

n i n i n i n i

i x A t x

x_  _{ } et x_iⁿ A_(t_iⁿ,x_iⁿ)J_(t_iⁿ)x_iⁿ.

) ( )

1 (

1 n

n i m i

m j m j

n j i

'm 'n

m m n

n

x , t A x , t A , x x

) t ( X ) t ( X )), t ( ( X )) t ( ( X





























 x_iⁿ x^m_j ,A_(t^m_j ,x^m_j ) A_(t_iⁿ,x_iⁿ)

 _iⁿ_1A_(t_iⁿ,x_iⁿ)^m_j1A_(t^m_j,x^m_j),A_(t^m_j,x^m_j)A_(t_iⁿ,x_iⁿ) )

, ( ) , ( ), , ( ) ,

(t_iⁿ x_iⁿ A t^m_j x^m_j A t^m_j x^m_j A t_iⁿ x_iⁿ

A_  _{  }

  



 J_(t_iⁿ)x_iⁿJ_(t^m_j)x^m_j,A_(t^m_j,x^m_j)A_(t_iⁿ,x_iⁿ)

 _iⁿ_1A_(t_iⁿ,x_iⁿ)^m_j1A_(t^m_j,x^m_j),A_(t^m_j,x^m_j)A_(t_iⁿ,x_iⁿ) A_(t^m_j,x^m_j)A_(t_iⁿ,x_iⁿ)²

 J_(t_iⁿ)x_iⁿJ_(t^m_j)x^m_j,A_(t^m_j,x^m_j)A_(t_iⁿ,x_iⁿ) _iⁿ_1A_(t_iⁿ,x_iⁿ)^m_j1A_(t^m_j,x^m_j),A_(t_iⁿ,x_iⁿ)A_(t^m_j,x^m_j)

Par suite:





 ( ()), () () ))

(

( t X t X^' t X^' t

X_n_{n m}_{m n m}

 J_(t_iⁿ)x_iⁿJ_(t^m_j)x^m_j,A_(t^m_j,x^m_j)A_(t_iⁿ,x_iⁿ) 

 _iⁿ_1A_(t_iⁿ,x_iⁿ)^m_j1A_(t^m_j,x^m_j),A_(t_iⁿ,x_iⁿ)A_(t^m_j,x^m_j) En tenant compte de la définition de la pseudo- métrique, nous avons:





 ( ) , ( , ) ( , ) )

(t_iⁿx_iⁿ J t^m_j x^m_j A t^m_j x^m_j A t_iⁿ x_iⁿ

J_{   }



^{1 ( ) ( )}



^{( (} n^{) ( m}j ⁾⁾ m i

m j n j

n i

i ,x A t ,x dis At ,At t

A_  _



 .

De plus, il est facile de voir que la condition (7) implique (pour tout u 1) que dis(A(t_iⁿ),A(t^m_j ))

) ( ) (t^m_j rt_iⁿ

r 

 et, en utilisant (15), on obtient:

)).

( ) ( )(

2 1 (

) ( ) ( ) ( )

(

in mj

in in mj

mj mj mj in

in

t r t r K

x , t A x , t A , x t J x t J











 _{  }



D'autre part, on a:



_i^{n m}_j



mj mj in

in mj mj mj in in in

K

x , t A x , t A , x , t A x

, t A

1 2 1

1 1

2

) ( ) ( ) ( )

(























 _{   }

Par conséquent:

 

^K



^{r t r t}



^.

K

t X t X , t X t X

in mj mj

in

'm 'n

m m n

n

) ( ) ( ) 2 1 ( 2

) ( ) ( )) ( ( )) ( (

1

2 1   











 







De plus, on a:



^{( ()}



2 ) ( ) ( )), ( ( )

(t X t X^' t X^' t K²r t ₁ rt

X_n  _n _{n n}  _m  _iⁿ_ 



^{( ()}



2 ) ( ) ( ), ( )) (

( t X t X^' t X^' t K²r t ₁ r t

X_m_m  _{m n}  _m  ^m_j  .

Finalement:

) ( ) ( )), ( ( ) (

) ( ) ( ), ( ) (

' ' '

'

t X t X t X t X

t X t X t X t X

m n

n n n

m n

m n















) ( ) ( )), ( ( )) ( (

) ( ) ( ), ( )) ( (

' '

' '

t X t X t X t X

t X t X t X t X

m n

m m n

n

m n

m m

m



















 



^{( ) ( )}



⁽⁾

) 2 1 (

) ( ) ( ) ( ) ( 2

,

1 1 1

2 1

t t

r t r K

t r t r t r t r K

m n n

m i j

mj in mj

in

























 _{   }

Il est clair que _n,m(t)est uniformément borné et 0

) ( lim_n,m_n,m t  .

En appliquant la formule de Moreau,d²2^d^, avec X_n X_m, ddX_ndX_m, ^d_dr^X_n^' X_m^' et

) 0

0 ( ) 0

( X x

X_n  _m  , on obtient:

 



^



^

_

_{ }













t m

n

d t

t t

X t X

, 0

2 12

2 2

21

2 2 2 2 1 2

1

) 0 ( ) ( ) ( ) (

) 0 ( ) ( )

( ) (











   

  ^{X X X X dr} d d

t n m n m

t t















 ^{ }

, 0

' ' , 0 ,

0

,







 (15)