Existence de solutions pour une classe d'inclusions différentielles

Table des mati` eres

0 Introduction g´ en´ erale 2

1 Notations et pr´ eliminaires 5

1.1 Notations . . . . 5

1.2 Quelques notions de mesurabilit´ e . . . . 6

1.3 La distance de Hausdorff . . . . 9

1.4 Multi-applications et s´ elections . . . . 11

1.5 Mesurabilit´ e des multi-applications . . . . 12

1.6 Multi-applications Lipschitziennes et pseudo-Lipschitziennes . . . . 19

1.7 Concepts de continuit´ e des multi-applications . . . . 19

1.8 Quelques r´ esultats de convergence . . . . 21

1.9 Quelques r´ esultats de compacit´ e . . . . 22

1.10 Lemme de Gronwall . . . . 22 2 Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur

maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne 24 3 Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur

maximal monotone et une perturbation pseudo-Lipschitzienne 53

Chapitre 0

Introduction g´ en´ erale

La th´ eorie des ´ equations diff´ erentielles (univoques et multivoques) d’´ evolution non lin´ eaire, ceux qui sont r´ egis par la classe des op´ erateurs maximaux monotones a ´ et´ e l’objet de nombreuses ´ etudes faites dans les derni` eres ann´ ees. Comme connue de la th´ eorie de Hill- Yosida, qu’ ´ etant donn´ ee une condition initial u <sub>0</sub> ∈ D(A), il existe une solution univoque du probl` eme

(1)



 

 

˙

u(t) = −Au(t) + f (t), t > 0, u(0) = u ₀ ,

o` u A : D(A) ⊂ H → H est un op´ erateur univoque maximal monotone sur un espace de Hilbert et f ∈ C ¹ _H ( R ).

Dans le cas multivoque, c’est ` a dire, pour des inclusions diff´ erentielles, les probl` emes gouvern´ es par les op´ erateurs maximaux monotones trouvent leurs motivations dans diff´ erents domaines, en m´ ecanique, ´ elastoplasticit´ e, contrˆ ole optimal, ´ econom´ etrie, etc...et englobent diff´ erentes classes de probl` emes diff´ erentiels. Ce type a ´ et´ e ´ etudi´ e lorsque A ne d´ epend pas du temps, par H. Br´ ezis (voir [13]) qui a utilis´ e la m´ ethode de r´ egularisation de Yosida pour d´ emontrer l’existence d’une solution univoque Lipschitzienne de l’´ equation

− u(t) ˙ ∈ Au(t) + f (t) p.p.t ∈ [0, T ],

o` u f ∈ L <sup>1</sup> <sub>H</sub> ([0, T ]), appel´ ee perturbation du probl` eme. Mitieri et Vrabi [22] on montr´ e

0. Introduction g´ en´ erale

l’existence de solution int´ egrale dans un espace de Banach. Le travail de Br´ ezis ` a ´ et´ e g´ en´ eralis´ e par Attouch and Damlamian [2], o` u la perturbation univoque a ´ et´ e remplac´ e par une multi-application F semi-continue sup´ erieurement ` a valeurs convexes de la forme

(2)



 

 

− u(t) ˙ ∈ Au(t) + F (t, u(t)), p.p. t ∈ [0, T ], u(0) = u ₀ ,

et a ´ et´ e ´ etudi´ e par de nombreux auteurs (voir [11], [13] et [23], principalement pour le cas o` u F est ` a valeurs convexes).

L’existence de solutions du probl` eme (2) pour F semi-continue inf´ erieurement a ´ et´ e prouv´ e par Colombo, Fonda et Ornelas [15], et par Mitidieri and Vrabie [22], dans un espace de dimension finie et infinie respectivement.

Dans le cas o` u A d´ epend du temps, Ahmed Gamal [2], a trait´ e le probl` eme (2), en prenant comme perturbation une multi-application uniform´ ement continue et ` a valeurs non vides compactes, et dans [21], les auteurs ont montr´ e l’existence de solution ` a variation born´ ee et absolument continue pour le probl` eme sans perturbation avec une condition utilisant une pseudo-distance.

Ce m´ emoire est consacr´ e ` a l’´ etude de l’existence de solution pour les probl` emes d’´ evolutions gouvern´ es par les op´ erateurs maximaux monotones avec des perturbations v´ erifiant des conditions de Lipschitz. Il comprend trois chapitre.

Le premier chapitre rappelle les notions essentielles et les r´ esultats de base concernant les multi-applications, que nous avons utilis´ e tout au long de ce travail.

Le deuxi` eme chapitre est consacr´ e ` a l’existence de solutions absolument continues pour une inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone dans un espace de dimension finie de la forme

(3)



 

 

− u(t) ˙ ∈ A(t)u(t) + F (t, u(t)), p.p. t ∈ [0, T ],

u(0) = u ₀ ,

0. Introduction g´ en´ erale

o` u F : [0, T ] × E ⇒ E est une multi-application v´ erifiant la condition de Lipschitz par rapport ` a la deuxi` eme variable.

Le troisi` eme chapitre g´ en´ eralise le r´ esultat du deuxi` eme chapitre en traitant l’existence

de solutions absolument continues pour le probl` eme (3) o` u la condition de Lipschitz est

remplac´ ee par celle de pseudo-Lipschitz.

Chapitre 1

Notations et pr´ eliminaires

L’objectif de ce chapitre est de donner des notations de base, quelques r´ esultats fonda- mentaux sur les multi-applications, des th´ eor` emes principaux concernant la convergence et la compacit´ e, qui seront utilis´ ees dans la suite de ce travail.

1.1 Notations

Soient E un espace de Banach, E ⁰ son dual topologique, h., .i E,E

leur produit de dualit´ e, et k.k la norme de E.

Dans tout ce qui suit, nous d´ esignerons par - σ(E, E ⁰ ) la topologie faible sur E.

- σ(E ⁰ , E) la topologie faible ^∗ sur E ⁰ .

- B _E ou B _E (0, 1) la boule unit´ e ferm´ ee de E, d´ efinie par B _E (0, 1) = {x ∈ E : kxk ≤ 1}.

- Si A est un sous ensemble de E alors A est la fermeture de A.

- δ(., A) la fonction indicatrice de A, d´ efinie par δ(x, A) =



 

 

0 si x ∈ A,

+∞ si x 6∈ A.

1.2. Quelques notions de mesurabilit´ e

- La fonction polaire de δ(., A) appel´ ee aussi fonction d’appui de A, est la fonction δ ^∗ (., A), d´ efinie sur E ⁰ par

δ ^∗ (x ⁰ , A) = sup

x∈A

hx ⁰ , xi, ∀x ⁰ ∈ E ⁰ .

- 1 _A la fonction caract´ eristique d’une partie A d’un ensemble donn´ e, d´ efinie par

1 A (x) =



 

 

1 si x ∈ A, 0 si x 6∈ A.

1.2 Quelques notions de mesurabilit´ e

Les r´ esultats suivants sont pris de la r´ ef´ erence [5].

D´ efinition 1.1 Soient X un ensemble non vide, Σ une famille de sous ensembles de X.

Alors Σ est dite une tribu sur X si 1. ∅ ∈ Σ,

2. A ∈ Σ ⇒ X \ A ∈ Σ, 3. A _n ∈ Σ, ∀n ∈ N ⇒ S

n

A _n ∈ Σ.

Le couple (X, Σ) est appel´ e espace mesurable, et les ´ el´ ements de Σ sont appel´ es ensembles mesurables.

Si la troisi` eme relation est vraie pour les unions finies seulement, on dit que Σ est une alg` ebre sur X.

Si X est un espace topologique, la tribu Bor´ elienne sur X not´ ee B(X), est la plus petite tribu contenant la topologie de X.

D´ efinition 1.2 Soient (X ₁ , Σ ₁ ), (X ₂ , Σ ₂ ) deux espaces mesurables et g une fonction d´ efinie sur X ₁ ` a valeurs dans X ₂ , on dit que g est (Σ ₁ , Σ ₂ )-mesurable si pour tout A ∈ Σ ₂ , g ⁻¹ (A) ∈ Σ ₁ .

Si X ₂ est un espace topologique, une fonction (Σ ₁ , B(X))-mesurable est dite fonction

Bor´ elienne.

1.2. Quelques notions de mesurabilit´ e

D´ efinition 1.3 Soit (X, Σ) un espace mesurable et M un espace m´ etrique. Alors une fonction g : X → M est dite fortement mesurable ou Bochner mesurable si g est (Σ, B(M ))- mesurable et g(X) est s´ eparable.

D´ efinition 1.4 Soit (X, Σ) un espace mesurable et M un espace m´ etrique, on dit que la fonction f : X → M est Σ-´ etag´ ee (resp. d´ enombrablement Σ-´ etag´ ee) si f est (Σ, B(X))- mesurable et f (X) fini (resp. d´ enombrable).

Lemme 1.1 Sous les notations de la d´ efinition 1.4, nous avons les caract´ erisations sui- vantes :

– f est Bochner mesurable,

– il existe une suite de fonctions Σ-´ etag´ ees d´ efinies sur X ` a valeurs dans M , conver- geant simplement vers f,

– il existe une suite de fonctions d´ enombrablement Σ-´ etag´ ees d´ efinies sur X ` a valeurs dans M , convergeant uniform´ ement sur X vers f.

On donne dans la suite quelques notions sur les mesures.

D´ efinition 1.5 Soit (X, Σ) un espace mesurable. Alors l’application ν : Σ → R est une mesure sur X si

1. ν(∅) = 0, 2. ν( S

n

A _n ) = P

n

ν(A _n ), pour toute suite d´ enombrable (A _n ) d’´ el´ ements de Σ disjoints deux ` a deux .

Le triplet (X, Σ, ν) est appel´ e espace mesur´ e.

Si ν(A) ≥ 0, pour tout A ∈ Σ, on dit que ν est une mesure positive et on note ν ≥ 0, ou que l’espace (X, Σ, ν) est positif.

Si ν(A) < ∞, pour tout A ∈ Σ, on dit que ν est une mesure finie ou que l’espace (X, Σ, ν) est fini.

Si X est un espace topologique, la mesure ν : B(X) → R est appel´ ee mesure Bor´ elienne.

On dit que ν est une mesure de probabilit´ e si ν(X) = 1.

D´ efinition 1.6 Soit X un espace topologique s´ epar´ e et ν une mesure Bor´ elienne. Alors ν est dite r´ eguli` ere si pour tout A ∈ B(X) et tout ε > 0, il existe un ouvert C et un ferm´ e G de X, tels que G ⊂ A ⊂ C et ν(C\G) ≤ ε.

Une mesure Bor´ elienne finie et r´ eguli` ere est appel´ ee mesure de Radon.

1.2. Quelques notions de mesurabilit´ e

D´ efinition 1.7 Soit (X, Σ, ν) un espace mesur´ e avec ν ≥ 0. Soit Z un sous ensemble de X, on dit que Z est ν-n´ egligeable ou n´ egligeable (s’il n’y a pas confusion), s’il existe A ∈ Σ tel que Z ⊂ A et ν(A) = 0.

On dit qu’une propri´ et´ e sur X est vraie ν-presque partout (ν.p.p), si l’ensemble o` u elle n’est pas v´ erifi´ ee est ν-n´ egligeable.

la tribu ν-compl´ et´ ee de Σ not´ ee Σ ν est la tribu engendr´ ee par Σ et les ensembles ν- n´ egligeables, c’est ` a dire

Σ _ν = {A ∪ Z/ A ∈ Σ et Z ensemble ν-n´ egligeable}.

La tribu Σ est dite compl` ete si Σ = Σ <sub>ν</sub> , c’est ` a dire, si tout ensemble ν-n´ egligeable appar- tient ` a Σ.

D´ efinition 1.8 Soit (X, Σ, ν) un espace mesur´ e avec ν finie. Notons Σ ^∗ := Σ ν et soit ν ^∗ : Σ ^∗ → R d´ efinie par ν ^∗ (A ∪ Z ) = ν(A), pour tout A ∈ Σ et tout ensemble Z ν-n´ egligeable. Alors (X, Σ ^∗ , ν ^∗ ) est un espace mesur´ e avec ν ^∗ finie et compl` ete et on a ν ^∗ = ν sur Σ.

(X, Σ ^∗ , ν ^∗ ) est appel´ e l’extension de Lebesgue de l’espace mesur´ e (X, Σ, ν).

Th´ eor` eme 1.1 Soient X un espace topologique compact, Σ une alg` ebre sur X et ν : Σ → R une fonction additive, r´ eguli` ere et born´ ee.

Soit Σ e la plus petite tribu sur X contenant Σ. Alors il existe une mesure unique e ν : Σ e → R r´ eguli` ere, born´ ee et qui prolonge ν ` a Σ. e

Mesure de Borel et mesure de Lebesgue sur R

Soient t ₀ , t ₁ deux nombres r´ eels tels que t ₀ < t ₁ , J = [t ₀ , t ₁ ] et Σ la famille des sous ensembles de J de la forme {t ₀ } = [t ₀ , t ₀ ], ]t ⁰ , t ⁰⁰ ], pour t ₀ ≤ t ⁰ ≤ t ⁰⁰ ≤ t ₁ , et les unions finies de ces intervalles. Il est clair que Σ est une alg` ebre sur J .

D´ efinissons ν : Σ → R par

ν({t 0 }) = 0, ν(]t ⁰ , t ⁰⁰ ]) = t ⁰⁰ − t ⁰ et ν(

k

[

j=1

A j ) =

k

X

j=1

ν(A j ), avec k ∈ N et A _j des intervalles disjoints de la forme consid´ er´ ee.

La mesure ν est une mesure additive, r´ eguli` ere et born´ ee. Par le Th´ eor` eme 1.1, elle admet

1.3. La distance de Hausdorff

une unique extension ` a Σ qui est la plus petite tribu sur e J contenant Σ, et qui n’est autre que la tribu Bor´ elienne B(J ).

Cette extension not´ ee e ν est appel´ ee la mesure de Borel sur J .

Soit (J, Σ ^∗ , ν ^∗ ) l’extension de Lebesgue de (J, Σ, e ν). Alors les ´ e el´ ements de Σ ^∗ sont appel´ es ensembles Lebesgue-mesurables de J et ν ^∗ est la mesure de Lebesgue sur J .

Dans la suite de ce travail, pour tout ensemble compact I de R , on note par - L(I) la tribu de Lebesgue sur I,

- µ ou dt la mesure de Lebesgue,

- L ¹ _E (I) l’espace des applications Lebesgue Bochner-int´ egrables d´ efinies sur I ` a va- leurs dans l’espace de Banach E, c’est ` a dire, les applications f Lebesgue Bochner- mesurables et telles que

Z

I

f dµ est finie,

- C _E (I) l’espace de toutes les applications continues u : I → E muni de la norme sup kuk _C

_(I) = sup

t∈I

ku(t)k,

- W _E ^1,1 (I ) l’espace des applications absolument continues u : I → E ayant une d´ eriv´ ee faible dans L ¹ _E (I).

1.3 La distance de Hausdorff

D´ efinition 1.9 Soient A, B deux sous ensembles d’un espace m´ etrique (X, d), l’´ ecart entre A et B est d´ efini par

e(A, B) = sup

a∈A

d(a, B), avec

d(a, B) = inf

b∈B d(a, b), et la distance de Hausdorff entre A et B est d´ efinie par

H(A, B ) = max(e(A, B ), e(B, A)).

1.3. La distance de Hausdorff

Propri´ et´ es ´ el´ ementaires 1. e(A, ∅) = ∞ si A 6= ∅, 2. e(∅, B) = 0,

3. e(A, B ) = 0 ⇔ A ⊂ B,

4. e(A, B ) ≤ e(A, C) + e(C, B), C un sous ensemble de X, 5. H(A, B) = 0 ⇔ A = B,

6. H(A, B) ≤ H(A, C) + H(C, B),

7. |d(x, A) − d(x, B)| ≤ H(A, B), ∀x ∈ X.

Preuve de 7.

En effet, nous avons

kx − ak ≤ kx − bk + kb − ak, ∀(a, b) ∈ A × B, donc

a∈A inf kx − ak ≤ kx − bk + inf

a∈A kb − ak, ∀b ∈ B ceci implique

d(x, A) ≤ kx − bk + d(b, A), ∀b ∈ B

≤ inf

b∈B kx − bk + inf

b∈B d(b, A)

= d(x, B) + inf

b∈B d(b, A)

≤ d(x, B) + sup

b∈B

d(b, A)

= d(x, B) + e(B, A)

≤ d(x, B) + H(A, B ), donc

d(x, A) − d(x, B) ≤ H(A, B), d’autre part, nous avons

kx − bk ≤ kx − ak + ka − bk, ∀(a, b) ∈ A × B, donc

b∈B inf kx − bk ≤ kx − ak + inf

b∈B ka − bk, ∀a ∈ A

1.4. Multi-applications et s´ elections

implique

d(x, B) ≤ kx − ak + d(a, B)

≤ inf

a∈A kx − ak + inf

a∈A d(a, B)

= d(x, A) + inf

a∈A d(a, B)

≤ d(x, A) + sup

a∈A

d(a, B)

= d(x, A) + e(A, B )

≤ d(x, A) + H(A, B), donc

−H(A, B) ≤ d(x, A) − d(x, B), c’est ` a dire,

|d(x, A) − d(x, B)| ≤ H(A, B), ∀ x ∈ X.

Notons par P _f (X), l’ensemble des parties ferm´ ees de X, alors P _f (X) muni de la distance de Hausdorff H, est un espace m´ etrique.

Rappelons les propri´ et´ es suivantes

– Si (X, d) est un espace m´ etrique complet, alors (P _f (X), H) l’est aussi.

– Si X est s´ eparable, l’ensemble des parties compactes de X, not´ e P _k (x) muni de H est aussi s´ eparable.

1.4 Multi-applications et s´ elections

Pour une ´ etude d´ etaill´ ee des multi-applications et s´ elections on peut se r´ ef´ erer ` a [6].

D´ efinition 1.10 Soient X, Y deux ensembles non vides. Une multi-application (ou fonc- tion multivoque) F d´ efinie sur X ` a valeurs dans Y est une application qui ` a chaque ´ el´ ement x ∈ X associe un sous ensemble F (x) de Y , on note F : X ⇒ Y ou F : X → P (Y ), (P (Y ) est l’ensemble des parties de Y ).

Le domaine, le graphe et l’image de la multi-application F : X ⇒ Y sont donn´ es respec- tivement par

D(F ) := Dom(F ) = {x ∈ X : F (x) 6= ∅},

gph(F ) = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ D(F ), y ∈ F (x)},

1.5. Mesurabilit´ e des multi-applications Im(F ) = [

x∈D(F )

F (x).

D´ efinition 1.11 Soit F : X ⇒ Y une multi-application. On appelle s´ election de F toute application f : X → Y v´ erifiant

f (x) ∈ F (x), ∀x ∈ X.

1.5 Mesurabilit´ e des multi-applications

Pour plus de d´ etails sur la mesurabilit´ e des multi-applications on peut se r´ ef´ erer ` a [6]

et [14].

D´ efinition 1.12 Soient (T, Σ) un espace mesurable, X un espace m´ etrique et Γ : T ⇒ X.

On dit que Γ est (Σ, B(X))-mesurable ou tout simplement Σ-mesurable, si pour tout ouvert V de X,

Γ ⁻¹ (V ) = {t ∈ T : Γ(t) ∩ V 6= ∅} ∈ Σ.

Proposition 1.1 Soient (T, Σ) un espace mesurable, X un espace m´ etrique s´ eparable et soit F : T ⇒ X une multi-application.

Alors les assertions suivantes sont ´ equivalentes (i) F est Σ-mesurable,

(ii) pour chaque x ∈ X, la fonction d x : T → R d´ efinie par d x (t) = d(x, F (t)) est Σ-mesurable.

Lemme 1.2 Soient (T, Σ) un espace mesurable, X un espace m´ etrique complet s´ eparable et Γ : T ⇒ X une multi-application ` a valeurs non vides ferm´ ees. Consid´ erons les pro- pri´ et´ es suivantes

(i) Γ ⁻¹ (B) ∈ Σ, pour tout Bor´ elien B de X, (ii) Γ ⁻¹ (C) ∈ Σ, pour tout ferm´ e C de X, (iii) Γ ⁻¹ (V ) ∈ Σ, pour tout ouvert V de X,

(iv ) il existe une suite (σ _n ) de s´ elections mesurables de Γ telle que

∀t ∈ T, Γ(t) = {σ _n (t)} n∈ N ,

(v ) ∀x ∈ X, la fonction distance d(x, Γ(.)) est mesurable,

1.5. Mesurabilit´ e des multi-applications

(vi) le graphe de Γ appartient ` a Σ ⊗ B(X).

Alors (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (v) ⇒ (vi).

Si Γ est ` a valeurs non vides compl` etes alors (iii) ⇔ (v) ⇔ (iv).

Si Γ est ` a valeurs non vides compactes alors (iii) ⇒ (i).

Remarque 1.1 la suite (σ _n ) dans la propri´ et´ e (iv) est appel´ ee une repr´ esentation de Castaing de la multi-application Γ.

Lemme 1.3 Soit (T, Σ, ν) un espace mesur´ e avec ν ≥ 0, σ-finie et Σ ν-compl` ete. Soient X un espace m´ etrique complet et Γ : T ⇒ X une multi-application ` a valeurs non vides ferm´ ees, alors

(i) ⇔ (ii) ⇔ (iii) ⇔ (iv) ⇔ (v) ⇔ (vi).

Proposition 1.2 Soient (T, Σ) un espace mesurable, X ₁ , X ₂ deux espaces m´ etriques s´ eparables, F ₁ : T ⇒ X ₁ et F ₂ : T ⇒ X ₂ . Soit F : T ⇒ X ₁ × X ₂ la multi-application d´ efinie par F (t) = F 1 (t) × F 2 (t).

Si F ₁ et F ₂ sont Σ-mesurables, alors F est Σ-mesurable.

La r´ eciproque a lieu aussi quand F ₁ et F ₂ sont ` a valeurs non vides.

Proposition 1.3 Soit (T, Σ) un espace mesurable, et soit (F _j ) _j∈J une famille de multi- applications Σ-mesurables d´ efinies sur T ` a valeurs dans X.

1. Si J est d´ enombrable, alors la multi-application F : T ⇒ X d´ efinie par F (t) = S

j∈J

F _j (t) est Σ-mesurable.

2. Si J est fini et X un espace de Banach s´ eparable, alors la multi-application G : T ⇒ X d´ efinie par G(t) = P

j∈J

F _j (t) est Σ-mesurable.

3. Si X est un espace topologique, et H ₁ : T ⇒ X une multi-application Σ-mesurable, alors la multi-application H 2 : T ⇒ X d´ efinie par H 2 (t) = H 1 (t) est Σ-mesurable.

Th´ eor` eme 1.2 (Th´ eor` eme d’existence de s´ elections mesurables).

Soient (T, Σ) un espace mesurable, X un espace m´ etrique complet s´ eparable et

F : T ⇒ X une multi-application Σ-mesurable ` a valeurs ferm´ ees non vides. Alors F admet au moins une s´ election mesurable.

Th´ eor` eme 1.3 (Repr´ esentation de Castaing).

Soient (T, Σ) un espace mesurable, (X,d) un espace m´ etrique s´ eparable complet. Soit

1.5. Mesurabilit´ e des multi-applications

F : T ⇒ X une multi-application ` a valeurs ferm´ ees non vides. Alors, F est Σ-mesurable si et seulement si Dom(F ) ∈ Σ et il existe une suite (f n ) n d’applications Σ-mesurables (f _n : Dom(F ) → X) telle que pour chaque t ∈ Dom(F ) on ait F (t) = (f _n (t)) _n .

On dit que (f _n ) _n est une repr´ esentation de Castaing de F . D´ emonstration.

Comme Dom(F ) = F ⁻¹ (X), on peut supposer, sans perdre de g´ en´ eralit´ e, que Dom(F ) = T .

⇐ / F (t) = S

n

{f n (t)} = {f n (t)} _n .

la muli-application G d´ efinie par G(t) = S

n

f n (t) est Σ-mesurable puisque, pour tout ouvert V de X, G ⁻¹ (V ) = S

n

f _n ⁻¹ (V ), et donc G = F est mesurable.

⇒ /

Soit (x k ) k une suite fix´ ee, dense dans X (le choix d’une telle suite est possible grˆ ace ` a la s´ eparabilit´ e de X). Consid´ erons pour chaque (k, j) ∈ N ² la multi-application

G k,j : T ⇒ X

d´ efinie par

G _i,j (t) =



 

 

F (t) ∩ B(x _k , ₂ ¹

), si t ∈ F ⁻¹ (B(x _k , ₂ ¹

))

F (t), sinon,

et la multi-application F _k,j : T ⇒ X d´ efinie par F _k,j (t) = G _k,j (t). La muli-application F _k,j

est ` a valeurs ferm´ ees non vides et elle est Σ-mesurable, du fait que G _k,j est Σ-mesurable.

1.5. Mesurabilit´ e des multi-applications

En effet, pour tout ouvert V de X

G ⁻¹ _k,j (V ) = {t ∈ T : G ⁻¹ _k,j (t) ∩ V 6= ∅}

= {t ∈ F ⁻¹ (B(x _k , 1

2 ^j )) : F (t) ∩ B(x _k , 1

2 ^j ) ∩ V 6= ∅}

S {t ∈ (T \ F ⁻¹ (B(x _k , 1

2 ^j ))) : F (t) ∩ V 6= ∅}

= [F ⁻¹ (B(x _k , 1

2 ^j )) ∩ F ⁻¹ (B (x _k , 1

2 ^j ) ∩ V )]

S [(T \F ⁻¹ (B(x _k , 1

2 ^j ))) ∩ F ⁻¹ (V )] ∈ Σ puisque F est Σ-mesurable. Par cons´ equent F _k,j est Σ-mesurable.

La multi-application F _k,j est Σ-mesurable ` a valeurs ferm´ ees, d’apr` es le Th´ eor` eme 1.3, elle admet une s´ election Σ-mesurable qu’on note f _k,j , i.e., f _k,j (t) ∈ F _k,j (t), ∀t ∈ T .

Montrons que F (t) = S

(k,j)

f _k,j (t).

Nous avons, f _k,j (t) ∈ F _k,j (t), ∀t ∈ T ⇒ S

(k,j)

f _k,j (t) ⊂ S

(k,j)

F _k,j (t) ⊂ F (t), ∀t ∈ T . Montrons la deuxi` eme inclusion, c’est ` a dire, F (t) ⊂ S

(k,j)

f _k,j (t).

Fixons t ∈ T, x ∈ F (t) et ε > 0. Choisissons un entier j tel que 1 2 ^j < ε

2 , et choisissons un entier k tel que d(x k , x) < ₂ ¹

, (un tel choix est possible grˆ ace ` a la densit´ e de (x k ) k dans X).

Nous avons alors, x ∈ B(x k , ₂ ¹

) ∩ F (t), c’est ` a dire, t ∈ F ⁻¹ (B(x k , ₂ ¹

)), d’o` u F k,j (t) = F (t) ∩ B (x k , ₂ ¹

) ⊂ B k (x k , ₂ ¹

), et donc f k,j (t) ∈ B(x k , ₂ ¹

) ce qui implique

d(x, f _k,j (t)) ≤ d(x, x _k ) + d(x _k , f _k,j (t))

< 1 2 ^j + 1

2 ^j

= 2

2 ^j

< ε par suite

x ∈ [

(k,j)

f _k,j (t)

1.5. Mesurabilit´ e des multi-applications

et donc

F (t) ⊂ [

(k,j)

f _k,j (t).

On conclut alors que F (t) = {f _k,j } _(k,j) .

Th´ eor` eme 1.4 Soient (T, Σ) un espace mesurable, E un espace de Banach. Soient F : T × E ⇒ E une multi-application mesurable et u : T → E une application Σ-mesurable.

Alors, la multi-application t 7→ F (t, u(t)) est Σ-mesurable.

D´ emonstration.

Soit l’application f : T → T × E d´ efinie par f (t) = (t, u(t)) et soit V ∈ Σ ⊗ B(E), V = V ₁ × V ₂ , avec V ₁ ∈ Σ et V ₂ ∈ B(E).

f ⁻¹ (V ) = {t ∈ T : f(t) ∈ V }

= {t ∈ T : (t, u(t)) ∈ V ₁ × V ₂ }

= {t ∈ T : t ∈ V ₁ } ∩ {t ∈ T : u(t) ∈ V ₂ }

= V ₁ ∩ u ⁻¹ (V ₂ ) ∈ Σ puisque V ₁ ∈ Σ et u est (Σ, B(E))-mesurable.

Consid´ erons la multi-application H = F (., u(.)) : T ⇒ E d´ efinie par H(t) = F (t, u(t)) = F (f (t)).

Soit W un ouvert de E, on a

H ⁻¹ (W ) = {t ∈ T : H(t) ∩ W 6= ∅}

= {t ∈ T : F (t, u(t)) ∩ W 6= ∅}

= {t ∈ T : F (f (t)) ∩ W 6= ∅}

= {t ∈ T : f(t) ∈ F ⁻¹ (W )}

= f ⁻¹ (F ⁻¹ (W )),

1.5. Mesurabilit´ e des multi-applications

comme F est mesurable on a F ⁻¹ (W ) ∈ Σ ⊗ B(E) est puisque f est mesurable on obtient f ⁻¹ (F ⁻¹ (W )) ∈ Σ, c’est ` a dire, H ⁻¹ (W ) ∈ Σ. Par cons´ equent F (., u(.)) est Σ-mesurable.

Th´ eor` eme 1.5 Soit (T, Σ, µ) un espace mesur´ e avec Σ µ-compl` ete et µ σ-finie. Soit E un espace de Banach s´ eparable et soient f : T → E une application mesurable et ρ : T → R +

une fonction mesurable. Alors

1. t 7→ B E (f(t), ρ(t)) est une multi-application Σ-mesurable.

2. De plus, si la multi-application Γ : T ⇒ E ` a valeurs ferm´ ees non vides et mesurable, alors la multi-application G d´ efinie par

t 7→ G(t) = {x ∈ Γ(t)/ kf (t) − xk ≤ (1 + α)d(f (t), Γ(t))}

est ` a valeurs ferm´ ees non vides et Σ-mesurable, α ´ etant un r´ eel strictement positif.

D´ emonstration.

1. Soit (x _n ) une suite fix´ ee, dense dans la boule unit´ e de E (le choix d’une telle suite est possible grˆ ace ` a la s´ eparabilit´ e de l’espace E).

Posons, pour tout n ∈ N , σ _n (t) = f (t) + ρ(t)x _n .

L’application σ _n est mesurable (grˆ ace ` a la mesurabilit´ e de f et ρ) et B _E (f(t), ρ(t)) = f (t) + ρ(t)B _E (0, 1) = {f(t) + ρ(t)x _n } = {σ _n (t)/n ∈ N }. Par suite {σ _n (t)} _n est une repr´ esentation de Castaing de B _E (f (t), ρ(t)). Par cons´ equent l’application t 7→

B _E (f (t), ρ(t)) est mesurable.

2. Remarquons que la multi-application G est ` a valeurs ferm´ ees non vides.

En effet, pour tout t ∈ T , d(f(t), Γ(t)) = inf

x∈Γ(t) kf (t) − xk, alors

∀ε > 0, ∃ x _ε ∈ Γ(t) tel que kf(t) − x _ε k < d(f (t), Γ(t)) + ε,

en particulier pour ε = α d(f(t), Γ(t)), avec α un r´ eel strictement positif, on obtient

1.5. Mesurabilit´ e des multi-applications

l’existence de x _α ∈ Γ(t) tel que

kf (t) − x _α k ≤ d(f(t), Γ(t)) + αd(f(t), Γ(t))

= (1 + α)d(f(t), Γ(t)) d’o` u la non vacuit´ e de G(t) pour tout t ∈ T .

Montrons maintenant que G est ` a valeurs ferm´ ees.

Soit t ∈ T et soit (v _n ) une suite de G(t) telle que v _n → v quand n → ∞. v _n ∈ G(t), c’est ` a dire, v <sub>n</sub> ∈ Γ(t) et kf (t) − v <sub>n</sub> k ≤ (1 + α)d(f (t), Γ(t)), Γ ` a valeurs ferm´ ees alors v ∈ Γ(t) et

kf (t) − vk ≤ kf(t) − v _n k + kv _n − vk

≤ (1 + α)d(f (t), Γ(t)) + kv _n − vk

et comme kv _n − vk → 0 quand n → ∞, on obtient kf (t) − vk ≤ (1 + α)d(f(t), Γ(t)), et donc G est ` a valeurs ferm´ ees.

D’autre part, nous avons

gph(G) = {(t, x) : x ∈ G(t)}

= {(t, x) : x ∈ Γ(t) et kf(t) − xk ≤ (1 + α)d(f (t), Γ(t))}

= {(t, x) : x ∈ Γ(t)} ∩ {(t, x) : kf(t) − xk ≤ (1 + α)d(f (t), Γ(t))}

= {(t, x) : x ∈ Γ(t)} ∩ {(t, x) : x ∈ B E (f(t), (1 + α)d(f (t), Γ(t)))}

= gph(Γ) ∩ gph(B _E (f (.), ρ(.))), o` u ρ(t) = (1 + α) d(f(t), Γ(t)).

Comme Σ est une tribu µ-compl` ete et comme Γ est mesurable, on conclut par le Lemme 1.3, que gph(G) ∈ Σ ⊗ B(E). En effet,

Γ ´ etant mesurable ` a valeurs non vides ferm´ ees dans E, donc ses valeurs sont compl` etes,

1.6. Multi-applications Lipschitziennes et pseudo-Lipschitziennes

par le Lemme 1.2, on obtient la mesurabilit´ e de la fonction distance d(x, Γ(.)), ∀x ∈ E, or f est mesurable. Par cons´ equent d(f (.), Γ(.)) est mesurable, c’est ` a dire ρ(.) est mesurable.

Par la premi` ere partie de ce th´ eor` eme on conclut que gph(B _E (f(.), ρ(.)) ∈ Σ ⊗ B(E) et donc gph(G) ∈ Σ ⊗ B(E), c’est ` a dire, G est mesurable.

1.6 Multi-applications Lipschitziennes et pseudo-Lipschitziennes

D´ efinition 1.13 Soient E, Z deux espaces norm´ es et soit F : E ⇒ Z une multi- application. On dit que F est Lipschitzienne autour de x ∈ E si il existe une constante positive l et un voisinage U ⊂ D(F ) de x tels que

∀x ₁ , x ₂ ∈ U, F (x ₁ ) ⊂ F (x ₂ ) + lkx ₁ − x ₂ kB _Z . Dans ce cas on dit aussi que F est Lipschitzienne sur U .

Elle est Lipschitzienne sur E si il existe l positive tel que

∀x 1 , x 2 ∈ D(F ), F (x 1 ) ⊂ F (x 2 ) + lkx 1 − x 2 kB Z .

D´ efinition 1.14 Soit (T, Σ, µ) un espace mesur´ e avec Σ µ-compl` ete et µ σ-finie. Soient E, Z deux espaces norm´ es, X ⊂ T × E et soit F : T × E ⇒ Z une multi-application ` a valeurs non vides. On dit que F est globalement pseudo-Lipschitzienne sur X si il existe β ≥ 0 et k ∈ L ¹ _E (T, µ) tels que pour tout N > 0

F (t, x) ∩ N B _Z ⊂ F (t, x ⁰ ) + (k(t) + βN )kx − x ⁰ kB _Z , Pour tous (t, x), (t, x ⁰ ) ∈ X.

1.7 Concepts de continuit´ e des multi-applications

Enon¸cons les propri´ ´ et´ es suivantes, et pour plus de d´ etails on peut se r´ ef´ erer ` a [4].

D´ efinition 1.15 Soient X, Y deux espaces m´ etriques et F : X ⇒ Y . On dit que F est continue (resp. lipschitzienne de rapport λ > 0), si pour tout x ∈ X nous avons

lim

x

→x H(F (x), F (x ⁰ )) = 0

1.7. Concepts de continuit´ e des multi-applications

(resp. pour tous x, x ⁰ ∈ X nous avons

H(F (x), F (x ⁰ )) ≤ λd X (x, x ⁰ ).

H est la distance de Hausdorff et d _X la m´ etrique de X.

D´ efinition 1.16 Soit T > 0 et C : [0, T ] ⇒ Y . On dit que C est absolument continue si pour tout y ∈ Y et tous t, t ⁰ ∈ [0, T ], nous avons

|d(y, C(t)) − d(y, C(t ⁰ ))| ≤ |a(t) − a(t ⁰ )|, (1.1) o` u a : [0, T ] → R ⁺ est une fonction absolument continue satisfaisant a(t) ˙ 6= 0, p.p. sur [0, T ].

Observons que la relation (1.1) nous donne pour t ≥ t ⁰ ,

|d(y, C(t)) − d(y, C(t ⁰ ))| ≤ Z t

t

| a(s)|ds. ˙

On peut alors supposer, (en rempla¸ cant a ˙ par | a| ˙ si c’est n´ ecessaire), que a(t) ˙ ≥ 0, ∀ t ∈ [0, T ].

Rappelons la d´ efinition d’une fonction absolument continue.

D´ efinition 1.17 Soit E un espace de Banach. Une fonction f : [a, b] → E est dite absolument continue si ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tel que pour toute partition d´ enombrable de l’intervalle [a, b] par des intervalles disjoints [a _k , b _k ] v´ erifiant

X

k

(b _k − a _k ) < δ, on a

X

k

kf (b _k ) − f (a _k )k < ε.

Th´ eor` eme 1.6 Une fonction f : [a, b] → E est absolument continue si et seulement si elle est l’int´ egrale de sa d´ eriv´ ee, c’est ` a dire,

f (b) − f (a) = Z b

a

f ˙ (t)dt.

On voit bien qu’une fonction absolument continue est continue par contre la r´ eciproque

est fausse.

1.8. Quelques r´ esultats de convergence

1.8 Quelques r´ esultats de convergence

Les r´ esultats suivants sont pris de la r´ ef´ erence [16].

Th´ eor` eme 1.7 (Th´ eor` eme de la convergence de Lebesgue).

Soient (T, Σ, µ) un espace mesur´ e et E un espace de Banach, soit 1 ≤ p < +∞ et (f n ) une suite de fonctions µ-mesurables d´ efinies sur T ` a valeurs dans E, si la suite (f _n ) v´ erifie pour tout n ∈ N

(i) f n → f µ.p.p sur T ,

(ii) il existe une fonction positive g ∈ L ^p

R (T ) telle que, kf _n (t)k ≤ g(t) µ.p.p.

Alors f n → f dans L ^p _E (T ). En particulier, dans le cas p = 1, Z

T

f _n dµ → Z

T

f dµ.

Th´ eor` eme 1.8 (R´ eciproque de la convergence de Lebesgue).

Soient (T, Σ, µ) un espace mesur´ e et E un espace de Banach, soit 1 ≤ p < +∞. Si f _n → f dans L ^p _E (T ) alors il existe (f _n

) une suite extraite de (f _n ) et une fonction positive g ∈ L ^p _R (T ) telles que

(i) f _n

→ f µ.p.p,

(ii) pour tout k, kf n

k ≤ g µ.p.p.

Th´ eor` eme 1.9 (Th´ eor` eme d’Ascoli-Arzel` a).

Soient T un espace m´ etrique compact, Y un espace m´ etrique complet, et H un sous en- semble de C(T, Y ), l’espace des applications continues d´ efinies sur T ` a valeurs dans Y , muni de la topologie de la convergence uniforme. Alors H est relativement compact si et seulement si H est ´ equicontinu et H(x) est relativement compact, avec

H(x) = {f (x) : f ∈ H}.

Le Th´ eor` eme suivant est une cons´ equence du Th´ eor` eme d’Ascoli-Arzel` a.

Th´ eor` eme 1.10 (Th´ eor` eme 4 chap 2 [4]) Soient T un sous ensemble compact de R , E un espace de dimension finie et soit (f _n ) une suite de fonctions absolument continues d´ efinies sur T ` a valeurs dans E satisfaisant les conditions suivantes

(1) ∀ t ∈ T, (f n (t)) est un sous ensemble relativement compact de E, (2) il existe une fonction ` a valeurs r´ eelles positives h ∈ L ¹ _R (T ), telle que

k f ˙ _n (t)k ≤ h(t), p.p. sur T.

1.9. Quelques r´ esultats de compacit´ e

Alors, il existe une sous suite de (f _n )(qu’on note aussi (f _n )) qui converge vers une fonc- tion absolument continue f : T → E au sens suivant

(a) (f _n ) converge uniform´ ement vers f,

(b) ( ˙ f _n ) converge faiblement vers f ˙ dans L ¹ _E (T ), c’est ` a dire, ( ˙ f _n ) converge vers f ˙ σ(L ¹ _E , L ^∞ _E ).

1.9 Quelques r´ esultats de compacit´ e

Th´ eor` eme 1.11 (Th´ eor` eme d’Alaoglu).

Soit E un espace de Banach s´ eparable et soit M ⁰ ⊂ E ⁰ , si M ⁰ est born´ e pour la norme de E ⁰ et ferm´ e pour la topologie σ(E ⁰ , E). Alors M ⁰ est compact pour cette topologie.

Th´ eor` eme 1.12 (Th´ eor` eme d’Eberlein-Smulian). Voir [20].

Soit S un sous ensemble d’un espace de Banach. Alors les deux propri´ et´ es suivantes sont

´ equivalentes

(i) S est faiblement (relativement) s´ equentiellement compact.

(ii) S est faiblement (relativement) compact.

Th´ eor` eme 1.13 Soit E un espace de Banach. Alors E est r´ eflexif si et seulement si la boule unit´ e ferm´ ee de E

B _E = {x ∈ E : kxk ≤ 1}

est compacte pour la topologie σ(E, E ⁰ ).

1.10 Lemme de Gronwall

Ce lemme est fort utile pour majorer des fonctions ` a partir d’in´ equations int´ egrales.

Lemme 1.4 Soient f, g, h des fonctions d´ efinies sur [0, T ] ` a valeurs dans [0, +∞] telles que

f (t) ≤ g(t) + Z t

0

f (τ)h(τ )dτ, alors

f(t) ≤ g(t) + Z t

0

g(τ )h(τ )exp(

Z t τ

h(s)ds)dτ.

1.10. Lemme de Gronwall

Lemme 1.5 Soient a un r´ eel positif et f, g, h des fonctions d´ efinies sur [0, T ] ` a valeurs dans [0, +∞] telles que :

f (t) ≤ a + Z t

0

f (τ )h(τ)dτ + Z t

0

g(τ)dτ, alors

f (t) ≤ a exp(

Z t 0

h(τ )dτ ) + Z t

0

g(τ)exp(

Z t τ

h(s)ds)dτ

Lemme 1.6 Soient f une fonction int´ egrable sur [0, T ], g et h deux fonctions continues sur [0, T ]. Si nous avons pour tout t ∈ [0, T ]

h(t) ≤ g(t) + Z t

0

f (τ)h(τ )dτ, alors

exp(−

Z t 0

f (τ)dτ ) Z t

0

f(τ )h(τ)dτ ≤ Z t

0

exp(−

Z t 0

f (τ )dτ )f (τ)g(τ )dτ.

Chapitre 2

Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une

perturbation Lipschitzienne

Dans ce chapitre, on s’int´ eresse ` a l’´ etude de l’existence de solutions pour une inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne, de la forme



 

 

− u(t) ˙ ∈ A(t)u(t) + F (t, u(t)), p.p. t ∈ [0, T ], u(0) = u 0 ,

plus pr´ ecis´ ement, on consid` ere un espace de dimension finie E, un op´ erateur multivoque maximal monotone A(t) de E et une multi-application F : [0, T ] × E ⇒ E mesurable par rapport ` a t, ` a valeurs ferm´ ees et v´ erifiant la condition de Lipschitz, c’est ` a dire, elle v´ erifie la relation suivante

H(F (t, x), F (t, x ⁰ )) ≤ k(t)kx − x ⁰ k, ∀(t, x), (t, x ⁰ ) ∈ [0, T ] × E,

o` u k ∈ L ¹ _R ([0, T ]) et k(t) ≥ 0.

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne On commence ce chapitre par donner des d´ efinitions et des r´ esultats sur les op´ erateurs maximaux monotones, qui nous seront utiles dans la d´ emonstration de notre Th´ eor` eme.

Pour plus de d´ etails on peut se r´ ef´ erer ` a [10], [13] et [23].

Soit E un espace de dimension finie. Rappelons qu’un op´ erateur A : E ⇒ E , est monotone si, pour tout λ > 0 et pour tous x ₁ , x ₂ ∈ D(A), y ₁ ∈ Ax ₁ et y ₂ ∈ Ax ₂ , nous avons

kx ₁ − x ₂ k ≤ k(x ₁ − x ₂ ) + λ(y ₁ − y ₂ )k, o` u

D(A) := {x ∈ E : Ax 6= ∅}

est le domaine de A.

Si de plus

R(I _E + λA) = E, alors A est dit op´ erateur maximal monotone, avec

R(A) = [

x∈E

Ax est le rang de A et I _E l’identit´ e de E.

D´ efinition 2.1 Soit A : D(A) ⊂ E ⇒ E un op´ erateur et soit λ > 0.

Alors

(a) L’op´ erateur J _λ : D(J _λ ) ⊂ E ⇒ E d´ efini par

J _λ A = (I _E + λA) ⁻¹ , o` u

D(J _λ ) = R(I _E + λA), est appel´ e la r´ esolvante de A.

(b) L’op´ erateur A _λ : D(A _λ ) ⊂ E ⇒ E d´ efini par A _λ = 1

λ (I _E − J _λ A),

o` u D(A _λ ) = R(I _E + λA), est appel´ e l’approximation de Yosida de A.

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne Proposition 2.1 Un op´ erateur A : D(A) ⊂ E ⇒ E est un op´ erateur maximal monotone si et seulement si pour tout λ > 0, la r´ esolvante J _λ A de A est univoque et non expansive, c’est ` a dire, J λ A est univoque et v´ erifie la relation

kJ _λ Ax − J _λ Ayk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ R(I _E + λA).

Proposition 2.2 Si A : D(A) ⊂ E ⇒ E est un op´ erateur maximal monotone et λ > 0, alors

(i) A _λ est univoque, monotone et Lipschitzienne de rapport 2

λ sur R(I _E + λA) ; (ii) A _λ x ∈ AJ _λ Ax, ∀x ∈ R(I _E + λA) ;

(iii) ¹ _λ kJ _λ Ax − xk = kA _λ xk ≤ |Ax| ₀ = inf {kyk, y ∈ Ax}, ∀x ∈ R(I _E + λA) ∩ D(A).

Th´ eor` eme 2.1 Soit E un espace de Banach qui a son dual topologique uniform´ ement convexe. Alors le graphe de tout op´ erateur maximal monotone A : D(A) ⊂ E ⇒ E est fortement-faiblement s´ equentiellement ferm´ e.

Lemme 2.1 Soit E un espace de Hilbert s´ eparable et A(t) : D(A(t)) ⊂ E ⇒ E, (t ∈ [0, T ]), un op´ erateur maximal monotone satisfaisant la condition

(H) pour tout x ∈ E et tout λ > 0, la fonction t 7→ (I _E +λA(t)) ⁻¹ x est Lebesgue mesurable et il existe une fonction g ∈ L ² _E ([0, T ]) telle que t 7→ (I E + λA(t)) ⁻¹ g(t) appartient ` a L ² _E ([0, T ]).

Soient (u _n ) _n , (v _n ) _n deux suites dans L ² _E ([0, T ]) v´ erifiant

(i) (u _n ) _n converge fortement vers u ∈ L ² _E ([0, T ]) et (v _n ) _n converge vers v ∈ L ² _E ([0, T ]) par rapport ` a la topologie faible σ(L ² _E , L ² _E ),

(ii) v _n (t) ∈ A(t)u _n (t) pour tout n ∈ N et presque pour tout t ∈ [0, T ].

Alors

v(t) ∈ A(t)u(t), p.p.t ∈ [0, T ].

D´ emonstration du lemme.

Soit I _L

E

l’identit´ e de L ² _E ([0, T ]) et soit

A : L ² _E ([0, T ]) ⇒ L ² _E ([0, T ]), l’op´ erateur d´ efini par

v ∈ Au ⇔ v (t) ∈ A(t)u(t), p.p.t ∈ [0, T ].

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

Comme A(t) est monotone, A l’est aussi.

En effet, soient u ₁ , u ₂ ∈ D(A), v ₁ ∈ Au ₁ , v ₂ ∈ Au ₂ et λ > 0.

Nous avons u ₁ , u ₂ ∈ D(A), donc u ₁ (t), u ₂ (t) ∈ D(A(t)), pour tout t ∈ [0, T ] et ku ₁ − u ₂ k _L

E

= (

Z T 0

ku ₁ (t) − u ₂ (t)k ² dt)

≤ ( Z T

0

k(u ₁ (t) − u ₂ (t)) + λ(v ₁ (t) − v ₂ (t))k ² dt)

= k(u 1 − u 2 ) + λ(v 1 − v 2 )k _L

E

.

Montrons maintenant que A est maximal monotone, c’est ` a dire, pour tout λ > 0, R(I _L

E

+ λA) = L ² _E ([0, T ]).

Soit λ > 0 et soit g ∈ L ² _E ([0, T ]).

Par l’hypoth` ese (H), il existe g ∈ L ² _E ([0, T ]) telle que la fonction h : t 7→ (I _E + λA(t)) ⁻¹ g(t)

appartient ` a L ² _E ([0, T ]).

Consid´ erons la fonction

h : t 7→ (I _E + λA(t)) ⁻¹ g(t), nous avons

khk _L

E

≤ kh − hk _L

E

+ khk _L

E

et puisque J _λ A = (I _E + λA) ⁻¹ est non expansive, on obtient khk _L

E

≤ kg − gk _L

E

+ khk _L

E

comme g, g et h sont des fonctions de L ² _E ([0, T ]), on d´ eduit que h est Lebesgue mesurable

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

et appartient ` a L ² _E ([0, T ]), d’autre part, nous avons

h(t) = (I _E + λA(t)) ⁻¹ g(t) p.p,

⇔ g (t) ∈ (I _E + λA(t))h(t), p.p,

⇔ g (t) ∈ h(t) + λA(t)h(t), p.p,

⇔ g ∈ h + λAh,

⇔ g ∈ (I _L

E

+ λA)h, c’est ` a dire, ∀ g ∈ L ² _E ([0, T ]), ∃ h ∈ L ² _E ([0, T ]) telle que

g ∈ (I _L

E

+ λA)h, d’o` u

R(I _L

E

+ λA) = L ² _E ([0, T ]).

Donc, A est un op´ erateur maximal monotone sur l’espace de Hilbert L ² _E ([0, T ]). Par cons´ equent, d’apr` es le Th´ eor` eme 2.1, le graphe de A est fortement-faiblement s´ equentiellement ferm´ e. Comme la suite (u n ) converge fortement vers u dans L ² _E ([0, T ]) et la suite (v n ) converge faiblement vers v, on conclut que v ∈ Au et donc v(t) ∈ A(t)u(t), presque

partout.

Pour la d´ emonstration de notre th´ eor` eme principal dans cette section, nous avons besoin du r´ esultat suivant dans [17] et [18].

Th´ eor` eme 2.2 Soient E un espace de Banach s´ eparable, (T > 0) et F : [0, T ] × E ⇒ E une multi-application ` a valeurs ferm´ ees non vides. Soit ϕ une primitive d’une fonction g : [0, T ] → E telle que g ∈ L ¹ _E ([0, T ]).

On pose

X b = {(t, x) ∈ [0, T ] × E : kx − ϕ(t)k < b}, b ∈]0, +∞], et on suppose que les propri´ et´ es suivantes sont v´ erifi´ ees sur X _b ,

(H ₁ ) il existe une fonction positive k ∈ L ¹ _R ([0, T ]) telle que

H(F (t, x), F (t, x ⁰ )) ≤ k(t)kx − x ⁰ k;

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne (H ₂ ) pour tout w ∈ E, la fonction d _w : [0, T ] × E → R d´ efinie par d _w (t, x) = d(w, F (t, x))

est mesurable par rapport ` a t ;

(H 3 ) il existe une fonction positive η ∈ L ¹ _R ([0, T ]) et x 0 ∈ E tels que kϕ(0) − x ₀ k ≤ δ < b, δ > 0,

d(g(t), F (t, ϕ(t))) ≤ η(t), p.p. t ∈ [0, T ]. (2.1) Alors, l’inclusion diff´ erentielle

(P _F )

( u(t) ˙ ∈ F (t, u(t)), p.p. t ∈ [0, T ], u(0) = x ₀ ,

admet au moins une solution u ∈ W _E ^1,1 ([0, T ]) v´ erifiant les estimations suivantes ku(t) − ϕ(t)k ≤ ξ(t),

k u(t) ˙ − g(t)k ≤ (1 + α)[k(t)ξ(t) + η(t)] p.p.

ξ(t) = δe ^m(t) + (1 + α) Z t

0

e ^m(t)−m(s) η(s)ds, m(t) = (1 + α)

Z t 0

k(s)ds, α > 0, pour t ∈ I = {t ∈ [0, T ] : ξ(t) < b}.

D´ emonstration.

Etape 1

Nous allons d´ efinir, par r´ ecurrence, deux suites (f _n ) et (u _n ) v´ erifiant les relations suivantes u n+1 (t) = x 0 +

Z t 0

f n+1 (s)ds, t ∈ I, (2.2)

f _n+1 (t) ∈ F (t, u _n (t)), t ∈ I, (2.3) kf _n+1 (t) − f _n (t)k ≤ (1 + α)d(f _n (t), F (t, u _n (t))), t ∈ I. (2.4) L’appartenance, t ∈ I, sera justifi´ ee au cours de la d´ emonstration.

On pose f ₀ = g, u ₀ = ϕ, et on consid` ere la multi-application H ₀ : [0, T ] ⇒ E d´ efinie par

H ₀ (t) = {v ∈ F (t, u ₀ (t)) : kv − f ₀ (t)k ≤ (1 + α)d(f ₀ (t), F (t, u ₀ (t)))},

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

o` u α > 0.

L’application u ₀ est continue sur [0, T ], donc mesurable, alors F (., u ₀ (.)) est L([0, T ])- mesurable (voir Th´ eor` eme 1.4) et la multi-application H <sub>0</sub> est aussi mesurable ` a valeurs ferm´ ees non vides (voir Th´ eor` eme 1.5). D’apr` es le th´ eor` eme d’existence de s´ election me- surable (voir Th´ eor` eme 1.2), il existe une application mesurable f ₁ : [0, T ] → E telle que f ₁ (t) ∈ H ₀ (t) pour tout t ∈ [0, T ], c’est ` a dire,

f ₁ (t) ∈ F (t, u ₀ (t)), et

kf ₁ (t) − f ₀ (t)k ≤ (1 + α)d(f ₀ (t), F (t, u ₀ (t)))

≤ (1 + α)η(t).

La derni` ere in´ egalit´ e est obtenue par la relation (2.1).

De plus, f ₁ ∈ L ¹ _E ([0, T ]) car

kf ₁ (t)k ≤ kf ₁ (t) − f ₀ (t)k + kf ₀ (t)k

≤ (1 + α)d(f ₀ (t), F (t, u ₀ (t))) + kf ₀ (t)k

≤ (1 + α)η(t) + kf ₀ (t)k, la derni` ere in´ egalit´ e est obtenue par la relation (2.1).

Observons maintenant que kf ₁ k _L

E

=

Z T 0

kf ₁ (t)kdt

≤ Z T

0

[(1 + α)η(t) + kf ₀ (t)k]dt

≤ (1 + α) Z T

0

η(t)dt + Z T

0

kf ₀ (t)kdt

≤ (1 + α)kηk _L

R

+ kf ₀ k _L

E

,

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

comme f ₀ ∈ L ¹ _E ([0, T ]) et η ∈ L ¹ _R ([0, T ]), on conclut que f ₁ ∈ L ¹ _E ([0, T ]).

D´ efinissons alors l’application u ₁ : [0, T ] → E par u 1 (t) = x 0 +

Z t 0

f 1 (s)ds.

Par cons´ equent les relations (2.2), (2.3) et (2.4) sont v´ erifi´ ees pour n = 0. De plus,

kf ₁ (t) − f ₀ (t)k ≤ (1 + α)η(t). (2.5) On suppose maintenant que f i ∈ L ¹ _E ([0, T ]) et u i ∈ W _E ^1,1 ([0, T ]) sont d´ efinies sur [0, T ] et v´ erifient les relations (2.2), (2.3) et (2.4) pour i = 1, 2, .., n, et montrons que ces relations sont v´ erifi´ ees pour i = n + 1.

Consid´ erons la multi-application H n : [0, T ] ⇒ E d´ efinie par

H _n (t) = {v ∈ F (t, u _n (t)) : kv − f _n (t)k ≤ (1 + α)d(f _n (t), F (t, u _n (t)))}.

Comme pr´ ec´ edemment F (., u _n (.)) est mesurable, la multi-application H _n est aussi me- surable ` a valeurs ferm´ ees non vides. D’apr` es le th´ eor` eme d’existence de s´ election mesu- rable (Th´ eor` eme 1.3), il existe une application mesurable f _n+1 : [0, T ] → E telle que f _n+1 (t) ∈ H _n (t), pour t ∈ [0, T ]. Ceci donne pour t ∈ [0, T ]

f _n+1 (t) ∈ F (t, u _n (t))

kf _n+1 (t) − f _n (t)k ≤ (1 + α)d(f _n (t), F (t, u _n (t))).

Alors, f _n+1 est mesurable et f _n+1 ∈ L ¹ _E ([0, T ]), car

kf _n+1 (t)k ≤ kf _n+1 (t) − f _n (t)k + kf _n (t)k

≤ (1 + α)d(f _n (t), F (t, u _n (t))) + kf _n (t)k, et comme F v´ erifie la condition de Lipschitz et f _n (t) ∈ F (t, u n−1 (t)), alors

kf _n+1 (t)k ≤ (1 + α)H(F (t, u n−1 (t)), F (t, u _n (t))) + kf _n (t)k

≤ (1 + α)k(t)ku _n (t) − u n−1 (t)k + kf _n (t)k,

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

et

ku _n (t) − u n−1 (t)k = kx ₀ + Z t

0

f _n (s)ds − (x ₀ + Z t

0

f n−1 (s)ds)k

≤ Z t

0

kf _n (s) − f n−1 (s)kds

≤ Z T

0

kf _n (s) − f n−1 (s)kds

= kf _n − f n−1 k _L

E

, donc

kf _n+1 (t)k ≤ (1 + α)k(t)kf _n − f n−1 k _L

E

+ kf _n (t)k, observons maintenant que

kf _n+1 k _L

E

=

Z T 0

kf _n+1 (t)kdt

≤ (1 + α)kf _n − f _n−1 k _L

E

Z T 0

k(t)dt + Z T

0

kf _n (t)kdt

≤ (1 + α)kkk _L

R

kf _n − f n−1 k _L

E

+ kf _n k _L

E

. Comme f _n , f n−1 ∈ L ¹ _E ([0, T ]) et k ∈ L ¹ _R ([0, T ]) donc f _n+1 ∈ L ¹ _E ([0, T ]), de plus

kf _n+1 (t) − f _n (t)k ≤ (1 + α)k(t)ku _n (t) − u n−1 (t)k, ∀ n ≥ 1, (2.6) on peut d´ efinir alors l’application u n+1 : [0, T ] → E par

u _n+1 (t) = x ₀ + Z t

0

f _n+1 (s)ds, avec

f _n+1 (t) ∈ F (t, u _n (t)), et

kf _n+1 (t) − f _n (t)k ≤ (1 + α)d(f _n (t), F (t, u _n (t))).

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

On a ainsi d´ etermin´ e deux suites d’applications (f _n ) et (u _n ) v´ erifiant (2.2), (2.3) et (2.4) pour tout n ∈ N .

Remarquons aussi que pour tout t ∈ [0, T ], nous avons ku ₁ (t) − u ₀ (t)k = kx ₀ +

Z t 0

f ₁ (s)ds − (ϕ(0) + Z t

0

f ₀ (s)ds)k

≤ kx ₀ − ϕ(0)k + Z t

0

kf ₁ (s) − f ₀ (s)kds

≤ δ + (1 + α) Z t

0

η(s)ds, la derni` ere in´ egalit´ e est obtenue de (H ₃ ) et (2.5), donc

ku ₁ (t) − u ₀ (t)k ≤ δ + (1 + α) Z t

0

η(s)ds. (2.7)

En utilisant (2.5), (2.6) et (2.7) nous allons d´ emontrer, par r´ ecurrence, les in´ egalit´ es suivantes

kf _n+1 (t) − f _n (t)k ≤ (1 + α)k(t) h

δ [m(t)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! η(s)ds i

, n ≥ 1;

(2.8) ku _n+1 (t) − u _n (t)k ≤ δ [m(t)] ⁿ

n! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ

n! η(s)ds, n ≥ 0; (2.9) avec

m(t) = (1 + α) Z t

0

k(s)ds.

D’apr` es (2.6) et (2.7), on a

kf ₂ (t) − f ₁ (t)k ≤ (1 + α)k(t)ku ₁ (t) − u ₀ (t)k

≤ (1 + α)k(t)[δ + (1 + α) Z t

0

η(s)ds],

donc (2.8) est v´ erifi´ ee pour n = 1. Il est imm´ ediat que (2.9) est v´ erifi´ e pour n = 0, d’apr` es l’in´ egalit´ e (2.7).

Supposons que (2.8) est v´ erifi´ ee pour n − 1, c’est ` a dire, kf _n (t) − f _n−1 (t)k ≤ (1 + α)k(t) h

δ [m(t)] ⁿ⁻²

(n − 2)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻²

(n − 2)! η(s)ds i

.

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne On a

d dt

h

δ [m(t)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! η(s)ds i

= δ(n − 1) [m(t)] ⁿ⁻²

(n − 1)!

d

dt [m(t)] + (1 + α) Z t

0

(n − 1)[m(t) − m(s)] ⁿ⁻² (n − 1)!

d

dt [m(t)] η(s)ds

= (1 + α)k(t) δ [m(t)] ⁿ⁻²

(n − 2)! + (1 + α)(1 + α)k(t) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻²

(n − 2)! η(s)ds

= (1 + α)k(t) h

δ [m(t)] ⁿ⁻²

(n − 2)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻²

(n − 2)! η(s)ds i , c’est ` a dire,

δ [m(t)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! η(s)ds est une primitive de

(1 + α)k(t) h

δ [m(t)] ⁿ⁻²

(n − 2)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻²

(n − 2)! η(s)ds i

, d’o` u

ku _n (t) − u _n−1 (t)k = ku _n (t) − x ₀ − (u _n−1 (t) − x ₀ )k

= k Z t

0

f _n (s)ds − Z t

0

f n−1 (s)dsk

≤ Z t

0

kf _n (s) − f n−1 (s)kds

≤ δ [m(t)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! η(s)ds, d’apr` es (2.6) on a

kf _n+1 (t) − f _n (t)k ≤ (1 + α)k(t)ku _n (t) − u n−1 (t)k

≤ (1 + α)k(t) h

δ [m(t)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! η(s)ds i

.

En ajoutant membre ` a membre les in´ egalit´ es (2.9) on a, pour n = 0, 1, 2, ..., i − 1, on

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

obtient

ku _i (t) − u ₀ (t)k = ku _i (t) − u i−1 (t) + u i−1 (t) − u i−2 (t) + ... + u ₁ (t) − u ₀ (t)k

≤

i−1

X

n=0

ku _n+1 (t) − u _n (t)k

≤

i−1

X

n=0

h

δ [m(t)] ⁿ

n! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ

n! η(s)ds i

≤ δ

i−1

X

n=0

[m(t)] ⁿ

n! + (1 + α)

i−1

X

n=0

Z t 0

[m(t) − m(s)] ⁿ

n! η(s)ds.

Sachant que

i−1

X

n=0

[m(t)] ⁿ

n! est major´ ee par e ^m(t) , alors

i−1

X

n=0

Z t 0

[m(t) − m(s)] ⁿ

n! η(s)ds =

Z t 0

i−1

X

n=0

[m(t) − m(s)] ⁿ

n! η(s)ds

≤ Z t

0

e ^m(t)−m(s) η(s)ds, d’o` u

ku i (t) − ϕ(t)k ≤ δe ^m(t) + (1 + α) Z t

0

e ^m(t)−m(s) η(s)ds, en posant

ξ(t) = δe ^m(t) + (1 + α) Z t

0

e ^m(t)−m(s) η(s)ds on obtient

ku _i (t) − ϕ(t)k ≤ ξ(t), ∀i ∈ N . (2.10) D’autre part

kf _i (t) − g (t)k = kf _i (t) − f i−1 (t) + ... + f ₁ (t) − g(t)k

≤ kf ₁ (t) − g(t)k +

i−1

X

n=1

kf _n+1 (t) − f _n (t)k.

On obtient, en vertu de (2.5) et (2.8), pour tout i ≥ 1 kf _i (t) − g(t)k ≤ (1 + α)η(t) +

i−1

X

n=1

(1 + α)k(t) h

δ [m(t)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ⁻¹

(n − 1)! η(s)ds i

≤ (1 + α)[η(t) + k(t)ξ(t)],

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

donc

kf _i (t) − g(t)k ≤ (1 + α)[η(t) + k(t)ξ(t)], ∀ i ∈ N . (2.11) Remarquons maintenant que la s´ erie

∞

X

n=1

h

δ [m(t)] ⁿ

n! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ

n! η(s)ds i

est convergente, alors la limite de son terme g´ en´ eral tend vers 0 quand n → ∞, c’est ` a dire,

δ [m(t)] ⁿ

n! + (1 + α) Z t

0

[m(t) − m(s)] ⁿ

n! η(s)ds

tend vers 0 quand n → ∞. Par cons´ equent, par la relation (2.8), la suite (f _n (t)) _n est une suite de Cauchy dans E, et donc elle converge vers un ´ el´ ement f (t), et en vertu de (2.9) la suite ((u _n (t)) _n converge sur I vers u(t), par les mˆ emes arguments.

Etape 2

On va montrer que u est une solution de l’inclusion diff´ erentielle

˙

u(t) ∈ F (t, u(t)), u(0) = x ₀ .

Montrons que, sur I, f (t) ∈ F (t, u(t)) p.p. Pour cela, il suffit de montrer que, pour t ∈ I fix´ e, le graphe de la multi-application x 7→ F (t, x) est relativement ferm´ e dans X _b (t) × E, o` u

X _b (t) = {x ∈ E : (t, x) ∈ X _b }, c’est ` a dire,

gph(F (t, .)) = {(x, v) ∈ X _b (t) × E : v ∈ F (t, x)}, est relativement ferm´ e.

Soit (x _n , v _n ) une suite dans gph(F (t, .)) convergeant vers (x, v) ∈ X _b (t) × E. Pour tout

2. Inclusion diff´ erentielle du premier ordre gouvern´ ee par un op´ erateur maximal monotone et une perturbation Lipschitzienne

entier n, v _n ∈ F (t, x _n ), et donc d’apr` es (H ₁ )

d(v, F (t, x)) ≤ kv _n − vk + d(v _n , F (t, x))

≤ kv n − vk + H(F (t, x n ), F (t, x))

≤ kv _n − vk + k(t)kx _n − xk,

le second membre de la derni` ere in´ egalit´ e tend vers z´ ero quand n → +∞ et comme F (t, x) est ferm´ e, v ∈ F (t, x). Par cons´ equent gph(F (t, .)) est relativement ferm´ e dans X _b (t) × E.

d’apr` es la relation (2.10), on a sur I

ku _n (t) − ϕ(t)k ≤ ξ(t) < b,

c’est ` a dire, (t, u _n (t)) ∈ X _b , alors u _n (t) ∈ X _b (t), on conclut, par la relation (2.3), que (u _n (t), f _n+1 (t)) ∈ gph(F (t, .)), donc sur I, f(t) ∈ F (t, u(t)) p.p.

Si i tend vers +∞, par (2.10),(2.11) et (2.2), on aura sur I ku(t) − ϕ(t)k ≤ ξ(t)

kf (t) − g(t)k ≤ (1 + α)[k(t)ξ(t) + η(t)], p.p.

D’autre part

u(t) = lim

n→+∞ u _n (t) = x ₀ + lim

n→+∞

Z t 0

f _n (s)ds comme

kf _n (t) − g(t)k ≤ (1 + α)[k(t)ξ(t) + η(t)], on obtient

kf _n (t)k ≤ kf _n (t) − g(t)k + kg(t)k

≤ (1 + α)[k(t)ξ(t) + η(t)] + kg(t)k

≤ (1 + α)[k(t)b + η(t)] + kg(t)k,