MÉTHODES DE CALCUL I – Sommes

(1)

BCPST Méthodes de calcul

MÉTHODES DE CALCUL I – Sommes

1^o) Sommes simples Définition 1 :

Soitn∈N^∗. Si a1,a2, . . .an sont des réels (ou complexes), on note

n

X

k=1

ak ou X

1≤k≤n

ak leur somme :

n

X

k=1

ak=a1+a2+. . .+an .

Remarque :

– L’entierkest appeléindicemuet, il peut être remplacé par n’importe quelle lettre :

n

X

k=1

a_k=

n

X

i=1

a_i. – Par convention, la notation

n

X

k=1

signifie quekparcourt tous les entiers successifs de 1 jusqu’àn.

– Par convention toujours, une somme portant sur un ensemble d’indices vide est nulle :

n

X

k=p

a_k=0 sip>n.

Exemple 1 : À connaître : –

n

X

k=p

1=n−p+1 . Plus généralement, une somme de termes constants est égale à la valeur du terme multi- pliée par le nombre de termes.

–

n

X

k=1

k=n(n+1)

2 ,→application des suites arithmétiques ou méthode astucieuse de Gauss.

– Xn k=1

k²=n(n+1)(2n+1)

6 ,→sera démontré plus tard.

– ∀q∈C^\^©¹^ª^,

n

X

k=0

q^k= 1−qⁿ⁺¹ 1−q et

n

X

k=p

q^k=q^p 1−qⁿ⁻^p⁺¹

1−q pourp≤n³

soit :1^erterme×1−raisonnb de termes

1−raison

´. Propriété 1 :

Pour tous réels(ak)1≤k≤net(bk)1≤k≤non a

n

X

k=1

(ak+bk)=

n

X

k=1

ak+

n

X

k=1

bk ;∀λ∈R^,

n

X

k=1

(λak)=λXⁿ

k=1

ak

(linéarité de la somme).

Remarque : Attention :

n

X

k=1

(ak×bk)6=

n

X

k=1

ak×

n

X

k=1

bk.

Pour parvenir à calculer les sommes, il est souvent intéressant de procéder à un changement d’indice, notamment dans le cas de sommes dites « télescopiques ». Par exemple,

n

X

k=2

ak+2=a4+a5+. . .+a_n+2=

n+2X

j=4

aj. On dit qu’on a effectué le changement d’indicej=k+2. L’indice étant muet, on peut écrire au final

n

X

k=2

a_k+2=

n+2

X

k=4

a_k. On observe aussi ce qui se passe si l’on fait les changementsj=k−1, puisj=n−k.

Exemple 2 : Calculer Xn k=1

(u_k+1−u_k) ; calculer Xn k=1

k²en développant Xn k=1

(k+1)³; calculer

n+1X

k=2

1 (k+1)²−

n+2X

k=2

1 (k−1)². Remarque : Les seuls changements d’indice admissibles sont ceux du type j =k+a, j =k−a ou j =a−k aveca ∈N^∗(à condition que j reste un entier naturel). Par exemple, j =2k n’est pas un changement d’indice admissible. D’autre part, par convention les indices écrits dans des sommes sont toujours positifs.

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BCPST Méthodes de calcul 2^o) Sommes doubles

Définition 2 :

Soit (n,p)∈N^∗2^{. Si}^a1,1,a2,1, . . .an,1,a1,2,a2,2, . . .an,2, . . .a1,p, . . .an,psont des réels, on note

p

Pn

i=1 j=1

ai,jou

P

1≤i≤n 1≤j≤p

ai,jleur somme : X

1≤i≤n 1≤j≤p

ai,j=a1,1+a2,1+. . .an,1+a1,2+a2,2+. . .+an,2+. . .+a1,p+. . .+an,p .

Remarque : On peut représenter les différents éléments de la somme dans un tableau : HH

HH HH i

j 1 2 . . . p Somme

1 a_1,1 a_1,2 . . . a_1,p

p

P

j=1

a_1,_j=L₁

2 a2,1 a2,2 . . . a2,p

p

P

j=1

a2,j=L2

... ... ... . . . ... ...

n an,1 an,2 . . . an,p

p

P

j=1

an,j=Ln

Somme C1=

n

P

i=1

ai,1 C2=

n

P

i=1

ai,2 . . . Cp=

n

P

i=1

ai,p P

1≤i≤n 1≤j≤p

ai,j=C1+. . .+Cp=L1+. . .+Ln

Ce tableau montre qu’on dispose de deux stratégies pour calculer une somme double, soit en sommant ligne par ligne, soit colonne par colonne : X

1≤i≤n 1≤j≤p

ai,j=

n

X

i=1

Ã _p X

j=1

ai,j

!

=

p

X

j=1

Ã _n X

i=1

ai,j

! . Exemple 3 : Calculer X

1≤i,j≤n

(i+1)j².

On peut également être amené à calculer des sommes doubles uniquement sur une partie du tableau précé- dent. Il faut notamment savoir traiter le cas des sommes du type X

1≤i≤j≤n

ai,j, X

1≤i<j≤n

ai,j. Exemple 4 : Calculer X

1≤i≤j≤n

i.

II – Produits

Définition 3 :

Soit n ∈ N^∗. Si a1, a2, . . . an sont des réels, on note

n

Y

k=1

ak ou Y

1≤k≤n

ak leur produit :

n

Y

k=1

ak=a1×a2×. . .×an .

Exemple 5 : –

Yn k=1

k =

défn! ;

Yn k=1

a=aⁿ. – Calculer

n

Y

k=1

e^k(k⁻¹⁾.

– Par convention, un produit portant sur un ensemble d’indices vide vaut 1 :

n

Y

k=p

a_k=1 sip>k.

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BCPST Méthodes de calcul Propriété 2 :

Pour tous réels(ak)_1≤k≤n et(bk)_1≤k≤n, on a

n

Y

k=1

(akbk)=

n

Y

k=1

ak×

n

Y

k=1

bk et de même si bk 6=0pour tout

entier k∈[[ 1,n]],

n

Y

k=1

µa_k b_k

¶

=

n

Y

k=1

a_k

n

Y

k=1

bk

.

Remarque : Attention :∀λ∈R^,

n

Y

k=p

(λa_k)=λⁿ⁻^p⁺¹Yⁿ

k=p

a_k , et

n

Y

k=1

(a_k+b_k) ne peut pas s’écrire plus simplement (pas de linéarité du produit).

III – Binôme et applications

1^o) Coefficients du binôme

Commençons par rappeler (?) ce que représente la notion de factorielle : Définition 4 :

Soitn∈N^.

On appellefactorielleden, et on noten!, l’entier défini par n!=1×2×. . .×n sin≥1 et par convention 0!=1 .

Remarque :

– n! représente donc le produit de tous les entiers consécutifs de 1 àn. Par exemple, calculons 3!, 5! et déduisons- en 6!.

– Remarquons que (n+1)! s’exprime en fonction den!, et même en fonction de (n−1)!, et de beaucoup d’autres encore...

Définition 5 :

∀n∈N^,∀p∈[[ 0,n]], on note µ n

p

¶

= n!

p!(n−p)!=n(n−1) . . . (n−p+1)

p! . Par convention, sip>n ou p<0, on pose

µ n p

¶

=0.

Remarque :

– le calcul d’un coefficient du binôme pour des petites valeurs depse fait de manière directe, sans recourir à la formule avec les factorielles :

µ n p

¶

=

ptermes

z }| {

n(n−1) . . . (n−p+1) p(p−1) . . . 1

| {z }

ptermes

. Par exemple, calculons µ 8

2

¶ ,

µ 5 3

¶ ,

µ 3 4

¶ et

plus généralement µ n

2

¶ ,

µ n 3

¶ . – ∀n∈N^,∀p∈N^,

µ n p

¶

∈N^. –

µ n n

¶

=1, µ n

0

¶

=1 et µ n

1

¶

=n.

– On reparlera dans la partie probabilité de ces coefficients du binôme : µ n

p

¶

désigne le nombre de combi- naisons àpéléments d’un ensemble ànéléments.

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(4)

BCPST Méthodes de calcul Théorème 1 :

∀n∈N^∗,∀p∈N^∗, µ n

p

¶

= µ n−1

p−1

¶ +

µ n−1 p

¶ et

µ n p

¶

= µ n

n−p

¶ .

Démonstration : Un peu de calcul amusant avec les factorielles (sauf dans les casp>net consorts) suffit.

Remarque : La 1^reformule du théorème précédent est à la base de la construction du triangle de Pascal, permet- tant de calculer de proche en proche les coefficients du binôme :

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Propriété 3 :

∀(n,p)∈(N^∗⁾²^, µ n

p

¶

=n p

µ n−1 p−1

¶ .

Démonstration : Encore du calcul (rapide cette fois), en n’oubliant pas le casp>n.

2^o) Formule du binôme de Newton

Théorème 2 :

(Formule du binôme de Newton)

∀n∈N^,∀(a,b)∈R²^, ^(a+b)ⁿ=

n

X

k=0

µ n k

¶

a^kb^n−k=

n

X

k=0

µ n k

¶

a^n−kb^k .

Démonstration : Une « petite » récurrence et le tour est joué.

Remarque :

– La somme des exposants deaetbvaut toujoursndans la somme écrite.

– Pour obtenir (a−b)ⁿ, il suffit de remplacerbpar−bdans la formule (ce qui fait apparaître (−1)^n−k).

– Sinest donné, on n’écrit pas deX

mais on applique directement la formule en s’appuyant sur le triangle de Pascal.

Exemple 6 : Développer (2x−1)⁵. Calculer

n

P

k=0

µ n k

¶ , puis

n

P

k=0(−1)^k µ n

k

¶

, et tant qu’on y est

n

P

k=0

2^k µ n

k

¶

. Interpréter ces résultats sur le triangle de Pascal.

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