On admet quegest dérivable sur]0,1[

1BCPST3 DM2 - pour le vendredi 24 septembre Lycée Thiers

Exercice 1:

On considère f :]0,1[→Rdéfinie par f(t) = 1

lnt etg:]0,1[→Rdéfinie par

∀x∈]0,1[,g(x) = Z x²

x

1 lntdt

1. Justifier que f possède une primitive sur]0,1[. On noteraFune de ces primitives.

2. Exprimergen fonction deF.

3. On admet quegest dérivable sur]0,1[.

Déterminer le sens de variation degsur]0,1[.

Exercice 2:

On considère la fonction de variable réelle définie par l’expression f:x7−→ln x−2

x+2

. 1. Déterminer l’ensemble de définitionDde f.

2. Étudier la parité de f.

3. Résoudre l’inéquation f(x)>1.

.Indications de solution exercice 1

•La fonction f:t7→ 1

lnt est continue sur]0,1[donc f possède une primitiveFsur]0,1[.

•On a

∀x∈]0,1[, g(x) =F(x²)−F(x)

•La fonctionF est dérivable sur]0,1[(primitive d’une fonction continue) doncgest dérivable sur]0,1[(composée bien définie de fonctions dérivables). En dérivant avec la formule d’une fonction composée on obtient

∀x∈]0,1[, g⁰(x) =2x f(x²)−f(x) =x−1 lnx >0 Conclusion :la fonctiongest strictement croissante sur]0,1[.

.Indications de solution exercice 2

•On a (tableau de signe)

∀x∈R, x−2

x+2 >0⇐⇒x∈]−∞,−2[∪]2,+∞[

Conclusion :D=]−∞,−2[∪]2,+∞[.

•Soitx∈D. On a(−x)∈Det

f(−x) =ln

−x−2

−x+2

=ln x+2

x−2

=ln

x−2 x+2

−1!

=−ln x−2

x+2

=−f(x)

Conclusion : f est impaire surD

•Soitx∈D. On a (tableau de signe pour la dernière équivalence) f(x)>1⇐⇒ x−2

x+2 >e⇐⇒x−2

x+2−e>0⇐⇒ (1−e)x−2−2e

x+2 >0⇐⇒x∈ 2+2e

1−e,−2

Pour le tableau de signe on devra bien ordonner les racines : pour cela on remarquera que que e−1<e+1 donc 2e+2

e−1 >2donc2e+2 1−e <−2.

Conclusion : l’ensemble desx∈Dvérifiant f(x)>1 estS = 2+2e

1−e,−2

.

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