LA RELATION DE DÉPENDANCE

LA RELATION DE DÉPENDANCE

ENTRE GÈNES NON-IDENTIQUES ( 1 )

M. GILLOIS

Station centrale de

Génétique

animale,

Centre national de Recherches zootechniques, 78-Jouy-en-Josas.

La

présentation logique

^de

l’interprétation génique

^et

chromosomique

^{de l’héré-}

dité _que nous avons

proposée

^{au cours d’études}

précédentes

^est

perfectible.

« Deux

gènes

^sont

identiques,

^{si et seulement}

si,

ils dérivent _par descendance

mendélienne,

^en l’absence de

mutation,

^{d’un même}

gène

^{ancêtre. C’est une relation} binaire

d’équivalence qui

^{induit sur tout} ensemble de

gènes

^une

partition

^{en sous-}

ensembles

disjoints appelés

^classes d’identité. Ijes

gènes appartenant

^{à une même} classe sont

identiques ;

la connaissance de la nature d’un seul

permet

de déterminer la nature de tous les autres, ^car il existe entre eux une relation matérielle : ils sont la

copie

^{non modifiée} par les mutations d’un même

modèle,

^le

gène

ancêtre. Deux

gènes appartenant

^à deux classes d’identité distinctes sont

indépendants,

^{car la}

connaissance de la nature de l’un ne

permet

pas de déterminer avec certitude la nature de l’autre. ^»

(M. G ILLOIS , y 6 4 ).

Cette étude des

propriétés

^{de la} relation d’identité n’est pas ^assez

élaborée,

car elle _suppose

implicitement

que la non-identité entre

gènes

entraîne leur indé-

pendance.

^Deux

gènes appartenant

^à deux classes d’identité distinctes sont 7aort-

identiques.

^{C’est un abus de}

langage

^{et une source} de confusion que de dire _que ces

gènes

^sont

indépendants.

Introduisons la relation binaire de

dépendance

^{sous ses trois}

aspects :

1

° Deux

gènes

^sont absolument

dépendants

^{si la} connaissance de la classe d’iso- action de l’un nous

renseigne

^{avec certitude sur la nature de la} classe d’isoaction de l’autre. Cette connaissance

n’implique

pas

qu’il s’agisse

^{de deux}

gènes

^isoactifs.

2

° Deux

gènes

^sont

indépendants

^{si la} connaissance de la classe d’isoaction de l’un

n’apporte

^aucune information

permettant

de modifier notre incertitude

quant

à la nature de l’autre. La

probabilité

conditionnelle reste

égale

^{à la}

probabilité

a

priori

de la classe d’isoaction.

3

° ^Deux

gènes

^sont

dépendants

^en

probabilité

^{si la} connaissance de la classe d’isoaction de l’un modifie le

degré

d’incertitude attaché à la connaissance de la nature de l’autre.

( 1

) Communication faite aux Journées d’Études de la Commission de Génétique ^de la Fédération ^euro- péenne ^de Zootechnie, ^La Haye, juin ig65.

Deux

gènes identiques

^sont absolument

dépendants,

^car la connaissance de la nature de l’un nous donne toute l’information nécessaire

quant

^{à la nature} de l’autre.

Deux

gènes non-identiques peuvent

avoir leurs états

géniques

aussi bien absolument

dépendants qu’indépendants.

Utilisons ces nouvelles définitions pour décrire la ^structure

génique

^a

!viovi

d’un

zygote

^{H dont nous} considérons les deux

gènes homologues G.

^et

G * ..

Deux situations d’identité sont

possibles :

8

1

^{est la situation} pour

laquelle ^{G H}

^est

identique

^à

G*!,;

8

2

^{est la situation} pour

laquelle ^{G H}

^est

non-identique

^à

G * H .

Soient _{ai, a!} les

représentants

^{de deux} classes d’isoaction

quelconques

^du groupe

auquel

^le

zygote

^H

appartient.

^Soient

p i et p i

^les

probabilités

^a

priori

^attachées

aux classes d’isoaction ai et ai.

Supposons

la situation

8!

^{réalisée. Nous} connaissons la classe d’isoaction du

gène G H ,

^soit ai. La

probabilité

^{de la} réalisation des événements

8 2

^et

G n

^{= a,}

est

( 1

^-

f )!2.

*

Dans ces conditions

G * &dquo; peut

être absotument

indépendaiat

^de

^{G H ;}

^la

proba-

bilité conditionnelle de cette absolue

dépendance

^{est <x.}

G

*

H peut

^{être ai, avec la}

probabilité

conditionnelle _{ai; ai} est la

probabilité

conditionnelle _{pour que}

G * &dquo;

^{soit ai et} absolument

dépendant

^de

G n , sachant que

{G. # G * H } et { G n E ai ! .

G

*

H

peut

être cz!, ^avec la

probabilité conditionnelle a t ; at

^{est la}

probabilité

conditionnelle _{pour que}

G * H soit ai

^et absolument

dépendant

^de

^{G H ,} sachant que

{ G n

’¥= ^{G * H} } et f G H

^e

ai ) d’où

^la relation :

! ai

^{! <x.}

i

Si ai est une

quelconque

^{de ces}

probabilités

conditionnelles.

**

Dans ces mêmes conditions

G * u peut

^être

indépendazat

^de

^{G,, ;} la probabilité

conditionnelle de cette

indépendance

^est

(i

^-

0<:).

G

*

H peut

^être aj, ^avec la

probabilité

conditionnelle

!t, probabilité

^a

Priori

attachée à la classe d’isoaction _a!.

La

probabilité

pour que G* soit

indépendant

^{de G et}

appartienne

^{à la classe}

d’isoaction ai sachant que

t G,, 7!

^G*H

} et {G u

^{= ai}

} est (i

^-

ot)pi.

I>ans un tel groupe, la

probabilité

^a

pviori

^{de tirer un}

homozygote [ai ai]

^est

En introduisant les

probabilités

conditionnelles

!j, pi,

^{i -}

!,

^la

probabilité

a

pviovi

^{de tirer un}

hétérozygote

aiaj ^est

Nous avons donc :

Posons :

I

i^{est la}

probabilité

conditionnelle attachée au

zygote

^{H d’avoir un}

gène ^{G * H}

^{= a;}

sachant

que { G R =1= ^{G * , I} } et { ^{G R}

⁼

a; } .

h

^{est la}

probabilité

conditionnelle attachée au

zygote

^{H d’avoir un}

gène ^{G * n}

⁼ af sachant _que

{ ^{G R =1= G * n} } et { G n

⁼

a; } .

Les

probabilités J i

^et

J i

^{ont un sens}

analogue

^{à la}

permutation près

^{des indices i}

et

j.

Si Ii est

égale

^à

p i ,

^{les deux}

gènes

^sont

indépendants,

^{si Ii est différent de}

pi,

les deux

gènes

^sont

dépendants

^en

probabilité.

d’oû les écritures nouvelles suivantes :

Remarquons

que

!<I!

⁼

P J J,.

Dans le cas d’un _groupe où les

probabilités

^d’absolue

dépendance

^entre

gènes homologues

^et

non-identiques

^d’un

zygote

^sont

nulles, (i

^{- a = i, ocî = o,}

aj ⁼

o),

nous avons :

Ce

qui

^{entraîne :}

Ces dernières

expressions

^{ne sont valables que}

pour

^un

groupe

^{où la}

dépendai!ce

absolue n’est entraînée _que

par l’identité,

^ce

qui

^{est le cas des}

populations panmictiques.

Nos

précédents

^travaux n’avaient pas abordé

l’analyse

^des

rapports qui

^existent

entre la relation d’identité des

gènes

^et la relation de

dépendance

de leurs états

géniques.

^La

consanguinité

^{et la}

parenté

traduisent les filiations des

individus ;

l’identité et la non-identité des

gènes

décrivent leurs états

biochimiques

^{les uns} par

rapport

^aux autres ; ^l’absolue

dépendance,

^la

dépendance

^en

probabilité

^{et l’indé-}

pendance

s’attachent aux variations du

degré

d’incertitude concernant la déter- mination de la nature d’un

gène quant

^{est connue la nature d’un autre}

gène.

^Un tel effort de

logique peut paraître

^bien

académique,

^{mais les résultats nouveaux}

que nous avons

déjà

pu atteindre

justifient amplement

^une telle abstraction.

Reçu pour

publication

^{en novembre} 1965.

SUMMARY

RGL9’1’ION OF DEPENDENCY BETWEEN NON-IDENTICAL GENES

The relation of

identity

^between genes allows the definition of an isoactive

dependency

^relation

between these genes. However, ^{if two} genes ^are non-identical, ^{can we} infer that

they

^are

indepen-

dant ?

Evidently,

^{this is not so. In this} work, ^{we have} shown that reciprocal

implication

^between non-identity ^and

independency

^{is not true} but in this case of random

mating populations.

^{In the}

other _cases, in which occurs either

homogamy

^or selection this

reciprocal implication

^{does not}

exist and the idea of

identity

between genes loses

partly

its interest. This is the reason

why

^we

introduce a more

general

concept, that is the relation of

dependency

between non-identical _genes.

This relation has three states : absolute isoactive

dependency ;

absolute heteroactive

dependency, independency.

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

GiLr.o!s 9L, y6!. La i,elalion d’identilé en génétique. Thèse Fac. Sciences, Paris, Zyç pp.