I- Les ensembles:
Il existe plusieurs ensembles de nombres.
N: Ensemble des nombres entiers naturels.
N = { 0 ; 1 ; 2 ;3 ;
⋯}
Contient tous les nombres entiers positifs.Z :
Ensemble des nombres entiers relatifs.Z = {
⋯;−3 ;−2 ;−1; 0;1 ; 2 ; 3;
⋯}
Contient tous les nombres entiers positifs et négatifs.On en déduit que l’ensemble N est contenu dans l’ensemble Z . ( N⊂Z ) .
N
⊂Z
: Se litN
est inclus dansZ
. D: Ensemble des nombres décimaux.
Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme suivante :
a 10
nOù
a
est un nombre entier relatif(
a∈Z)
etn
un entier naturel(n
∈N )
Remarque : 100=1
Donc tout entier relatif
a
peut être écrit sous la forme suivante :a= a
10
0Autrement dit tout nombre relatif est aussi nombre décimal.
Par conséquent, L’ensemble des nombres entier relatif est contenu (ou inclus) dans l’ensemble des nombre décimaux.
N⊂Z⊂D
Q :
Ensemble des nombres rationnels.Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme
a
b
Où a est un entier relatif.
(a
∈Z)
, et b un entier relatif non nul.( b
∈Z
¿) .
Z¿: Ensemble des entiers relatifs non nuls.
Remarque :
Tout nombre décimal est un nombre rationnel.
(
D⊂Q) R :
Ensemble des nombres réels.Un nombre irrationnel, est un nombre que l’on ne peut pas mettre sous la forme
a
b .
Exemples :
Le nombre π≃3,14⋯ Le nombre
√ 2≃ 1,414⋯
R :
Est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels.Résumé :
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
II- Vocabulaire.
Diviseurs et multiples :
30=5×6
On dit que 30 est un multiple de 5 et de 6.
On dit que 5 est un diviseur de 30, de même 6 est un diviseur de 30.
Si
N =a× b
. N : est un multiple de a et de b .
a et b: Sont des diviseurs de N .
Ensemble des diviseurs d’un nombre :
Les diviseurs de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30.
On note :
D
(30)= { 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ;10 ; 15 ; 30 }
L’ensemble des diviseurs de 30.On note :
M
(5)= { 0 ; 5; 10 ; 15 ;20 ;
⋯}
L’ensemble des multiples de 5.1 est un diviseur de tous les nombres.
0 est un multiple de tous les nombres.
Nombre premier :
Définition :
Un nombre est dit premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
L’ensemble des nombres premiers est infini.
Les nombre premiers sont utilisés en cryptographie.
Propriété :
Tout nombre entier est décomposable en produit de facteurs premiers.
Remarque : Soit
D
(225) L’ensemble des diviseurs de 225.D
(225)= { 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15; 25 ; 45 ;75 ; 225 }
225=3
2× 5
2420=22×31×51×71
De même 420 admet
(2+ 1)× (1+ 1)× (1+ 1)× (1 +1 )=3 × 2 × 2 ×2=24
diviseursD
(420)= { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;10 ;12 ;14 ;15 ; 20 ; 21 ; 28 ; 30; 35 ; 42; 60 ;70 ; 84 ; 105 ; 140 ; 210; 420 }
Ces deux nombres ont plusieurs diviseurs en communs.
Parmi ces diviseurs communs : 15 est le plus grand
15 est le plus grand diviseur commun des nombres 225 et 420.
On note PGCD
(
225;420)
: Le plus grand diviseur commun de 225 et 420.Le nombre de diviseurs est égal à
(2+1 )× (2+ 1)=3 ×3 =9
Définition :
Deux entiers sont premiers entre eux, si leur PGCD est égal à 1
III- Algorithmes d’Euclide et de différences.
1- Algorithme d’Euclide.
Exemple :
Calcul du PGCD de deux nombres.
PGCD (420 ; 225)=15
Dividende Diviseur Reste
420 225 195
225 195 30
195 30 15
30 15 0
Euclide
Philosophe et mathématicien Grec. Naissance vers 325 av J.C. Décès vers 365 av J.C.
2- Algorithme des soustractions successives.
Exemple :
