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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

I- Les ensembles:

Il existe plusieurs ensembles de nombres.

N: Ensemble des nombres entiers naturels.

N = { 0 ; 1 ; 2 ;3 ;

}

Contient tous les nombres entiers positifs.

Z :

Ensemble des nombres entiers relatifs.

Z = {

;−3 ;−2 ;−1; 0;1 ; 2 ; 3;

}

Contient tous les nombres entiers positifs et négatifs.

On en déduit que l’ensemble N est contenu dans l’ensemble Z . ( N⊂Z ) .

N

Z

: Se lit

N

est inclus dans

Z

. D

: Ensemble des nombres décimaux.

Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme suivante :

a 10

n

a

est un nombre entier relatif

(

a∈Z

)

et

n

un entier naturel

(n

N )

Remarque : 100=1

Donc tout entier relatif

a

peut être écrit sous la forme suivante :

a= a

10

0

Autrement dit tout nombre relatif est aussi nombre décimal.

Par conséquent, L’ensemble des nombres entier relatif est contenu (ou inclus) dans l’ensemble des nombre décimaux.

N⊂Z⊂D

Q :

Ensemble des nombres rationnels.

Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme

a

b

a est un entier relatif.

(a

Z)

, et b un entier relatif non nul.

( b

Z

¿

) .

Z¿: Ensemble des entiers relatifs non nuls.

Remarque :

(2)

Tout nombre décimal est un nombre rationnel.

(

D⊂Q

) R :

Ensemble des nombres réels.

Un nombre irrationnel, est un nombre que l’on ne peut pas mettre sous la forme

a

b .

Exemples :

Le nombre π≃3,14⋯ Le nombre

2≃ 1,414

R :

Est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels.

Résumé :

N⊂Z⊂D⊂Q⊂R

II- Vocabulaire.

Diviseurs et multiples :

30=5×6

On dit que 30 est un multiple de 5 et de 6.

On dit que 5 est un diviseur de 30, de même 6 est un diviseur de 30.

Si

N =a× b

.

N : est un multiple de a et de b .

a et b: Sont des diviseurs de N .

Ensemble des diviseurs d’un nombre :

Les diviseurs de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30.

On note :

D

(30)

= { 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ;10 ; 15 ; 30 }

L’ensemble des diviseurs de 30.

On note :

M

(5)

= { 0 ; 5; 10 ; 15 ;20 ;

}

L’ensemble des multiples de 5.

1 est un diviseur de tous les nombres.

0 est un multiple de tous les nombres.

Nombre premier :

Définition :

Un nombre est dit premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.

(3)

L’ensemble des nombres premiers est infini.

Les nombre premiers sont utilisés en cryptographie.

Propriété :

Tout nombre entier est décomposable en produit de facteurs premiers.

Remarque : Soit

D

(225) L’ensemble des diviseurs de 225.

D

(225)

= { 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15; 25 ; 45 ;75 ; 225 }

225=3

2

× 5

2

420=22×31×51×71

De même 420 admet

(2+ 1)× (1+ 1)× (1+ 1)× (1 +1 )=3 × 2 × 2 ×2=24

diviseurs

D

(420)

= { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ;10 ;12 ;14 ;15 ; 20 ; 21 ; 28 ; 30; 35 ; 42; 60 ;70 ; 84 ; 105 ; 140 ; 210; 420 }

Ces deux nombres ont plusieurs diviseurs en communs.

Parmi ces diviseurs communs : 15 est le plus grand

15 est le plus grand diviseur commun des nombres 225 et 420.

On note PGCD

(

225;420

)

: Le plus grand diviseur commun de 225 et 420.

Le nombre de diviseurs est égal à

(2+1 )× (2+ 1)=3 ×3 =9

(4)

Définition :

Deux entiers sont premiers entre eux, si leur PGCD est égal à 1

III- Algorithmes d’Euclide et de différences.

1- Algorithme d’Euclide.

Exemple :

Calcul du PGCD de deux nombres.

PGCD (420 ; 225)=15

Dividende Diviseur Reste

420 225 195

225 195 30

195 30 15

30 15 0

Euclide

Philosophe et mathématicien Grec. Naissance vers 325 av J.C. Décès vers 365 av J.C.

(5)

2- Algorithme des soustractions successives.

Exemple :

420−225=195

225−195=30

195−30=165

165−30=135

135−30=105

105−30=75

75−30 =45

45−30=15

30−15 =15

15−15 =0

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