INÉGALITÉS DANS R
I Ensembles usuels de nombres . . . . 3
I.1 Notations et propriétés . . . . 3
I.2 Tout nombre réel est-il un nombre rationnel ? Introduction à la logique . . . . 5
II Relation d’ordre surR . . . . 13
III Valeur absolue . . . . 17
IV Intervalles deR . . . . 21
V Majorant et minorant – maximum et minimum . . . . 24
VI Partie entière d’un nombre réel. . . . 28
CONTENUS CAPACITÉS&COMMENTAIRES Inégalités
Relation d’ordre surR. Compatibilité avec les opérations. Intervalles deR.
Exemples de majoration et de minoration de sommes, de produits et de quotients. Utilisation de factorisations et de tableaux de signes.
Résolution d’inéquations.
Valeur absolue. Inégalité triangulaire. Interprétation sur la droite réelle d’inégalités du type|x−a| Éb.
DansR, parties majorées, minorées, bornées.
Majorant, minorant ; maximum, minimum.
Partie entière d’un nombre réel. Notationbxc.
I. Ensembles usuels de nombres
I.1. Notations et propriétés
Notation 1.1 – Ensembles usuels de nombres On note :
Nl’ensemble desentiers naturels:N=©
0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .ª . Zl’ensemble desentiers relatifs:Z=©
. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .ª . Dl’ensemble desnombres décimaux:D=n p
10n
¯
¯
¯p∈Zetn∈No. Il s’agit des nombres qui s’écrivent avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Ql’ensemble desnombres rationnels:Q=
½p q
¯
¯
¯p∈Zetq∈N?
¾ .
Histoire des mathématiques
La notationNest introduite par Richard DEDEKIND(mathématicien allemand, 1831 – 1916) dans son ouvrageWas sind und was sollen die Zahlen ?(1888) dans lequel il présente des notions de théorie des ensembles lui permettant de définir l’ensemble des entiers naturels et le principe de la démonstration par récurrence. L’axiomatisation de l’ensemble des entiers naturels a été ralisée en collaboration par Giuseppe PEANO(mathématiciens italien, 1858 – 1932) et DEDEKIND. Dans ces ouvrages, ce que DEDEKINDet PEANOnotentNest ce que nous nous notonsN?.
DEDEKINDproposa une construction de l’ensemble des entiers relatifs mais la notationZ(Zahlen = nombre) a été popularisée par Nicolas BOURBAKI(mathématicien imaginaire) dans l’ouvrageAlgèbre, Chapitre 1(1969).
La notationD(décimal) est introduite par BOURBAKI.
L’origine de la notationQ(quotient) n’est pas connue mais elle a été popularisée par PEANOet BOURBAKI.
0 est un entier naturel. On écrit 0∈Net on lit « 0 appartient àN».
1
3 n’est pas un nombre décimal. On écrit 1
3∉Det on lit «1
3 n’appartient pas àD».
Exemple 1.1 – Symboles∈et∉
Proposition 1.1 – Stabilité par les opérations usuelles des ensembles de nombres 1. La somme et le produit de deux entiers naturels sont des entiers naturels.
2. La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs sont des entiers relatifs.
3. La somme, la différence et le produit de deux nombres décimaux sont des nombres décimaux.
4. La somme, la différence et le produit de deux nombres rationnels sont des nombres rationnels.
L’ensemble des entiers naturels non nuls est notéN?. L’ensemble des entiers relatifs non nuls est notéZ?. L’ensemble des nombres décimaux non nuls est notéD?. L’ensemble des nombres rationnels non nuls est notéQ?.
Remarque 1.1 – Ensembles usuels de nombres privés de zéro
Proposition 1.2
Soit (x,y)∈Q×Q?(cette notation signifie :xest un nombre rationnelquelconqueetyest un nombre rationnel non nulquelconque).
Alors,x+y∈Q,x×y∈Qet x y∈Q. Démonstration
On notex=p1
q1 ety=p2
q2 avec (p1,q1)∈Z×N?et (p2,q2)∈Z×N?. On a alors :
x+y=p1×q2+p2×q1
q1×q2 et x×y=p1×p2 q1×q2. Or,p1×q2+p2×q1∈Z,p1×p2∈Zetq1×q2∈N?.
Donc,x+y∈Qetx×y∈Q.
Définition 1.1 – Droite numérique
Considérons une droiteD qu’on munit d’une origine Oet dirigée par un vecteur non nul~ı. Le choix de ce vecteur dirige la droite (sur le dessin suivant, on parcourt la droiteDde « gauche à droite »).
O M
N A
D
~ı
On noteAl’unique point deDtel que−−→
O A=~ı. On convient que la longueurO Aest égale 1 (on dit que le vecteur
~ıest unitaire).
La droiteDest appeléedroite numérique.
SoitM un point de la droiteD. La position deM est déterminée par : Ï la longueurOM;
Ï le sens du vecteur−−→
OM.
On note :
OM=
( OM si les vecteurs−−→
OMet~ısont de même sens ;
−OM si les vecteurs−−→
OMet~ıne sont pas de même sens.
On dit queOM est l’abscisse du pointM.
L’ensemble des nombres réels est l’ensemble des abscissesOMlorsqueMparcourt la droiteD. Par abus, siMetN sont les points deDd’abscisses respectives xety, on écrira aussi :
0 x
y 1
Notation 1.2 – Ensemble des nombres réels L’ensemble des nombres réels est notéR.
Histoire des mathématiques – Construction deR
Dans les années 1970, deux constructions de l’ensemble des nombres réels émergent. L’une est due à DEDEKINDrepose sur lescoupures de Dedekind(il utilise la notationRpour désigner l’ensemble des nombres réels) et l’autre à Georg CANTOR(1845 – 1918) repose sur la notion decomplétude.
I.2. Tout nombre réel est-il un nombre rationnel ? Introduction à la logique
Définition 1.2 – Assertion, démontrer une assertion
Une assertion est un énoncé « P » qui peut être VRAI ou FAUX mais pas les deux en même temps (c’est le principe du tiers exclu).
Démontrer une assertion (dans les exercices, on dira aussi une propriété ou proposition) signifie montrer que sa valeur de vérité estVRAI.
« 0+0=0 », « 1+1=1 », «nest pair » (oùnest un nombre), «x∈R» (oùxest un nombre), « j’ai faim », « il pleut » sont des assertions.
Exemple 1.2
Dans la pratique, les assertions ne sont pas notées entre guillemets.
Remarque 1.2
Soient « P » et « Q » deux assertions.
L’assertion « PETQ » est vraie lorsque les assertions « P » et « Q » sont simultanément vraies.
Par exemple, l’assertion « 3+2=5ET0+0=0 » est vraie ; et, l’assertion « 3+2=5ET0+0=1 » est fausse.
L’assertion « POUQ » est vraie lorsque l’une au moins des assertions « P » et « Q » sont vraies.
Par exemple, l’assertion « 3+2=5 OU0+0=0 » est vraie ; l’assertion « 3+2=5 OU0+0=1 » est vraie ; et l’assertion
« 3+2=6ET0+0=1 » est fausse.
Attention, contrairement aux mathématiques, en français, le « ou » est parfoisexclusif. C’est le cas par exemple dans la phrase « fromage ou dessert » des restaurants. Vous avez le choix entre le fromage ou le dessert mais pas les deux.
On généralise naturellement ces définitions à plus de deux assertions.
Remarque 1.3 – Conjonction et disjonction
Exercice 1.1
On s’intéresse à l’assertion « Tout nombre réel est un nombre rationnel ». Comment faire pour montrer qu’elle est fausse ?
Résolution
Il suffit de montrer qu’il existe au moins un nombre réel qui n’est pas un rationnel. Autrement dit, il suffit de montrer qu’il existe un nombrextel quex∈Retx∉Q.
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les pointsA,BetCde coordonnées respectives (0, 0), (1, 0) et (0, 1).
Le triangle ABCest rectangle enA. Par le théorème de Pythagore, on a :AC2+AB2=BC2. De plus, AC=AB=1. Donc,BC2=2.
On définit p
2 comme la longueurBC (c’est un nombre réel positif).
Remarque 1.4 – Définition géométrique de p 2
1 1
p 2
A B
C
Nous allons montrer que p
2 n’est pas un nombre rationnel.
Pour cela, on utilisera l’assertion suivante : « si le carré d’un entier relatif est pair, alors cet entier relatif est pair ».
L’assertion, appeléeimplication, « s’il pleut, alors il y a des nuages » est vraie. et peut être représentée à l’aide du diagramme suivant.
il pleut
il y a des nuages
Si on se trouve dans le plus petit disque, alors on est dans le plus grand. Autrement dit, lorsque l’assertion « il pleut » est vraie, l’implication permet de conclure que l’assertion « il y a des nuages » est vraie.
Trois points à retenir :
• Le fait que l’implication soit vraie ne permet pas de conclure sur la présence de pluie ou de nuages dans le ciel ! Autrement dit, les valeurs de vérité de « il pleut » et « il y a des nuages » sont inconnues.
• Lorsque l’assertion « il y a des nuages » est vraie, on en rien conclure quand à la valeur de vérité de l’assertion
« il pleut ». Il peut y avoir des nuages dans le ciel mais pas de pluie.
• Lorsque que l’assertion « il pleut » est fausse, on ne peut rien conclure quant à la valeur de vérité de l’assertion
« il y a des nuages ».
Exemple 1.3 – Si . . ., alors . . .
Définition 1.3 – Implication, condition nécessaire, condition suffisante Soient « P » et « Q » deux assertions.
On dit que P implique Q (ou que « si P, alors Q » est vraie) si lorsque « P » est vraie, « Q » est vraie aussi. On note alors « P⇒Q ».
Lorsque P implique Q est vraie, on dit que : Ï « Q » est unecondition nécessairede « P » ; Ï pour que « P » soit vraie, ilfautque « Q » soit
vraie ;
Ï « P » est unecondition suffisantede « Q » ; Ï pour que « Q » soit vraie, ilsuffit que « P »
soit vraie.
P
Q
Lorsque « P » est fausse, on convient que toute implication « si P, alors Q » est vraie. À partir d’une assertion fausse, on peut tout démontrer !Ce n’est pas si dur les maths !
Remarque 1.5 – Et lorsque « P » est fausse ?
Lorsque P implique Q, on ne peut ni conclure que « P » est vraie ni que « Q » est vraie.
Plus important car c’est une erreur courante, lorsque P implique Q et « Q » est vraie, on en peut rien conclure sur
« P ».
Pour vous en convaincre, vous pouvez reprendre l’exemple de l’implication « s’il pleut, alors il y a des nuages ».
Attention
Méthode 1.1 – Montrer une implication – méthode directe Soient « P » et « Q » deux assertions.
Pour montrer que P implique Q, on suppose que « P » est vraie et montre que « Q » est vraie.
Soitnun entier naturel. Montrons que sinest pair, alors n
2 est un entier naturel.
On suppose quenest pair.
On peut alors écrire n=2koùk∈N. Donc, n
2 =k∈N.
Ainsi, l’implication sinest pair, alors n
2 est un entier naturel est vraie.
Exemple 1.4
Méthode 1.2 – Raisonnement déductif
Pour montrer qu’une assertion « Q » est vraie, on peut partir d’une assertion « P » qu’on sait être vraie et on montre que P implique Q. On utilise un raisonnement ditdéductif.
Soitx∈R. Montrer quex2−6x+11Ê0.
On ax2−6x+11=(x−3)2+2.
Or, si yest un nombre réel, alors y2Ê0.
Donc, l’implication précédente utilisée avec le réel y=x−3 donne (x−3)2Ê0.
De plus, la somme de deux nombres positifs est positive.
Donc, x2−6x+11Ê0.
Exemple 1.5
En français, la phrases’il n’y a pas de nuage, alors il ne pleut pasest une reformulation de la phrases’il pleut, alors il y a des nuages. On peut alors interpréter différemment le diagramme suivant.
Remarque 1.7 – Introduction à la contraposition
il pleut
il y a des nuages
Si on ne se trouve pas dans le plus grand disque, alors on ne se trouve pas dans le plus petit. Autrement dit, lorsque l’assertion « il y a des nuages » est fausse, on peut en conclure que l’assertion « il pleut » est fausse.
Pour que l’assertion « il pleut » soit vraie, il est nécessaire que l’assertion « il y a des nuages » soit vraie.
Définition 1.4 – Négation (leNONlogique) Soit « P » une assertion.
Lanégationde « P » est l’assertion «NONP » qui est Ï vraie « P » est fausse ;
Ï fausse « P » est vraie ;
Nier « P » signifie déterminer «NONP ».
La négation de « il pleut » est « il ne pleut pas ».
La négation de « 0+0=1 » est « 0+0,1 ».
La négation de « tous les nombres réels sont rationnels » est « il existe un nombre réel qui n’est pas rationnel ».
La négation de « il faut beauET2+4=6 » est « il ne faut pas beauOU2+4,6 ».
La négation de « je suis prof de physiqueOUil neige » est « je ne suis pas prof de physiqueETil ne neige pas ».
Exemple 1.6
Définition 1.5 – Contraposée Soient « P » et « Q » deux assertions.
L’assertion «NONQ⇒NONP » est appelée lacontraposéede « P⇒Q ».
La contraposée de « s’il pleut, alors il y a des nuages » est « s’il n’y a pas de nuage, alors il ne pleut pas ».
Exemple 1.7
Méthode 1.3 – Raisonnement par contraposition
Pour montrer que P implique Q, on peut montrer sa contraposée. Autrement dit, on suppose «NONQ » vraie et montre que «NONP » est vraie.
Supposons avoir montré queNONQ impliqueNONP. Justifions qu’alors P implique Q.
On suppose que « P » est vraie.
Donc, «NONP » est fausse.
Or, puisque «NONQ » implique «NONP », par définition de l’implication «NONQ » ne peut être vraie.
Remarque 1.8 – Justification de la méthode
Donc, par le principe du tiers exclus, «NONQ » est fausse, puis par définition de la négation, « Q » est vraie.
Lemme 1.1 Soitn∈Z.
Sin2est pair, alorsnest pair Démonstration
On raisonne par contraposition.
On suppose quenn’est pas pair, autrement dit impair. On écritn=2k+1, oùk∈Z. Donc,n2=4k2+4k+1=2×(2k2+2k)+1. Comme 2k2+2k∈Z,n2est impair.
Donc, sinest impair, alorsn2est impair. Puis, sin2est pair, alorsnest pair.
Méthode 1.4 – Raisonnement par l’absurde (1)
Pour montrer qu’une assertion « P » est vraie, on peut supposer que «NONP » est vraie et montrer qu’on aboutit à une contradiction. Par le principe du tiers exclu (une assertion est ou bien vraie, ou bien fausse), on en déduit que P est vraie.
Théorème 1.1
p2 n’est pas un nombre rationnel.
Démonstration
ÏRaisonnonspar l’absurdeet supposons que p 2∈Q. On peut écrire p
2= p
q, avecp∈Z,q∈N?où la fraction p
q est irréductible (autrement dit,petqn’ont pas de diviseurs premiers communs).
ÏCommeqest non nul, on a alors :p2=2q2.
Donc,p2est pair. D’après le lemme précédent,pest pair.
ÏCommepest pair, il s’écritp=2k, aveck∈N. On a alors : 4k2=2q2.
D’où, en simplifiant par 2, il vient :q2=2k2.
Donc,q2est pair. D’après le lemme précédent,qest pair.
ÏDonc,petqsont tous les deux divisibles par 2. Or, la fraction p
q est irréductible. Contradiction.
Ainsi, l’hypothèse de départ est fausse. Donc, p
2 est irrationnel.
Histoire des mathématiques
La démonstration de ce résultat est attribué par Platon à Théodore de Cyrène (mathématicien grec de l’école pythagori- cienne, -465 – -398).
3 2 5 4 6 7
8 9
10 11 12 13 14 1516 17
Spirale de Cyrène
Définition 1.6 – Nombre irrationnel On dit qu’un nombre réel est irrationnel lorsqu’il n’appartient pas àQ. On noteR\Q(lire «Rprivé deQ») l’ensemble des nombres irrationnels.
Les nombres p
2,πetesont irrationnels.
Exemple 1.8
Ï Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On noteN⊂Z(lire :Nest inclus dansZ). Cependant, il existe au moins un entier relatif qui n’est pas un entier naturel (par exemple,−3). On dit alors que l’inclusionN⊂Zest stricte.
Ï De même, on a :Z⊂D,D⊂QetQ⊂R. Les inclusions précédentes sont strictes.
Ï On peut écrire :N⊂Z⊂D⊂Q⊂Ret on peut résumer cette chaîne d’inclusions par le schéma suivant : Remarque 1.9 – Inclusions entre les ensembles usuels de nombres
N
0 2342
Z
-7 -1-10
D
21
20 −24
10
1 1023
Q
237 13
20 21
R
p2π
e
Soitn∈Z.
On a montré que, si n2est pair, alorsnest pair.
Il est naturel de s’intéresser à l’assertion « sinest pair, alorsn2est paire ».
Remarque 1.10
Définition 1.7 – Implication réciproque Soient « P » et « Q » deux assertions.
L’implication « Q⇒P » est appeléeimplication réciproquede « P⇒Q » Exercice 1.2
Soitn∈Z.
Montrer l’implication réciproque de « sin2est pair, alorsnest pair ».
Résolution
Supposonsnpair.
On a doncn=2koùk∈Z.
Donc,n2=4k2=2 (2k2) où 2k2∈Z. Donc,n2est pair.
Une implication peut être vraie sans que ça réciproque ne le soit. Par exemple, l’implication « s’il y a des nuages, alors il pleut » est fausse.
Attention
Définition 1.8 – Équivalence, condition nécessaire et suffisante Soient « P » et « Q » deux assertions.
On dit queP est équivalente à Q(ou que «P si, et seulement si, Q» est vraie) lorsque P implique Q et Q implique P. On note alors « P⇔Q ».
Lorsque P est équivalente à Q, on dit que :
Ï « Q » est unecondition nécessaire et suffisantede « P » ; Ï pour que « Q » soit vraie, ilfaut et il suffitque « P » soit vraie.
Soitn∈N. Les assertions «nest pair » et «n2 est pair » sont équivalentes.
Exemple 1.9
Soient « P » et « Q » deux assertions. On suppose que P implique Q et que Q implique P
Ï Lorsque « P » est vraie, l’implication « P⇒Q » permet de conclure que « Q » est vraie. De même, lorsque « Q » est vraie, l’implication « Q⇒P » permet de conclure que « P » est vraie.
Ï Lorsque « P » est fausse, la contraposée de « Q⇒P » permet de conclure que « Q » est fausse. De même, lorsque
« Q » est fausse, la contraposée de « P⇒Q » permet de conclure que « P » est fausse.
Autrement dit, les assertions « P » et « Q » ont la même valeur de vérité. On dit aussi que « P » est vraie si, et seulement si, « Q » est vraie ;
Remarque 1.12
Méthode 1.5 – Démontrer une équivalence Soient « P » et « Q » deux assertions.
Pour montrer que l’assertion P est équivalente à Q, on montre successivement que :
• P implique Q.
• Q implique P.
On dit qu’on raisonne pardouble implication.
Exercice 1.3
1. Comment montrer que l’assertion « s’il pleut, alors le prof de mathématiques a son parapluie » est fausse ? 2. En déduire la négation de « P⇒Q »
Résolution
1. Dès que votre professeur de mathématiques arrivera les vêtements mouillés un jour de pluie. Autrement dit lorsque les assertions « il pleut » et « le prof de maths n’a pas son parapluie » sont vraies.
2. La négation de P implique Q est « PET(NONQ) ».
Méthode 1.6 – Raisonnement par l’absurde (2)
Pour montrer qu’une assertion « P⇒Q » est vraie, on peut supposer que « P » et «NON Q » sont vraies et montrer qu’on aboutit à une contradiction.
On en déduit alors que la négation de P implique Q est fausse. Par le principe du tiers exclus, P implique Q.
II. Relation d’ordre sur R
Définition 1.9 – Être inférieur à On reprend la droite numérique de la définition1.1.
Pour tout nombre réelx, on noteMxl’unique point deDd’abscissex.
Soient (x,y)∈R2(c’est-à-dire,xetysont deux nombres réels). On dit que «xest inférieur (ou égal) ày» lorsque le pointMxest « à gauche » du pointMysur la droiteD.
O My
Mx A
D
~ı
Notation 1.3 –xÉyetx<y Soit (x,y)∈R2.
ÏOn écritxÉylorsquexest inférieur ou égal à y.
ÏOn dit quexest strictement inférieur à yet on écritx<ylorsquexÉyetx,y.
Soit (x,y)∈R2.
Ï LorsquexÉy, on écrit aussi yÊxce qui se lit : «yest supérieur ou égal àx» . Ï Lorsquex<y, on écrit aussi y>xce qui se lit : «yest strictement supérieur àx» .
Remarque 1.13 – NotationsxÊyetx>y
Définition 1.10 – Relation de de comparaison, relation d’ordre et ordre total ÏOn dit queÉet<sont des relations de comparaison surR.
ÏOn dit queÉest une relation d’ordre total, c’est-à-dire qu’elle vérifie les propriétés suivantes :
• Réflexivité: pour toutx∈R, xÉx;
• Antisymétrie: pour tout (x,y)∈R2, sixÉyetyÉxalorsx=y;
• Transitivité: pour tout (x,y,z)∈R3(comprendrex, yet zsont des nombres réelsquelconques), sixÉy et yÉzalorsxÉz.
• Ordre total: pour tout (x,y)∈R2, on axÉyou yÉx.
ÏLa relation de comparaison<n’est pas une relation d’ordre total (un réel n’est pas strictement inférieur à lui-même : la réflexivité n’est pas vérifiée).
Définition 1.11 – Réel positif, strictement positif, négatif, strictement négatif Soitx∈R.
ÏOn dit quexest positif ou nul lorsquexÊ0.
ÏOn dit quexest strictement positif lorsquex>0.
ÏOn dit quexest négatif ou nul lorsquexÉ0.
ÏOn dit quexest strictement négatif lorsquex<0.
Notation 1.4 – Ensembles usuels de nombres positifs, négatifs, strictement positifs et négatifs ÏOn note R+
Q+
l’ensemble des nombres réels nombres rationnels
positifs ou nuls. On écrit aussi R+=©
x∈R|xÊ0ª . Q+=©
x∈Q|xÊ0ª .
ÏOn note R−
Q−
Z−
l’ensemble des nombres réels nombres rationnels entiers relatifs
négatifs ou nuls. On écrit aussi R−=©
x∈R|xÉ0ª . Q−=©
x∈Q|xÉ0ª . Z−=©
x∈Z|xÉ0ª . ÏOn note R?+
Q?+ Z?+
l’ensemble des nombres réels nombres rationnels entiers relatifs
strictement positifs. On écrit aussi
R?+=©
x∈R|x>0ª . Q?+=©
x∈Q|x>0ª . Z?+=©
x∈Z|x>0ª . ÏOn note R?−
Q?− Z?−
l’ensemble des nombres réels nombres rationnels entiers relatifs
strictement négatifs. On écrit aussi
R?−=©
x∈R|x<0ª . Q?−=©
x∈Q|x<0ª . Z?−=©
x∈Z|x<0ª .
Théorème 1.2 – Compatibilité de la relation d’ordreÉavec l’addition et la multiplication Soit (x,y,z)∈R3. Géométriquement, on se convainc qu’on a lesimplications:
ÏsixÉy, alorsx+zÉy+z. Ce qui s’écrit :xÉy=⇒x+zÉy+z; Ïsix<y, alorsx+z<y+z. Ce qui s’écrit :x<y=⇒x+z<y+z; ÏsixÉyetzÊ0, alorsx×zÉy×z. Ce qui s’écrit :£
xÉyetzÊ0¤
=⇒x×zÉy×z.
Proposition 1.3 Soientx, y,zettdes réels.
ÏOn a les implications : 1. £
xÉyetzÉt¤
=⇒x+zÉy+t.
2. £
0ÉxÉyet 0ÉzÉt¤
=⇒x×zÉy×t.
3. £
xÉyetz<0¤
=⇒x×zÊy×z.
4. £
xÉyetx>0¤
=⇒ 1 xÊ1
y. 5. £
xÉyety<0¤
=⇒ 1 xÊ1
y.
ÏOn a l’équivalence :xÉysi, et seulement si,−yÉ −x. Ce qui s’écrit :xÉy⇐⇒ −yÉ −x.
Démonstration
Ï
1. On suppose quexÉyetzÉt. Par le théorème précédent, on ax+zÉy+zety+zÉy+t. Donc, par transitivité,x+zÉy+t.
2. On suppose que 0ÉxÉyet 0ÉzÉt. Par le théorème précédent, on ax×zÉy×zety×zÉy×t. Donc, par transitivité,x×zÉy×t.
3. On sait quez<0, donc en ajoutant−zaux membres de l’inégalité, on a 0< −z. D’où, par le théorème précédent,−x×zÉ −y×z.
En ajoutantx×z+y×zaux membres de l’inégalité, il vientx×zÊy×z.
4. On a 1
x×y>0. Donc, on ne change pas le sens de l’inégalité en multipliant pas 1 x×y. 5. On a 1
x×y>0. Donc, on ne change pas le sens de l’inégalité en multipliant pas 1 x×y. ÏIl suffit de multiplier par−1 qui est strictement négatif.
Multiplier une inégalité par un nombre strictement négatif change le sens de l’inégalité.
Attention
Exercice 1.4
Soientx, yetzdes réels tels quex<yetzÊ0.
Que pensez-vous de l’inégalitéx×z<y×z? Résolution
Cette inégalité est fausse dans le cas oùz=0 et est vraie lorsquez>0.
Exercice 1.5
Soienta,b,cetd des réels tels queaÉbetcÉd.
1. Montrer que sia+c=b+d, alorsa=betc=d.
2. Montrer que sic<d, alorsa+c<b+d.
Résolution
1. On suppose quea+c=b+d.
On sait quecÉd, doncb+cÉb+d.
Or,b+d=a+c. Donc,b+cÉa+c. D’où, après simplification parc,bÉa.
De plus, on sait queaÉb. Donc,
a=b.
De plus,a+c=b+d. Donc,
c=d.
2. On suppose quec<d.
Par la question 1 (contraposée), on aa+c,b+d.
Or,aÉbetcÉd, donca+cÉb+d. Donc,
a+c<b+d.
Méthode 1.7 – Égalité de deux réels
Pour montrer que deux réelsxetysont égaux, on peut montrer quexÉyetyÉx.
Le produit de deux nombres de même signe est positif. Le produit de deux nombres de signe opposé est négatif.
On résume ce résultat dans le tableau suivant :
× + −
+ + −
− − +
Remarque 1.15 – Règle des signes
Méthode 1.8 – Déterminer le signe d’une expression
Pour déterminer le signe d’un produit de facteurs (ou d’un quotient), on utilise un tableau de signes.
Il peut parfois être nécessaire de factoriser l’expression dont on cherche le signe.
Déterminons selon les valeurs dex∈Rle signe de l’expression x−2
x2+2x+1 (lorsque celle-ci a un sens).
Soitx∈R.
On a : x2+2x+1=(x+1)2Ê0.
De plus, on remarque que l’expression x−2
x2+2x+1 a un sens si, et seulement si,x,−1.
D’autre part, on a :
x−2Ê0 ⇐⇒ xÊ2.
On en déduit alors le tableau de signes : x
x−2 x2+2x+1
x−2 x2+2x+1
−∞ −1 2 +∞
− 0 +
+ +
− − 0 +
Exemple 1.10
Un tableau de signes peut aussi être utilisé pour résoudre une inéquation. Dans l’exemple précédent, l’ensemble des solutions réelles de l’inéquation x−2
x2+2x+1>0 est©
x∈R¯¯x>2ª . Remarque 1.16
III. Valeur absolue
Définition 1.12 – Valeur absolue Soitx∈R. Lavaleur absoluedexest le réel noté|x|et défini par :
|x| =
½ x sixÊ0
−x six<0.
On a :
¯
¯
¯
¯−3 4
¯
¯
¯
¯=3
4,|10| =10 et|0| =0.
Exemple 1.11
Ï Comme−0=0, lorsquexÉ0, on a :|x| = −x.
Ï Soientx∈Ret h∈R+. Par définition de la valeur absolue, on a l’équivalence :|x| =h ⇐⇒ [x=h] ou [x= −h].
Remarque 1.17
Proposition 1.4 – Propriétés de la valeur absolue 1. Pour tout x∈R, on a :|x| Ê0.
2. Pour tout x∈R, on a :|−x| = |x|et|x|2=x2. 3. Soitx∈R. On a :|x| =0 si, et seulement si,x=0.
4. Soit (x,y)∈R2. On a|x×y| = |x| × |y|. 5. Soitx∈R?. On a
¯
¯
¯
¯ 1 x
¯
¯
¯
¯= 1
|x|. 6. Soitx∈R. On a− |x| ÉxÉ |x|. Démonstration
1. Soitx∈R. On raisonne par disjonction de cas :
• Cas 1 :xÊ0. On a|x| =xÊ0.
• Cas 2 :x<0. On a|x| = −x>0. Donc (qui peut le plus, peut le moins),|x| Ê0.
2. Soitx∈R. On raisonne par disjonction de cas :
• Cas 1 :xÊ0. On a|x| =x. Donc|x|2=x2. De plus,−xÉ0, donc,|−x| = −(−x)=x. Donc,|−x| = |x|.
• Cas 2 :x<0. On a|x| = −x. Donc|x|2=(−x)2=x2. De plus,−x>0, donc,|−x| = −x. Donc,|−x| = |x|. 3. On raisonne par double implication :
• (⇒) On suppose que|x| =0. Par définition, on ax=0 ou−x=0. Dans les deux cas,x=0.
• (⇐) On suppose quex=0. Par définition, on a|x| =0.
4. On raisonne par disjonction de cas. Il y a 4 cas :
• Cas 1 :xÊ0 etyÊ0. On ax×yÊ0. Donc,|x×y| =x×y= |x| × |y|.
• Cas 2 :x<0 etyÊ0. On ax×yÉ0. Donc,|x×y| = −x×y=(−x)×y= |x| × |y|.
• Cas 3 :xÊ0 ety<0. On ax×yÉ0. Donc,|x×y| = −x×y=x×(−y)= |x| × |y|.
• Cas 4 :x<0 ety<0. On ax×yÊ0. Donc,|x×y| =x×y=(−x)×(−y)= |x| × |y|. 5. On raisonne par disjonction de cas. Il y a 2 cas :
• Cas 1 :x>0. On a1
x>0. Donc,
¯
¯
¯
¯ 1 x
¯
¯
¯
¯=1 x= 1
|x|.
• Cas 2 :x<0. On a1
x<0. Donc,
¯
¯
¯
¯ 1 x
¯
¯
¯
¯= −1 x= 1
−x= 1
|x|. 6. On raisonne par disjonction de cas. Il y a 2 cas :
• Cas 1 :xÊ0. On a|x| =xÊ0Ê −x.
• Cas 2 :x<0. On a|x| = −xÊ0Êx.
Pour démontrer la proposition précédente, on a utilisée la méthode de démonstration ditepar disjonction de cas.
On utilise souvent cette méthode de démonstration lorsqu’un objet mathématiques est défini « au cas pas cas ». Ici, la valeur absolue d’un réelxdépend du signe dex.
Remarque 1.18 – Disjonction de cas
Lorsqu’on utilise une disjonction de cas, il faut bien veiller à ne pas oublier de cas ! Attention
Notation 1.5 –max,min Soit (x,y)∈R2. On note :
max(x,y)=
½ x sixÊy
y sinon
Autrement dit, max(x,y) est le plus grand des deux réelsxet yet on a :xÉmax(x,y) et yÉmax(x,y).
min(x,y)=
½ y sixÊy
x sinon
Autrement dit, min(x,y) est le plus petit des deux réelsxet yet on a : min(x,y)Éxet min(x,y)Éy.
Exercice 1.6
Montrer que, pour tout (x,y)∈R2,
max(x,y)=x+y+ |x−y|
2 et min(x,y)=x+y− |x−y| 2 Résolution
Soit (x,y)∈R2. On procède par disjonction de cas :
• Cas 1 :xÊy. Dans ce cas,|x−y| =x−yÊ0, max(x,y)=xet min(x,y)=y.
D’où, x+y+ |x−y|
2 =x+y+x−y
2 =x=max(x,y) etx+y− |x−y|
2 =x+y−x+y
2 =y=min(x,y).
• Cas 2 :x<y. Dans ce cas,|x−y| = −(x−y)>0, max(x,y)=yet min(x,y)=x.
D’où, x+y+ |x−y|
2 =x+y−x+y
2 =y=max(x,y) et x+y− |x−y|
2 =x+y+x−y
2 =x=min(x,y).
Dans les deux cas,
max(x,y)=x+y+ |x−y|
2 et min(x,y)=x+y− |x−y|
2 .
Soientn∈N?etx1, . . ., xndes nombres réels.
On note max(x1, . . . ,xn) ou max
1ÉiÉn(xi) le plus grand des réels x1, . . ., xn. On note min(x1, . . . ,xn) ou min
1ÉiÉn(xi) le plus petit des réelsx1, . . ., xn. Remarque 1.20 – Généralisation
Proposition 1.5
Soitx∈R. On a :|x| =max(x,−x).
Démonstration
Il y a deux cas :
• SixÊ0, alors|x| =x. De plus,−xÉ0Éx, donc max(x,−x)=x.
• Six<0, alors|x| = −x. De plus,xÉ0É −x, donc max(x,−x)= −x.
Dans les deux cas :|x| =max(x,−x).
Corollaire 1.1
Soientx∈Reth∈R+. On a :|x| Éhsi, et seulement si,−hÉxÉh.
Démonstration
On a|x| =max(x,−x).
D’où,|x| Éhsi, et seulement si,xÉhet−xÉh. Ce qui est équivalent àxÉhet−hÉx.
Corollaire 1.2
Soientx∈Reth∈R+. On a :
Ï |x| <hsi, et seulement si,−h<x<h.
Ï |x| Êhsi, et seulement si,xÊhouxÉ −h.
Ï |x| >hsi, et seulement si,x>houx< −h.
Exercice 1.7
Résoudre les inéquations suivantes : 1. |x−3| É2 ;
2. |x+1| >3.
Résolution
1. On a :
|x−3| É2 ⇐⇒ −2Éx−3É2 ⇐⇒ 1ÉxÉ5.
Donc, l’ensemble des solutions est :
S=©
x∈R¯¯xÊ1 etxÉ5ª . 2.
|x+1| >3 ⇐⇒ x+1>3 ou x+1< −3 ⇐⇒ x>2 ou x< −4.
Donc, l’ensemble des solutions est :
S=©
x∈R¯¯x>2 oux< −4ª .
Théorème 1.3 – Inégalité triangulaire Soit (x,y)∈R2. On a :
¯
¯|x| − |y|¯
¯É |x+y| É |x| + |y|. Démonstration
ÏOn commence par montrer que|x+y| É |x| + |y|.
On a :− |x| ÉxÉ |x|et− |y| ÉyÉ |y|.
Donc, en sommant les inégalités, il vient :−(|x| + |y|)Éx+yÉ |x| + |y|.
D’où,|x+y| É |x| + |y|.
ÏOn montre maintenant¯
¯|x| − |y|¯
¯É |x+y|.
On remarque quex=(x+y)+(−y). Donc, en appliquant le premier point de la démonstration avecxremplacé parx+yetypar−y, il vient :|x| = |(x+y)+(−y)| É |x+y| + |−y|.
Or,|−y| = |y|. Donc,|x| − |y| É |x+y|.
De même, on ay=(x+y)+(−x). Donc,|y| = |(x+y)+(−x)| É |x+y| + |−x|. Donc,|y| − |x| É |x+y|. D’où,− |x+y| É |x| − |y|
Donc,− |x+y| É |x| − |y| É |x+y|.
Donc,¯
¯|x| − |y|¯
¯É |x+y|.
En remplaçant ypar−ydans l’inégalité triangulaire, on a :
¯
¯|x| − |y|¯
¯É |x−y| É |x| + |y|. Remarque 1.21
Corollaire 1.3 Soit (x,y,z)∈R3. On a :
|z−x| É |z−y| + |y−x|. Démonstration
On a :z−x=(z−y)+(y−x). Donc, par inégalité triangulaire,|z−x| = |(z−y)+(y−x)| É |z−y| + |y−x|.
Soit (x,y,z)∈R2. On considère les pointsMx,MyetMz d’abscisses respectivesx, yetzsur la droite numérique.
Ï Le nombre réel|x−y|représente la distanceMxMy.
O 1
D
|x−y|
Mx My
~ı
En particulier,|x|est la distance deMxà l’origine.
Ï L’inégalité|z−x| É |z−y| + |y−x|peut être interprétée « avec des mots simples » : la distance à parcourir pour aller deMxà Mzest inférieure ou égale à la distance à parcourir pour aller de Mxà My, puis deMyà Mz.
Remarque 1.22 – Interprétation géométrique
Définition 1.13 – Distance Soit (x,y)∈R2. On noted(x,y)= |y−x|la distance dexà y.
Soit (x,y,z)∈R3. On a :
Ï Séparation:d(x,y)=0 si, et seulement si,x=y; Ï Symétrie:d(x,y)=d(y,x) ;
Ï Inégalité triangulaire:d(x,z)Éd(x,y)+d(y,z).
Remarque 1.23 – Propriétés de la distance
Soient (a,x)∈R2ethÊ0. On a :
|x−a| Éh ⇐⇒ −hÉx−aÉh
⇐⇒ a−hÉxÉa+h.
Remarque 1.24 – Une inégalité importante
IV. Intervalles de R
Ï Donnons quelques définitions
• Unensemble Eest une collection d’objets distincts. Les objets deEsont appeléséléments.
• Lorsquexest un élément deE, on dit quex appartient à Eet on écritx∈E.
• Lorsquexn’est pas un élément deE, on dit quex n’appartient pas à Eet on écritx∉E.
Ï Soit (a,b)∈R2tel queaÉb.
La notation©
x∈R¯¯aÉxÉbª
désigne l’ensemble des réelsxvérifiant la propriété :xest plus grand queaet plus petit queb et se lit : « ensemble des réelsxtels que xest compris entreaetb» ou « ensemble des réels compris entreaetb».
On dit que l’ensemble©
x∈R¯¯aÉxÉbª
est écrit par compréhension (Informatique : listes définies par compré- hension). Les éléments de©
x∈R¯¯aÉxÉbª
sont décrits par une propriété qu’ils vérifient tous.
Remarque 1.25 – Introduction aux ensembles
Soit(a,b)∈R2 avecaÉb. NotationDéfinitionInterprétationgéométriqueOuvertFermé Semi-ouvert ou Semi-fermé
Extrémité inférieure
Extrémité supé- rieureNom [a,b]
© x∈R
¯ ¯aÉxÉb
ª
hi ababSegment ]a,b]
© x∈R
¯ ¯a<xÉbª
ii abab [a,b[
© x∈R
¯ ¯aÉx<bª
hh abab ]a,b[
© x∈R
¯ ¯a<x<bª
ih abab [a,+∞[
© x∈R
¯ ¯xÊa}
h aa+∞Demi-droite ]a,+∞[
© x∈R
¯ ¯x>aª
i aa+∞Demi-droite ]−∞,b]
© x∈R
¯ ¯xÉbª
i b−∞bDemi-droite ]−∞,b[
© x∈R
¯ ¯x<bª
h b−∞bDemi-droite ]−∞,+∞[R−∞+∞
Ï On admet qu’il existe un ensemble qui ne contient aucun élément. On l’appelleensemble videet on le note∅. L’ensemble vide est un intervalle. En effet, on a∅=]0, 0[.
Ï L’assertion « intervalle non vide » désigne un intervalle dont les extrémités sont distinctes.
Ï L’intérieur d’un intervalle Iest l’intervalle ouvert ayant les mêmes extrémités queI.
Par exemple, l’intérieur de [0, 1] et ]0, 1[ ; l’intérieur de ]− ∞, 0] est ]− ∞, 0[ ; l’intérieur de [0, 1[ et ]0, 1[.
Remarque 1.26 – Ensemble vide
Soient (a,x)∈R2ethÊ0. On a :
|x−a| Éh ⇐⇒ a−hÉxÉa+h
⇐⇒ x∈[a−h,a+h].
On a montré que :x∈[a−h,a+h] si, et seulement si,|x−a| Éh.
Ainsi, le segment [a−h,a+h] est exactement l’ensemble des réels situés à une distance inférieure ou égale àhdea.
On peut visualiser cette propriété sur la droite numérique :
a
i
a+h
h
a−h
h h h
x
Cette remarque jouera un rôle important lorsqu’on donnera une définition précise de la notion de limites (de suite et de fonction).
Remarque 1.27 – Retour sur la remarque1.24
Notation 1.6 – Ensembles d’entiers
Soientaetbdeuxentiers relatifstels queaÉb.
On note : Ï a,b =©
n∈Z¯¯aÉnÉbª . Ï a,+∞=©
n∈Z¯¯nÊaª . Ï − ∞,b =©
n∈Z¯¯nÉbª .
Ï Les éléments dea,bsont exactement les éléments qui appartiennent àZet [a,b]. On écrit cela :a,b =Z∩[a,b]
(lire «Zinter [a,b] »).
Ï De la même manière, on écrit :a,+∞=Z∩[a,+∞[ et − ∞,b =Z∩]− ∞,b].
Remarque 1.28 – Intersection d’ensembles
On a montré dans l’exercice1.7que l’ensemble des solutions de l’inéquation|x+1| >3 est S=©
x∈R¯¯x>2 oux< −4ª .
Il s’agit de l’ensemble des réels qui appartiennent à l’ensemble ]2,+∞[ ou à l’ensemble ]− ∞,−4[.
On dit alors queSest la réunion des deux intervalles et on note S=]2,+∞[∪]− ∞,−4[, ce qu’on lit : « ]2,+∞[ union ]− ∞,−4[ ».
Remarque 1.29 – Retour sur l’exercice1.7
V. Majorant et minorant – maximum et minimum
On dit qu’un ensemble Aest unepartie, ousous-ensemble, deRlorsque tous les éléments deAsont des réels.
Remarque 1.30 – Notion de partie
Les ensembles N, Z, D,QetRsont des parties deR. Les intervalles sont des parties deR. Une union et une intersection d’intervalles sont des parties deR.
Exemple 1.12
Définition 1.14 – Majorant/Minorant SoitAune partie deR.
ÏSoitM∈R. On dit queM est unmajorant de Alorsque, pour toutx∈A, on axÉM.
Ce qu’on écrit :∀x∈A,xÉM.
ÏSoitm∈R. On dit quemest unminorant de Alorsque, pour toutx∈A, on amÉx.
Ce qu’on écrit :∀x∈A,mÉx.
3 et 5 sont des majorants de ]− ∞, 1].−10 et 15 sont des minorants de [15, 20[. 20 et 30 sont des majorants de [15, 20[.
Exemple 1.13
Définition 1.15 – Partie majorée/Partie minorée/Partie bornée SoitAune partie deR.
ÏOn dit que Aestmajoréelorsqu’il existeM un majorant deA.
Autrement dit, il existeM∈Rtel que, pour toutx∈A, on axÉM.
Ce qu’on écrit :∃M∈R,∀x∈A,xÉM.
ÏOn dit que Aestminoréelorsqu’il existemun minorant deA.
Autrement dit, il existem∈Rtel que, pour tout x∈A, on amÉx.
Ce qu’on écrit :∃m∈R,∀x∈A,mÉx.
ÏOn dit que Aestbornéelorsqu’elle est minorée et majorée.
Autrement dit, il existe (m,M)∈R2tel que, pour tout x∈A, on amÉxÉM.
Ce qu’on écrit :∃(m,M)∈R2,∀x∈A,mÉxÉM.
La partie ]− ∞, 1] est non minorée et est majorée. La partie [15, 20[ est bornée.
Exemple 1.14
Les symboles∀et∃sont desquantificateurs. Plus précisément : Ï ∀, lire « pour tout », est le quantificateur universel ;
SoitP(x) une propriété qui dépend d’une variablexappartenant à un ensembleE. L’assertion «∀x∈E,P(x) » est vraie, lorsque la propriétéP(x) est vraie pour toute valeur dex∈Epossible.
Ï ∃, lire « il existe », est le quantificateur existentiel ;
SoitP(x) une propriété qui dépend d’une variablexappartenant à un ensembleE. L’assertion «∃x∈E,P(x) » Remarque 1.31 – Quantificateurs
est vraie, lorsque la propriétéP(x) est vraie pour au moins une valeur de x∈E.
Méthode 1.9
SoitEun ensemble. On considère une propriétéP(x) qui dépend d’une variablex∈E.
Ï Pour montrer que l’assertion «∀x∈E,P(x) » :
• est vraie, on considère unx∈Equelconqueet on montre queP(x) est vraie.
La rédaction commencera toujours par :soitx∈E.
• est fausse, on montre qu’il existe au moins un x∈E tel queP(x) est fausse. On dit qu’on cherche un contre-exemple.
Ï Pour montrer que l’assertion «∃x∈E,P(x) » :
• est vraie, on montre qu’il existe au moins unx∈Etel queP(x) est vraie.
• est fausse, on montre que pour toute valeur dex∈E,P(x) est fausse.
On conserve l’ordre des quantificateurs, on remplace∀par∃et∃par∀, puis on remplace l’assertion finale par sa négation.
Remarque 1.32 – Comment nier une assertion faisant intervenir des quantificateurs ?
Soit Aune partie deR. La négation deAest majorée est :
∀M∈R,∃x∈A,x>M.
Autrement dit, pour tout réelM, il existe un élémentxde Atel quexest strictement plus grand que M.
Exemple 1.15
Proposition 1.6 SoitAune partie deR.
La partieAest bornée si, et seulement si :
∃C∈R+,∀x∈A,|x| ÉC.
Démonstration
Ï(⇒) On suppose queAest bornée.
Par définition, il existe (m,M)∈R2tel que, pour toutx∈A, on amÉxÉM.
On poseC=max(|M|,|m|)∈R+. On a :MÉ |M| ÉCetmÊ −|m| Ê −C.
D’où, pour toutx∈A,−CÉ −|m| ÉmÉxÉMÉ |M| ÉC.
Donc, pour toutx∈A,|x| ÉC.
Ï(⇐) On suppose que :∃C∈R+,∀x∈A,|x| ÉC.
On a alors, pour toutx∈A,xÉC. Donc,Aest majorée (parC).
On a de plus, pour toutx∈A,−CÉx. Donc,Aest minorée (par−C).
Ainsi,Aest bornée.
Exercice 1.8
SoitAune partie majorée deR. On suppose qu’il existe un majorantMde Aqui appartient à A.
1. Écrire l’assertion : « il existe un majorantMde Aqui appartient àA» à l’aide de quantificateurs.
2. Comparer l’écriture de la question précédente à celle de la définition departie majorée.
3. Montrer queM est unique.
Autrement dit, montrer que s’il existe Nune majorant deAqui appartient àA, alorsM=N.
