Théorème d’Abel angulaire et théorème taubérien faible

Théorème d’Abel angulaire et théorème taubérien faible

Leçons : 207, 223, 230, 235, 243 Soit P

a_nzⁿ une série entière de rayon de convergence 1 dont la somme sur le disque unité est notée f.

Théorème 1

On suppose que P

n

a_n converge et a pour somme S. Alors si 0 < θ0 < π

2 et ∆_θ0 = z∈D(0, 1):∃(ρ,θ)∈[0, 1[×[−θ0,θ0],z=1−ρe^iθ , on a f(z)−−−→_z∈∆

θ0 z→1

S.

Démonstration.L’idée clef de la preuve est de procéder à une transformation d’Abel sur les sommes partiellesP

a_nzⁿ. Pour tout n∈N, on a a_n=R_n−1−R_n oùR₋₁=0 etR_p= ^+∞P

k=p+1

a_k pour p¾0. Donc si N∈Netz∈D(0, 1),

X+∞

n=0

a_nzⁿ−

N

X

n=0

=

N

X

n=0

(R_n−1−R_n)(zⁿ−1) =

N−1

X

n=0

R_n(zⁿ⁺¹−1)−

N

X

n=0

R_n(zⁿ−1) =

N−1

X

n=0

R_nzⁿ(z−1).

D’où, en faisant tendreN vers+∞, f(z)−S= (z−1)^+∞P

n=0

R_nzⁿ.

Soit" >0. Comme la suite des restes tend vers 0 par convergence deP

n

a_n, on peut fixer N∈Ntel que∀n¾N,|R_n|¶". Ainsi,

|f(z)−S|¶

N

X

n=0

R_nzⁿ

|z−1|+"

‚ _+∞

X

n=N+1

|z|ⁿ

Œ

|z−1|¶

‚ _N X

n=0

|R_n|

Œ

|z−1|+" 1

1− |z||z−1|. (1) Étudions le second terme : siz=1−ρe^iθ ∈∆_θ0, alors

|z−1|

1− |z|= ρ(1+|z|)

1− |z|² ¶ 2ρ 1− |z|² et

1− |z|² =1−(1−ρcosθ)²−ρ²sin²θ=2ρcosθ−ρ²¾2ρcosθ0−ρ² car|θ|¶θ0. Donc siρ¶cosθ0, on a

|z−1|

1− |z| ¶ 2

2 cosθ0−cosθ0

¶ 2 cosθ0

.

Si de plus, on suppose que ρ PN

n=0|R_n|

¶" etρ ¶", selon (1),|f(z)−S|¶"+ 2 cosθ0

". En d’autres termes, f(z)−−−→_z∈∆

θ0 z→1

S.

Une réciproque (partielle) de ce théorème est donnée par le théorème « taubérien faible » :

Gabriel L^EPETIT 1 ENS Rennes - Université Rennes 1

Proposition 2 Sia_n=o

1 n

‹

et f(x)−−−→

x→1⁻ S, alorsP

n

a_n converge et

+∞P

n=0

a_n =S.

Démonstration.Soit 0<x <1. Sin∈NetS_n= Pⁿ

k=0

a_k, alors S_n−S= (S_n−f(x)) + (f(x)−S).

C’est le premier terme de la somme qu’il est intéressant d’étudier pour obtenir la conver- gence voulue. On a

|S_n−f(x)|¶

n

X

k=0

a_k−

n

X

k=0

a_kx^k

+

X+∞

k=n+1

a_kx^k

¶

n

X

k=0

k|a_k|(1−x) +

+∞X

k=n+1

ka_k n x^k

puisque d’une part, 0¶1−x^k= (1−x)(1+x+· · ·+x^k−1)¶k(1−x)et d’autre part k n¾1 sik¾n+1. Ainsi, siM =sup

k∈N

k|a_k|et L_n=sup

k¾n

k|a_k|, on a

|S_n−f(x)|¶M n(1−x) +L_n n

1−xⁿ⁺¹

1−x ¶¶M n(1−x) +L_n n

1 1−x. Soit" >0. Pour toutn∈N^∗,

S_n−f

1−"

n

¶M"+L_n n ×n

" ¶M"+L_n

" . Par hypothèse,

L_n−−−−→_n→+∞ 0 donc il existe N∈Ntel que∀n¾N, L_n¶"², d’où

S_n−f

1−"

n

¶(M+1)". Or, f

1−"

n

−−−−→

n→+∞ S donc il existe n₀ ∈ N tel que f

1−"

n

−S

¶ ". Par suite,

∀n¾max(n₀,N),|S_n−S|¶(M +2)". DoncS=^+∞P

n=0

a_n.

Remarque. • La réciproque du théorème d’Abel angulaire est fausse en général, car

+∞P

n=0(−1)ⁿzⁿ= 1 1+z

z→1

−−→ 1

2 tandis que

+∞P

n=0(−1)ⁿ diverge.

• Un exemple d’application du théorème :

+∞P

n=1

(−1)ⁿ

2n+1 =^+∞P

n=1

(−1)ⁿ

2n+1xⁿ =lim

x→1arctanx = arctan 1= π

4.

• Le théorème taubérien faible est encore vrai sia_n=O

1 n

‹

, c’est le théorème taubérien de Hardy-Littlewood.

Référence : Xavier GOURDON (2009). Les maths en tête : analyse. 2^e éd. Ellipses, pp.

253-254

Gabriel L^EPETIT 2 ENS Rennes - Université Rennes 1