Théorème de Dirichlet faible
Ce développement se trouve dans les recueils d’oraux X-ENS.
Le but de ce développement est de montrer une version faible du théorème de Dirichlet : Théorème. Soitn>1 fixé. Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo n.
Pour ce faire, on indroduit l’ensemblePd des racines primitivesdede l’unité (on noteUd les racines dede l’unité), etΦd ledepolynôme cyclotomique :
Φd= Y
ξ∈Pd
(X−ξ).
On admet aussi le lemme suivant (dont la démonstration se justifie sans peine via l’algorithme d’Euclide) : si A, B ∈Z[X] avecB unitaire, alors le quotient et le reste de la division euclidienne dans C[X] de A parB sont dansZ[X].
Démonstration. 1. Φd est à coefficients entiers. Soitξ∈Un. Alorsξest d’ordred|n. Aussi,
Un=[
d|n
Pd (union disjointe).
De fait,
Xn−1 = Y
ξ∈Un
(X−ξ) =Y
d|n
Φd.
On va maintenant établir l’appartenance àZ[X]deΦn par récurrence surn.
Pour n= 1, c’est clair.
Si c’est vrai pour toutk < n, puisqueΦnest le quotient deXn−1parQ
d6=nΦd, qui est à coefficients entiers par hypothèse de récurrence, et unitaire. Il est dont à coefficients entiers.
2. Preuve du théorème On fixe donc n ∈ N∗. Supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers de la forme λn+ 1, notésp1<· · ·< pr. On poseN=np1p2· · ·pr.
Soita∈Z etppremier tels quepdiviseΦn(a)mais aucun des Φd(a)pour ddiviseur strict den.
pdiviseaN−1 donc doncN divise l’ordre deadans(Z/pZ)∗. Montrons que cet ordre estN. Dans(Z/pZ)∗, on a
ad−1 =Y
d0|d
Φd0(a)
| {z }
6=0card0|n
.
Par intégrité,ad−16= 0et l’ordre deaest exactementN, et divisep−1. ceci implique quep≡1 modN, donc quep≡1 modn, donc quepest l’un despi. Or c’est impossible, carp≡1 modN. L’ensemble des premiers de la formeλn+ 1 est donc infini.
Reste à montrer l’existence de tels couples (a, p) tels que p divise Φn(a) et pas Φd(a) pour d diviseur strict de n. SoitB∈Z[X]tel queXn−1 = Φn(X)B(X). PuisqueΦn etB n’ont aucune racine commune dans C, ils sont premiers entre eux dans C[X], donc dans Q[X]. Il existe donc U, V ∈Q[X]tels queU B+VΦn = 1.
Soita∈Ztel queU0 =aU ∈Z[X]et V0=aV ∈Z[X]. Alors,a=U0B+V0Φn, et, en particulier, a=U0(a)B(a) +V0(a)Φn(a).
Soit p premier divisant Φn(a) : p divise alors an−1. Dans Z/pZ, an = 1 donc a est inversible, donc a∧p= 1. Sipdivise l’un des Φd(a)(d6=n),pdiviserait B(a)donc diviseraita, ce qui est impossible. Le couple ainsi défini convient donc.
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