N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
É MILE B OREL
Note sur un théorème de M. Humbert et sur un théorème de M. Fouret
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 9 (1890), p. 123-129
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NOTE SUR UN THÉORÈME DE M. MINBERT ET SUR IIS THÉORÈME DE M. FOURET;
PAR M. EMILE BOREL.
I . S u i l UN THÉORÈME DE M . HuMBERT.
Considérons deux courbes algébriques déterminées par leurs équations tangen délies
/ o(u, v, w) = o,
et cherchons la somme V des angles que font leurs tan- gentes communes avec Taxe des x, les coordonnées étant supposées rectangulaires.
Pour avoir les directions des tangentes communes, éliminons w entre les équations ( i ); nous obtenons l'équa- tion
( a ) R ( M , V) = O.
Le résultat R(«, v) étant homogène par rapport à u et y, les valeurs de ? racines de l'équation (2), sont les tangentes trigonométriques des angles que font avec 1 axe des x les tangentes communes aux deux courbes.
( ' 2 4 Si l'on pose
on a
t a n gV = V A ^ .
b Ao — A2 -r- A4 — A
On peut remarquer que, si Ton pose R(i, i) = M,+ Ni, on en déduit aisément
tangV={L.
O r , p o u r c a l c u l e r R ( i , / ) , il suffit d ' é l i m i n e r w e n t r e les é q u a t i o n s
vy ) )
( cp(i, t, w) = o.
Il résulte de ce qui précède que l'angle V ne dépend que des deux équations précédentes; il ne change évi- demment pas si l'on remplace les équations (i) parles suivantes
(4) { U, V, « ' ) H- ( U2 - r P2 ) f{ { II, Ç, W ) — ();
(*/, t-', « ' ) -r- ( W2 -h V'2)yi(U, V, W) — O,
ƒ1 et cp1 étant des polynômes lioinogènes. On obtient ainsi ce théorème, trouvé par M. Humbert, d'une ma- nière toute différente :
La somme des angles que font avec un axe fixe les tangentes communes à deux courbes algébriques ne change pas quand on remplace ces courbes par des courbes homo focales.
En particulier, on peut les remplacer par leurs foyers réels ; les tangentes communes sont alors les droites que joignent, de toutes les manières possibles, les foyers
( '25 )
réels. La deuxième partie du problème proposé, en 1889, à l'Ecole Polytechnique n'est qu'un cas particu- lier de cette dernière remarque.
II. — SUR UN THÉORÈME DE M. FOURET.
1. Étant données deux courbes algébriques va- riables, mais rencontrant chacune les axes de coor- données en des points déterminés ; le produit des coef- ficients angulaires des droites qui joignent l'origine à leurs points d'intersection est constant.
On peut énoncer ce théorème d'une autre manière, se prêtant mieux à une transformation, en introduisant une troisième droite arbitraire passant par l'origine} le coef- ficient angulaire d'une quatrième droite variable ne dif- fère que par un facteur constant du rapport anharmo- nique qu'elle forme avec les trois premières. On obtient ainsi ce nouvel énoncé :
Etant données deux courbes algébriques variables^
mais rencontrant chacune les axes de coordonnées en des points déterminés, le produit, des rapports anhar- moniques formés par les droites joignant Vorigine à leurs points d'intersection, avec les axes et une droite fixe passant par leur point de concours, est constant.
Le théorème corrélatif est le suivant :
Lorsque les tangentes, issues de deux points fixes à deux courbes algébriques variables, sont déterminées, le produit des rapports anharmoniques que forment avec ces deux points fixes et un troisième point fixe arbitraire situé sur la droite qui les joint les divers points de rencontre de leurs tangentes communes avec
cette droite, est déterminé.
2. Pour démontrer direetement ee dernier théorème, il su fût de se donner les équations des deux courbes va- riables en coordonnées tangentielles, les deux points fixes étant deux sommets du triangle de référence. Ces équations seront de la forme
( f (il, i>, W)-±- Ui>ft(u, V, W) = O, ( o( M, C, W ) -7- UV Cp! (U, P, W ) = O,
les polynômes ƒ et z> étant déterminés, ƒ! et :p, étant va- riables. On a l'équation des points d'intersection de leurs tangentes communes avec la droite (u = o. f> = o), en éliminant w entre les équations précédentes ; soit
l\(u, v) — o
l'équation ainsi obtenue. Le produit des rapports an- harmoniques considérés est égal, à un facteur constant près, au quotient des coefficients des plus hautes puis- sances de u et de e, c'est-à-dire au quotient
R ( o , v): R{u, o).
Or on peut obtenir R(o, y), en annulant u dans les équations (i) et en éliminant w entre les deux équa- tions
/ ( O, f\ W) = O,
cp(o, p, w) = o.
et, de même, R ( « , o) peut être obtenu en éliminant w entre les deux équations
ƒ( u, o, w) — o,
çp( u, o, «•) — o ;
ce qui prouve que R (o, v) et R(M, O) sont indépendants de f\{u, v, «') et de <p,(a, ^, w), et, par suite, le théo- rème esj, démontré.
3. Si l'on suppose que les deux points fixes sont les points eyeliques, chacun des rapports anharmoniques considérés a pour logarithme l'angle de la tangente com- mune correspondante avec un axe fixe, à un facteur con- stant près. Le produit des rapports anharmoniques étant constant, la somme de leurs logarithmes est constante, et Ton retrouve ainsi ce théorème :
La somme des angles, que font avec un axe fixe les tangentes communes à deux courbes algébriques, est déterminée lorsque la position de leurs foyers est dé- terminée.
C'est le théorème de M. Humbcrt.
4. On peut généraliser le théorème de M. Fouret, en remplaçant les droites fixes par des courbes algébriques quelconques.
Considérons un faisceau linéaire de courbes
On peut appeler rapport anharnionique de quatre courbes de ce faisceau, le rapport anharmonique des quatre valeurs correspondantes de A; ce rapport est égal au rapport anharmonique des tangentes à ces quatre courbes, en l'un quelconque de leurs points communs.
Cela posé, on a ce théorème :
Lorsque les points d'intersection de deux courbes algébriques variables avec deux des courbes d'un faisceau linéaire sont déterminés, le produit des rap- ports anharmoniques que forment avec ces deux courbes-là et une troisième courbe fixe quelconque du faisceau les diverses courbes du faisceau qui passent chacune par Vun des points d'intersection des courbes variables est aussi déterminé.
Soient, en (O
( 2 )
les équations (3)
effet
des
ƒ -+-
courbes
CPCPl ty = z 0 ,
??I+1=O variables,
O - h Acp! = O
étant l'équation générale des courbes du faisceau; f et fK sont déterminés, '| et ^ sont variables.
Les rapports anbarmoniques considérés sont propor- tionnels aux valeurs de \ correspondant aux courbes du faisceau (3) qui passent par les points d'intersection des courbes (1) et (2). Pour former l'équation donnant ces valeurs de X, il suffit d'éliminer jr, ƒ , z entre les équations (1), (2). (3), et le théorème énoncé revient à ceci : le produit des racines de l'équation en \ obtenue est indépendant des coefficients de 6 et de <|v II suffit de montrer que les termes extrêmes de l'équation en \ or- donnée suivant les puissances décroissantes par exemple, ne dépendent pas de ces coefficients.
En effet, supposons, par exemple, que le terme con- stant de l'équation renferme un coefficient de <l> ; nous pourrions résoudre par rapport à ce coefficient l'équa- tion obtenue en égalant à zéro le terme considéré; ce qui revient à dire que, pour une valeur particulière de ce coefficient de <i, l'équation en A aurait une racine nulle, et, par conséquent, les trois équations
ƒ -^- ©01+ = o,
auraient une solution commune; il en serait de même des trois équations
ce qui ne peut être si l'on n'a fait aucune hypothèse sur les coefficients de ƒ, ƒ,, cp.
On verrait de la même manière que le coefficient de la plus haute puissance de X est indépendant de <!> et de 'i,. Le théorème est donc démontré.
