Abel angulaire et taubérien faible
Ce développement se trouve dans le Gourdon d’analyse.
Théorème. Soit P
anzn une série entière de rayon de convergence >1 telle que P
an converge. On notef la somme de la série sur le disque unité. On fixe θ0∈[0, π/2[et on pose
∆θ0={z∈C, |z|<1et∃ρ >0, θ∈[−θ0, θ0], z= 1−ρeiθ}.
Alors
z→1lim
z∈∆θ0
f(z) =
∞
X
n=0
an.
Démonstration. On note S=Pan et Rn =P∞
k=n+1an. On va effectuer une transformation d’Abel en écrivantan =Rn−1−Rn. Pour|z|<1, ça donne donc
f(z)−S=
∞
X
n=1
an(zn−1) =
∞
X
n=1
(Rn−1−Rn)(zn−1) =
∞
X
n=0
Rn(zn+1−1)−
∞
X
n=1
Rn(zn−1) (1)
=
∞
X
n=0
Rn(zn+1−zn) = (z−1)
∞
X
n=0
Rnzn. (2)
Fixons alorsε >0 etN ∈Ntel que∀n>N,RN < ε.On peut écrire
|f(z)−S|6|z−1|
N
X
n=0
Rnzn
+ε|z−1|
1− |z|.
Or, si|z|<1 est suffisamment proche de1(disons|z−1|6α), on a|z−1|
PN
n=0Rnzn < ε.
Maintenant, siz∈∆θ0, on az= 1−ρeiϕ avecϕ∈[−θ0, θ0], donc|z|2= 1−2ρcosϕ+ρ2 et
|z−1|
1− |z| = |z−1|
1− |z|2(1 +|z|) = ρ
2ρcosϕ−ρ2(1 +|z|)6 2 2 cosϕ−ρ. Ainsi, siρ <cosθ0, on obtient
|z−1|
1− |z| 6 2 2 cosθ0−cosθ0
= 2
cosθ0
. De fait, siz∈∆θ0 et|z−1|6min(α,cosθ0), on a
|f(z)−S|6ε+ε 2 cos(θ0)
ce qui montre le résultat.
Remarque : en appliquant ça à la série P(−1)n
2n+1, on en déduit
X(−1)n 2n+ 1 = lim
x→1
X (−1)n
2n+ 1xn= lim arctanx=π 4. On peut faire pareil avecP
(−1)n/n= ln 2.
1
Théorème. SoirP
anzn une série entière de rayon de convergence 1 et soitf la somme de cette série.
On suppose qu’il existe S∈Ctel quelimx→1
x<1f(x) =S et que an =o(1/n). AlorsP∞
n=0an=S.
Démonstration. On noteSn=Pn
k=0ak. On a,
∀n∈N, ∀x∈]0,1[, Sn−f(x) =
n
X
k=0
ak(1−xk)−
∞
X
k=n+1
akxk
et puisque(1−xk) = (1−x)(1 +x+· · ·+xk−1)6k(1−x)pour0< x <1, on en déduit
∀n∀x∈]0,1[, |Sn−f|6(1−x)
n
X
k=0
k|ak|+
∞
X
k=n+1
k|ak|
n xk 6(1−x)M n+supk>n(k|ak|) n(1−x)
oùM désigne un majorant de la suitek|ak|.
Fixons maintenant 0< ε <1. On a, du coup
∀n∈N∗
Sn−f 1− ε
n
6M ε+supk>n(k|ak|)
ε ,
On peut choisirN0 tel quesupk>N0(k|ak|)< ε2, on en déduit
∀n > N0
Sn−f 1− ε
n
6M ε+ε= (1 +M)ε.
Par hypothèse,f tend versS quandx→1 donc|Sn−S| →0.
2
