M P. Lycée Chrestien de Troyes Mathématique. Chapitre 2 Séries numériques. David BLOTTIÈRE

M P

Lycée Chrestien de Troyes Mathématique

Chapitre 2

Séries numériques

David BLOTTIÈRE

Table des matières

1 Notions de base sur les séries numériques 3

2 Comparaison série-intégrale 5

3 Convergence absolue 6

4 Séries à termes réels positifs 7

5 Sommation des relations de comparaison 9

6 Séries alternées 13

7 Dix développements limités usuels au voisinage dex= 0 14

8 Une sélection d’exercices 15

1 Notions de base sur les séries numériques

C2. 1. Notation. Dans toute cette partie,Kdésigne Rou C.

C2. 2. Définition (Série convergente). Soitn₀ ∈N. Soit(u_n)_n>n0 une suite d’éléments deK.

1. La sérieX

un est dite convergente si la suite(Sn)_n>n0 de terme général S_n :=

n

X

k=n0

u_k

est convergente, i.e. si la suite des sommes partielles converge.

2. Si la sérieX

u_nest convergente, alors la limite de la suite(S_n)_n>n0 est appelée somme de la série et est notée

+∞

X

n=n0

u_n.

C2. 3. Sur trois notations attachées aux séries. On veillera à ne pas confondre les trois notations suivantes, qui désignent des objets, certes liés, mais différents.

Xu_n désigne la série de terme général u_n, où n>n₀.

n

X

k=n0

u_k désigne la somme partielle d’indice n de la série de terme généralu_n, où n >n₀.

+∞

X

n=n0

u_n désigne la somme de la série de terme généralu_n, oùn >n₀, uniquement si la série converge.

C2. 4. Restriction au cas oùn₀ = 0 dans la suite. Dans ce qui suit, les définitions et résultats seront énoncés et démontrés pour des séries associées à des suites définies à partir du rang 0. Il s’étendent naturellement à des séries associées à des suites seulement définies à partir d’un rangn₀ ∈N^∗.

C2. 5. Proposition (Condition nécessaire, non suffisante, pour qu’une série converge).

Soit(u_n)n∈N une suite d’éléments deK.

Xu_n converge =⇒ u_n−−−−→

n→+∞ 0.

C2. 6. Exercice (Nature de la série harmonique). Démontrer que la série harmonique, de terme général 1

n, diverge.

C2. 7. La réciproque de l’implication de la Proposition C2.5 est fausse. La série harmonique X 1

n diverge, bien que 1

n −−−−→

n→+∞ 0.

C2. 8. Théorème (Série géométrique). Soit r∈K.

1. X

rⁿ converge ⇐⇒ |r|<1.

2. Si|r|<1, alors

+∞

X

n=0

rⁿ= 1 1−r.

C2. 9. Proposition (Séries télescopiques). Soit(u_n)n∈N une suite d’éléments deK. Soit(v_n)n∈N

la suite de terme généralv_n=u_n+1−u_n.

1. X

v_n converge ⇐⇒ (u_n)n∈N converge.

2. Dans le cas où il y a convergence,

+∞

X

n=0

v_n= lim

n→+∞u_n − u₀.

C2. 10. D’une suite à une série. La Proposition C2.9 permet de ramener l’étude de l’asymptotique d’une suite à celle d’une série.

C2. 11. Théorème (Opérations sur les séries convergentes). Soient(u_n)n∈N et(v_n)n∈Ndeux suites d’éléments deK. Soitλ, µ∈K.

1. X

u_net X

v_nconvergent =⇒ X

λu_n+µv_nconverge.

2. SiX

u_n et X

v_n convergent, alors

+∞

X

n=0

λu_n+µv_n=λ

+∞

X

n=0

u_n+µ

+∞

X

n=0

v_n.

C2. 12. Exercice (Somme d’une série convergente et d’une série divergente). Soient (u_n)n∈N et (v_n)n∈N

deux suites d’éléments de K. On suppose que la série

Xun converge et que la série

Xvn diverge.

Que dire de la nature de la série

Xu_n+v_n?

C2. 13. Définition (Reste d’une série convergente). Soit (uk)_k∈N une suite d’éléments de K telle que la sérieX

k>0

u_kconverge. Pour tout n∈N, le reste d’ordren de la sérieX

k>0

u_k est défini par :

R_n := lim

N→+∞

N

X

k=n+1

u_k=

+∞

X

k=0

u_k−

n

X

k=0

u_k .

Le reste d’ordren de la sérieX

k>0

u_k coïncide donc avec la somme de la série convergente X

k>n+1

u_k , i.e. :

R_n=

+∞

X

k=n+1

u_k.

C2. 14. Exercice (Reste d’une série géométrique convergente). Soit r un nombre complexe tel que

|r|<1. Calculer, pour toutn∈N, le reste d’ordren de la série géométrique X

k>0

r^k .

C2. 15. Proposition (La suite des restes d’une série convergente tendent vers 0). Soit (u_k)_k∈N une suite d’éléments deKtelle que la sérieX

k>0

u_k converge. Alors

R_n =

+∞

X

k=n+1

u_k −−−−→

n→+∞ 0.

2 Comparaison série-intégrale

C2. 16. Théorème (Comparaison série-intégrale). Soit f: R⁺ → R⁺ une fonction continue par morceaux, positive et décroissante.

(C1) La série de terme général

u_n= Z n

n−1

f(t)dt − f(n) est convergente.

(C2) La sérieX

f(n)converge si et seulement si la suite de terme général Z n

0

f(t)dtconverge.

C2. 17. Théorème (Séries de Riemann). Soitα∈R.

X 1

n^α converge ⇐⇒ α >1.

C2. 18. Exercice (Équivalent du reste d’une série de Riemann convergente). Soit α un nombre réel tel que α >1. Former un équivalent du reste d’ordren de la série de Riemann

X

k>1

1 k^α.

C2. 19. Exercice (Séries de Bertrand). Soitα >0et β >0. Démontrer X 1

n^α ln^β(n) converge ⇐⇒







α >1 ou

α= 1 et β >1.

C2. 20. Exercice. Déterminer la nature de la série de terme général u_n= 1

√1 +√

2 +. . .√ n. C2. 21. Exercice (Quelques équivalents associés aux séries de Riemann). Soit α un réel strictement positif.

1. Supposonsα >1. Déterminer un équivalent de

+∞

X

k=n+1

1 n^α.

2. Supposonsα = 1. Donner un équivalent de

n

X

k=1

1 k^α. 3. Supposonsα <1. Donner un équivalent de

n

X

k=1

1 k^α.

C2. 22. Exercice (Équivalent de ζ en1⁺). Déterminer un équivalent, lorsque xtend vers 1⁺, de la fonctionζ définie par :

ζ

]1,+∞[ −→ R

x 7−→

+∞

X

n=1

1 n^x .

3 Convergence absolue

C2. 23. Notation. Dans toute cette partie,KdésigneR ouC.

C2. 24. Définition (Série absolument convergente). Soit(u_n)n∈N une suite d’éléments deK.

La sérieX

u_n est dite absolument convergente si la sérieX

|u_n|est convergente.

C2. 25. Théorème (Une série absolument convergente est convergente). Soit (u_n)n∈N

une suite d’éléments deK.

Xu_n converge absolument =⇒ X

u_n converge.

C2. 26. Exercice (Nature de la série harmonique alternée). Démontrer que la série harmonique alter- née, de terme général (−1)ⁿ

n , converge et déterminer

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ n .

C2. 27. La réciproque de l’implication du Théorème C2.25 est fausse). La série harmonique alternée X(−1)ⁿ

n est convergente, mais non absolument convergente (une telle série est dite semi-convergente).

4 Séries à termes réels positifs

C2. 28. Théorème (Convergence des séries à termes réels positifs). Soit(u_n)n∈N une suite de réels positifs. Soit Sn =

n

X

k=0

uk

!

n∈N

la suite des sommes partielles.

1. X

u_nconverge ⇐⇒ la suite(S_n)_n∈N est majorée 2. SiX

un converge, alors

+∞

X

n=0

un= sup

n∈N

Sn. 3. SiX

un diverge, alorsSn −−−−→

n→+∞ +∞.

C2. 29. Corollaire (Théorème de domination pour les séries à termes réels positifs).

Soient(u_n)n∈N et(v_n)n∈N deux suites de réels positifs telles que :

∀n∈N u_n6v_n [hypothèse de domination].

1. X

vn converge =⇒ X

un converge

2. X

u_ndiverge =⇒ X

v_ndiverge

C2. 30. Affaiblissement de l’hypothèse de domination dans le CorollaireC2.29. Le théorème de domi- nation reste vrai si l’hypothèse de domination n’est satisfaite qu’à partir d’un certain rang.

C2. 31. Exercice (Sommes des deux séries en cas de convergence dans le théorème de domination). On se place dans le contexte du théorème de domination et on suppose que

Xv_n converge. Alors

Xu_n

converge également. Que dire des sommes

+∞

X

n=0

u_n et

+∞

X

n=0

v_n?

C2. 32. Exercice. Déterminer la nature des séries suivantes.

(A)

X 1

n²+n+ 1 (B)

Xsin(n)

2ⁿ (C)

X 1

n²−n (D)

X 1 n²ln(n)

(E)

Xcos(n)

n² (F)

X n

3ⁿ (G)

X

Arctan 2

n²

C2. 33. Théorème (Règle de d’Alembert. Soit(u_n)_n∈N une suite de réels strictement positifs. On suppose qu’il existe`∈R₊ tel que

u_n+1

u_n −−−−→

n→+∞ `.

1. Si` <1, alorsX

u_n converge.

2. Si` >1, alorsX

un diverge.

3. Si` = 1⁺, alorsX

u_n diverge.

C2. 34. Exercice (Règle de Raabe-Duhamel). Soit(u_n)n∈N une suite de réels strictement positifs. On suppose que

u_n+1

u_n −−−−→

n→+∞ 1 avec un développement asymptotique de la forme

un+1

u_n =

n→+∞1− α n +o

1 n

oùα ∈R.

1. Montrer que siα >1, alors

Xu_n converge.

2. Montrer que siα <1, alors

Xun diverge.

C2. 35. Exercice (Comparaison logarithmique). Soient (u_n)n∈N et(a_n)n∈N deux suites de réels stric- tement positifs. On suppose que :

u_n+1

u_n 6 a_n+1 a_n à partir d’un certain rang.

1. Démontrer que si

Xa_n converge, alors

Xu_n converge.

2. Quel résultat antérieur peut-on retrouver grâce à la question 1 ?

C2. 36. Exercice. Soient x ∈ R et a, b des réels strictement positifs. Déterminer la nature des séries suivantes.

(A)

Xxⁿ

n² (B)

Xxⁿ

n! (C)

Xn!xⁿ²

(D)

X 2×4×6×. . .×(2n)

1×3×5×. . .×(2n+ 1) (E)

Xa(a+ 1). . .(a+n) b(b+ 1). . .(b+n)

5 Sommation des relations de comparaison

C2. 37. Théorème (Sommation des oet des O). Soient

• (u_n)_n∈N une suite de nombres complexes ;

• (α_n)_n∈N une suite de nombres réels, dont les termes sont positifs à partir d’un certain rang, appelée suite de référence.

Alors, nous avons les résultats suivants.

1. Supposons que la série X

α_nconverge.

(a) Siu_n =

n→+∞o(α_n), alorsX

u_n converge absolument et :

+∞

X

k=n+1

u_k =

n→+∞o

+∞

X

k=n+1

α_k

! .

(b) Siun =

n→+∞O(αn), alorsX

unconverge absolument et :

+∞

X

k=n+1

u_k =

n→+∞O

+∞

X

k=n+1

α_k

! .

2. Supposons que la série X

α_ndiverge.

(a) Siu_n =

n→+∞o(α_n), alors :

n

X

k=0

uk =

n→+∞o

n

X

k=0

αk

! . (b) Siu_n =

n→+∞O(α_n), alors :

n

X

k=0

u_k =

n→+∞O

n

X

k=0

α_k

! .

C2. 38. Exercice (Le théorème de Cesàro pour les suites de réels positifs). Soit (u_n)_n∈N une suite de nombres réels qui converge vers un réel`. Le théorème de Cesàro nous livre le résultat de convergence en moyenne suivant :

1 n

n−1

X

k=0

uk −−−−→

n→+∞ `.

Déduire du théorèmeC2.37 le théorème de Cesàro.

C2. 39. Théorème (Sommation des équivalents). Soient (u_n)n∈N et (v_n)n∈N deux suites de nombres réels. On suppose que :

(H1) vn >0 à partir d’un certain rang ; (H2) un ∼

n→+∞vn. Alors :

(C0) u_n>0 à partir d’un certain rang ; (C1) les sériesX

u_netX

v_nsont de même nature ; (C2) siX

un etX

vnconvergent, alors :

+∞

X

k=n+1

u_k ∼

n→+∞

+∞

X

k=n+1

v_k ;

(C3) siX

u_n etX

v_ndivergent, alors :

n

X

k=0

uk ∼

n→+∞

n

X

k=0

vk.

Démonstration. C0 Par hypothèse, il existe N1 ∈Ntel que :

∀n>N₁, v_n>0. (1) Comme u_n ∼

n→+∞ v_n, la suite u_n

v_n

n>N1

, qui est bien définie, converge vers 1. En appliquant la définition de la convergence vers 1, avecε spécialisé à 1

2 >0, nous obtenons :

∃N₂ >N₁, ∀n>N₂, 1 2 6 u_n

v_n 6 3

2 . (2)

De (1) et (2), on déduit que :

∀n>N₂, u_n >0. C1 De (1) et (2), nous déduisons également :

∀n>N₂, 1

2v_n 6u_n6 3

2v_n. (3)

• Supposons que la série

Xu_n converge.

Comme les suites(u_n)n∈Net 1

2v_n

n∈N

sont positives à partir d’un certain rang, le Théorème de domination pour les séries à termes positifs et (3) nous livrent la convergence de la série X1

2v_n. D’après les résultats sur les opérations sur les séries convergentes, la série

Xv_n converge.

• Supposons que la série

Xv_n converge.

D’après les résultats sur les opérations sur les séries convergentes, la série X3

2v_n converge.

Comme les suites(u_n)n∈Net 3

2v_n

n∈N

sont positives à partir d’un certain rang, le Théorème de domination pour les séries à termes positifs et (3) nous livrent la convergence de la série Xu_n.

Nous avons démontré que la série

Xu_n converge si et seulement si la série

Xv_n converge. Les deux séries ont donc même nature.

C2 Supposons que

Xu_n et

Xv_n convergent. Puisque u_n ∼

n→+∞v_n : u_n−v_n =

n→+∞o(v_n) . D’après le Théorème sur la sommation des o:

+∞

X

k=n+1

u_k−v_k =

+∞

X

k=n+1

u_k−

+∞

X

k=n+1

v_k =

n→+∞o

+∞

X

k=n+1

v_k

! .

Ainsi : _+∞

X

k=n+1

u_k ∼

n→+∞

+∞

X

k=n+1

v_k .

C3 Supposons que

Xu_n et

Xv_n divergent. Puisqueu_n ∼

n→+∞v_n : u_n−v_n =

n→+∞o(v_n) . D’après le Théorème sur la sommation des o:

n

X

k=0

u_k−v_k=

n

X

k=0

u_k−

n

X

k=0

v_k =

n→+∞o

n

X

k=0

v_k

! .

Ainsi : _n

X

k=0

u_k ∼

n→+∞

n

X

k=0

v_k .

Q.E.D.

C2. 40. Attention aux hypothèses sur le signe. Lorsque qu’aucune des deux suites n’est de signe constant à partir d’un certain rang, le théorème de sommation des équivalents n’est pas nécessairement vrai.

Par exemple, pour toutn ∈N^∗, posons : un= (−1)ⁿ

√n + 1

n et vn= (−1)ⁿ

√n .

La série

Xvnconverge (cf. critère des séries alternées), la série

Xundiverge, mais pourtantun ∼ v_n. n→+∞

C2. 41. Exercice. Que dire de la série

X n+ 2ⁿ

√n+ 3ⁿ?

C2. 42. Exercice. Déterminer la nature de la série

X ln

1 + (−1)ⁿ n

.

C2. 43. Exercice. Soit q un réel strictement positif.

1. Supposonsq = 1. Donner un équivalent de

n

X

k=0

q^k quandn tend vers+∞.

2. Supposonsq >1. Donner un équivalent de

n

X

k=0

q^k quandn tend vers+∞.

C2. 44. Exercice. Déterminer la nature de

Xu_n dans les cas suivants.

(A) u_n= 3n²+ 5n

8n³ + 4 (B) u_n= n+ cos(n)

n³+ 1 (C) u_n = (−1)ⁿ

n+ (−1)ⁿ√ n

(D) u_n = e^inθ

n² +n [θ ∈R] (E) u_n= (−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ

6 Séries alternées

C2. 45. Théorème (Critère des séries alternées). Soit (u_n)n∈N une suite de réels telle que : (H1) ∀n∈N u_nu_n+1 60;

(H2) la suite(|u_n|)n∈N est décroissante ; (H3) u_n−−−−→

n→+∞ 0.

Alors :

(C1) la série X

u_nconverge ; (C2) siun+1 <0alors :

S_n+1 6

+∞

X

k=0

u_k 6S_n et u_n+16R_n60 ; (C3) siu_n+1 >0alors :

S_n6

+∞

X

k=0

u_k 6S_n+1 et 06R_n6u_n+1 .

oùS_n=

n

X

k=0

u_k etR_n=

+∞

X

k=n+1

u_k.

C2. 46. Formulation synthétique des propriétés sur le reste d’une série alternée. Si (u_n)n∈N une suite de nombres réels vérifiant les hypothèses (H1), (H2), (H3) du ThéorèmeC2.45, alors pour toutn∈N:

1. R_n :=

+∞

X

k=n+1

u_k a le signe deu_n+1;

2. |Rn|:=

+∞

X

k=n+1

uk

6|un+1|.

On dit parfois que le reste d’ordren(R_n), a le signe de son premier terme (u_n+1) et que sa valeur absolue est majorée par la valeur absolue de son premier terme.

C2. 47. Exercice. Déterminer la nature de

Xu_n dans les cas suivants.

(A) u_n = (−1)ⁿ

n+ 1 (B) u_n= (−1)ⁿ

√n+ 1 (C) u_n= ln

1 + (−1)ⁿ n+ 1

C2. 48. D’une hypothèse du théorèmeC2.45. L’hypothèse (H2) dans le critère des séries alternées est essentielle. En effet, la série de terme général

u_n = (−1)ⁿ

√n+ (−1)ⁿ

7 Dix développements limités usuels au voisinage de x = 0

Développements limités Indications pour retrouver les développements limités

1 1−x=

n

X

k=0

x^k+o(xⁿ) Six6= 1, alors

n

X

k=0

x^k =1−xⁿ⁺¹ 1−x .

1 1 +x=

n

X

k=0

(−1)^kx^k+o(xⁿ) Substitutionx← −xdans le DL dex7→ 1 1−x.

ln(1 +x) =

n

X

k=1

(−1)^k+1

k x^k+o(xⁿ) Primitivation du DL dex7→ 1 1 +x.

arctan(x) =

n

X

k=0

(−1)^k

2k+ 1x^2k+1+o x²ⁿ⁺²

Substitutionx←x²dans le DL dex7→ 1

1 +x, puis primitivation.

exp(x) =

n

X

k=0

x^k

k! +o(xⁿ) Formule de Taylor-Young et pour toutk∈N,exp^(k)= exp.

ch(x) =

n

X

k=0

x^2k

(2k)!+o x²ⁿ⁺¹

Partie paire deexp

sh(x) =

n

X

k=0

x^2k+1

(2k+ 1)! +o x²ⁿ⁺²

Partie impaire deexp

cos(x) =

n

X

k=0

(−1)^k

(2k)! x^2k+o x²ⁿ⁺¹

Pour toutx∈R,cos(x) =ch(ix)

sin(x) =

n

X

k=0

(−1)^k

(2k+ 1)!x^2k+1+o x²ⁿ⁺²

Pour toutx∈R,sin(x) =sh(ix) i

(1 +x)^α= 1 +

n

X

k=1

Qk−1

`=0(α−`)

k! x^k+o(xⁿ) Formule de Taylor-Young et pour tout k ∈ N^∗, la dérivée k-ième de x 7→

(1 +x)^αestx7→

k−1

Y

`=0

(α−`)

!

(1 +x)^α−k

8 Une sélection d’exercices

C2. 49. Exercice. Étudier la convergence des séries de termes généraux suivants.

1 + 1

n n

−e √

n+ 1−√

n (n+ 1)^1/n−n^1/n

(−1)ⁿ

√n²+n

s

1 + (−1)ⁿ

√n −1 n!

nⁿ

√ 1

n²−1 − 1

√n²+ 1

ch(n) ch(2n)

(−1)^E(√n) n

(2n)!

nⁿ ch(n^α)−sh(n^α) [α ∈R] 1! + 2! +. . .+n!

(n+ 2)!

C2. 50. Exercice (CCINP). Étudier la convergence et, le cas échéant, calculer la somme de la série X

n>2

1 n²−1.

C2. 51. Exercice. Démontrer que la série de terme général 1

n(n+ 1)(n+ 2) converge et calculer sa somme.

C2. 52. Exercice. Donner un équivalent de

2n

X

k=n+1

√1

k et de

n

X

k=2

1 kln(k).

C2. 53. Exercice (CCINP). Soit α∈R. Étudier la convergence de la série X

n>2

1 n(ln(n))^α.

C2. 54. Exercice (CCINP). Soit(u_n)n∈Nune suite réelle à termes strictement positifs, soit`∈]0,1[. 1. Supposons que u_n+1

u_n −−−−→

n→+∞ `. Démontrer que la série

Xun converge.

2. Quelle est la nature de la série

X n (3n+ 1)!?

C2. 55. Exercice (CCINP).

1. Soient(u_n)n∈N et(v_n)n∈Ndeux suites réelles à termes positifs telles queu_n ∼

n→+∞v_n. Démontrer que les séries

Xu_n et

Xv_n ont même nature.

2. Déterminer la nature de la série X

(n−1) sin 1

n

√n−1 .

C2. 56. Exercice (CCINP).

1. Soit(u_n)_n∈N une suite réelle décroissante à termes strictement positifs et convergeant vers0. 2. Démontrer que la série

X(−1)ⁿu_n converge.

3. Déterminer un majorant du reste de cette série.

C2. 57. Exercice (CCINP). Soient a, b ∈ R. Étudier la convergence de la série

X aⁿ 1 +bⁿ en fonction des valeurs dea et deb.

C2. 58. Exercice (TPE). Démontrer que

2n

X

k=1

√1

k ∼

n→+∞ 2√ 2√

n.

C2. 59. Exercice (CCINP). Déterminer la nature de la série X

cos

1 n

n³

.

C2. 60. Exercice (CCINP). Déterminer la nature de la série

X(1−th(n)).

C2. 61. Exercice (CCINP). Déterminer la nature de la série

Xsin π√

n²+ 1 .

C2. 62. Exercice (CCINP). Déterminer la nature de la série

Xsin

πn³+ 1 n² + 1

.

C2. 63. Exercice (CCINP). Soient a, b∈R.

1. Déterminer la nature de la suite de terme généralu_n= ln(n) +aln(n+ 1) +bln(n+ 2)suivant les valeurs deaet b.

2. Étudier la convergence deu_n selon les valeurs dea etb.

C2. 64. Exercice (CCINP). Soit α >0. Déterminer la nature de la sérieln

1 + (−1)ⁿ n^α

.

C2. 65. Exercice (CCINP). Soit α ∈ R. Déterminer la nature, selon la valeur de α, de la série Xn^α(ln(n))ⁿ

n! .

C2. 66. Exercice (Navale). Soit α > 0. Déterminer, selon la valeur de α, la nature de la série (−1)ⁿ

pn^α+ (−1)ⁿ.

C2. 67. Exercice (TPE). Pour toutn ∈N, notons u_n = arctan

1 n²+ 3n+ 3

. 1. Démontrer que la série

Xu_nconverge.

2. Déterminer sa somme.Indication : on cherchera a, btels que 1

n²+ 3n+ 3 = a−b

1 +ab eta =b+ 1.

C2. 68. Exercice (TPE). Pour toutn ∈N, posons u3n+1 = 1

4n+ 1 , u3n+2 = 1

4n+ 3 , u3n+3 = −1 2n+ 2. Démontrer que la série

Xunconverge et déterminer sa somme.

C2. 69. Exercice (CCINP). Considérons une suite réelle (u_n)n∈N telle que u₀ > 0 et pour tout n∈N

u_n+1 = e^−un n+ 1. Donner la nature des séries

Xun et

X(−1)ⁿun.

C2. 70. Exercice. Soient (u_n)et (v_n)deux suites de nombres réels strictement positifs telles que les séries

Xu_n et

Xv_n convergent. Démontrer que les séries suivantes convergent Xmax(u_n, v_n) X√

u_nv_n X u_nv_n un+vn

.

C2. 71. Exercice (TPE). Démontrer que la série

X 1

n(2n−1)2ⁿ converge et déterminer sa somme.

C2. 72. Exercice. Démontrer que la série Xln

n²+ 3n+ 2 n²+ 3n

converge et déterminer sa somme.

C2. 73. Exercice (ENSAM). Pour tout n∈N^∗, posons u_n= n

n+ 1 n²

. 1. Démontrer que la série

Xu_nconverge.

2. Déterminer une majoration de son reste.

3. Déterminer un rang à partir duquel la différence entre la somme et la somme partielle est majorée par 10⁻³.

4. Déterminer

+∞

X

n=1

u_net vérifier le résultat précédent.

C2. 74. Exercice (CCINP). Pour tout n ∈N, posons R_n =

+∞

X

k=n+1

1 k!. 1. Démontrer que la suite(Rn)n∈N est bien définie.

2. Étudier la convergence de la suite de terme général(n+ 1)!R_n. 3. Déterminer la nature de la série

Xsin(2πen!).

C2. 75. Exercice. Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs tels que ⁿ√

u_n −−−−→

n→+∞ ` ∈ R. Démontrer que si` <1, la série

Xu_n converge, et que si` >1, la série

Xu_n diverge.

C2. 76. Exercice (CCINP). Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs. Démontrer que les séries

Xu_n et

X u_n

1 +u_n ont même nature.

C2. 77. Exercice (ENSAM). Pour tout n∈N^∗, posons un=

+∞

X

k=n

(−1)^k k . 1. Démontrer que la suite(u_n)n∈N^∗ est bien définie.

2. Démontrer que la série X

n>1

u_nconverge et déterminer sa somme.

C2. 78. Exercice. Démontrer que la série de terme général 1

1²+ 2²+. . .+n² converge et calculer sa somme. On rappelle que

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n+ 1 = ln(2).

C2. 79. Exercice (TPE). Pour toutn ∈N^∗, posonsT_n =

n

X

k=1

cos(2kπ/3)

k .

1. Trouvera, b, c tels que pour toutn∈N^∗ : T_n =a

n

X

k=1

1 3k +b

n−1

X

k=0

1

3k+ 1 +c

n−1

X

k=0

1 3k+ 2.

2. Démontrer que la suite(T_n)n∈N^∗ converge et déterminer sa limite.

C2. 80. Exercice. Déterminer la nature de la série de terme général (−1)ⁿ

n

X

k=1

√1

k + (−1)ⁿ

C2. 81. Exercice. Donner un équivalent simple de u_n =

n

X

k=1

1 k+√

k et montrer qu’il existe une constante C telle queu_n =

n→+∞ln(n) +C+o(1).

C2. 82. Exercice. Démontrer que la suiteu_n=

n

X

k=1

1 k²+√

k converge et donner un développement asymptotique deu_n de précisiono

1 n

.

C2. 83. Exercice. Donner un développement asymptotique à deux termes de

n

X

k=1

1 k².

C2. 84. Exercice.

1. Donner un équivalent deu_n=

n

X

k=2

ln(k) k .

2. Démontrer que la suite de terme généralv_n=u_n−ln²(n)

2 converge vers un réel`et donner un équivalent de vn−`.

C2. 85. Exercice. Déterminer un équivalent de

n

X

k=1

(ln(k))².

C2. 86. Exercice (ENSEA). Pour tout n ∈ N^∗, notons c(n) le nombre de chiffres de l’écriture décimale den. Étudier la convergence et, le cas échéant, la somme de la série

X c(n) n(n+ 1).

C2. 87. Exercice (INT). Considérons une suite(u_n)n∈N telle queu₀ ∈R et∀n ∈N u_n+1 = (−1)ⁿ⁺¹cos(u_n)

n+ 1 . Déterminer la nature de la série

Xu_n.

C2. 88. Exercice (INT). Soit(u_n)n∈Nune suite réelle à termes strictement positifs. Pour toutn ∈N, posons

S_n =

n

X

k=0

u_k et v_n = u_n S_n. Démontrer que la série

Xu_nconverge si et seulement si la série

Xv_n converge.

C2. 89. Exercice (Mines). Soit (u_n)_n∈N une suite à termes positifs. Supposons qu’il existe un réel atel que

u_n+1 u_n =

n→+∞1− a n +O

1 n²

.

Démontrer qu’il existeλ ∈R^+∗ tel que u_n ∼

n→+∞

λ n^a.

C2. 90. Exercice (Centrale). Démontrer que

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

n+ 1 = ln(2).

C2. 91. Exercice (Mines). Pour tout n > 1, posons S_n =

n

X

k=1

E(logk), où log est le logarithme décimal, etT_n=S₁₀ⁿ−1.

1. Déterminer des équivalents deS_n etT_n.

2. Calculer directementT_n et retrouver le résultat précédent.

C2. 92. Exercice (Centrale). Soit(a_n)n∈N une suite de réels strictement positifs.

1. Supposons que la série

Xa_n converge. Démontrer que la série X√

a_na_n+1 converge.

2. Donner un exemple de suite (a_n)n∈N telle que la série

Xa_n diverge et la série

X√ a_na_n+1 converge.

C2. 93. Exercice (Mines). Démontrer qu’il existe C >0tel que

n

Y

k=2

1 + (−1)^k

√ k

n→+∞∼

√C n.

C2. 94. Exercice (Mines-Centrale).

1. Pour toutn∈N^∗, posonsun =

n

X

k=1

ln(k)

k . Déterminer un équivalent deun. 2. Démontrer qu’il existeC ∈R tel queu_n =

n→+∞

1

2ln²(n) +C+o(1). 3. Démontrer que

2n

X

k=1

(−1)^kln(k)

k =

n

X

k=1

ln(2)

k −

2n

X

k=n+1

ln(k) k . 4. En déduire la valeur de

+∞

X

n=1

(−1)ⁿln(n) n .

C2. 95. Exercice (Mines).

1. Soitα >1. Démontrer que

n

X

k=1

k^α−1 ∼ n^α α .

2. SoitP ∈R[X]avecdeg(P)>2. Déterminer un équivalent de

n

X

k=1

P(k).

C2. 96. Exercice (Mines). Soitα ∈R⁺. Déterminer la nature de la série

X(ln(n))^α

n e^iln(n).

C2. 97. Exercice (Centrale). Soit (u_n)n∈N une suite convergeant vers 0, soient a, b, c tels que a+ b+c6= 0. Démontrer que les séries

Xu_n et

Xau_n+bu_n+1+cu_n+2

ont même nature.

C2. 98. Exercice (Mines). Soitα >0. Déterminer la nature de la série

X(−1)ⁿE(n^1/4) n^α .

C2. 99. Exercice (Centrale). Pour toutn ∈N, notonsu_n =p

ln (n²+ 1)− s

ln

n²+1 1

. Déter- miner la nature de

Xu_n.

C2. 100. Exercice (Mines). Déterminer

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)(2n+ 3).

C2. 101. Exercice (Centrale).

1. Rappeler le théorème de comparaison des sommes partielles des séries

Xu_n et

Xv_n avec u_n =

n→+∞o(v_n). En déduire le théorème de Césàro.

2. Démontrer que la suite de terme général(−1)ⁿ converge au sens de Césàro.

3. Soitx∈R. Démontrer que la suite de terme général cos(nx)converge au sens de Césàro.

4. Trouver une suite (u_n)n∈N à termes positifs convergeant vers 0 au sens de Césàro, mais ne convergeant pas vers0au sens usuel.

5. Soit(u_n)n∈N une suite à termes strictement positifs convergeant vers0au sens de Césàro. Pour tout N ∈N^∗, notons

E_N = (

k ∈J1, NK : u_k 6

ru₁+. . .+u_N N

) .

Posons égalementE = [

N∈N^∗

E_N. Démontrer que 1

N Card (E∩J1, NK)−−−−→

N→+∞ 1.

C2. 102. Exercice (Mines). Déterminer la nature de la série de terme général

n

Y

k=2

k^k

!−4/n²

.

C2. 103. Exercice (Mines). Soient a, b >0. Pour tout n ∈N^∗, posons s_n =

n

X

k=1

1

k^b. Déterminer la nature de

Xa^sn.

C2. 104. Exercice (Centrale). Soit(un)n∈N une suite à termes strictement positifs. Pour toutn >1, posons

v_n = 1 nu_n

n

X

k=1

u_k et w_n = 1 n²u_n

n

X

k=1

ku_k.

1. Soit α >0, posons u_n = n^α pour tout n ∈N. Étudier la convergence et l’éventuelle limite de (v_n)n∈N^∗ et(w_n)n∈N^∗.

2. Supposons quevn−−−−→

n→+∞ a >0. Pour toutn ∈N^∗, posons Sn=

n

X

p=1

up. Démontrer que

w_n ∼

n→+∞

1 an²u_n

n

X

k=1

S_k.

3. Supposons queu_n −−−−→

n→+∞ a >0. Soitp∈N^∗. Déterminer la limite de 1 n^p+1

n

X

k=1

k^pu_k.

C2. 105. Exercice (X). Soit (u_n)une suite décroissante de réels positifs telle que

Xu_n converge.

Démontrer queu_n =o 1

n

.

C2. 106. Exercice (X). Soit(u_n)une suite de réels strictement positifs. Notons S_n =

n

X

k=0

u_k. 1. Supposons que

Xu_n diverge. Soitα >0. Démontrer que : Xu_n

S_n^α converge ⇐⇒ α >1.

2. Supposons que

Xun converge. NotonsRnle reste d’ordre n. Soitα >0. Démontrer que : X un

R^α_n converge ⇐⇒ α <1.

C2. 107. Exercice (X). Soit (α_n) une suite croissante de réels strictement positifs tendant vers l’infini. Démontrer qu’il existe une suite (u_n) de réels strictement positifs telle que la série

Xu_n

converge et la série

Xα_nu_n diverge.

C2. 108. Exercice (X). Soit (u_n) une suite décroissante de nombres réels strictement positifs.

Déterminer la nature de la série

Xun−un+1

u_n . Indication : on pourra montrer pour cela que pour tout n∈N^∗, il existep∈N^∗ tel que

n+p

X

k=n

u_k+1−u_k u_k > 1

2.

C2. 109. Exercice (X). Donner un équivalent de la suite de terme généralu_n = ⁿ v u u t

n

Y

k=1

k^k.

C2. 110. Exercice (X). Soit (u_n)une suite de complexes telle que la série

Xu_n soit absolument convergente. Supposons que pour toutk ∈N^∗

+∞

X

n=0

u^k_n= 0.

Démontrer que pour toutn∈N,u_n= 0.

C2. 111. Exercice (X). On cherche à déterminer la nature de la série

Xsin(π√ n)

n^α en fonction de α.

1. Que dire siα >1?

2. Démontrer que la série converge si 1

2 < α. On pourra utiliser une comparaison série-intégrale.

3. Démontrer que la série diverge siα= 1

2. On pourra commencer par donner un développement asymptotique decos(π√

n+ 1)−cos(π√ n). 4. Démontrer que la série diverge siα < 1

2. On pourra se ramener au cas précédent à l’aide d’une transformation d’Abel.

C2. 112. Exercice (ENS). Notons (p_n)n∈N^∗ la suite des nombres premiers (p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p4 = 7, etc).

Déterminer la nature de la série X

n>1

1 pn.

C2. 113. Exercice (X-ENS). Soit(b_n)n∈N une suite de réels strictement positifs.

1. Démontrer que pour toutn∈N^∗,(b₁. . . b_n)^1/n 6 b₁+...+b_n

n .

2. Démontrer que pour toutn∈N^∗,(b₁. . . b_n)^1/n 6 1 n(n+ 1)

n

X

k=1

b_k(k+ 1)^k k^k−1 .

3. Soit (a_n)n∈N une suite à termes positifs telle que la série

Xa_n converge. Démontrer que la série de terme général(a₁. . . a_n)^1/n converge, et que :

+∞

X

n=1

(a₁. . . a_n)^1/n6e

+∞

X

n=1

a_n.

C2. 114. Exercice. Pour tout n∈N^∗, on poseH_n:=

n

X

k=1

1

k et u_n:=H_n−ln(n). 1. Démontrer que la série de terme général 1

n −ln n

n−1

est convergente.

2. Expliciteru_n+1−u_n, puis démontrer H_n =

n→+∞ ln(n) +γ+o(1)

oùγ := 1 +

+∞

X

n=2

1 n −ln

n n−1

.

3. En écrivantH_n−ln(n)−γ comme le reste d’une série convergente, démontrer H_n =

n→+∞ ln(n) +γ+ 1 2n +o

1 n

.

4. En écrivant 1

2n comme le reste d’une série convergente, démontrer : H_n =

n→+∞ ln(n) +γ+ 1

2n − 1 12n² +o

1 n²

.