Arithmétique des corps de fonctions et ses applications à l'algorithmique et à la cryptologie

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Arithmétique des corps de fonctions et ses applications à

l’algorithmique et à la cryptologie

Alexander Gewirtz

To cite this version:

Alexander Gewirtz. Arithmétique des corps de fonctions et ses applications à l’algorithmique et à

la cryptologie. Mathématiques [math]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 2004. Français.

�tel-00007102�

appli ations à l'algorithmique et à la ryptologie

Toutd'abord, je tiensàremer ier mesdire teursdethèse, Fran kLeprévost et Alexei Pant hi hkine,pour m'avoir suggéré l'étude desmodules de Drinfeld ainsi quepourl'aidequ'ils m'ontapportéetoutaulongde mon travail.

Jeremer ieSergeVladutetEugéniePankratievd'avoira eptéderapporter surma thèse et de parti iper à e jury, ainsi quepour leurs ommentaires qui m'ontpermisd'améliorerletexte.

Je remer ie également Mi hael Pohst d'avoir a epté de rapporter sur ma thèse etde parti iper à ejury,ainsi que pour soninvitation à faireunexposé àl'universitéde Berlin, laT.U. Berlin.

Jetienségalementàremer ier Rolland Gillardd'avoir a epté de parti iper à ejury.

Jeremer ieégalementHassanOukhabapoursoninvitationàfaireunexposé auséminairede théoriedesnombresde Besançon.

Je suisre onnaissant àBruno Anglès pour ses ommentaires surmon pre-printainsi quelessuggestionsqu'ilm'a faites.

Je remer ie égalementGérard Vinel pour son aide très pré ieuse en e qui on ernetoutelapartieinformatique,ainsiqu'ArletteGuttin-Lombardpourson aide ave la présentation etlesproblèmes administratifs.

Jeremer ieégalementtoutemafamillepoursesen ouragementsetson sou-tien.

Ungrandmer i àFrançois Boissonpourses onseils.

Enn, je remer ie O éane qui m'a soutenu et aidé tout au long de mon travail.

0 Introdu tion 5 1 Généralités sur l'arithmétiquedes orps de fon tions 9

1.1 Généralitéssurlespolynmesirrédu tiblessur

F

q

. . . 9

1.1.1 Existen eetdénombrement . . . 9

1.1.2 Tests d'irrédu tibilité . . . 10

1.2 Constru tiondepolynmes irrédu tibles . . . 11

1.2.1 Exemplesdefamillesdepolynmesirrédu tibles . . . 11

1.2.2 Composition . . . 19

1.2.3 Constru tionré ursive . . . 21

2 Théorème de Swan : appli ations aux trinmiaux et pentan-miaux 27 2.1 ThéorèmedeSwan . . . 27

2.1.1 Propriétésdes orpsdenombresp-adiques. . . 27

2.1.2 ThéorèmedeSwan . . . 33

2.1.3 Cal uldedis riminantd'untrinmial . . . 37

2.2 Appli ationàlarédu tibilitédestrinmiauxsur

F

2

. . . 42

2.3 Existen edepolynmespentanmiaux irrédu tiblessur

F

2

. . . 49

2.3.1 Familledepentanmiauxirrédu tiblessur

F

2

. . . 49

2.3.2 Appli ationduthéorèmedeSwanau asdespentanmiaux 50 2.3.3 Conje turesurlespentanmiaux . . . 51

3 Généralités sur lesmoduleselliptiques de Drinfeld 53 3.1 Analysenon-ar himédienneetpolynmesadditifssur

F

q

. . . 53

3.1.1 Sérieentièreet rayonde onvergen e . . . 53

3.1.2 Fon tionsentièresetthéorèmedefa torisation . . . 54

3.1.3 Cara térisationdespolynmesadditifset linéaires . . . . 60

3.2 Dénition algébriqueet analytiquedesmodulesdeDrinfeld . . . 62

3.2.1 Dénitionalgébrique . . . 62

3.2.2 Dénitionanalytique . . . 62

3.2.3 Torsion desmodulesdeDrinfeld . . . 63

3.3 Analogiesave les ourbeselliptiques . . . 63

3.3.3 ThéorèmedePotemine: analoguedeHasse . . . 65

3.3.4 Tableaud'analogie . . . 69

4 Etude de la torsion des modulesde Drinfeld 71 4.1 GroupedeMordell-Weild'unmoduleelliptique deDrinfeld . . . 72

4.2 Stru turede

F

q

[T ]

ϕ

tor

. . . 73

4.3 Borneuniformepourlesextensionsentièresniesde

F

q

[T ]

. . . . 76

4.4 Conje turedelaborneuniforme:unepreuvepour

r = 1

. . . 77

5 Appli ations des polynmesirrédu tibleset bije tifsà la ryp-tologie 79 5.1 Stru tureinduiteparunmodule deDrinfeld. . . 79

5.2 Cal uldela ara téristiqued'Euler-Poin aré . . . 80

5.2.1 Dénition . . . 80

5.2.2 Cal ulpratique . . . 80

5.2.3 CasdumoduledeCarlitz . . . 81

5.2.4 Appli ationau orpsnis . . . 84

5.2.5 Appli ationàlafa torisationdespolynmes . . . 85

5.3 Appli ationàla ryptologie . . . 85

5.3.1 Fon tionsensuniqueàtrappe. . . 86

5.3.2 Prin ipauxproto oles . . . 86

5.3.3 Signatureséle troniques . . . 88

Introdu tion

Lesobjetsprin ipaux onsidérés dans ette thèse sontd'unepartles poly-nmesirrédu tiblessurun orpsni-etpluspré isémentl'existen ede penta-nmiauxirrédu tiblessur

F

2

-etd'autrepart,lesmodulesdeDrinfeld,oùnous nousintéressonsàl'étudedelatorsion.

Lespolynmesirrédu tiblesjouent unrletout àfait ru ial en mathéma-tiques.D'unpointdevuethéorique,ils orrespondentauxpla esniesde

F

q

(T )

, déterminentl'arithmétiquedes orpsdefon tions(tout ommelesnombres pre-miersdéterminentl'arithmétiquedes orpsdenombres)etsontlesobjetsdebase de la géométrie algébrique. D'un point de vuepratique, ils permettent de dé-nirdemanière on rèteles orps nis, e quiest parti ulièrementintéressant en ryptographie.Danslepremier hapitre,noustraitonsl'aspe tthéoriquedes polynmes irrédu tibles. Plus pré isément, nous rappelons les diérents tests d'irrédu tibilité ainsiquedesméthodespour onstruiredetelspolynmes,soit par omposition,soit ré ursivement.

D'un tépratiquemaintenant, esontlesappli ationsàla ryptologiequi sont intéressantes. Pour des raisons pratiques, on est amené à travailler sur les orpsnisde ara téristique

2

. Dans e adre, onest don intéresséparla onstru tiondepolynmesirrédu tiblessur

F

2

lesplussimplespossibles, 'est-à-dire reux(ayantlemoinsde oe ientsnonnuls).Maistravaillanten ara -téristique

2

,lesmeilleurs andidatssontdon lestrinmiaux(ayantuniquement trois oe ientsnon nuls) puis les pentanmiaux (ayant inq oe ients non nuls). Dans le se ond hapitre,nous rappelons les résultatsde Swan[40℄ (qui montrenten parti ulier que lorsque

n

est divisible parhuit, il n'existe pas de trinmial irrédu tiblesur

F

2

dedegré

n

),puisnous étudionsle as des penta-nmiaux et obtenons quelques résultats nouveaux. Pour être plus pré is, les propositions2.3.1et2.3.2donnentdesexemplesdefamillesdepentanmiaux irrédu tibles, laproposition 2.3.3et son orollaire2.3.4montrent qu'ilexiste toujoursunpentanmialdedegré

n

donnéayantunnombreimpairdefa teurs irrédu tiblessur

F

2

etenn,nousprésentonsunelistedepentanmiaux irrédu -tiblesdedegré omprisentre

4

et

18000

, e qui onstituelere orda tuel.Pour

tifs et irrédu tiblesjouentun rle entral dans lesappli ations algorithmiques del'arithmétiquedes orpsdefon tions,et que euxqui sontintéressants pro-viennentdelathéoriedesmodulesdeDrinfeld.

Pour leur part, les modules de Drinfeld jouent pour les orps globaux de ara téristique positive un rle analogue à elui des ourbes elliptiques pour la théorie desnombres algébriques. Etudiés pourla première fois par Carlitz, 'est dans les années 1970 que Drinfeld [5℄ avéritablement déni e que sont lesmodulesde Drinfeldet qu'ilappelait àl'époque, modules elliptiques.C'est grâ eà ettenouvellethéoriequeDrinfeldaréussiàdémontrerunanaloguedu théorème deKrone ker-Weberpour les orps de fon tions,ainsi qu'unepartie des onje turesdeLanglandspourGL(2).Bienquedesdénitionsplusgénérales existent, nous nous intéressons dans ette thèse auxmodules de Drinfeld sur

A = F

q

[T ]

, 'est-à-dire aux morphismes d'anneaux

ϕ : A 7→ L{τ }

(où

L{τ }

désigne l'anneau non ommutatif des polynmes en

τ : x 7→ x

q

) vériant de plus que le terme onstant de

ϕ(a)

est

a

, pour tout

a

dans

A

. De plus, on appelle rangdumodule deDrinfeld l'entier

r =

deg

τ

(ϕ(T ))

.Nous présentons, dans le troisième hapitre, les résultats généraux sur eux- i, notamment les analogiesave les ourbeselliptiques.

Etantdonnélesfortessimilitudesentre esdeux objets,il estnatureldese demandersi ertainsrésultats onnuspourles ourbeselliptiquessetransposent auxmodules de Drinfeld, en parti ulier lethéorème de Mazur[24℄, qui donne lesstru turespossiblespourlespointsdetorsionrationnels,ainsiquel'an ienne onje turedelaborneuniforme,démontréeparMerel[26℄.Defaçonpluspré ise, si

ϕ

estunmoduledeDrinfeldà oe ientsdansun orps

L

,onpeutmunir

L

d'unestru turede

A

-moduleenposant

a.x = ϕ(a)(x)

,sionidentieunélément de

L{τ }

ave lafon tionpolynmiale.Pour ettenouvellestru ture,ondésigne par

L

ϕ

tor

le sous-module des points de torsion dans

L

. Dans ertains as, on peut donner une des ription expli ite de la torsion des modules de Drinfeld : danslequatrième hapitre,nousdéterminons,pardesméthodesélémentaires -àsavoiren al ulantlesvaluationspossiblespourlespointsdetorsion-toutes lesstru turespossiblespourlespointsdetorsiondans

A

:

Théorème4.2.1:Théorèmedelaborneuniformedansle asrationnel. Pourtoutmodule deDrinfeld

A

-rationnel derang

r

, ona:

 (1) Si

q = 2

, alors

| A

ϕ

tor

|≤ q

2

.Deplus,

A

ϕ

tor

est isomorphe(entantque

A

-module)àl'undesmodulessuivants:

{0}

,

A/(T )

,

A/(T + 1)

,

A/(T (T + 1))

 (2) Si

q > 2

, alors

| A

ϕ

tor

|≤ q

. Deplus,

A

ϕ

tor

est isomorphe(entant que

A

-module)àl'undesmodulessuivants:

{0}

,

A/(T − α)

ave

α ∈ F

q

 (3)Enn,sil'onxe

r ≥ 1

(

r 6= 2

si

q = 2

)et

B

l'undesmodules y liques pré édents, ilexiste unmodulede Drinfeld derang

r

dont latorsionest isomorpheà

B

.

sionsniesentièresde

A

:

Théorème 4.3.1 : Théorème de la borne uniforme dans le as des extensions entières nies.

Soit

n ≥ 1

xé.Alorspourtoutanneau

B

entieretdetypenisur

A

vériant

[L : k] ≤ n

(où

L

désignele orps defra tions de

B

) et pourtout module de Drinfeld

B

-rationnel

ϕ

,

| B

ϕ

tor

|≤ q

nq

q−1

.

Enn,nousretrouvonsdansun adremoinsgénérallesrésultatsdePoonen [35℄surla onje turedelaborneuniformepour

r = 1

( orollaire 4.4.3). Mal-heureusement, leste hniques élémentaires employées nepermettentpas d'éta-blir de véritableanaloguedu théorèmede Merel tout simplementpar e qu'on ne peut fa ilement borner inférieurement lavaluation des points de torsion si eux-sisontdansuneextensionde orpsetnon plusentiers.

Il existe par ailleurs une interprétation géométrique très intéressante des modules de Drinfeld admettant des points de torsion donné [41℄. Les points rationnels qui orrespondent à es modules sont utilisés pour la onstru tion de odesgéométriques, fournissantainsi une appli ation pratiqueà es objets théoriques.Dansledernier hapitre,nousnousintéressonsauxappli ationsàla ryptologie,etpluspré isémentau ryptosystèmedéveloppédans[13℄.Dans e adre, àsavoir eluidesmodulesde Drinfeldsur un orpsni, nousrappelons dansunpremiertempsladénitiondela ara téristiqued'Euler-Poin aréainsi qu'une méthode pratiquede al ul. Dans unse ond temps, nous étudions en détaillemoduledeCarlitzetobtenonsuneméthodede al ultrèssimplepourla ara téristiqued'Euler-Poin aré,puissagénéralisationauxmodulesdeDrinfeld derang

1

:

Proposition5.2.5:Propositionsurla ara téristiqued'Euler-Poin aré asso iéeau modulede Carlitz.

Soit

f

irrédu tibleunitaireet

ϕ

lemoduledeCarlitz.Alors

f

ϕ

= f − 1

. Proposition5.2.6:Propositionsurla ara téristiqued'Euler-Poin aré asso iéeà un modulede Drinfeld de rang 1.

Soit

ϕ

T

= T + gτ

unmoduledeDrinfeldderang

1

ave

g ∈ A \ {0}

et

f

un polynmeirrédu tibleunitairededegré

n

.Désignonspar

α ∈ F

q

n

unera inede

f

.Alors

f

ϕ

= f − N

F

qn

/F

q

(g(α))

.

Nousendéduisonsalorsuneégalité assezsurprenanteet ontraireaux pro-priétés habituellesdesdéterminants:

Théorème 6.2.7: Théorème sur une propriété d'additivité du déter-minant.

Soit

α

un élément primitif de

F

q

n

/F

q

et

σ

le Frobienus. En désignantpar

m

α

l'endomorphismedemultipli ationpar

α

,alors:

existanten ryptographie,nousdétaillonslesappli ationspratiquesdesmodules deDrinfeldàla ryptologie.

A ejour, ertainesquestionsquenousavonsabordéesdans ettethèsesont en oreouvertes:

Conje ture sur l'existen e de pentanmiaux irrédu tibles :Pourtout entier

n ≥ 4

,il existeaumoins unpentanmial dedegré

n

irrédu tiblesur

F

2

.

Ainsiquesaversionmoinsfortemaisplusintéressantepourlesappli ations àla ryptologie:

Conje ture sur l'existen e de trinmiaux ou de pentanmiaux irré-du tibles : Pour tout entier

n ≥ 2

, il existe au moins un trinmial ou un pentanmial dedegré

n

irrédu tiblesur

F

2

.

En equi on ernelesmodulesdeDrinfeld,onpeut iterlesdeux onje tures suivantes:

Conje turede laborneuniforme(formeforte):Soit

r ≥ 1

et

n ≥ 1

deux entiersdonnés.Alorsilexisteune onstante

C(n, r)

, nedépendantquede

n

et de

r

,tellequepourtouteextensionniede

F

q

(T )

dedegré

≤ n

ettoutmodule deDrinfeld

L

-rationnelderang

r

,

| L

ϕ

tor

|≤ C(n, r)

.

Conje ture de la borne uniforme (forme faible) : Soit

r ≥ 1

et

L

une extensionniede

F

q

(T )

donnés.Alorsilexisteune onstante

C(L, r)

ne dépen-dantque de

L

et de

r

, telle que pour tout module deDrinfeld

L

-rationnel de rang

r

,

| L

ϕ

tor

|≤ C(L, r)

.

Questions ouvertes

Enn, itonsquelquesproblèmesqui méritentuneattentionparti ulière:  Essayerd'établirunanaloguedel'algorithmedeS ho pour al uler

f

ϕ

.  Donneruneinterprétationmodulairedespointsdetorsiondansles

exten-sions nies de

F

q

(T )

pour obtenirunvéritableanalogueduthéorème de Merel.

Généralités sur l'arithmétique

des orps de fon tions

Danstout e hapitre,

p

désigneunnombrepremieret

q

unepuissan ede

p

.

1.1 Généralités sur les polynmes irrédu tibles sur

F

q

1.1.1 Existen e et dénombrement

Proposition1.1.1 Pour tout entier

n ≥ 1

, il existe au moins un polynme irrédu tible sur

F

q

de degré

n

.

En eet, tout sous-groupe ni de

K

⋆

où K est un orps ommutatif est y lique. Par suite,

F

⋆

q

n

est y lique. En prenantalors un générateur

x

de e groupe,lepolynmeminimalde

x

est irrédu tiblesur

F

q

dedegré

n

.

Ce ipermetd'armerl'existen e.Maisenfait,onpeutdirebeau oupplus. Lemme 1.1.2 Soit

n

un entierpositif et

S

l'ensemble des polynmesà oe- ientsdans

F

q

, irrédu tiblesunitaires de degrédivisant

n

. Alors

x

q

n

− x =

Y

P ∈S

P

Preuve:

Soit

P ∈ S

.Montronsque

P

divise

x

q

n

− x

. OnaDe

F

q

(P ) ≃ F

q

d

où

d

désigneledegréde

P

.Comme

d | n

,

F

q

d

⊂ F

q

n

. Soit

a

une ra ine de

P

, alors

a ∈ F

q

n

don

a

est une ra ine de

x

q

n

− x

, e qui permet de on lure que

P

divise

x

q

n

− x

(puisque

P

est irrédu tible, il est séparable arles orps nissont parfaits) dans

F

q

d

, soit

x

q

n

− x = AP

où

A ∈ F

q

d

[X]

. Maintenant si

σ

désigne le Frobienus, on a

A

σ

_{P = AP}

entraîneque

A

σ

_{= A}

,i.e.

A ∈ F

q

[X]

.Ce quimontre bienque

P

divise

x

q

n

− x

dans

F

q

[X]

.

Ré iproquement,soit

P

irrédu tibleunitairedivisant

x

q

n

− x

et

a

unera ine de

P

. Comme

x

q

n

− x

est séparable, il sut de montrer que

P ∈ S

. Alors

a ∈ F

q

n

.Par onséquent,

[F

q

n

: F

_q

(a)][F

_q

(a) : F

_q

] = n

Mais omme

P

est irrédu tible,

[F

q

(a) : F

q

] =

deg

P

, d'où le résultat. On en déduitalors:

Proposition 1.1.3 Soit

I(n, q)

lenombrede polynmesirrédu tiblesunitaires de degré

n

sur

F

q

et

µ

la fon tionde Möbius. Alors:

I(n, q) =

1

n

X

d|n

µ(

n

d

)q

d

Preuve:

D'aprèslelemmepré édent,

q

n

₌

P

d|n

dI(d, q)

.On on lutalorsenutilisant lapremièreformuled'inversiondeMöbius.

1.1.2 Tests d'irrédu tibilité

Ilexisteenfaittrèspeudeméthodespourtesterlaprimalitéd'unpolynme. Dans eparagraphe,onprésentedeuxte hniques.

Théorème 1.1.4 [25 , p.60℄ Soit

f ∈ F

q

[X]

unpolynme de degré

n

. Soit par ailleurs,

r

1

, . . . , r

t

lesdiviseurspremiers distin tsde

n

. Alors

f

estirrédu tible sur

F

q

sietseulement si:  (i)

f (x) | x

q

n

− x

 (ii)

∀i ∈ {1, . . . , t},

pg d

(x

q

n

ri

− x, f (x)) = 1

Preuve:

 Supposons que

f

soit irrédu tible sur

F

q

. Quitte àdiviser

f

parson o-e ientdominant, onpeut supposerque

f

est unitaire.Alors d'aprèsle lemme pré édent,

f

divise

x

q

n

− x

.Cequi établit(i). Parailleurs,soit

i ∈ {1, . . . , t}

.Toujoursd'aprèslelemme,

x

q

n

ri

− x =

Y

P

leproduitétantprissurtouslespolynmesirrédu tiblesunitairesdedegré divisant

n

r

i

.Mais omme

f

estirrédu tiblededegré

n

nedivisantpas

n

r

i

,

f 6| x

q

n

ri

− x

.Onendéduitdon (ii)puisque

f

estirrédu tible.

 Ré iproquement,onsupposeque

f

vérie

(i)

et

(ii)

. Montronsque

f

est irrédu tible. Par l'absurde. E rivons

f =

Q

N

i=1

P

i

où

P

i

est irrédu tible et supposons que

N > 1

.Soit

i ∈ {1, . . . , N }

.Comme

f

vérie

(i)

, onen déduit enappliquantde nouveau lelemme quedeg

P

i

= d

i

divise

n

.Par ailleurs, ommeon a supposé

N > 1

,

d

i

6= n

. Par onséquent, il existe

j ∈ {1, . . . , t}

telque

d

i

|

n

r

j

. Mais sous es onditions,

P

i

| x

q

n

rj

− x

et

P

i

| f

.Cequi ontredit

(ii)

.Etdon

f

estbienirrédu tible. Ce quia hèveladémonstrationduthéorème.

Théorème 1.1.5 [33℄ Soit

f ∈ F

q

[T ]

. On suppose que

f

n'a pas de fa teurs multiples. Soit

A =

F

q

[T ]

(f )

et

τ

l'opérateur

F

q

-linéaire qui à

a ∈ A

asso ie

a

q

. Alorssont équivalents:



(i) f

est irrédu tible sur

F

q



(ii)

rg

(τ − Id) =

deg

f − 1

Preuve:

Soit

f =

Q

s

i=1

h

i

ladé omposition de

f

enfa teurs irrédu tibles.Alors,

A ≃

s

Y

i=1

F

q

[T ]

(h

i

)

Par ailleurs, haque

F

q

[T ]

(h

i

)

ontient le orps des onstantes

F

q

ara térisé par

F

q

= {a ∈

F

_(h

q

[T ]

_i

₎

, a

q

= a}

.Onendéduit don que

Ker

(τ − Id) ≃ F

s

q

On on lutalorsparlethéorèmedurang.

1.2 Constru tion de polynmes irrédu tibles 1.2.1 Exemples de familles de polynmes irrédu tibles

Avantdedonnerquelquesexemplesde famillesde polynmes irrédu tibles, ons'intéresseàunefamilleremarquable:lespolynmes y lotomiques. Dénition1.2.1 [21 , p.61℄ Soit

F

q

un orpsni de ara téristique

p

, et

n

un entier non divisible par

p

. Soit

ξ

une ra ine primitive

n

-ième de l'unité dans une extension de

F

q

. On appelle

n

-ième polynme y lotomique de

F

q

, et on note

Q

n

, lepolynmedéni par:

Q

n

(x) =

Y

pg d

(s,n)=1

(x − ξ

s

)

Il est fa ile de voirque ette dénition ne dépend pas du hoix de

ξ

. En eet, si

ξ

′

est une autre ra ine primitive

n

-ième de l'unité, alors

ξ

′

_{= ξ}

t

ave pg d

(n, t) = 1

. Maisdans e as, l'appli ationde

Z

nZ

⋆

dans luimême, qui à

s

fait orrespondre

st

est unebije tion. Cequi montrebien que

Q

n

nedépend pasdu hoixdelara ineprimitive.

Lemme 1.2.2 [21 , p.61℄ Soit

K = F

q

un orps de ara téristique

p

, et

n

un entier nondivisible par

p

. Alors:



(ii) x

n

_{− 1 =}

Q

d|n

Q

d

(x)



(iii) Q

n

(x) ∈ F

p

[x]

Preuve:



(i)

Dé ouledeladénitiondelafon tion

φ

d'Euler. 

(ii)

Comme

n

estpremierà

p

,

x

n

_{− 1}

estséparable,et mieux,sesra ines sontles

ξ

t

,

1 ≤ t ≤ n

où

ξ

est une ra ine primitive

n

-ième de l'unité.Il est alors lair que haquera inede

x

n

_{− 1}

estra inedupolynme

Q

d

où

d

est l'ordre de ette ra ine. Ce i montre que

x

n

_{− 1}

divise

Q

d|n

Q

d

(x)

(dans

K

¯

).Parailleurs,onal'identitéremarquable:

P

d|n

φ(d) = n

, equi montreque esdeux polynmesontmêmedegré.D'oùl'égalité.



(iii)

Onraisonneparré urren esur

n

.  Cas

n = 1

Ona

Q

1

(x) = x − 1

.Lapropriétéest vraieaurang

1

.

 On suppose la propriété vraie pour tout entier

0 ≤ k < n

. Montrons qu'elleest vraieaurang

n

Posons

f (x) =

Q

d|n,d<n

Q

d

(x)

.L'hypothèsederé urren eentraîneque

f (x) ∈ F

p

[x]

.Parailleurs,d'après

(ii)

,ona

Q

n

(x) =

x

n

₋₁

f (x)

.Ilenrésulte que

Q

n

(x) ∈ F

p

(x)∩F

q

′

[x]

,(où

F

q

′

=

De

F

p

(x

n

_{− 1)}

).Parsuite

Q

n

(x) ∈

F

p

[x]

.Lapropriétéestdon vraieaurang

n

Ce quia hèvelaré urren eainsiqueladémonstrationde

(iii)

.

Théorème 1.2.3 [21 ,p.62℄Soit

K = F

q

un orpsde ara téristique

p

,et

n

un entier non divisible par

p

. Pour

d

premier à

p

,

τ (d)

désigne l'ordre de

q

dans

Z

dZ

⋆

. Alors: 

(i) [

De

K

(x

n

_{− 1) : K] = τ (n)}



(ii) Q

n

(x)

aexa tement

φ(n)

τ (n)

fa teurs irrédu tiblessur

K

Preuve:



(i)

Soit

ξ

une ra ine primitive

n

-ième del'unité, De

K

(x

n

_{− 1) = K(ξ)}

. Deplus,onaleséquivalen essuivantespourtout entier

k

:

ξ ∈ F

q

k

⇐⇒

ξ

q

k

= ξ

⇐⇒

ξ

q

k

₋₁

= 1

⇐⇒

n | q

k

− 1

( ar

ξ

estunera ineprimitive

)

⇐⇒

τ (n) | k

Ce i démontre lepoint

(i)



(ii)

Soit

g(x)

unfa teurirrédu tiblede

Q

n

(x)

et

α

unera inede

g

.Alors

α

est une ra ine primitive

n

-ième de l'unité. Don d'aprèsla preuve de

(i)

,

[K(α) : K] = τ (n)

. Mais omme

g

estirrédu tible,deg

g = τ (n)

. On on lut enn en regardant les degrés et en remarquant que

Q

n

est séparable.

Maintenant,onabesoind'unpetitrésultatd'arithmétique:

Lemme1.2.4 [21, p. 89℄ Soient

s, e ≥ 2

deux entiers premiers entre eux et soit

m

l'ordrede

s

modulo

e

. Soit

t ≥ 2

. On supposeque

t

vérie:



(i)

pg d

(t,

s

m

₋₁

e

) = 1



(ii)

Chaquefa teur premierde

t

divise

e



(iii)

Si

4 | t

, alors

4 | s

m

_{− 1}

Alorsl'ordrede

s

modulo

te

estégal à

mt

. Preuve:

Onvadémontrerlelemmeparré urren esur

n

, lenombredefa teurs pre-miers( omptésave multipli ités)de

t

.

 Cas

n = 1

:

Onsupposedon que

t

estpremier.Ené rivant

d =

s

m

₋₁

e

,ave

d

premier ave

t

,ona

s

m

_{= 1 + de}

.Parsuite,

s

mt

=

(1 + de)

t

=

1 +

t−1

X

i=1

C

t

i

d

i

e

i

+ d

t

e

t

Comme

t

estpremier,

t

divise

C

i

t

pour

1 ≤ i ≤ t − 1

.Deplus,d'après

(ii)

,

t

divise

e

. Par suite,

s

mt

_{≡ 1 [et]}

. Ilen dé oule que l'ordrede

s

modulo

et

divise

mt

. Par ailleurs, si

s

k

est ongru à

1

modulo

et

, a fortiori

s

k

est ongru à

1

modulo

e

. Ce qui montre que l'ordrede

s

modulo

et

est divisiblepar

m

.Comme

t

estpremier,onendéduitquel'ordreenquestion vautsoit

m

soit

mt

.Sisonordrevaut

m

,alors

de ≡ 0 [et]

etdon

t

divise

d

, equiest absurde.

Lapropriétéest don vraieaurang

1

.

 Onsupposelapropriétévraiepourtoutentier

t

ayantunnombrede fa -teurspremiers(ave multipli ités)inférieurouégalà

n

.Montronsqu'elle esten orevraie aurang

n + 1

.

Soitdon

t

vériant

(i), (ii), (iii)

ayant

n + 1

fa teurspremiers. Oné rit alors

t = rt

′

,où

r

estunnombrepremier.D'aprèsle as

n = 1

,onsaitdéjà quel'ordrede

s

modulo

er

est égalà

mr

. On remarquealors quesi l'on montreque

t

′

vérient leshypothèsesdulemme ave

e

′

_{= er}

,

m

′

_{= mr}

, alors par hypothèse de ré urren e,

s

est d'ordre

m

′

_t

′

modulo

e

′

_t

′

, i.e

s

estd'ordre

mt

modulo

et

,etlapropriétéseravraieaurang

n + 1

, e qui a hèveraladémonstration.

Soit

p

unnombrepremierdivisant

t

′

.Comme haquefa teur premierde

t

divise

e

,ilest lairque

p

divise

e

′

.Oné ritalorsdenouveau

d =

s

m

₋₁

e

. Onaalors:

s

mr

− 1 = c(s

m

− 1)

où

c =

r−1

X

i=0

s

im

Par suite,

d

′

₌

s

mr

₋₁

er

=

cd

r

.De plus, omme

s

m

est ongruà

1

modulo

e

etque

r

divise

e

,ils'ensuitque

s

m

est ongruà

1

modulo

r

.Enreportant dansladénitionde

c

,onendéduitque

c ≡ r ≡ 0 [r]

.Cequimontreque

c

r

est un entier. Puisque

p

ne divise pas

d

, il sut de montrer que

p

ne divisepas

c

d

pourmontrerque

p

nedivisepas

d

′

De même que pré édemment, on a

s

m

_{≡ r [p]}

. Deux as se présentent alors:si

p 6= r

,alors

r

est inversiblemodulo

p

etdon

c

r

≡ 1 [p]

. Mainte-nant,si

p = r

, alors

s

m

_{= 1 + br [r}

2

_]

pourunentier

b

.Par suite:

∀j ≥ 0, s

mj

≡ (1 + br)

j

≡ 1 + jbr [r

2

]

et don ,

c ≡ r + br

r−1

X

j=0

j ≡ r + br

r(r − 1)

2

[r

2

_]

Onendéduit alorsque:

c

r

≡ 1 + b

r(r − 1)

2

[r]

Si

r

est impair,alors

c

r

≡ 1 [r]

, et don

p = r

ne divisepas

c

d

, equi est la on lusionsouhaitée.Maintenant,si

p = r = 2

,alors

4

divise

t

et don d'après

(iii)

,

4

divise

s

m

_{− 1}

.Maisdans e as, omme

c = s

m

_{+ 1}

,onen déduitque

c

est ongruà

2

modulo

4

etdon que

c

r

est ongruà

1

modulo

2

.Cequi montreque

2

nedivisepas

c

d

.

En vertudelaremarque,onendéduit quelapropriétéestvraieau rang

n + 1

.

Cequi a hèvelaré urren eet ladémonstrationdulemme. Ce lemmenouspermetalorsd'énon erlethéorèmesuivant: Théorème 1.2.5 [25, p.40℄ [21, p.90-91℄

(J.A.Serret)

Soit

a ∈ F

⋆

q

d'ordre

e

. Alorsle polynme

x

t

_{− a}

est irrédu tible dans

F

q

[X]

si etseulement sil'entier

t ≥ 2

vérieles onditionssuivantes: 

(i)

pg d

(t,

(q−1)

e

) = 1



(ii)

Pourtoutnombrepremier

p, (p | t ⇒ p | e)



(iii)

Si

4 | t,

alors

4 | (q − 1)

Preuve:

 Supposonsque

x

t

_{− a}

estirrédu tiblesur

F

q

. Déjà, ilest lairque

d =

pg d

(t,

q−1

e

) = 1

.Eneet,dansle as ontraire, on auraitlafa torisation nontriviale suivante :pour

t = dt

′

,

q−1

e

= de

′

, et

g

ungénérateurde

F

⋆

q

:

x

t

− a = x

dt

′

− g

kde

′

= (x

t

′

− g

ke

′

)(

d−1

X

i=0

x

it

′

g

(d−1−i)ke

′

)

Ce quiétablitlepoint

(i)

. Soit

α

une ra ine de

P = x

t

_{− a}

et soit

ξ

une ra ine primitive

t

-ième de l'unité. Alors les ra ines de

P

sont les

ξ

k

_α

,

0 ≤ k ≤ t − 1

. Mainte-nant, omme

P

estirrédu tible,toutessesra inesontlemêmeordre.Par onséquent,

t

divisel'ordrede

α

(puisque

ξ

w(α)

_α

w(α)

_{= 1}

,où

w(α)

désigne l'ordrede

α

).Posonsalors

w(α) = tu

.Onaalors:

Mais omme

a

estd'ordre

e

,

e

divise

u

etdon

et

divisel'ordrede

α

. De plus,

α

et

_{= 1}

, equimontrequ'enfait,

α

estd'ordreexa tement

et

,i.e.que

α

est unera ineprimitive

et

-ièmedel'unité.En onservantlesnotations pré édentes,

α

estra inede

Q

et

(

et

-ièmepolynme y lotomiquesur

F

q

). Par suite,

x

t

_{− a}

divise

Q

et

. Le raisonnement fait i i ne dépend pas de l'élémentd'ordre

e

hoisi.Onendéduitalorsque:

Y

a∈F

⋆

q

d'ordre

e

(x

t

− a) | Q

et

Montrons alors que la divisibilité pré édente est une égalité,i.e qu'on a obtenuladé ompositionenfa teursirrédu tiblessur

F

q

de

Q

et

.

Soit

β

unera inede

Q

et

. Comme

e

divise

q − 1

,ona

q = 1 + λe

pourun entier

λ

.Ils'ensuitque

(β

t

)

q

= β

qt

= β

t+λet

= β

t

Par suite,

β

t

_{∈ F}

q

et est d'ordre

e

. On endéduit alorsque le polynme minimalde

β

sur

F

q

est

x

t

_−β

t

.Par onséquent,onabien ommeannon é

Q

et

=

Q

a

(x

t

− a)

(leproduit étant prissurtousles élémentsd'ordre

e

). Enregardantlesdegrés,ontrouve:

φ(et) = tφ(e)

e qui établit le point

(ii)

, àsavoirque tout nombre premier divisant

t

diviseégalement

e

.

En equi on ernelepoint

(iii)

,supposonsque

4

divise

t

etque

q − 1

ne soit pasdivisiblepar

4

. Alors,né essairement,

q ≡ 3 [4]

et

e ≡ 2 [4]

. De plus, omme

a

estd'ordre

e

,

a

e

2

= −1

.Ils'ensuitque

x

t

_{− a = x}

t

_{+ a}

d

où

d =

e

₂

+ 1

estpair.Onaalors:

a

d

= 4(2

−1

a

d

2

)

2

= 4(2

−1

_a

d

2

)

q+1

= 4c

4

où

c = (2

−1

_a

d

2

)

q+1

4

(la deuxièmeégalité provientdufait quesi

y ∈ F

q

,alors

y

q

_{= y}

et don

y

2

_{= y.y = y.y}

q

_{= y}

q+1

)

Mais e i onduitàlafa torisationnontriviale:

x

t

− a

=

x

4t

′

+ 4c

4

=

(x

2t

′

+ 2cx

t

′

+ 2c

2

_)(x

2t

′

− 2cx

t

′

+ 2c

2

₎

Cequi ontreditl'irrédu tibilitéde

x

t

_{− a}

.D'oùlerésultat.

 Ré iproquement,onsuppose quelesentiers

e

et

t

vérientles onditions

(i), (ii)

et

(iii)

.

Soit

θ

une ra ine de

x

t

_{− a}

et

P

son polynme minimal sur

F

q

. Déjà,

P

divise

x

t

_{− a}

θ ∈ F

q

d

,soitdemanièreéquivalente,lepluspetitentiertelque

θ

q

d

₋₁

= 1

; soit en ore

d

estl'ordrede

q

modulol'ordrede

θ

.

Soit

w(θ)

l'ordrede

θ

.Alors lairement,

w(θ)

divise

et

.Soit

p

unnombre premierdivisant

t

.Supposonsque

ν

p

(w(θ)) < ν

p

(t)

.Alors,

w(θ)

divise

et

p

. Mais

1 = θ

et

p

_{= (θ}

t

₎

e

p

_{= a}

e

p

. Ord'après

(ii)

,

p

divise

e

et parhypothèse,

a

estd'ordre

e

,d'oùla ontradi tion.Parsuite,

t

divise

w(θ)

.Ené rivant alors

w(θ) = tu

, on trouveque

1 = θ

tu

_{= a}

u

. Comme

a

est d'ordre

e

,il s'ensuit que

e

divise

u

. Finalement, on amontré que

θ

est d'ordre

et

et par onséquentque

d

estl'ordrede

q

modulo

et

.

Mais d'aprèsle lemme pré édent,ave

s = q

,

e = e

,

m = 1

, l'ordrede

q

modulo

et

est

t

. Par suite,

d = t

. Ainsi

P

divise

x

t

_{− a}

,

P

est unitairede degré

t

,don

P = x

t

_{− a}

etlethéorèmeestentièrementdémontré. Corollaire1.2.6 [25 ,p.40℄Soit

r

unfa teurpremierde

q − 1

et

a ∈ F

q

d'ordre

e

telque

r

ne divise pas

q−1

e

. Supposons par ailleurs que

q ≡ 1 [4]

si

r = 2

et

k ≥ 2

. Alors pour toutentier

k

,

x

r

k

− a

est irrédu tible sur

F

q

.

Exemple1 [25 ,p.41℄Enappliquant e orollaire,il estfa ile de onstaterque pourtoutentier

k ≥ 0

:

 (a)

x

2

k

+ 2

et

x

2

k

− 2

sontirrédu tibles sur

F

5

 (b)

x

3

k

± 3

et

x

3

k

± 2

sontirrédu tiblessur

F

7

 ( )

x

3

k

+ a

est irredu tible sur

F

4

pour

a ∈ F

4

\ F

2

 (d)

x

2·3

k

+ x

3

k

+ 1

estirredu tible sur

F

2

Le

(d)

dé oule du fait que

x

2·3

k

+ x

3

k

+ 1 = (x

3

k

+ a)(x

3

k

+ a

2

)

est la dé ompositionenfa teursirrédu tiblesdans

F

4

.

Lemme1.2.7 Soit

n

et

m

deux entiers,

d =

pg d

(n, m)

et

s =

pp m

(n, m)

. Alors:

F

q

n

∩ F

_q

m

= F

_q

d

F

q

n

.F

_q

m

= F

_q

s

Preuve:

(1) Ilest lair que

F

q

d

⊂ F

q

n

∩ F

q

m

(puisque

d

divise

n

et

m

). Par ailleurs, sionpose

F

q

n

∩ F

q

m

= F

q

a

,alors

a

divise

n

et

m

(eneet,parmultipli ativité dudegré,

n = [F

q

n

: F

q

] = [F

q

n

: F

q

a

][F

q

a

: F

q

]

etidemenrempla ant

n

par

m

). Don

a

divise

d

et

F

q

a

⊂ F

q

d

.

(2) On pose de même

F

q

n

.F

q

m

= F

q

a

. Il est lair que

F

q

a

⊂ F

q

s

puisque

F

q

n

⊂ F

_q

s

et

F

q

m

⊂ F

q

s

. Par ailleurs, omme

F

q

n

⊂ F

q

a

,

n

divise

a

.Demême,

m

divise

a

.On on lutalorsque

s

divise

a

, equimontrel'in lusion

F

q

s

⊂ F

q

a

.

Lemme1.2.8 [21, p.99℄ Soit

f ∈ F

q

[X]

unpolynme irrédu tible de degré

n

,

k ≥ 1

et

d =

pg d

(n, k)

. Alors

f

est leproduit de

d

polynmesirrédu tiblessur

F

_q

k

, ha un de degré

n

d

. Preuve:

Soit

g

unfa teurirrédu tiblede

f

sur

F

q

k

etsoit

x

unera inede

g

(afortiori, 'est une ra ine de

f

). Alors

F

q

(x) ≃ F

q

n

(puisque

f

est irrédu tiblesur

F

q

). Par ailleurs,

F

q

k

(x) = F

q

s

,où

s =

pp m

(n, k)

d'aprèsle lemme pré édent.On en déduit alors que deg

g = [F

q

s

: F

q

k

] =

s

k

=

n

d

. Ce qui montre que tousles fa teursirrédu tiblesde

f

sur

F

q

k

sontdedegré

n

d

.On on lutenregardantles degrés.

Corollaire1.2.9 [21 , p.100℄ Soit

f ∈ F

q

[X]

unpolynmeirrédu tible de degré

n

,

k ≥ 1

et

d =

pg d

(n, k)

. Alors

f

est irrédu tible sur

F

q

k

si et seulement si pg d

(n, k) = 1

Les orollaires1.2.6et 1.2.9permettentdon de onstruiredespolynmes irré-du tibles dedegré

r

divisant

q − 1

,saufsi

q ≡ 3 [4]

et

r = 2

. Pour e as, ona besoinduthéorèmesuivant:

Théorème 1.2.10 [25 , p.41℄ Soit

p

premier tel que

p ≡ 3 [4]

et posons

p +

1 = 2

γ

_s

ave

s

impair. Alors, pour toutentier

k ≥ 1

,

x

2

k

− 2a

γ

x

2

k−1

− 1

est irrédu tible sur

F

p

, etdon irrédu tible sur

F

p

m

pourtoutentier impair

m

, où

a

γ

estobtenu par ré urren ede lamanièresuivante :  (i)

a

1

= 0

 (ii)

∀j ∈ {2, . . . , γ − 1}, a

j

=



_a

j−1

+1

2



(p+1)

4

 (iii)

a

γ

=



_a

γ−1

−1

2



(p+1)

4

Lemme 1.2.11 [25 , p.42℄ Soit

P

unpolynme

F

p

-linéaire. On suppose que

P

n'admet que

0

omme ra ine dans

F

q

. Alorspourtout

b ∈ F

q

,

P − b

admet un fa teur irrédu tible de degré 1.

Preuve:

Tout endomorphisme inje tif d'un espa e ve toriel de dimension nie est surje tif.

Théorème 1.2.12 [25 , p.42℄ Le polynme trinmial

x

p

_{− x − b}

où

b ∈ F

q

et

q = p

m

estirrédu tible sur

F

q

siet seulementsiTr

F

q

/F

p

(b) 6= 0

Preuve:

Onrappelleque latra ed'un élément

b

de

F

q

sur

F

p

, notéeTr

F

q

/F

p

(b)

, est latra edel'appli ation

F

p

-linéairede

F

q

danslui-même,obtenuepar multipli- ationpar

b

. Onmontreque ettetra eestégaleàlasommedes onjuguésde

b

, 'est-à-direàlasommedes

b

p

i

pour

0 ≤ i ≤ m − 1

. Soit

θ

unera inede

x

p

_{− x − b}

.Montrons parré urren esur

n

que

θ

p

n

= θ +

n−1

_X

i=0

b

p

i

.



n = 1

Dé oule dufait que

θ

estune ra inede

x

p

_{− x − b}

.Lapropriétéest don vraieaurang1.

 Passagede

n

à

n + 1

Supposonslapropriétévraieaurangn, alors

θ

p

n

= θ +

n−1

X

i=0

b

p

i

Onobtientalorsenélevant etteégalitéàlapuissan e

p

:

θ

p

n+1

=

θ +

n−1

_X

i=0

b

p

i

!

p

= θ

p

+

n−1

_X

i=0

b

p

i+1

= θ + b +

n

X

i=1

b

p

i

= θ +

n

X

i=0

b

p

i

Lapropriétéest don vraieaurang

n + 1

.Cequi a hèvelaré urren e. En parti ulier,

θ

q

_{= θ +}

Tr

F

q

/F

p

(b)

. Onen déduitdon queTr

F

q

/F

p

(b) = 0

siet seulementsi

θ

q

_{= θ}

, 'est-à-dire siet seulementsitouteslesra inesde

x

p

_{− x − b}

sontdans

F

q

.Ce i démontre quesi

x

p

_{− x − b}

estirrédu tiblesur

F

q

alorsTr

F

q

/F

p

(b) 6= 0

. Ré iproquement,si

τ =

Tr

F

q

/F

p

(b) 6= 0

,alors

τ ∈ F

p

etona:

∀i ∈ N, θ

q

i

= θ + iτ

En parti ulier e i montre que

θ

a

p F

q

- onjugués distin ts, et don que son polynmeminimal sur

F

q

est dedegré

p

,et don est égalà

x

p

_{− x − b}

. Cequi démontrelaré iproque.

Corollaire1.2.13

[

25

, p.43]

Soient

a, b ∈ F

⋆

q

. Alors, les deux propriétés sui-vantessont équivalentes:

 (i)

x

p

_{− ax − b}

estirrédu tible sur

F

q

 (ii)

∃A ∈ F

q

, a = A

p−1

etTr

F

q

/F

p

(

b

A

p

) 6= 0

Preuve:

D'après le lemme on ernant les polynmes linéaires, si

x

p

_{− ax − b}

est irrédu tiblealors

x

p−1

_−a

aunera inedans

F

q

.Eneet,supposonsque

x

p−1

_−a

n'aitpasdera inenonnulledans

F

q

.Alors

x

p

_{− ax}

n'apasdera inenonnulle. On on lut alorsgrâ eaulemme 1.2.11que

x

p

_{− ax − b}

aunera inedans

F

q

, etdon nepeutêtreirrédu tible.

Soitdon

A

unera inede

x

p−1

_{− a}

x

p

_{− ax − b = A}

p

x

A

p

−

_A

x

−

_A

b

p

(1)

On on lutalorsgrâ eauthéorème.

Laré iproqueétantimmédiateenpartantde

(1)

.Ce iterminelapreuvedu orollaire.

1.2.2 Composition

Après ette ourteénumérationdepolynmesirrédu tiblessurun orpsni, il est intéressant de voir omment, à partird'un ou plusieurspolynmes irré-du tibles,onpeuten onstruiredenouveaux,dedegréplusélevé.Uneméthode onsisteàs'intéresseraux ompositions,et pluspré isementauxpolynmesde laforme:

P (

f

_g

) = g

n

_{(x)P (}

f (x)

g(x)

)

où

P, f,

et

g

sontdespolynmes.C'est l'objetde eparagraphe. Théorème 1.2.14 [25 ,p.44℄Soit

f, g, P ∈ F

q

[x]

.Supposonsque

P =

P

n

i=0

c

i

x

i

estirrédu tiblede degré

n

.Alors

P (

f

g

)

(déni omme i-dessus)estirrédu tible sur

F

q

si et seulement si

f − λg

est irrédu tible sur

F

q

n

pour au moins une ra ine

λ

de

P

dans

F

q

n

.

Preuve:

Le as

n = 1

étant trivial,onpeutsupposer

n > 1

.Dans e as,

P (

f

g

)

est dedegré

hn

où

h = max(

deg

f,

deg

g)

.Ce i est lairlorsque lesdegrésde

f

et

g

sontdistin tsets'ilssontégauxà

s

,si

a

désignele oe ientdominantde

f

et

b

eluide

g

,le oe ientdutermeen

x

ns

,

c

,de

P (

f

g

)

estégalà

n

X

i=0

c

i

a

i

b

n−i

= b

n

P (

a

b

).

Mais omme

b 6= 0

pardénitionetque

P

estirrédu tiblesur

F

q

(afortiorin'a pasdera inesdans

F

q

),il s'ensuitque

c 6= 0

.

Soit

γ

une ra ine de

P (

f

g

)

. Alors

γ

est une ra ine de

f − λg

, où

λ

est une ra inede

P

.Onadon :

P (

f

g

)

irrédu tiblesur

F

q

⇐⇒

[F

q

(γ) : F

q

] = hn

⇐⇒

[F

q

(γ) : F

q

(λ)] = h

( ar

[F

q

(λ) : F

q

] = n)

⇐⇒

f − λg

irrédu tiblesur

F

q

n

Ce qui omplèteladémonstrationduthéorème.

Onpeutalorss'intéresseràdesformesparti ulièresde

f

et

g

:

Corollaire1.2.15 [25 ,p.44℄Soit

P ∈ F

q

[X]

unpolynmeirrédu tible dedegré

n

. Alorspourtout

a, b, c, d ∈ F

q

telsque

ad − bc 6= 0

,

(cx + d)

n

_P



ax+b

cx+d



Théorème 1.2.16 [25, p.44℄ Soit

t

unentieret

P ∈ F

q

[X]

unpolynme irré-du tible de degré

n

et d'exposant

e

( 'est-à-dire toutes les ra ines de

P

sont d'ordre

e

).Alors

P (x

t

₎

estirrédu tible sur

F

q

sietseulementsilestrois ondi-tionssuivantessontvériées:

 (i) pg d

(t,

q

n

₋₁

e

) = 1

 (ii) Pourtoutnombrepremier

p, (p | t ⇒ p | e)

 (iii) si

4 | t

alors

4 | (q

n

_{− 1)}

Preuve:

D'aprèslethéorèmepré édent,

P (x

t

₎

estirrédu tiblesur

F

q

sietseulement si

x

t

_{− λ}

estirrédu tiblesur

F

q

n

pourunera ine

λ

de

P

.Onapplique alorsle théorème1.2.5.

Dénition1.2.17 Si

f

estunpolynmede degré

n

, onappellepolynme ré i-proquede

f

, etonnote

f

⋆

, lepolynme dénipar

f

⋆

_{(x) = x}

n

_{f (}

1

x

)

Remarque 1.2.18 Onpeut onstaterd'une partque

(f

⋆

₎

⋆

_{= f}

etd'autrepart que

f

estirrédu tiblesur

F

q

sietseulementsi

f

⋆

l'est.Eneet,ilsut d'appli-quer le orollaire1.2.15 ave i i

a = d = 0

et

c = b = 1

. Cette petite remarque seraparti ulièrementintéressantedansle hapitresuivant,puisquelenombrede fa teursirrédu tiblesde

T

n

_{+ T}

k

_{+ 1}

estlemêmed'après equipré èdeque elui de

T

n

_{+ T}

n−k

_{+ 1}

, permettant ainsi de réduirelenombrede asà onsidérer. En ara téristique

2

,ondisposeduthéorèmesuivant:

Théorème 1.2.19 [25,p.45℄Soit

q = 2

m

et

P =

P

n

i=0

c

i

x

i

∈ F

q

[x]

irrédu tible de degré

n

. Alors  (i)

x

n

_{P (x + x}

−1

₎

estirrédu tiblesur

F

q

sietseulementsiTr

F

q

/F

2

(

c

1

c

0

) 6= 0

 (ii)

x

n

_P

⋆

_{(x + x}

−1

₎

estirrédu tible sur

F

q

ssiTr

F

q

/F

2

(

c

n−1

c

n

) 6= 0

Preuve:

On démontre

(i)

,ladémonstrationde

(ii)

étantidentique.D'aprèsle théo-rème1.2.14,

x

n

_{P (x + x}

−1

₎

estirrédu tiblesur

F

q

sietseulementsi

x

2

_{− ax − 1}

estirrédu tiblesur

F

q

n

,pourunera ine

a

de

P

.Maisenappliquantle orollaire 1.2.13,

x

2

_{− ax + 1}

est irrédu tiblesur

F

q

n

si etseulementsiTr

F

q

/F

2

(a

−2

_{) 6= 0}

. Or, Tr

F

qn

/F

q

(a

−2

_{) =}

Tr

F

qn

/F

q

(a

−1

₎

2

₌

Tr

F

q

/F

2

(

Tr

F

qn

/F

q

(a

−1

₎₎

2

_.

Mais

a

est une ra ine de

P

(

a 6= 0

) don

a

−1

est une ra ine de

P

⋆

qui est irrédu tible sur

F

q

. On en déduit don que Tr

F

qn

/F

q

(a

−1

_{) = −}

c

1

c

0

(puisque le polynmeminimalde

a

−1

sur

F

q

est

c

−1

0

P

⋆

). Ce i a hèveladémonstrationde ethéorème.

Théorème 1.2.20 [25, p.45℄ Soit

p

premier impair et

q = p

m

. Soit

P

un po-lynmeirrédu tible sur

F

q

, dedegré

n

. Alors sontéquivalents :

 (i)

x

n

_{P (x + x}

−1

₎

est irrédu tible sur

F

q

 (ii)

P (2)P (−2)

n'estpasun arrédans

F

q

Enappliquantlethéorème1.2.14,

x

n

_{P (x + x}

−1

₎

estirrédu tiblesur

F

q

siet seulementsi

x

2

_{− ax + 1}

est irrédu tiblesur

F

q

n

,où

a

estunera inede

P

.Ce qui est lairementéquivalentàla ondition

a

2

_{− 4}

n'estpasun arrédans

F

q

n

.

a

2

− 4 /

∈ F

2

q

n

⇐⇒

(a

2

− 4)

qn −1

2

= −1

⇐⇒

[(a − 2)(a + 2)]

qn −1

2

= −1

⇐⇒

{[(2 − a)(−2 − a)]

qn −1

q−1

_}

q−1

2

= −1

⇐⇒

{[(2 − a)(−2 − a)]

P

n−1

i=0

q

i

_}

q−1

2

= −1

⇐⇒

n−1

_Y

i=0

(2 − a)

q

i

(−2 − a)

q

i

!

q−1

2

= −1

⇐⇒

n−1

_Y

i=0

(2 − a

q

i

)(−2 − a

q

i

)

!

q−1

2

= −1

⇐⇒

(P (2)P (−2))

q−1

2

_{= −1}

⇐⇒

P (2)P (−2)

n'estpasun arrédans

F

q

,

e quia hèveladémonstrationduthéorème.

Théorème 1.2.21 [25 ,p.46℄Soit

P =

P

n−1

i=0

c

i

x

i

+x

n

unpolynmeirrédu tible sur

F

q

et

b ∈ F

q

. Soit

p

la ara téristiquede

F

q

. Alorssontéquivalents:

 (i)

P (x

p

_{− x − b)}

estirrédu tible sur

F

q

 (ii) Tr

F

q

/F

p

(nb − c

n−1

) 6= 0

Preuve:

Enappliquantlethéorème1.2.14,

P (x

p

_{− x − b)}

estirrédu tiblesur

F

q

siet seulementsi

x

p

_{− x − b − a}

estirrédu tiblesur

F

q

n

pourunera ine

a

de

P

.Mais alors, d'aprèslethéorème1.2.12, e i est équivalentà e quelatra ede

a + b

sur

F

p

soit nonnulle.On on lutalorspartransitivitédelatra e.

Ce ifournitquelques ritèresd'irrédu tibilité.

1.2.3 Constru tion ré ursive

Enseservantdes ritèresd'irrédu tibilitéétablis dansleparagraphe pré é-dent,ils'agitàprésentdedonnerquelquesméthodespour onstruire ré ursive-mentdespolynmesirrédu tiblesdedegré arbitrairementélevé.Bienentendu, es méthodessontassezlimitées danslamesureoùellesnepermettentquede onstruire des familles pré ises. Ellesne fournissent pasde te hnique générale pour onstruireunpolynmeirrédu tiblededegrédonné.Néanmoins,ellessont tout de même intéressantes puisqu'on obtient ainsi fa ilement des polynmes irrédu tiblesdedegréarbitrairementélevé.

Théorème 1.2.22 [25, p.49-50℄ Soit

p

premier et

f (x) = x

n

₊

P

n−1

i=0

c

i

x

i

un polynme irrédu tible sur

F

p

. Supposons qu'il existe

a ∈ F

⋆

p

tel que

(na +

c

n−1

)f

′

(a) 6= 0

. Onposealors :

g(x)

= x

p

− x + a

f

0

(x)

= f (g(x))

f

k

(x)

= f

k−1

⋆

(g(x))

pour

k ≥ 1

Alorspourtout

k ≥ 0

,

f

k

estirrédu tible sur

F

p

, de degré

np

k+1

. Preuve:

L'idéeest dedémontrerlerésultatparré urren esur

k

enutilisantle théo-rème1.2.21.Par onséquent,ondémontreparré urren esur

k

quele oe ient duterme en

x

dans

f

k

est non nul,que

f

′

k

(a) 6= 0

, que

f

k

est irrédu tible sur

F

p

dedegré

np

k+1

.Onnote

[x]f

k

(x)

le oe ientduterme

x

dans

f

k

.  Cas

k = 0

D'après le théorème 1.2.21, on sait que

f

0

est irrédu tible sur

F

p

si et seulementsi

T r

F

p

/F

p

(na + c

n−1

) 6= 0

. C'est-à-diresiet seulementsi

na +

c

n−1

6= 0

; e qui est le as par hypothèse. Ainsi,

f

0

est irrédu tible sur

F

p

,dedegré

np

.Parailleurs,

[x]f

0

(x)

= [

d

dx

f

0

(x)]

x=0

= [

d

dx

n

X

i=0

c

i

g(x)

i

!

]

x=0

=

n

X

i=0

ic

i

g

′

(0)g(0)

i−1

= −

n

X

i=0

ic

i

a

i−1

= −f

′

(a)

Ce qui montre bienque e oe ientest nonnul.De manièreidentique, on trouve

f

′

0

(a) = f

′

(a)

qui estde nouveau nonnul parhypothèse.Ce i montrequelapropriétéestvraieaurang

0

.

 Passagede

k

à

k + 1

Supposons àprésent que

f

k

est irrédu tiblesur

F

p

de degré

np

k+1

, que son oe ienten

x

,

[x]f

k

(x) 6= 0

et que

f

′

k

(a) 6= 0

.Montronsalorsquela propriétéest vraieaurang

k + 1

.

f

k

estirrédu tible,enparti ulier

0

n'estpasunera inede

f

k

.Parsuite,le polynme

f

⋆

k

est irrédu tible(d'aprèslethéorème1.2.14)dedegré

np

k+1

. Siontransforme

f

⋆

k

enunpolynmeunitaire,alorsson oe ientduterme en

x

np

k+1

₋₁

vaut

[x]f

k

(x)

f

k

(0)

.Ilestdon nonnulparhypothèsederé urren e. Onendéduitalorsenappliquantdenouveaulethéorème1.2.21que

f

k+1

estirrédu tiblesur

F

p

(puisque

T r

F

p

/F

p

(np

k+1

_{a +}

[x]f

k

(x)

f

k

(0)

) =

[x]f

k

(x)

f

k

(0)

6= 0

), dedegré

np

k+2

.

Maintenant,si

f

k

(x) =

P

n

k

i=0

u

i

x

i

(où

n

k

= np

k+1

)alorsona:

f

k+1

=

n

k

X

i=0

u

i

g(x)

n

k

−i

Cequi onduità:

f

k+1

′

(x)

=

n

k

X

i=0

(n

k

− i)u

i

g

′

(x)g(x)

n

k

−i−1

= −

n

k

X

i=0

(n

k

− i)u

i

g(x)

n

k

−i−1

Mais omme

g

est onstantsur

F

p

, ilenest de mêmepour

f

k

et

f

′

k

. Par onséquent,

[x]f

k+1

(x) = f

k+1

′

(0) = a

n

k

−2

f

k

′

(a

−1

) = a

n

k

−2

f

k

′

(a)

Ilest don non nul par hypothèse de ré urren e. De manière identique,

f

′

k+1

(a) = a

n

k

−2

f

k

′

(a) 6= 0

.

Lapropriétéest don vraieaurang

k + 1

.

Onadon montréparré urren eque

f

k

estirrédu tiblesur

F

p

etlethéorème est entièrementdémontré.

Dansle asparti ulieroù

p = 2

et

q = 2

m

( asparti ulièrementintéressant en ryptographie),onala onstru tionré ursivesuivantefondéesurlethèorème 1.2.19.

Théorème 1.2.23 [25 , p.51℄ Soit

f (x) =

P

n

i=0

c

i

x

i

un polynme irrédu tible sur

F

q

de degré

n

. Onsupposeque lesdeuxpropriétés suivantessontvériées:

T r

F

q

/F

2(

c

1

c

0

) 6=

0

T r

F

q

/F

2

(

c

n−1

c

n

) 6=

0

On dénitalors lespolynmes

a

k

et

b

k

ré ursivement ommesuit:

a

0

(x)

=

x

b

0

(x)

=

1

a

k+1

(x)

=

a

k

(x)b

k

(x)

pour

k ≥ 0

b

k+1

(x)

=

a

2

k

(x) + b

2

k

(x)

pour

k ≥ 0

f

k

(x)

=

(b

k

(x))

n

f (

a

k

(x)

b

k

(x)

)

pour

k ≥ 0

Alors pour tout

k ≥ 0

,

f

k

est irrédu tible sur

F

q

de degré

2

k

_n

. Preuve:

On onstate pour ommen er que pour tout

k ≥ 0

,

a

k+1

(x)

b

k+1

(x)

=

ak (x)

bk (x)

1+



ak (x)

bk (x)



2

. Onendéduitalorsfa ilementparré urren esur

k ≥ 0

que:

a

k

(

_1+x

x

2

)

b

k

(

_1+x

x

2

)

=

a

k

(x)

b

k

(x)

1 +



a

k

(x)

b

k

(x)



2

Posons

y =

x

1+x

2

et

c

k

(x) =

b

k+1

(x)

b

k

(y)

pour

k ≥ 0

. Montrons alorsque

∀k ≥ 0

,

c

k+1

= c

2

k

.Soit

k ≥ 0

.Onaalors:

c

k+1

(x)

=

b

k+2

(x)

b

k+1

(y)

=

a

k+1

(x)

2

_{+ b}

k+1

(x)

2

b

k+1

(y)

=

b

k+1

(x)

2

b

k+1

(y)



1 +

a

k+1

(x)

b

k+1

(x)



2

=

b

k+1

(x)

2

b

k+1

(y)



1 +

a

k

(y)

b

k

(y)



2

=

b

k+1

(x)

2

b

k

(y)

2

(a

k

(y)

2

+ b

k

(y)

2

)

b

k+1

(y)

=



b

k+1

(x)

b

k

(y)



2

=

c

2

k

(x)

(Ces al ulssontli ites puisqu'onest en ara téristique

2

).Ilendé ouleque

∀k ≥ 0, b

k+1

(x) = (1 + x

2

)

2

k

b

k

(

x

1 + x

2

)

Ilest alorsaisé devérierqueles

f

k

satisfontlarelationde ré urren e sui-vante:

f

0

(x)

=

f (x)

f

k+1

(x)

=

(1 + x

2

)

2

k

_n

f

k

(

x

1 + x

2

)

pour

k ≥ 0

Parailleurs,pour

k ≥ 0

xé,

f

k

⋆

(x + x

−1

)

= (x + x

−1

)

2

k

_n

f

k

((x + x

−1

)

−1

)

=



1 + x

2

x



2

k

_n

f

k

(

x

1 + x

2

)

= x

−2

k

n

(1 + x

2

)

2

k

n

f

k

(

x

1 + x

2

)