1°) Transformateur monophasé1.1) Définition

1°) Transformateur monophasé

1.1) Définition

Un transformateur est un quadripôle formé de deux enroulements enlaçant un circuit magnétique commun. C’est une machine statique permettant, en alternatif, la modification de certaines grandeurs ( tension, courant)sans changer leur fréquence.

1.2) Constitution

Circuit magnétique: Il est traversé par un champ magnétique variable et est le siège de pertes magnétiques ( pertes par courants de Foucault et par hystérésis). On limite ces pertes, pour les premières en utilisant un circuit feuilleté et pour les secondes en utilisant un acier au silicium.

Enroulements: Ils sont placés de manière à limiter les fuites magnétiques.

1.3) Représentation - Convention Symbole:

Convention récepteur pour le primaire indicé 1. Le primaire reçoit de la puissance du réseau.

Convention générateur pour le secondaire indicé 2.

Le secondaire fournit de la puissance à la charge.

Bornes homologues: Les bornes marquées d’une étoile sont dites homologues, si des courants entrant au même instant par ces bornes donnent des flux de même sens ( ligne de champ de même sens).

2°) Le transformateur parfait en régime sinusoïdal Pour un transformateur parfait, il faut négliger:

- Les pertes par effet Joule dans les enroulements. On considère R1 = R2 = 0Ω.

- Les pertes magnétiques i.e. les pertes par courants de Foucault et les pertes par hystérésis.

On considère qu’il n’y a pas de saturation du milieu ferromagnétique.

* *

i1

u₁

i2

u₂

b, φ

h, i

- Les fuites magnétiques. Le flux à travers chaque spire du primaire est le même que celui traversant chaque spire du secondaire. φ1 = φ2 = φ.

2.1) Modèle électrique équivalent

La f.e.m induite est positive, si en étant la seule source de tension, elle tend à faire circuler un courant positif. A chaque instant, chaque spire d’enroulement est traversée par le même flux magnétique φ.

et

Circuit primaire: Appliquons la loi des mailles

Cette formule est appelée formule de Boucherot. Pour un transformateur parfait, le champ magnétique b est imposé par u1.

Circuit secondaire: u₂ =e₂ ⇒U₂ = E₂ =4 44, N BS₂  2.2) Relation entre les tensions

u u

e e

N N

2 1

2 1

2 1

= − = − rapport de transformation : ^{m N}

= N²

1

. Les tensions u1 et u2 sont en opposition de phase.

U U

E

E m

2 1

2 1

= − = − On peut donc déterminer les bornes homologues à l’aide d’un

φ

S u₁

i1

u₂

i₂

N₁ N₂

* *

*

* i2

i1

u₁ e₂ u₂

e₁

2.3) Relation entre les intensités

D’après la formule de Boucherot, le champ magnétique b est imposé par u1, sans tenir compte ni de i1, ni de i2. D’après le théorème d’Ampère Hl = f.m.m.

Avec f m m. . =N1× +i1 N2×i2 =N1×i10

en charge à vide

N i N i N i

i i N

N i i mi

1 1 1 10 2 2

1 10

2 1

2 10 2

× = × − ×

⇔ = − × = −

Lorsque l’on passe d’un fonctionnement à vide à un fonctionnement en charge, le primaire appelle le courant supplémentaire -mi2. Ce courant dit de travail, circule dans les N1 spires du primaire et crée une f.m.m qui annule exactement la f.m.m du secondaire.

Seule la f.m.m N1 i10 donne naissance au vecteur excitation magnétique. Le courant à vide est appelé courant magnétisant. Par la suite le courant magnétisant correspondra à la partie réactive du courant à vide.

En charge le courant i1 absorbé au primaire, est la somme de deux composantes:

- Le courant magnétisant i10, qui crée le champ magnétique.

- Le courant de travail -mi2 proportionnel au courant débité dans la charge.

Par la suite, on pourra négliger i10 devant i1.

Par conséquent on obtient, ⁱ

i¹ m

2

= − . Si en plus la charge est linéaire alors I

I¹ m

2

= − .

2.4) Diagramme de Fresnel

Un transformateur parfait de rapport de transformation m, est soumis à une tension u1

connue et débite dans un récepteur linéaire connu (ϕ^i2/u2).

u2 = -m u1.

i1 = -m i2.

En charge A vide

i1 i₂ i₁₀ i₂ = 0 A

I2

E2 = U2 E₁

ϕ I1

U1

Origine des phases ϕi2/u2

2.5) Puissances

apparentes S1 = U1 I1 S2 = U2 I2 S1 = S2. actives P1 = U1 I1 cosϕ¹ P2 = U2 I2 cosϕ²

réactives Q1 = U1 I1 sinϕ1 Q2 = U2 I2 sinϕ2

rendement η= P2 / P1 = 1 3°) Modèle électrique équivalent

La source de tension u1 impose la tension u2, mais c’est la charge qui impose le courant i2 et par conséquent i1.

3.1) Impédance ramenée au primaire

⇔

3.2) M.E.T ramené au secondaire

4°) Le transformateur réel

4.1) La plaque signalétique

- Valeur de la puissance apparente, qui sert de base à la construction du transformateur.

- Tension primaire nominale U1N.

- Tension secondaire sous U1N à vide : U2v.

*

* i₁

u₁

i₂

u2 Zc

Z_p I₁

U₁

*

* I1

U1

I2

U₂ Zc

E

I2

U2 Zc

⇔ Z

4.2) Bilan énergétique

La puissance utile d’un transformateur : P2. La puissance absorbée au primaire : P1. Rendement η=P²/P1.

4.2.1) Pertes par effet Joule ou pertes dans le cuivre Elles sont dues aux résistances R1 et R2 des enroulements.

P_J = P_C = R I1 1 +R I

2

2 2 2

4.2.2) Pertes magnétiques ou pertes dans le fer -Pertes par hystérésis:

L’aimantation du matériau absorbe de l’énergie. Le phénomène n’étant pas réversible, le matériau ne restitue pas toute l’énergie reçue. Pendant la désaimantation, une partie se dissipe sous forme de chaleur. Ces pertes sont proportionnelles à l’aire du cycle d’hystérésis.

- Pertes par courants de Foucault

Le courant alternatif parcourant la bobine engendre un flux alternatif dans le matériau. Ce flux variable crée, dans la matière, des courants induits, appelés courants de Foucault, qui provoquent l’échauffement du matériau.

Les pertes dans le fer dépendent du champ magnétique maximal et de la fréquence. Si u1 est constant, elles sont indépendantes de la charge.

4.2.3) Fuites magnétiques

Le flux ϕt engendré par la bobine peut-être considéré comme la somme du flux ϕ ( seul considéré pour l’instant ) et d’un flux de fuite ϕ^f correspondant à des lignes de champ, qui se referment dans l’air.

ϕt = +ϕ ϕf.

Le flux de fuite ϕf est proportionnel à i1, car les lignes de champ se referment dans l’air. Il n’y a pas de saturation.

H l N i b

l N i S l N i

N S

l i l i

f

f f

0 1 1

0

1 1

0

1 1

0 1

1 1

× = × ⇔ × = × ⇔ × = ×

= × = ×

µ

ϕ µ ϕ µ

Avec lf inductance de fuite.

b,ϕ

h,i

ϕ

ϕf

i1

u1

Remarque: A cause des résistances des enroulements et des fuites magnétiques, u2 en charge est différent de u2v. Il existe donc une chute de tension secondaire en charge.

∆U₂ =U_2v −U₂

4.2.4) Obtention de la mesure de ces pertes

- Mesure directe de P1 et P2. La détermination des pertes est alors imprécise.

- Mesure indirecte: Méthode des pertes séparées, elle permet aussi la détermination du rendement au point de fonctionnement nominal, sans qu’il soit nécessaire de lui fournir sa puissance nominale.

Essai à vide:

Le courant i1v n’étant pas sinusoïdal, il faut un ampèremètre ferromagnétique ou R.M.S vrai. On utilise un montage longue dérivation car I1v est faible devant U1N, donc Z1 est grande. L’impédance du voltmètre V2 (Zv2) est grande, donc l’impédance ramenée au primaire le sera d’autant (Zp= Zv2/m²). I1v est négligeable devant I1N, mais les pertes par hystérésis qui dépendent du champ magnétique maximal, qui dépendent de U1N ne le sont pas.

P_1v = P_F +R₁×I₁²_v ⇒P_1v ≅ P_F.

L’essai à vide sous tension nominale U1N permet de déterminer les pertes dans le fer. On admet qu’elles sont proportionnelles à U²1V.

Essai en court-circuit:

On règle U1cc << U1N, afin d’avoir I2cc = I2N. On aura ainsi I1cc = I1N.

Ne pas brancher d’ampèremètre au secondaire cela ramènerait la résistance de l’ampèremètre au primaire.

P_1cc = P_F +R₁×I₁²_cc +R₂×I₂²_cc ≅R₁×I₁²_cc +R₂×I₂²_cc.

L’essai en court-circuit permet de déterminer les pertes par effet Joule, pour un régime de fonctionnement fixé, pour un courant I2 fixé.

Rendement: η = + +

P P P_F P_C

2 2

. 5°) Modèle linéaire du transformateur réel

Un transformateur réel comporte :

- Des enroulements de résistances R1 et R2 non nulles.

W A₁

i_1v

u_1N V₁ u_2v V₂

A1 W i1cc

u_1cc

V₁

i_2cc=i_2N

- Un circuit magnétique, dont la magnétisation nécessite une f.m.m non nulle. De plus ce circuit présente de l’hystérésis et fonctionne toujours à la limite de la saturation. Son fonctionnement n’est pas linéaire.

La tension u1 est sinusoïdale donc ϕ et b aussi. L’intensité i¹ ne l’est pas par contre, donc h non plus.

Elle est périodique de même période que la tension.

5.1) Modèle simplifié

Premier modèle simplifié:

Si on n’atteint pas la saturation du matériau ferromagnétique, le cycle d’hystérésis devient.

Il faut pour se faire choisir une amplitude de u1 pas trop grande et négliger les harmoniques devant le fondamental du courant. Ainsi u1, ϕ, b, i et h sont sinusoïdaux.

L’intensité i1 est en retard sur la tension u1, donc le primaire consomme de la puissance réactive comme une inductance pure L1 et de la puissance active ( pertes dans le fer ) comme une résistance RF. Les fuites magnétiques: ϕ^f1 est proportionnel à i1

( absence de saturation car les lignes de champ se trouve dans l’air). ϕf1 = lf1 i1.

b,ϕ

h,i

u₁

i₁

b, φ

h, i

*

* i1

u₁

i2

u₂ R2

lf2

e₂ = m e₁ R₁ l_f1

R_F L_F

-m i2

i₁₀

e₁ u1

i1

Remarques:

- A vide:

Si I10 est faible ou si R1 I10 + j lf1 ω I¹⁰ << E1, alors U1 = et U20 = . U20 = Le transformateur réel se comporte pour les tensions comme un transformateur parfait.

- En charge: Si on néglige I10 devant I1 et I2, alors le transformateur réel se comporte pour les courants comme un transformateur parfait. I1 = .

5.2) Modèle dit de Kapp

Le circuit magnétique est « linéarisé », en plus on le considère comme parfait. En fait, on néglige le

phénomène d’hystérésis et les courants de Foucault. Cela revient à négliger i10 ( ce que l’on peut faire pour un fonctionnement nominal).

5.3) Modèle équivalent de Thévenin vue de la charge avec l’hypothèse de Kapp

U E Z I

Z R jX

s s s

s s s

2 = − ×

= +

Cherchons à exprimer ces différents termes en fonction des paramètres du modèle de Kapp.

b, φ

h, i

*

* i₁

u₁

i₂

u2

R₂ l_f2

e₂ = m e₁ R₁ l_f1 -m i₂

e₁

Z_s I₂

U₂ E_s

1 2

2 1

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

f f

I mI

E mE

E R I jl I U

E R I jl I U

ω ω

= −

=

= × + −

= × + +

Identifions termes à termes, avec l’équation due au M.E.T Es = , Rs = , Xs = Lsω avec Ls = . Diagramme de Kapp: U2 = Es - Zs I2 ⇔  =  −  − 

U E_s R I_s U_L

2 2 s avec ^{ULs = jL Isω 2} Grandeur courant i2 prise comme référence de phase.