Modèle analytique pour l’estimation des pertes par courants de Foucault dans les enroulements des machines électriques.

(1)

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTEREDE L’ENSEIGNEMENTSUPERIEUR ET DE LA RECHERCHESCIENTIFIQUE

UniversitéMohammed Seddik Ben Yahia, Jijel

Faculté des sciences et de la technologie Département d’Electrotechnique

Mémoire de fin d’études

Présenté en vue de l’obtention du diplôme de Master En électrotechnique

Option : Machines électriques

Thème

Modèle analytique pour l’estimation des pertes par courants de Foucault dans les enroulements des machines électriques.

Présenté par : Proposé et dirigé par :

Bourouba Billel

Elkolli Djamel Mme:Z.Boulassel_Belli.

Année universitaire : 2019/2020

(2)

Remerciements

Avant tout, nous remercions notre Dieu le tout puissant de mous avoir donné la force, l’endurance, la patience et la senté durant

toutes ces années d’étude.

Nos remerciements les plus sincéres vont à Madame: Zoubida boulassel née Belli qui nous a si bien orientés et conseillés tout

au long de ce travail.

Nous tenons à remercier tous les enseignants d’électrotechnique qui ont contribué à notre formation.

(3)

Dédicace

Je dédie ce travail A mes très chers parents

qui ont toujours été là pour moi, et qui m'ont

donné un magnifique modèle de labeur et de persévérance. J'espère qu'ils trouveront dans ce travail toute ma reconnaissance et tout mon

amour.

Et pour mes trés chéres sœurs et mon petit frére.

A toute ma famille

A tous mes amis et mes collégues.

DJAMEL

(4)

Dédicace

Je dédie ce modeste travail aux Êtres qui son les plus chers à mon coeur:

A celui qui m’a indiqué la bonne voie en me rappelant que la volonté fait toujours la réussite

A mon pére Smail

A celle que le paradis est sous ses pieds, celle qui

attendu avec patience les fruits de sa bonne éducation A ma mére Louiza

A tous mes fréres et mes soeurs.

Et je le dédie également à tous mes neveux,mes nièces.

Et à mes amis.

Billel

(5)

Sommaire

Introduction générale……….………1

Chapitre 1: Machines électriques tournantes: enroulements et pertes. I.1 Introduction...3

I.2 Classification des machines électriques...3

I.2.1 Machines statiques...3

I.2.2 Machines tournantes………...6

I.3. Enroulements des machines électriques...9

I.3.1 Enroulements des machines à courant alternatif...11

I.4. Pertes dans les machines électriques...17

I.4.1 Pertes Joule...17

I.4.2 Pertes ferromagnétiques ou pertes fer...17

I.5 Conclusion...19

Chapitre 2: Modèle analytique pour le calcul des pertes par courants de Foucault dans les enroulements des machines électriques II.1 Introduction ... 20

II.2 Equations du champ électromagnétique ... 20

II.2.1 Equations de Maxwell...20

II.2.2 Relations des milieux et loi d'Ohm ... 21

II.2.3 Conditions de passage...22

II.2.4 Hypothèses simplificatrices liées aux applications électrotechniques...23

II.3 Formulation du champ électromagnétique ... 23

II.3.1 Formulations en potentiel vecteur magnétique...24

II.4 Méthodes de résolution ... 25

II.4.1 Méthodes analytiques ... 26

II.4.2 Modèle numérique ... 26

II.4.3 Modèle semi-analytique ... 26

II.5 Modèle analytique pour le calcul des pertes par courants induits...27

II.5.1 Modèle proposé ... ...29

II.6 Conclusion...31

(6)

Chapitre 3: Application et résultats

III.1 Introduction...32

III.2 Application...32

III.3 Résultats et discussion...33

III.3.1 Effet de la fréquence...36

III.3. Effet du volume des conducteurs...38

III.4 Conclusion...40

Conclusion générale et perspectives………...……..41

Réferences bibliographiques

(7)

LISTE DE FIGURES

Figure I.1: Transformateur parfait ………...…...5

Figure I.2:Génératrice DC ou dynamo………... 6

Figure I.3:Fonctionnement des génératrices………....7

Figure I.4:Moteur électrique………...…...7

Figure I.5 :Moteur à courant continu………...…….…...8

Figure I.6: Enroulements des machines électriques………...10

Figure I.7 : Différents types d’enroulements triphasés……….….12

Figure I.8 : Encoches à simple couche………...……….12

Figure I.9 : Enroulements à une-deux couches………...…13

Figure I.10 : Connexions des enroulements………...15

Figure I.11 : Enroulement ondulé……….….15

Figure I.12 : Types des enroulements monophasés………....16

Figure I.13: Cycle d’hystérésis d’un matériau magnétique………18

Figure I.14: Courants de Foucault dans un matériau magnétique………...19

Figure II.1: Ensemble de conducteurs parallèles exposés à un champ magnétique extérieur He…27 Figure III.1: Encoche d’une machine électrique à 12 conducteurs ronds et parallèles…………...31

Figure III.2: Organigramme de calcul des pertes par courants de Foucault avec le modéle analytique………... 33

Figure III.3: Spectre de la densité des courants induits dans les counducteurs………..….34

Figure III.4: Spectre des densités de pertes dans les conducteurs………...34

Figure III.5: Variation des densités de courants induits dans les conducteurs en fonction de la fréquence ………36

Figure III.6: Variation des densités de pertes dans les conducteurs en fonction de la fréquence………36

Figure III.7: Variation des pertes totales dans les conducteurs en fonction de la fréquence………....37

Figure III.8: Variation des densités de courants induits dans les conducteurs en fonction de leur volume...38

Figure III.9: Variation des densités de pertes dans les conducteurs en fonction de leur volume………38

(8)

LISTE DE FIGURES

Figure III.10: Variation des pertes totales dans les conducteurs en fonction de leur volume…..39

(9)

Liste de notations et symboles

Z Nombre d’encoches.

m Nombre de phases.

q Nombre d’encoches par pôle et par phase.

N Vitesse [tr/mn].

f Fréquence [Hz].

P Nombre de paires de pôles.

Ph Pertes par hystérésis [Wat].

Pf Pertes par courants de Foucault [Wat].

PJ Pertes Joule [Wat].

E

Vecteur champ électrique [V/m].

H

Vecteur champ magnétique [A/m].

B

Vecteur induction magnétique [T].

𝑗⃗ Densité du courant de conduction [A.m^-2].

D⃗⃗⃗ Vecteur induction électrique [C/m²].

ρ Densité de charges volumiques [C.m⁻³].

(10)

μ Perméabilité magnétique absolue du milieu [H.m⁻¹].

μ0 Perméabilité magnétique du vide [H. m⁻¹].

μr Perméabilité magnétique relative du milieu.

ʋ Réluctivité magnétique [𝑯^−𝟏.m].

 Permittivité électrique [F/m].

𝜀₀ Permittivité du vide [F/m].

𝜀_𝑟 Permittivité relative.

J

Densité du courant induit [A/m²].

Br⃗⃗⃗⃗⃗ Induction magnétique rémanente [T].

σ Conductivité électrique [S/m].

^ Vitesse de déplacement [m/s].

𝐽⃗_𝑠 Densité du courant surfacique [A/m²].

𝜌_𝑠 Densité de charge surfacique [C.m⁻²].

𝑛⃗⃗ Normale à l’interface dirigée du milieu 1 vers le milieu 2.

A

Potentiel vecteur magnétique [T.m].

Ae

Potentiel vecteur magnétique extérieur [T.m].

Ai

Potentiel vecteur magnétique créé par chaque conducteur [T.m].

(11)

n Nombre de conduteurs.

H e

→

Champ magnétique extérieur [A/m].

Hi

Champ magnétique créé par chaque conducteur [A/m].

 Pulsation [rad.s⁻¹].

V Potentiel scalaire électrique.

R Rayon du conducteur.

IS

Courant source dans le conducteur [A].

I Courant induit développé dans le conducteur [A].

S Section du conducteur [m²].

Ds Diamètre du conducteur [m].

d Distance entre deux conducteurs voisins [m].

Lz Longueur du conducteur [m].

Vc Volume du conducteur [m³].

pc Pertes Joule résultantes dans chaque conducteur.

(12)

Introduction Générale

(13)

Introduction générale

Page 1 Les machines électriques ont un rôle très important dans la vie quotidienne des humains, elles leurs permettent d’effectuer les différentes tâches ménagères et industrielles avec le moindre effort et un très court temps de réalisation. Il n'est donc pas possible de s'en passer, surtout à notre ère moderne.

Au fil des années, les scientifiques ont développé ces machines pour donner un meilleur rendement tout en tenant compte des pertes d'énergie qui se produisent lors des processus de production, de transmission et d'utilisation du courant électrique, notamment les pertes qui se produisent au niveau des enroulements des machines électriques, que l'on appelle les pertes par courants de Foucault. En faite, la résolution des problèmes qui y sont liés, en particulier ceux liés à l'aspect coût-efficacité des machines électriques, y compris les pertes électriques, sont actuellement l’un des axes de recherche les plus investigués par la communauté électrotechnique à l’échelle mondiale.

Le calcul et l'estimation des valeurs de ces pertes sont d'une grande importance car cela permet la prédiction de l’échauffement des machines électriques, ce qui entraîne à son tour un disfonctionnement de la machine électrique et la réduction de ses performances globales (puissance, rendement…etc.). Plusieurs travaux de recherche ont été réalisés sur ce sujet [1], [2], [3] et [4].

Notre travail de Master s’inscrit dans cette thématique de recherche, où, il consiste à développer un modèle analytique pour l’estimation des pertes par courants de Foucault dans les enroulements des machines électriques.

Le mémoire est organisé en trois chapitres. Dans le premier chapitre, des notions générales sur les machines électriques, spécialement celles tournantes ainsi que leurs enroulements, et les pertes engendrées dans leurs parties actives sont abordées. Dans le deuxième, on présente un modèle analytique, basé sur les équations du champ

(14)

Introduction générale

Page 2 électromagnétique, pour l’estimation des pertes par courants de Foucault dans les enroulements des machines électriques. L’application du modèle développé et les résultats obtenus font l’objet du troisième chapitre.

Le mémoire est clôturé par une conclusion générale et des perspectives.

(15)

Chapitre 1

Machines électriques tournantes :

enroulements et pertes

(16)

Chapitre I Machines électriques tournantes : enroulements et pertes

Page 3

I.1 Introduction

Dés les sites de production de l’énergie électrique (centrales électriques) jusqu’aux utilisations domestiques simples, la machine électrique est l’organe vitale de toutes les activités humaines basées sur la conversion de l’énergie d’une forme à une autre. Cela, explique les nombreux travaux scientifiques portés sur ce dispositif électrotechnique, dont le but majeur est d’améliorer ses performances globales.

Dans ce chapitre, on présente : la classification des machines électriques, leurs enroulements (des machines tournantes) et les principales pertes engendrées dans les parties actives de la machine.

I.2 Classification des machines électriques

Le but essentiel des machines électriques est la transformation de l'énergie d'une forme à une autre, l'une au moins de ces formes étant électrique, l'autre pouvant être électrique ou mécanique. Les machines électriques font intervenir comme éléments fondamentaux :

- Courants électriques ; - Champs magnétiques.

Leur fonctionnement résulte de l’interaction des courants électriques et des champs magnétiques, donc il est basé sur les lois de l’électromagnétisme [5].

Ces lois seront présentées dans le prochain chapitre. De manière générale on peut les classer en deux grands groupes ou classes à savoir :

I.2.1 Machines statiques I.2.1.1 Transformateurs

Le transformateur est un système qui permet de modifier la tension et l'intensité d'un courant électique en un courant électrique de tension et d'intensité différentes.

Chaque transformateur est constitué de deux éléments principaux: le circuit magnétique et les enroulements [6].

(17)

Page 4

 Circuit magnétique

Le circuit magnétique d'un transformateur est soumis à un champ magnétique variable au cours du temps. Pour les transformateurs reliés au secteur de distribution, cette fréquence est de 50 ou 60 Hertz. Le circuit magnétique est le plus souvent feuilleté pour diminuer les pertes par courants de Foucault, qui dépendent de l'amplitude du signal et de sa fréquence. Pour les transformateurs les plus courants, les tôles empilées ont la forme de E et de I, donnant la possibilité ainsi de glisser une bobine au sein des fenêtres du circuit magnétique ainsi constitué [7].

 Enroulements

Le conducteur électrique utilisé dépend des applications, mais le cuivre est le matériau de choix pour l'ensemble des applications à fortes puissances. Les fils électriques de chaque tour doivent être isolés les uns des autres pour que le courant circule dans chaque tour.

Dans les applications à plus fortes puissances on entoure les conducteurs de papier diélectrique imprégné d'huile minérale. Pour les plus fortes puissances on utilise des conducteurs multibrins pour limiter l’effet de peau mais aussi les pertes par courant de Foucault.

Les enroulements du primaire ou du secondaire peuvent avoir des connexions externes, nommées prise, à des points intermédiaires de l'enroulement pour permettre une sélection de rapport de tension. Les prises peuvent être connectées à un changeur automatique de prises en charge pour le contrôle de la tension du circuit de distribution [7].

Les deux éléments principaux d’un transformateur, circuit et enroulement, sont illustrés dans la figure I.1, cas d’un transformateur parfait.

(18)

Page 5 I.2.1.2 Convertisseurs statiques

Un convertisseur statique est un système permettant d'adapter la source d'énergie électrique à un récepteur donné en la convertissant. Les premiers convertisseurs de puissance électrique ont été réalisés avec des machines électriques couplées mécaniquement.

Avec l'apparition des semi-conducteurs et de l'électronique de puissance, et avec les diodes, les transitors, les tyrhistors…etc, les systèmes de conversion deviennent de plus en plus éllaborés et ne nécessitent plus de machines tournantes. C'est l'ère des convertisseurs statiques [8].

On distingue plusieurs familles de convertisseurs statiques:

 Continu -Continu (Hacheur);

 Continu -Alternatif (Onduleur);

 Alternatif -Aalternatif (Gradateur);

 Alternatif -Continu (Redresseur).

Figure I.1 Transformateur parfait [7].

(19)

Page 6

І.2.2 Machines tournantes

La tâche principale d'une machine électrique tournante est de convertir l'énergie mécanique en énergie électrique ou électrique en mécanique. La première application est appelée fonctionnement du générateur, tandis que la seconde est le fonctionnement du moteur.

En principe, chaque machine électrique tournante peut fonctionner dans les deux modes, même si elle est conçue et déclarée comme générateur ou moteur. [9].

I.2.2.1 Génératrices

La génératrice est une machine qui transforme l’énergie mécanique en énergie électrique.

Son fonctionnement est basé sur l’induction d’un courant électrique dans un circuit conducteur par déplacement relatif de celui-ci et d’un champ magnétique, à l’aide d’un engin d’entraînement mécanique. Selon que le courant électrique induit est continu ou alternatif, la machine génératrice sera appelée (dynamo ou alternateur).

Les Figures I.3.a et I.3.b schématisent le fonctionnement des génératrices. On remarque qu’en pratique, le déplacement relatif du circuit électrique et du champ magnétique est obtenu:

 Dans le cas de l’alternateur : par rotation du champ magnétique, le circuit étant fixe.

 Dans le cas de la dynamo : par rotation du circuit électrique dans un champ magnétique fixe [5].

Figure I.2 Génératrice DC ou dynamo.

(20)

Page 7

I.2.2.2 Moteurs

Leur fonctionnement est basé sur l’obtention d’un effort mécanique par action d’un champ magnétique sur un circuit électrique traversé par un courant fourni par une source extérieure, qui peut aussi produire éventuellement le champ magnétique.

Selon que le courant électrique fourni par la source extérieure est continu ou alternatif, la machine sera appelée moteur à courant continu ou moteur à courant alternatif (synchrone ou asynchrone).

Figure I.3. Fonctionnement des génératrices.

a. Dynamo b. Alternateur

Figure I.4 Moteur électrique.

a b

(21)

Page 8

 Moteurs à courant continu

L’emploi des moteurs à courant continu est sans équivalent dans le domaine des très faibles puissances (jouets, perceuses miniatures...etc.). Il est en particulier presque obligatoire dans les équipements des automobiles (essuie-glaces, ventilateurs, lève-vitres, démarreurs...etc.). Dans le domaine industriel, on trouve des moteurs à courant continu de puissance moyenne dans les applications à vitesse variable. En ce qui concerne les fortes puissances, les limitations technologiques liées à l’alimentation en puissance électrique du rotor font qu’ils sont maintenant supplantés par les moteurs synchrones auto-pilotés qui possèdent globalement les mêmes caractéristiques mécaniques [5].

 Moteurs à courant alternatif

Les moteurs à courant alternatif font preuve d'une grande souplesse en termes de fonctionnalités, comme notamment le contrôle de vitesse. Ils sont largement employés dans l'industrie, comparés aux moteurs DC, voici certains des principaux avantages de ces moteurs [10]:

 Faible consommation au démarrage;

 Accélération controlée;

 Vitesse de fonctionnement adjustable;

 Courant de démarrage contrôlé.

Figure I.5 Moteur à courant continu à aimants permanents.

(22)

Page 9

 Types de moteurs à courant alternatif a. Moteurs synchrones

Dans ce type de moteur, la rotation du rotor est synchronisée avec la fréquence du courant d'alimentation et la vitesse reste constante sous charges variables, ce qui le rend idéal pour le matériel de pilotage à vitesse constante, et il est utilisé dans les appareils de positionnement de grande précision comme les robots, l'instrumentation, les machines et le contrôle de processus.

b. Moteurs asynchrones

Ce type de moteur, dit aussi moteur à induction, utilise l'induction électromagnétique du champ magnétique du bobinage statorique pour produire un courant électrique dans le rotor et donc du couple. C'est le type de moteur à courant alternatif le plus fréquent et le plus important dans l'industrie du fait de sa capacité de charge.Les moteurs à induction monophasés étant principalement utilisés pour de plus petites charges, comme dans les appareils électroménagers, tandis que les moteurs à induction triphasés sont davantage utilisés dans les applications industrielles telles que les compresseurs, pompes, systèmes de convoyeurs et le matériel de levage.

I.3 Enroulements des machines électriques

L’enroulement de toute machine électrique est la pièce maitresse nécessaire pour la création du champ magnétique, il est constitué de bobines ou de sections, généralement en cuivre, connectées en série ou en série-parallèle. Les enroulements des machines électriques différent par leurs sources d’alimentation à courant alternatif ou à courant continu de même qu’ils différent par les modes de conversion tournantes ou statiques (transformateurs), ils peuvent être répartis suivant le schéma ci-dessous [11].

(23)

Page 10

On s’intéresse dans ce travail aux enroulements des machines tournantes et spécifiquement à ceux des machines à courant alternatif.

Enroulements des machines électriques

éeef

Enroulements des machines à courant

alternatif

Enroulements des machines à courant

continu

Enroulements des machines tournantes

Enroulements des machines

statiques (Transformateurs)

Enroulements inducteurs

Enroulements d’induit

di

Enroulements Triphasés

Enroulements monophasés

Enrolement BT

Enroulement HT

Figure I.6 Enroulements des machines électriques [11].

(24)

Page 11 I.3.1 Enroulements des machines à courant alternatif

Tout enroulement à courant alternatif est défini par les paramètres suivants [11]

Z : Nombre d’encoches

2p : Nombre de pôles, en plus de la vitesse du champ tournant, le nombre 2p indique le nombre de groupes de bobines dans une phase à l’exception de l’enroulement à une couche par pôle conséquent ou celui-ci est égal à p.

m : Nombre de phases.

q : Nombre d’encoches par pôle et par phase : 𝑞 = ^𝑍

2𝑝𝑚

La vitesse du champ (vitesse synchrone) est liée directement au nombre de pôles de l’enroulement et à la fréquence du réseau, c’est-à-dire :

N= ^𝑓

𝑝 . 60 [tr/mn]

Où :

N : Vitesse (tr/mn) ; f : Fréquence (Hz) ; p : Nombre de paires de pôles A partir de l’expression de la vitesse, on distingue la machine (f=50Hz) ; Bipolaire 2p=2 à N=3000 tr/mn

Tétrapolaire 2p=4 à N=1500 tr/mn Héxapolaire 2p=6 à N=1000 tr/mn

(25)

Page 12 I.3.1.1 Enroulements alternatifs triphasés

Les différents types des enroulements alternatifs triphasés sont illustrés dans la figure 1.7 ci-dessous.

 Enroulement à une couche

L’enroulement à une couche (à un faisceau par encoche) est un enroulement dont les côtés actifs des bobines occupent toute l’encoche, l’utilisation de ces enroulements est destinée particulièrement aux machines de faibles puissances (à petits diamètres intérieurs statoriques), et aux machines de grandes puissances quand le nombre de pôles est élevé [11].

Enroulements triphasés

Enroulements à

une couche Enroulements à deux couches

Enroulements à une-deux

couches

Enroulements à plusieurs

vitesses

Enroulements ondulés

A B

Figure I.7 Différents types d’enroulements triphasés [11].

Figure I. 8 Encoches à simple couche [11].

A. Encoche trapézoïdale à un faisceau à conducteurs ronds B. Encoche rectangulaire à un faisceau en méplat.

(26)

Page 13

 Enroulements à deux couches

L’enroulement à deux couches est caractérisé par la présence de deux faisceaux superposés dans une même encoche, on l’appelle aussi enroulement à deux faisceaux, destiné aux machines électriques de moyennes et grandes puissances [11].

Il possède plusieurs avantages dont principalement :

 La possibilité d’éliminer les harmoniques supérieures ;

 Une économie en cuivre (diminution de la longueur moyenne de la bobine) ;

 Enroulements à une-deux couches

Un enroulement à une-deux couches est un enroulement constitué de groupes concentriques constitués de petites bobines dont les faisceaux n’occupent que la moitié de l’encoche et des grandes bobines dont les faisceaux occupent toute l’encoche, la réalisation d’un tel enroulement n’est possible que si q>2 [11].

Figure I.9 Enroulements à une-deux couches.

(27)

Page 14

 Enroulements à plusieurs vitesses

Les enroulements à plusieurs vitesses représentent le quatrième type d’enroulement des systèmes triphasés, ils sont utilisés dans les machines électriques nécessitant deux, trois, ou quatre vitesses de rotation.

Les moteurs à deux vitesses pour un rapport de 2/1 : 2P = 4/2 ; 8/2 ; 12/6, on un seul enroulement à une ou deux couches. Les moteurs à deux vitesses dont les nombres de pôles ne sont pas dans le rapport 2/1 (exemple : 2P = 6/4) ont, en général deux enroulements indépendants logés dans les même encoches. Ces enroulements sont réalisés à une couche. Cependant pour un tel rapport il existe des méthodes qui permettent d’obtenir deux vitesses de rotation avec un seul enroulement. Les moteurs à trois et quatre vitesses de rotation ont aussi deux enroulements indépendants [11].

 Connexions des enroulements

La figure I.9 représente les schémas de connexion les plus utilisés pour des rapports 2/1 (schémas de DAHLANDER).

Le schéma << étoile - double étoile >> de la figure I.9.a, assure lors de la variation de la vitesse un couple constant.

Le schéma <<triangle- double étoile>> de la figure I.9.b, assure à peu près l’égalité des puissances [12].

Pour 2p=8 Pour 2p=4 a

(28)

Page 15

 Enroulements ondulés

Les enroulements ondulés triphasés représentent le cinquième type d’enroulement des systèmes triphasés, c’est un enroulement en série, les sections sont reliées à la suite les unes des autres sans revenir en arriéré ; il s’en suit une forme ondulée de bobinage sur le schéma panoramique.

Exemple : induit 24 faisceaux, 12 lames au collecteur, pas arriéré : 7, pas avant : 7, pas résultant : 14.

b Pour 2p=8

Pour 2p=4

Figure I.10 Connexions des enroulements [11].

Figure I.11 Enroulement ondulé.

(29)

Page 16 I.3.1.2 Types des enroulements monophasés

La conception des machines électriques monophasées est identique à celle des machines triphasées, la seule différence se situe au niveau du circuit électrique, il est souvent assimilé à une machine biphasée par une seule source monophasée, tous les types d’enroulements triphasés sont applicables aux enroulements monophasés.

Le circuit électrique comporte deux enroulements : a) L’enroulement principal (fonctionnel) ;

b) L’enroulement auxiliaire.

Les deux enroulements sont alimentés en parallèle, on place un élément de déphasage (généralement une capacité ; il peut être aussi une bobine ou une résistance) en série avec l’enroulement auxiliaire [11].

Enroulements à

une couche Enroulements à deux couches

Enroulements à une-deux

couches

Enroulements à plusieurs

vitesses

Enroulements ondulés Enroulements

monophasés

Figure I.12 Types des enroulements monophasés [11].

(30)

Page 17

I.4 Pertes dans les machines électriques

I.4.1 Pertes Joule

On appelle « effet Joule » le dégagement de chaleur qui accompagne le passage d'un courant électrique dans un matériau conducteur lui opposant une résistance[6].

I.4.1.1 Énergie : la loi de Joule

L'énergie calorifique produite est décrite par la loi de Joule:

𝑬 = 𝑹. 𝑰^𝟐. 𝒕 (I.1) Où

E : Energie calirifique [Joule];

R: Résistance du matériau [Ohm]ou [Ω];

I : Intensité du courant qui circule dans le matériau ;

t : Temps pendant lequel le courant circule dans le matériau I.4.2 Pertes ferromagnétiques ou pertes fer

Les pertes dans le matériau magnétique se traduisent par une dissipation de chaleur lorsque l'enroulement est traversé par un courant alternatif. Il y a deux principaux types de pertes:

par hystérésis et par courants de Foucault [13].

I.4.2.1 Pertes fer par hystérésis

Sous excitations cycliques, le champ d’induction magnétique B décrit un cycle dans le plan B-H et crée ainsi des pertes dans le noyau sous forme de chaleur. Ces pertes sont directement proportionnelles à l’aire du cycle d’hystérésis et à la fréquence f du flux magnétique.

Il existe plusieurs expressions empiriques donnant les pertes dans le matériau magnétique. La plus classique est celle de Steinmetz qui a été développée pour des matériaux à basse fréquence, donnée par l’expression suivante [13]:

P_h = k. V. f. B_maxⁿ (I.2)

(31)

Page 18 où

k: Coefficient de proportionnalité;

V: Volume du circuit magnétique;

Bmax: Induction magnétique maximale;

n: Coefficient de Steinmetz, genéralement pris égal à 2.

La valeur de ces pertes est équivalente à la surface du cycle d’hystérésis du matériau magnétique (figure I.13).

I.4.2.2 Pertes par courants de Foucault

Le courant variable circulant dans une spirale y engendre un flux magnétique variable qui crée à son tour une f.é.m. induite. Cette dernière provoque un courant induit qui occasionne des pertes par effet Joule dissipées sous forme de chaleur. Ces pertes sont calculées par la formule empirique suivante [13] :

𝑃_𝑓 = 𝐾_𝑓𝑉_𝑒𝑓𝐵_𝑚𝑎𝑥² (I.3)

Figure I.13Cycle d’hystérésis d’un matériau magnétique [13].

(32)

Page 19 où:

kf: Coefficient qui depend du matériau utilisé;

Ve: Volume du matériau, volume de la tôle dans le cas d’un circuit feuilleté.

La figure II.14 présente les boucles de courants induits dans un conducteur (matériau ferromagnétique).

I.5 Conclusion

Une classification sommaire des différents types de machines électriques, les enroulements des machines électriques tournantes et les principales pertes dans leurs parties actives ont fait l’objet de ce premier chapitre.

Dans le chapitre deux, un modèle analytique pour la prédiction des pertes par courants de Foucault dans l’enroulement des machines électriques sera présenté.

Figure I.14 Courants de Foucault dans un matériau ferromagnétique [13].

(33)

Chapitre 2

Modèle analytique pour le calcul des pertes par courants de

Foucault dans les enroulements des

machines électriques

(34)

Chapitre II Modèle analytique pour le calcul des pertes par courants de Foucault dans les enroulements des machines électriques

Page 20

II.1 Introduction

Dans le présent chapitre on se focalise sur la présentation d’un modèle analytique pour l’estimation des pertes par courants induits dans les enroulements des machines électriques. Le modèle est basé sur les équations du champ électromagnétique, où ces dernières sont présentées au début du chapitre, ensuite un bref aperçu sur les différents modèles utilisés pour la résolution des équations différentielles aux dérivées partielles et le calcul du champ dans les dispositifs électrotechniques est abordé. On termine le chapitre par la présentation et le développement du modèle considéré.

II.2 Equations du champ électromagnétique

Pour les problèmes qui nécessitent la détermination du champ électromagnétique qui règne à chaque instant aux divers points d’un système physique, tels que les problèmes relatifs au calcul du champ magnétique dans les machines électriques, les équations de Maxwell entrent en vigueur.

Les lois fondamentales d’électromagnétisme à savoir la loi de Faraday, le théorème d’Ampère et le théorème de Gauss ont été réunies par James Clark Maxwell (1831-1879).

Ce savant inventa la formule la plus complète de l’électromagnétisme, dont les grandeurs électriques et magnétiques sont liées par quatre équations aux dérivées partielles. Sous leur forme la plus générale elles sont données ci-dessous.

II.2.1 Equations de Maxwell

 Equation de Maxwell-Faraday : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ = - ^∂B^{⃗⃗⃗⃗⃗}

∂t (II.1) E⃗⃗ : Vecteur champ électrique [V/m].

B⃗⃗ : Vecteur induction magnétique [T].

 Equation de Maxwell-Ampère : 𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = (𝑗 + ^∂D^{⃗⃗⃗⃗⃗}

∂t)

𝑗 : Densité du courant de conduction [A.m^-2] ; elle regroupe la densité du courant source ou d’excitation et celle du courant induit.

∂D⃗⃗⃗⃗⃗

∂t : Densité du courant de déplacement [A.m⁻²]

(II.2)

(35)

Page 21

 Equation de Maxwell-Gauss:

div𝐷⃗⃗ = 

(II.3)

D⃗⃗ : Vecteur induction électrique [C/m²].

ρ : Densité de charges volumiques [C.m⁻³].

 Equation de la conservation du flux magnétique

div𝐵⃗ = 0 (II.4) II.2.2 Relations des milieux et loi d'Ohm

Les équations de Maxwell regroupent les lois fondamentales de l’électromagnétisme.

Ces équations toutes seules ne sont pas suffisantes pour décrire entièrement le problème électromagnétique. A cet effet, elles sont associées aux relations constitutives des milieux.

On distingue trois relations différentes qui établissent la liaison entre les grandeurs électromagnétiques de même nature en fonction des caractéristiques physiques des milieux là où elles règnent.

 Relation magnétique :

B⃗⃗ = μH⃗⃗ + B⃗⃗⃗⃗ (II.5) _r où

B^r

⃗⃗⃗ : Induction magnétique rémanente [T], caractérisant les matériaux ferromagnétiques durs ou aimants permanents.

μ : Perméabilité magnétique absolue du milieu [H.m⁻¹].

Avec : μ =μ0μr

μ0est la perméabilité du vide : μ0 = 4π. 10⁻⁷[H. m⁻¹].

μr: perméabilité magnétique relative du milieu.

L’inverse de la perméabilité est la réluctivité magnétique, elle est donnée par :

υ = ¹

μ : [𝐻⁻¹.m].

(36)

Page 22

 Relation électrique

𝐷⃗⃗ = 𝜀𝐸⃗ (II.6) 𝜀 : la permittivité électrique [F/m].

𝜀 = 𝜀₀∙ 𝜀_𝑟 𝜀₀ : Permittivité du vide elle vaut 10^-9/36.π [F/m].

𝜀_𝑟 : Permittivité relative.

 Loi d'Ohm locale

Dans un conducteur stationnaire, le champ électrique et la densité du courant induit sont liés par :

𝐽 = 𝜎𝐸⃗ (II.7) Si le conducteur est en mouvement, la loi d'Ohm prend la forme ci-dessous :

𝐽 = 𝜎(𝐸⃗ + 𝜈 ∧ 𝐵⃗ ) (II.8) avec

σ[S/m]: Conductivité électrique ; 𝒗

⃗⃗ [m/s]: Vitesse de déplacement.

Le terme 𝜎𝐸⃗ exprime le courant résultant du champ électrique

Le terme 𝜎(𝑣 ∧ 𝐵⃗ ) exprime le courant résultant du mouvement (champ électromoteur).

II.2.3 Conditions de passage

Jusqu’ici, les relations sources champs électrique et magnétique caractérisant un milieu quelconque ont été définies. Il reste à déterminer les relations entre les grandeurs de deux milieux magnétiquement et électriquement distincts. Soit dit, on intègre les équations de Maxwell entre deux points très voisins, de part et d’autre d’une surface séparant ces deux milieux. Les résultats obtenus nous donnent les constatations suivantes [14]:

(37)

Page 23 Pour les grandeurs magnétiques :

 Conservation de la composante normale de l’induction magnétique 𝐵⃗ _.

(𝐵₂ − 𝐵₁) ∙ 𝑛 = 0 (II.9)

 Discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique 𝐻⃗⃗ _{due aux} courants surfaciques 𝐽 _𝑠.

(𝐻⃗⃗ ₂− 𝐻⃗⃗ ₁) ∧ 𝑛⃗ = 𝐽 _𝑠 (II.10)

Pour les grandeurs électriques :

 Conservation de la composante tangentielle du champ électrique 𝐸⃗

(𝐸⃗ ₂− 𝐸⃗ ₁) ∧ 𝑛⃗ = 0 (II.11)

 Discontinuité de la composante normale de l’induction électrique 𝐷⃗⃗ _{due aux} charges surfaciques 𝜌_𝑠

(𝐷₁− 𝐷₂). 𝑛 = 𝜌_𝑠 (II.12) 𝜌_𝑠 : Densité de charge surfacique.

𝐽_𝑠 : Densité de courant surfacique.

𝑛⃗ : Normale à l’interface dirigée du milieu 1 vers le milieu 2.

II.2.4 Hypothèses simplificatrices liées aux applications électrotechniques

En pratique, il est généralement usuel de simplifier les équations de Maxwell précédentes on se basant sur les conditions de travail liées aux fréquences utilisée et aux dimensions des dispositifs électrotechniques (approche quasi-stationnaire).

L’une des plus importantes simplifications est celle de négliger la densité du courant de déplacement dans le matériau conducteur, parce que leur densité est très faible par rapport à celle de conduction.

Donc, la loi d’Ampère s’écrit comme suit :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = 𝐽 (II.13) Une autre simplification consiste à négliger la charge d’espace dans les matériaux

conducteurs (𝜌=0).

(38)

Page 24 II.3 Formulation du champ électromagnétique

Les techniques utilisées pour traiter le système d’équations suscitées sont généralement celles qui utilisent l’une des grandeurs locales comme variables d’état, les champs magnétique et électrique (𝐻⃗⃗ ,𝐸⃗ ) et le potentiel vecteur magnétique 𝐴 [T.m]. Suivant la géométrie des dispositifs que l’on étudie, un choix judicieux de variables nous permet de réduire le nombre d’inconnues [15].

Pour les dispositifs qui ont une longueur infinie suivant une direction par rapport aux deux autres, ou possédant une symétrie de révolution par rapport à un axe, l’étude, originellement tridimensionnelle, peut être ramenée à une autre bidimensionnelle. Dans ce cas le potentiel vecteur magnétique A, le champ électrique E et la densité du courant électrique J n’ont qu’une seule composante perpendiculaire au plan d’étude. Dans ces cas, les formulations utilisant le potentiel vecteur magnétique A sont les plus adéquates et les plus avantageuses par rapport aux autres.

II.3.1 Formulations en potentiel vecteur magnétique II.3.1.1 Formulation magnétostatique

Dans le cas magnétostatique, le champ est produit par des courants indépendants du temps. A partir de l’équation (II.4), on définit le potentiel vecteur magnétique A, donné par l’équation (II.14) [15].

𝐵⃗ = 𝑟𝑜 𝑡 𝐴⃗⃗⃗ (II.14)

Les équations de Maxwell qui nous intéressent sont les suivantes :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻⃗⃗ = 𝐽 _𝑠 (II.15) 𝐵⃗ = 𝜇 ∙ 𝐻⃗⃗ + 𝐵⃗ _𝑟 (II.16) A partir des équations (II.14), (II.15) et (II.16) nous trouvons l’équation différentielle aux

dérivées partielles du champ électromagnétique magnétostatique générale suivante:

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (υ𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗⃗ )= 𝐽 _𝑠+(υ𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵⃗ _𝑟) (II.17)

(39)

Page 25 En absence d’aimant permanent, l’équation (II.17) se réduit à :

𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (υ𝑟𝑜𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗⃗ )= 𝐽 _𝑠 (II.18)

II.3.1.2 Formulation magnétodynamique

Dans le cas des systèmes alimentés par des sources variables dans le temps et dans lesquels il y’a présence de courants induits produits par la variation du champ, la combinaison des équations (II.1) et (II.14) donne :

ro⃗ t ( E⃗⃗⃗ +^∂A^⃗⃗

∂t ) = 0 (II.19) A partir de (II.19), on peut définir un potentiel scalaire électrique V :

gradV

t

E A





 

(II.20) Remplaçant l’équation (II.20) dans la loi d’Ohm (II.7) :

𝐽 = −𝜎 (^{𝜕 𝐴}^⃗⃗⃗

𝜕𝑡 + 𝑔𝑟𝑎⃗⃗⃗⃗ 𝑑 𝑉) (II.21) En remplaçant l’équation (II.21) dans l’équation (II.13), on aboutit à l’équation magnétodynamique générale suivante :

𝑟𝑜 𝑡 υ 𝑟𝑜 𝑡 𝐴⃗⃗⃗ + 𝜎 (^{𝜕 𝐴}^⃗⃗⃗

𝜕𝑡 + 𝑔𝑟𝑎⃗⃗⃗⃗ 𝑑 𝑉) = 𝐽 _𝑠

(II.22) II.4 Méthodes de résolution

Il ressort trois familles de méthodes pour la résolution des équations différentielles aux dérivées partielles, issues de la formulation du champ électromagnétique, les méthodes analytiques, les méthodes semi-analytiques et les méthodes numériques.

II.4.1 Méthodes analytiques

Contrairement aux méthodes numériques, on considère que les méthodes analytiques reposent sur une formulation explicite des grandeurs caractérisant le système. Les équations relient les grandeurs fonctionnelles du système, encore appelées performances, aux grandeurs descriptives. Ces équations physiques du système s’écrivent autrement en faisant de nombreuses hypothèses simplificatrices sur ces grandeurs descriptives. Elles ont été développées en génie électrique et couvrent toute une gamme de systèmes électromagnétiques. Ces modèles analytiques sont utilisés fort longtemps, bien avant

(40)

Page 26 l’existence des premiers ordinateurs. Les liens explicites entre les grandeurs aident le concepteur à interpréter, au moyen de son modèle, le comportement du système. Cela est d’autant plus vrai lors de la modélisation des phénomènes couplés. Même si les modèles analytiques peuvent donc retranscrire de façon convenable le comportement d’un système, mais souvent au détriment d’hypothèses fortes [16].

II.4.2 Modèle numérique

Basé sur l’approximation de la variable inconnue sur chaque sous domaine, où le domaine d’étude est découpé en sous domaines. L’ensemble de ces approximations conduit à l’obtention d’un système d’équations algébriques. Dans cette classe, on trouve plusieurs méthodes telles que:

► Méthode des différences finies MDF: basée sur l’approximation des dérivées partielles par un schéma de différences

► Méthode des éléments finis MEF: approximation polynomiale de l’inconnue sur chaque élément fini.

► Méthode des volumes finis MVF.

II.4.3 Modèle semi-analytique

Regroupe les caractéristiques des deux modèles précédents concernant le processus d’obtention de la solution, c’est-à-dire : le découpage de domaine d’étude, ou une partie de ce dernier, en sous domaines et l’expression analytique exacte de la variable inconnue.

La plus part des méthodes semi-analytiques sont basées sur un ensemble de conditions simplificatrices, physiques ainsi que géométriques. Parmi ces méthodes on trouve : les méthodes intégrales, les circuits électriques couplés et les réseaux de reluctances. Dans le domaine des machines électriques, la dernière méthode est la plus adaptée pour analyser le circuit magnétique en régime saturé.

(41)

Page 27 II.5 Modèle analytique pour le calcul des pertes par courants induits

Le modèle développé dans [1] pour le calcul des pertes par courants induits dans des conducteurs parcourus par un courant variable est basé sur les hypothèses suivantes :

 Considérant n conducteurs ronds disposés parallèles de rayon R ;

 Ces conducteurs ont une longueur infinie suivant la direction oz dans le plan x-o-y, de sorte qu’on puisse négliger leur rayon R devant leur longueur;

 Problème linéaire ;

 On néglige l’effet de peau ;

 On suppose que ces conducteurs sont exposés à un champ magnétique extérieur He, ce champ représente l’influence des matériaux magnétiques voisins.

La figure (II.1) illustre le problème posé.

Tenant compte de la loi d’Ohm (II.7) et de l’équation (II.21), en régime harmonique (source du courant sinusoïdale), la densité du courant induit en terme des potentiels A et V, en bidimensionnel dans le plan x-o-y, est donnée par :

J = σ(-jωA)-σgrad V (II.23) Supposant que la densité du courant source qui parcoure les conducteurs est connue,

excitation en courant, alors l’équation précédente peut s’écrire comme suit :

𝐽

𝜎= −𝑗𝜔𝐴 (II.24) He

z

x y

Figure II.1 Ensemble de conducteurs parallèles exposés à un champ magnétique extérieur He.

(42)

Page 28 Où 𝜔 est la pulsation (𝜔 = 2𝜋𝑓 )

Le champ magnétique peut être décomposé en deux composantes à savoir :

𝐻 = 𝐻_𝑒+ ∑^𝑛_𝑖=1𝐻_𝑖

(II.25) Où Hi est le champ magnétique créé par chaque conducteur i (i=1…n).

Considérant la linéarité magnétique, le potentiel vecteur magnétique est aussi divisé en deux composantes.

𝐴 = 𝐴_𝑒+ ∑^𝑛_𝑖=1𝐴_𝑖 (II.26) Le potentiel vecteur magnétique extérieur est lié au champ magnétique extérieur

(supposé connu) par la relation suivante :

𝜇₀𝐻⃗⃗⃗⃗ = 𝑅𝑜𝑡_𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴⃗⃗⃗⃗ _𝑒 (II.27) Pour un conducteur du rayon R et ayant une longueur infinie Lz, le potentiel vecteur

magnétique créé en un point de calcul (point cible) distant du point source d’un rayon r, est donné par la relation suivante :

𝐴(𝑟) = −^𝜇⁰^𝐼^𝑠

4𝜋 (𝑙𝑛 (^𝑟²

𝑅²) + 1) (II.30) Avec r>R

où Isest le courant source dans le conducteur considéré.

On insère l’expression du potentiel vecteur magnétique total dans l’équation (II.24), il en résulte :

𝐽

𝜎= −𝑗𝜔𝐴_𝑒− 𝑗𝜔𝐴(𝑟) (II.31) Cette densité du courant induit est calculée pour chaque conducteur i où i allant de 1 à n.

II.6.1 Modèle proposé

Partant du modèle précédent, dans ce travail la contribution des courants induits développés dans chaque conducteur est considérée dans l’expression du potentiel vecteur magnétique total. Alors l’équation (II.30) devient :