DIFFUSION DANS UN TREILLIS DE BARRES

Analyse, séance 1 : exercices

DIFFUSION DANS UN TREILLIS DE BARRES

Question 1

Système d’équations

On noteU= (u₁,· · ·, u_i,· · ·, u_n)^tle vecteur formé par les températures aux nœuds. Soit

A U=b (1)

le système linéaire de dimensionnqui détermine ces températures.

•Calculer la matriceApour le treillis de la figure??, avecn= 6.

Corr.:

A=

















A1,1 0 −k_1,3 0 0 0

0 A_2,2 −k_2,3 −k_2,4 0 0

−k_1,3 −k_2,3 A_3,3 −k_3,4 −k_3,5 0 0 −k_2,4 −k_3,4 A4,4 −k_4,5 −k_4,6 0 0 −k_3,5 −k_4,5 A5,5 0

0 0 0 −k_4,6 0 A_6,6

















avec

A_1,1 =k_1,3+C A_2,2 =k_2,3+k_2,4+C A3,3 =k1,3+k2,3+k3,4+k3,5

A4,4 =k2,4+k3,4+k4,5+k4,6

A5,5 =k3,5+k4,5+C A6,6 =k4,6+C

•Montrer que dans le cas général

– Si il existe une barre entre deux nœuds(i, j), i6=j Aij =−k_ij sinonAij = 0.

– Pour tous les nœuds non fixés

A_i,i = X

j/∃(i,j)

k_i,j

où la somme est prise sur toutes les barres qui passent par le nœudsiet b_i = 0

– Si le nœudiappartient à un support

Ai,i= X

j/∃(i,j)

ki,j+C

où la somme est prise sur toutes les barres qui passent par le nœudsiet bi=CTi

oùTiest la température du support du nœudi.

Question 2

Programme de calcul de la matriceA

On définit pour chaque barree= (i, j)lesmatrices de raideur élémentaires

Ae=ki,j

1 −1

−1 1

(2)

•Montrer que si l’on ajoute au treillis une barree= (i, j)entre deux nœuds, il faut ajouter la matrice Aeà la matriceAaux emplacements adéquats.

Corr. :

Ajouter une barre(i, j)modifie les équations de conservation aux seuls nœudsietj. On ajoute les éléments de la matriceAeaux éléments deAsuivant la correspondance des indices1→iet2→j.

•Si un nœudiappartient au support, il faut ajouter la constanteCà l’élément diagonalAi,i. Corr. :

L’équation de conservation d’un nœud du bord s’écrit X

j/∃(i,j)

q_ij +ϕ_i = 0 (3)

et commeϕi=C(ui−Ti), l’équation de ce nœud s’écrit X

j/∃(i,j)

kij(ui−uj) +Cui =CTi

d’où le résultat.

•En déduire, en utilisant les données de l’énoncé, un programme général de calcul de la matriceA.

Corr. :

On fait une boucle sur les barres, c’est à dire sur les lignes des tableaux ELEM et COMP, pour ajouter leur contribution à la matriceA. Pour chaque barre eon calculeA_e, puis on fait une double boucle sur les coefficients deAepour les ajouter dansAaux bons emplacements définis par les nœudsi= ELEM(e,1)etj =ELEM(e,2)de la barreeainsi que par la correspondance1→ELEM(e,1) et2→ELEM(e,2)entre les indices deA_eetA. Dans le langage de Scilab (ou MatLab) :

A = spzeros(n,n); //Matrice "sparse" nulle.

for e = 1:nE,

// ajout de la barre "e" a la matrice Ae = COMP(e)*[1,-1;-1,1];

for iloc =1:2, for jloc = 1:2,

lig = ELEM(e,iloc);

col = ELEM(e,jloc);

A(lig,col) = A(lig,col)+ Ae(iloc,jloc);

end;

end;

end;

// ajout des conditions au bord aux noeud fixé.

for k = 1:nFix lig = nFix(k);

A(lig,lig) = A(lig,lig) + C;

end

Note : les matrices "sparse" sont des matrices représentées en mémoire non pas comme des tableaux mais sous la forme d’une liste de leurs coefficients non nuls, accompagnée de la ligne et de la colonne de chaque coefficient. Cette représentation est évidemment très compacte pour des matrices creuses.

Il suffit de créer la matrice sous forme "sparse" (le dimensionnement exact n’est pas important) elle est ensuite traitée par le langage comme telle. Certaines fonctions sont cependant particulières au matrices sparse, elles se nomment toujours "spchose".

Analyse du système d’équations Question 3

La matrice est définie positive

•Montrer que la matrice de raideurAest symétrique définie positive :

∀V6= 0 hA V,Vi >0

donc inversible. (Indic. montrer que si on ajoute une barree = (i, j) entre deux nœuds non fixés il faut ajouterk_i,j(v_i−v_j)²àhA V,Viet que, si le treillis comporte un nœud fixé, il faut ajouterCv_i² àhA V, Vi. )

Corr.:

En ajoutant une barre(i, j)au treillis on ajoute àhA V, Vi

Ae(1,1)V_i²+Ae(2,2)V_j²+ 2Ae(1,2)ViVj =ki,j(Vi−Vj)² On en déduit

hA V, Vi=X

i,j

ki,j(Vi−Vj)²+X

i

CV_i²

où la première somme est faite sur toutes les barres du treillis et la deuxième sur les nœuds fixés. On en déduithA V, Vi ≥0et que

hA V, Vi= 0

impliqueVi =Vj si(i, j)est une barre du treillis etVi = 0si il y a un nœud fixé. Donc si le treillis est connexe et s’il y a au moins un nœud fixé,V= 0.

•Que se passe-t-il s’il n’y a pas de nœud fixé ? Corr.:

En l’absence de nœud fixé la somme des éléments d’une ligne deA est nulle. Ce qui signifie que AV= 0siVest le vecteur constant, la matrice n’est pas inversible.

Question 4

La matrice est creuse

•Montrer que la matriceAa une forme¹“bande” de largeur5dans le cas particulier de la figure ....

Corr.

Un élément Ai,j est non nul seulement si il existe une barre entre les nœuds ietj, ce qui pour le treillis de la figure??implique que|i−j| ≤2.

•Pourquoi la matriceAest-elle très “creuse” dans le cas d’un treillis quelconque avecNest grand²? Corr.:

Même si le treillis comporte autant de barres que la Tour Eiffel, le nombre de barres auquel un nœud appartient reste limité (.10).

Approximation par la méthode des différences finies Question 5

Principe

•Écrire une équation au point du bord inférieur(x_i, y₁) = (ih,0): on utilisera l’approximation

∂²u

∂y²(xi, y1)w

∂u(xi,y2)

∂y −^∂u(x_∂y^i,y1)

h et ∂u(xi, y2)

∂y w u(xi, y2)−u(xi, y1) h

1i.e.Ai,j= 0si|i−j|> davecd << n.

2Une matrice creuse est une matrice dont la plupart des éléments sont nuls.

ainsi que la condition au bord−k^∂u(x_∂y^i,y1) =C(u(x_i, y₁)−g(x_i, y₁)).

Corr. :

k−u_i−1,j−u_i+1,j−u_i,2+ 3u_i,j

h² +C

hui,j = C

hg(xi, y1)

•Écrire, en utilisant le même principe d’approximation, une équation au coin inférieur gauche(x1, y1) = (0,0).

Corr.:

k−u_2,1−u_1,2+ 2u_1,1

h² +C

hu_1,1 = C

hg(x₁, y₁) Question 6

Interprétation de l’approximation Erreur d’énoncé: Poserk_i,j = ^k_h.

•Vérifier que les équations de la diffusion dans ce treillis sont les équations (??).

•En déduire les propriétés de la matrice du système.

Corr.:

Comme nous l’avons vu pour le treillis de barres la matrice du système est symétrique définie positive et creuse.

•Représenter dans un schéma les éléments non nuls de la matrice par une “∗”.

Corr.:

La matriceA, indexée par(m, p)a cinq diagonales non nulles pour|m−p|= 0,1, n. Les éléments A_kn,kn+1etA_kn+1,knsont aussi nuls.

• Écrire un programme de construction du tableau ELEM. Il suffit ensuite d’utiliser le programme écrit à la question 2 pour construire la matrice et le second membre du système.

Corr.:

On crée une barre horizontale et une barre verticale entre deux points quelconques de la grille(x_i, y_j), on fait une boucle pour les barres horizontales (n lignes de n−1 barres) et une pour les barres verticales.

dim = 2*(n-1)*n;

ELEM = zeros(dim,2);

e=0;

for j = 1:n,

for i = 1:n-1,

// ajout de la barre horizontale ((xi,yj),(x(i+1),yj)) // à la matrice ELEM

e = e + 1;

ELEM(e,1) = n*(i-1)+j;

ELEM(e,2) = n*i+j;

end;

end;

for i = 1:n,

for j = 1:n-1,

// ajout de la barre verticale ((xi,yj),(xi,y(j+1))) // à la matrice ELEM

e = e + 1;

ELEM(e,1) = n*(i-1)+j;

ELEM(e,2) = n*(i-1)+j+1;

end;

end;