et l argument un angle ( pas n importe quel angle regarder sur la figure ci-contre) Les nombres complexes (2 ème partie) applications géométriques

(1)

1 Dans tout ce chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct

( ^{O; ,}

^{u v}

)

^.

I/ Argument et formule trigonométrique d’un nombre complexe

Définition

Soit un point M d'affixe z non nulle.

On appelle argument de z, notée arg(z) une mesure, en radians, de l'angle

(

^u

^;OM )

^.

Remarques

- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments tous égaux modulo

2 

(c’est à dire de la forme arg(z)+2k,k  ℤ.). On notera arg(z) 2_{ }



(se lit arg(z) modulo

2 

).

- On appelle argument principal de z l’unique argument compris dans l’intervalle

 ⁻ ^{ } ^; 

^.

- 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle

(

^{u OM}^;

)

n'est pas défini.

Exemple 1 Soit z= +3 3i.

Bien savoir que le module représente une distance

et l’argument un angle ( pas n’importe quel angle regarder sur la figure ci-contre)

Chapitres 10 Les nombres complexes (2

^ème

partie) applications géométriques

(2)

2 Propriété

Soit z un nombre complexe non nul.

a) z est un nombre réel arg(z)=0_{ } , b) z est un imaginaire pur ^{arg( )}

 

z  2

 =

c) arg(z)= −arg(z) d) arg(−z)=arg(z)+

Démonstration

a) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des réels.

b) Le point M d'affixe z appartient à l'axe des imaginaires.

c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie.

Illustration géométrique

1. Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

Propriété

Soit z un nombre complexe non nul de forme algébrique z

= +

a

i

b. On pose

^

⁼^arg

( )

^z ^.

A SAVOIR POUR CALCULER LE MODULE ET L’ARGUMENT 1. Détermination du module et de l'argument à partir des parties réelle et imaginaire :

2 2

z = a +b et

cos( )

sin( ) a

z b z



 =



 =



on en déduit alors une valeur de



2. Détermination des parties réelle et imaginaire à partir du module et de l'argument :

cos

a

=

z



et b

=

z

sin 

Démonstrations

1. Dans le repère

(

^{O ;}^{u v}^,

) ^{on a} ^{O 0;0 et} ^{( )} ^M ^{( )}

^{a b}

^; ^{, d'où :}

^OM⁼

⁽

^a⁻⁰

^{) (}

²^{+ −}^b ⁰

⁾

² ⁼ ^a² ⁺^b²

^.

Comme vous savez que l’argument est un angle et si z est un nombre réel alors le point est sur l’axe des

abscisses donc l’angle vaut 0 modulo

pi (Le réel peut être positif ou négatif)

Idem pour un imaginaire pur qui est

sur l’axe des ordonnées.

(3)

3

et :

abscisse de cos( )

ordonnée de sin( )

M a

OM z

M b

OM z



 = =



 = =



2.

cos( )

sin( ) sin( )

a

z a z

b b z

z

 

 =

  = 

  

 

 = 

 = 



Définition 4

A SAVOIR ( FORME TRIGONOMETRIQUE)

On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe z non nul l'écriture ^z

⁼

^z

( ^cos ^ ⁺ ^{i sin} ^ )

^avec

^ ⁼ ^arg ( )

^z ^.

Méthode 1 Écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique

Écrire le nombre complexe

z = 3 + i

sous sa forme trigonométrique.

Il faut déjà calculer son module

|√𝟑 + 𝒊| = √√𝟑

^𝟐

+ 𝟏

^𝟐

= 𝟐 Soit =arg(z)

On a 𝒄𝒐𝒔𝜽 =

^√𝟑

𝟐

𝒔𝒊𝒏𝜽 =

^𝟏

𝟐

} donc 𝜽 =

^𝝅

𝟔

[𝟐𝝅]

Donc z =2(𝒄𝒐𝒔

^𝝅

𝟔

+ 𝒊𝒔𝒊𝒏

^𝝅

𝟔

)

Exemple

Déterminer une forme trigonométrique des nombres complexes suivants :

z

₁

= − + 1 i 3

et

z

₂

= − 1 i

.

(4)

4

(5)

5

Méthode 2 Écrire un nombre sous forme algébrique

Déterminer la forme algébrique du nombre complexe : 2 3 cos sin

6 6

z=     



+i    



^.

Il suffit de remplacer 𝒄𝒐𝒔

^𝝅

𝟔

par sa valeur et sin

^𝝅

𝟔

par sa valeur 𝒄𝒐𝒔

^𝝅

𝟔

=

^√𝟑

𝟐

et sin

^𝝅

𝟔

=

^𝟏

𝟐

Donc z = 𝟐√𝟑 (

^√𝟑_𝟐

+ 𝒊

^𝟏

𝟐

) = 𝟑 + 𝒊√𝟑 (en développant)

Remarques

- Les écritures 3 cos sin

4 i 4

 

    

−    +   ^et3 cos sin

3 i 3

 

   −   

    

  ne sont pas des formes trigonométriques d’un nombre complexe. POURQUOI ? Pour le 1^er à cause du -3 , on est censé avoir un module donc une distance donc un nombre positif.

Pour le 2^ème, à cause du -i. Dans la formule on doit avoir +

- Les complexes

^z ⁼ ^r ( ^cos ^ ⁺ ⁱ ^sin ^ )

^et

^z ^' ⁼ ^r ^{' cos '} ( ^ ⁺ ⁱ ^{sin '} ^ )

avec r > 0 et r’ > 0 sont égaux si et seulement

si

 

' ' 2 r r

  

 =

 =

2. Propriétés A CONNAITRE

Quand on prend l’argument d’un produit de 2 complexes , on additionne les arguments des 2 complexes Quand on prend l’argument d’un quotient de 2 complexes , on soustrait les arguments des 2 complexes Regarder la démonstration mais elle fait appel à des formules que l’on n’a pas vu.

Propriété

Soit z et z ' deux nombres complexes non nuls et n entier naturel non nul.

Produit zz' = z z' arg(zz')=arg(z)+arg(z')

Puissance zⁿ = zⁿ

arg( z

ⁿ

) = n arg(z )

Inverse 1 1

z = z ,

z  0 _arg ¹ _{arg( )}

_z

  = −z

   ^,

z  0

Quotient

' '

z z

z = z , z

'



0 arg arg( ) arg( ')

'

z z z

  =z −

   ^,z

'



0

Démonstration pour le produit : On pose =arg(z) et '=arg(z') .

( ) ( )

' cos sin ' cos ' sin '

' cos cos ' sin sin ' sin cos ' cos sin '

' cos ' sin '

zz z i z i

z z i

   

       

   

= + +

=   − + +  

=   + + +  

(6)

6 Donc le module de

zz '

est z z' et un argument de

zz '

est +'=arg(z)+arg(z') .

Il n’y a aucune formule concernant le module et l’argument d’une somme de deux nombres complexes.

Exemple

Soient les nombres complexes z

₁

= + 1 i 3 et z

₂

= − 1 i .

Déterminer les formes trigonométriques des nombres z

₁

, z

₂

et

¹

2

Z z

=

z

. En déduire 7π

cos 12

 

 

  et 7π sin 12

 

 

  .

Exemple très important

(7)

7

(8)

8

Exercices à chercher

Exercice 1

Dans le repère orthonormé

(

^{O ,}^{u v}^;

)

; déterminer par lecture graphique le module et un argument des affixes des points A, B, C, D et E.

Exercice 2

Déterminer le module et l’argument principal de chacun des nombres complexes suivants puis en donner une forme trigonométrique

1 1 i 2 i 3 2 4 3+i 5 2 2i 3

z = − + z = z = − z = − z = −

Exercice 3

Après avoir calculer le module du nombre complexe − 3+i , placer dans un repère orthonormé le point A d’affixe

− 3+i . ( il faut utiliser le compas et penser au cercle trigonométrique) Exercice 4

Mettre chacun des nombres suivants sous forme algébrique :

( )

1 2

3 4

2 2

2 cos sin cos sin

3 3

5 5 2

3 cos sin cos sin

6 6 2 2 2

z i z i

 

   

= + = +

 

     

=  +  =  − + − 

Exercice 5

Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants.

( )

²

1 1 i

z = − ₂ 1 i 3

z = 1 i−

+ ^z³ ^{= −}

(

^{1 i 3 1 i}

) ⁽

⁺

⁾

( )

9

4 12

3 i 1 i

z

= +

+

(9)

9

et l argument un angle ( pas n importe quel angle regarder sur la figure ci-contre) Les nombres complexes (2 ème partie) applications géométriques

( O; ,

)

I/ Argument et formule trigonométrique d’un nombre complexe

(

;OM )

2 



2 

 −   ; 

(

)

Bien savoir que le module représente une distance