[PDF] Support de Cours d’introduction à SWI Prolog | Formation informatique

Programmation en Logique

FI 3 - 2002

Cours Narendra Jussien

 Enseignement

 Cours/TD 50%  TP sur machine 50%

Langage support PROLOG

 Évaluations

 Micro-évaluation (TD noté)

 Contrôle continu (envoi du code à chaque fin de TP)  TP noté en fin de module

 séquencement des calculs spécifié

– contrôle total du flot d’exécution

 objets du langage diversifiés

– syntaxe riche (lourde :-))

 exemples : Pascal, C, C+, C++, Java, …

 Langages impératifs

 Langages fonctionnels

 tout est fonction

– syntaxe dépouillée

– base mathématique forte : -calcul

 contrôle délégué à l’interprète

– utilisation intensive de la récursivité

Une nouvelle classe

 PROgrammation en LOGique

 tout est logique

– syntaxe simple et dépouillée

– base théorique : calcul des prédicats

 encore plus de contrôle donné à la machine

– récursion

– non déterminisme

 1930 Calcul des prédicats (J. Herbrand)  1965 Principe de résolution (J. A. Robinson)  1970 Utiliser la logique comme langage de

programmation

clauses de Horn R. Kowalski Q-systèmes A. Colmerauer

 1972 Premier interprète PROLOG (A. Colmerauer et P. Roussel) Université d’Aix-Marseille

 1977 Premier compilateur PROLOG (D. H. D. Warren) Université d’Édimbourg

 1980 Projet japonais de 5e génération

Plan du cours

 Bases théoriques (rappels de logique formelle)

 Calcul propositionnel  Calcul des prédicats

 Le langage PROLOG

 Utiliser PROLOG (premières séances)

 Réaliser un système expert complet

 Résoudre automatiquement des énigmes

Rappels de Logique

1. Calcul propositionnel 2. Calcul des prédicats

 Comment écrire les formules ?

 Aspects syntaxiques

 Comment déterminer la valeur de vérité d’une

formule ?

 Aspects sémantiques

 Comment démontrer de nouveaux résultats ?

Syntaxe d’une formule

 Données

 un ensemble P de variables propositionnelles

P = { p, q, r, … } énoncés élémentaires

 un ensemble C de connecteurs

C = { _ , _ , _ , _ , _ }

 Formules

 p est une formule si p  P

  (H) est une formule si H est une formule

 (H)  (K) est une formule si H et K sont des formules

et si _  C

Sémantique d’une formule

 Logique bi-valuée

 faux (0)  vrai (1)

 Notion d’interprétation

 donner une valeur de vérité à une variable

 extension à un opérateur  extension à une formule



0

,

1



)

(

p





Tables de vérité : opérateurs

1 0 0 0_{0 1} 0 1 _{1 1} 1 1 0 1 1 0 0 1 p p 0 1  0 1 0 1  0 1 0 1  0 1 0 1  0 1 0 1 Calcul propositionnel

Formules particulières

 Tautologies : formules toujours vraies

 La table de vérité ne contient que des 1  exemple : p   p p ( p) (p   p) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1  0 1 0 1

?



(

p



q

)



(



p





q

)

p q ¬ p ¬ q p  q ¬ ( p  q ) (¬ p  ¬ q) F 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0  0 1 0 0 1 1 1 0 0 1  0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0  0 1 0 1 1 1 1 0 Calcul propositionnel

Catégories de formules

 Tautologies : formules toujours vraies

 Formules inconsistantes

 formules toujours fausses

 la table de vérité ne contient que des 0  exemple : p   p

 Formules consistantes

 formules non toujours fausses

1

)

(

,



Formules particulières

 Formules tautologiquement équivalentes

 les tables de vérité sont les mêmes

 Condition nécessaire et suffisante :

(F) _ (H) est une tautologie (F) _ (H)

)

(

)

(

,



F



H







Calcul propositionnel

lois de De Morgan

 Propriétés de  et 

 associativité

 distributivité (dans les 2 sens)

 éléments neutres (0 pour  et 1 pour )

éléments absorbants (1 pour _ et 0 pour _)

Quelques équivalences utiles

) ( ) (F G G F G F  _tauto    F  G _tauto F G F G G F  _tauto  1 tauto F F  

 

F _tauto F  F G G F  _tauto  0 tauto F F   G F G F G F G F tauto tauto             ) ( ) (

Formes normales

 But avoir une représentation uniforme des

formules du calcul propositionnel

 limiter le nombre de connecteurs différents utilisés  limiter l’allure des formules rencontrées

Formes normales

Une formule F est dite sous forme normale disjonctive ssi F est une disjonction de conjonctions de variables

propositionnelles et de leur négation

Toute formule du calcul propositionnel est tautologiquement équivalente à une formule sous forme normale disjonctive

Une formule F est dite sous forme normale conjonctive ssi F est une conjonction de disjonctions de variables

propositionnelles et de leur négation

Toute formule du calcul propositionnel est tautologiquement équivalente à une formule sous forme normale conjonctive









Aspects déductifs

 notion de conséquence logique  notion de démonstration

 notion de règles de déduction

Conséquence logique

 Soit A = {F₁, …, F_n} un ensemble de n formules

A G ssi (F1  …  Fn)  G

 Notion de réfutation

 démonstration par l’absurde

Système formel

 Données

 un ensemble V de symboles

 un ensemble F de formules (F  V*)

 un ensemble A d’axiomes (A  F)

 un ensemble fini de règles de déduction

 Une démonstration dans un système formel S est

une suite d’énoncés A₁, … A_n telle que :

 pour tout i, A_i est un axiome de S ou une conséquence des énoncés précédents par application d’une des règles de déduction

 Un théorème de S est le dernier énoncé d’une

Énoncé déductible

 Soit J un ensemble de formules

 Un énoncé A est dit déductible sous les

hypothèses J (noté J A) ssi

 il existe une suite finie A₁, …, A_n d’énoncés telle que

– An = A

– pour tout i

 A_i est un axiome  ou A

i  J

 ou A_i découle d’énoncés précédents par application

Quelques règles de déduction

classiques

 modus ponens  p, p  q q  modus tollens  p q,  q  p  syllogisme  p q, q r p r Calcul propositionnel

Propriétés d’un système formel

 Un système formel est correct ssi

si A alors A

 tout ce qui est démontrable est vrai

 Un système formel est complet ssi

si A alors A

 Principe de résolution (Robinson)

 Définitions

– littéral positif ou négatif

– une clause est une disjonction de littéraux

– la résolvante de C1 = l  C’1 et de C2 = l  C’2 est

C’1  C’2

 Principe de résolution

l _ C’1 ,  l  C’2 réso C’1  C’2

Une autre règle d’inférence

Validité du principe de résolution

 Il faut montrer que :

l  C’1 ,  l  C’2 C’1  C’2

ie (l  C’1)  ( l  C’2 )  (C’1  C’2 )

 Il suffit de montrer que

si (l  C’1)  ( l  C’2 ) vrai alors (C’1  C’2 ) n’est pas faux

 Deux cas se présentent

 l est vrai

– nécessairement C’2 vrai et donc (C’1  C’2 ) aussi

  l est vrai

– nécessairement C’1 vrai et donc (C’1  C’2 ) aussi

 0 1

 0 1

Propriétés du calcul propositionnel

 Le calcul propositionnel muni du principe de

résolution est correct et complet

 Un ensemble S de clauses est insatisfaisable ssi S reso 

 Démonstration : par l’absurde (réfutation) S C ssi S _{_C} 

Ce qu’il faut retenir

 Intérêt d’une forme normale

 Conséquence logique vs démonstration

 Principe de résolution

2. Calcul des prédicats

 Comment écrire les formules ?

 Aspects syntaxiques

 Comment déterminer la valeur de vérité d’une

formule ?

 Aspects sémantiques

 Comment démontrer de nouveaux résultats ?

Limites du calcul propositionnel

 Modéliser

 Les chandelles sont faites pour éclairer  Quelques chandelles éclairent très mal

 Quelques objets qui sont faits pour éclairer le font très

Une modélisation

 Les chandelles sont faites pour éclairer

 Quelques chandelles éclairent très mal

 Quelques objets qui sont faits pour éclairer le font très

mal ) ( ) ( , chandelle x éclaireMal x x   ) ( ) ( , chandelle x éclaire x x   ) ( ) ( , éclaire x éclaireMal x x  

Syntaxe

 des connecteurs (, , ,  et )

 des quantificateurs ( et )

 des variables (x,y, …)

 des relations (prédicats) (R, S, éclaire, …)

 des symboles de fonctions (f, g, …)

Vocabulaire

 Les termes

 les variables et les constantes sont des termes  f(t₁, …, t_n) est un terme si

– les ti sont des termes

– f est un symbole de fonction d’arité n  Les atomes

 R(t₁, …, t_n) est un atome si

– les ti sont des termes

– R est un symbole de relation d’arité n

Formules

 Un atome est une formule

 Si F et G sont des formules et x une variable,

alors les expressions suivantes sont des formules

 (F)

 (F)  (G) et (F)  (G)  (F)  (G) et (F)  (G)  x (F) et x (G)

Occurrence d’une variable

 Une occurrence d’une variable x dans une

formule F est un endroit où x apparaît dans F sans être immédiatement précédée par  ou 

 Une occurrence libre de x dans F est définie :

Occurrence libre

 Si F est un atome, toutes les occurrences de x sont libres  Si F =  (G), les occurrences libres de x sont celles de G  Si F = (G)  (H), les occurrences libres de x sont celles de

G et celles de H

 Si F = y(G) ou F = y(H) avec x distinct de y, les

occurrences libres de x sont celles de G et celles de H

 Si F = x(G) ou F = x(H), aucune occurrence de x dans F n ’est libre

Caractéristiques des variables

 Une variable est dite libre dans une formule F si

elle a au moins une occurrence libre (sinon on dit qu’elle est liée)

 Une formule n’ayant pas de variable libre est

dite close

Aspects sémantiques

 Formules universellement valides  Le théorème de Herbrand

Vers la notion de modèle

 Soit L le langage du calcul des prédicats

 une interprétation de L c’est la donnée de :

– un ensemble E non vide appelé ensemble de base

– pour chaque symbole de prédicat R d’arité n, d’un sous-ensemble R’ de En

– pour chaque symbole de fonction f d’arité n, d’une

application f’ de En vers E (y compris pour les constantes)  on peut alors calculer la valeur de tout terme clos

(c’est un élément de E)

 on peut donc associer une valeur de vérité à tout

atome et donc par extension à toute formule close

Exemple d’interprétation

 xyz (P(x,y)  Q(y,z)  R(x,z))  xy ( (M(x,y)  P(x,y)  Q(x,y))  M(a,b)  P(c,b)  P(d,a)  P(e,c)

 E =

 P’ =

 a’ = anne b’ = bernard c’ = charles

d’ = didier e’= éric

est le père de M’ = est la mère de Q’ = est un parent de R’ = est le grand-père de

Modèle

 Soit M une interprétation de L

 soit F une formule close. M est un modèle de F ssi la

valeur de vérité de F dans M est 1

M F

 soit F(x₁, …, x_k) une formule quelconque

– F est dite universellement valide ssi x1…xk F(x1, …, xk)

est satisfaite dans toutes les interprétations de L

– F est dite insatisfaisable ssi il existe une interprétation

pour laquelle

Preuve et démonstration

 Comment prouver une formule du calcul des

prédicats ?

 Prouver qu’elle est vraie

– passer en revue toutes les interprétations !

 Prouver qu’elle est fausse

Toutes les interprétations ?

 Une représentation utile des formules

 forme clausale

 Un théorème qui simplifie la vie

 théorème de Herbrand

 Principe de résolution pour le calcul des prédicats

 vers une automatisation des démonstrations

Transformation de formule

 Forme normale prénexe

 quantificateurs en tête de la formule

 formule sous forme normale conjonctive

 Forme standard de Skolem

 formule sous forme normale prénexe

 quantificateurs existentiels précédant quantificateurs

universels

Tout formule du calcul des prédicats est équivalente à une formule sous forme standard de Skolem

Mise sous forme prénexe

 Éliminer les connecteurs  et 

 Transporter les  devant les atomes

 en utilisant ( F  F) et les lois de De Morgan

 Transporter les quantificateurs en tête de la

formule

Ne pas hésiter à renommer les variables

Transport des quantificateurs





x

F







x



F



F

x











x

F











F

H



x

H

x

F

x

H

F

x

H

x

F

x

























F

x

y

F

y

x

F

x

y

F

y

x





















si H ne contient aucune occurrence de x











x

F



H

x



F

H



H

F

x

H

F

x





















H

H

x

H

H

x









Inversion de

_

et de

_

Skolemisation

 Lorsqu’on a

 on remplace y par une fonction g qui à x associe y

y

x

f

y

x







(

)

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g







Skolemisation = expliciter l’implicite

Une représentation utile des formules

Forme clausale

 On part de la forme standard de Skolem

 On utilise les clauses avec :

 les variables quantifiées universellement conservées  les fonctions de Skolem conservées

 les variables quantifiées existentiellement remplacées

par des constantes

 les variables renommées d’une clause à l’autre



p(x, y) q(z, y, x)



z y x    





Univers de Herbrand

 Soit S un ensemble de clauses

 Soit H₀ l’ensemble des symboles de constantes ayant

au moins une occurrence dans S. On pose :

pour fn fonction d’arité n de S et tj éléments de Hi-1

 H_= lim_i H_i est appelé univers de Herbrand

 On appelle instance de base d’une clause C toute



( ₁, , )



1 n n

i

i H f t t

H  _   

Théorème de Herbrand

 Théorème Un ensemble S de clauses est

insatisfaisable si et seulement si il existe un

ensemble S’ d’instances de base insatisfaisable

 Corollaire Un ensemble de clauses est

satisfaisable si et seulement si tout ensemble fini d’instances de base est satisfaisable

A quoi ça sert ?

Validation de raisonnement

 On cherche à valider le raisonnement suivant

 Un dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler  Les dragons verts peuvent voler

 Un dragon est vert s’il a au moins un parent vert ou rose  Donc les dragons verts sont heureux

Résolution du problème

 Démarche générale

 Modéliser le problème (les prémisses et la conclusion)  Démonstration par l’absurde, on montre que

P1 _ P2 _ P3 _{ }C est insatisfaisable

– mettre la formule sous forme clausale – utiliser le théorème de Herbrand

 Notations

 h(x) : x est heureux

 p(x,y) : x est parent de y  vo(x) : x vole (peut voler)  ve(x) : x est vert

Résolution du problème (suite)

P1 un dragon est heureux si tous ses enfants peuvent voler

P2 les dragons verts peuvent voler

P3 un dragon est vert s’il a au moins un parent vert ou rose

C les dragons verts sont heureux

les A sont BA _ B ) ( ) ( , ve x vo x x   h(x) x (_y, p(x,y)_vo(y))







, ( , ) ( ) ( )



( ) , y p y x ve y r y ve x x      ) ( ) ( , ve x vo x x   



, ( , ) ( )



( ) , y p x y vo y h x x     x,



y,p(x, y)  vo(y)



 h(x) _,xx,_y,_,



y



_p,y



₍,p_xp(_,(x_yx,₎,yy))_h₍_x₎vovo

 

((yy))



_vo



₍hh_y((x₎x))_h(x)



x      



( , ( )) ( )

 

( ( )) ( )



, , x p x f x h x vo f x h x f      







, ( , ) ( ) ( )



( ) , y p y x ve y r y ve x x      x,



y,p(y,x)



ve(y)r(y)





ve(x) ,





( , ) ( )

 

( , ) ( )





( ) , y p y x ve y p y x r y ve x x          , y,



p(y,x) ve(y) ve(x)

 

p(y, x) r(y) ve(x)



x          





Forme clausale



( , ( )) ( )

 

( ( )) ( )



, , x p x f x h x vo f x h x f       ) ( ) ( , ve x vo x x   



( , ) ( ) ( )

 

( , ) ( ) ( )



, , y p y x ve y ve x p y x r y ve x x            ) ( ) ( , ve x h x x   ) ( )) ( , (x₁ f x₁ h x₁ p  vo( f (x₂))  h(x₂) ) ( ) (x₃ vo x₃ ve   p(y₁, x₄) ve(y₁)  ve(x₄) ) ( ) ( ) , (y₂ x₅ r y₂ ve x₅ p     _{ve(a) h(a)}

Validation du raisonnement

 Univers de Herbrand

 H₀ = {a} H₁= {a, f(a)} H_ = {a, …, fn(a)}

 Trouver un ensemble d’instances de base insatisfaisable  intuition 1 : partir de la conclusion et essayer d’arriver

à une contradiction par déduction

 intuition 2 : utiliser le principe de résolution

) ( )) ( , (x₁ f x₁ h x₁ p 

Mise en œuvre

) ( )) ( ( f x₂ h x₂ vo   ) ( ) (x₃ vo x₃ ve   p(y₁, x₄) ve(y₁)  ve(x₄) ) ( ) ( ) , (y₂ x₅ r y₂ ve x₅ p     _{ve(a) h(a)} ) (a h  h(a) vo( f (a)) a x₂  )) ( ( )) ( ( f a ve f a vo   ) ( 3 f a x  )) ( ( ) ( )) ( , (y₁ f a ve y₁ ve f a p     ) ( 4 f a x  )) ( , ( ) (a p a f a h  x1  a y1 px(1a, f (a))  ve(a) ve( f (a))  ) ( 3 f a x  )) ( ( )) ( ( f a ve f a vo   a x_{2 } ) ( )) ( ( f a h a vo   ) (a h  clause vide

Résolution

 On a un ensemble d’instances de base insatisfaisable

 La formule P1  P2  P3  C est donc insatisfaisable

) (a h  )) ( ( ) (a vo f a h   )) ( ( )) ( ( f a ve f a vo   )) ( , ( ) (a p a f a h  )) ( ( ) ( )) ( , (a f a ve a ve f a p     ) (a ve ) (a h 

unificateur y₁  x₁ x₁  a

Analysons un peu les choses

 L’opération d’appariement de deux atomes

s’appelle l’unification

 Algorithme d’unification (vu plus tard)  On peut donc appliquer le principe de

)) ( ( ) ( )) ( , (y₁ f a ve y₁ ve f a p     ) ( )) ( , (x₁ f x₁ h x₁ p 

Propriétés du calcul des prédicats

 Le calcul des prédicats muni du principe de

résolution et de l’unification est complet

 toute formule close est vraie ou fausse

 MAIS le calcul des prédicats est indécidable

 Il n’existe pas d’algorithme permettant de décider à

tout coup si une formule close est vraie ou fausse

 En PROLOG, nous nous limiterons donc à un

sous-ensemble du calcul des prédicats

Programmer en logique ?

 Un petit exemple

 xyz (pere(x,y)parent(y,z)  grand-pere(x,z)  xy ((mere(x,y)  pere(x,y))  parent(x,y)

 mere(a,b) pere(c,b) pere(d,a) pere(e,c)

 Forme clausale

 pere(x₁, y₁)  parent(y₁, z₁)  grand-pere(x₁,z₁)  mere(x₂, y₂)  parent(x₂, y₂)

 pere(x₃, y₃)  parent(x₃, y₃)

 mere(a,b) pere(c,b) pere(d,a) pere(e,c)

Programmer en logique ?

 On part de grand-pere(x,b)

 si x = x₁ et z₁=b unification avec

_pere(x1, y1)  parent(y1, z1)  grand-pere(x1,z1)

 on obtient pere(x, y₁)  parent(y₁, b)  si y₃ = b et y₁=x₃ unification avec

pere(x3, y3)  parent(x3, y3)

 on obtient pere(x, x₃)  pere(x₃, b)  si x₃ = c unification avec pere(c,b)  on obtient pere(x, c)

 si x=e unification avec pere(e,c)

Programmer en logique ?

 On a réussi à prouver x, grand-pere(x,b)

 On a réussi à calculer un x

 Unification = calcul

 on donne des valeurs aux variables

 Calcul = programmation

 on va pouvoir programmer avec la logique !!!  on automatise complètement le processus  PROLOG est un démonstrateur de théorème

Le langage PROLOG

1. Premiers pas 2. Arithmétique 3. Listes 4. Le contrôle PROLOG 5. Termes structurés

1. Premiers pas en Prolog

 On se limite aux clauses de Horn

 au plus un littéral positif

– un seul littéral (positif) : fait

– un littéral positif et au moins un littéral négatif : règle – pas de littéral positif : requête

 Elles permettent

 de forcer le retour dans la base pour continuer la

démonstration

Univers PROLOG

 L’univers PROLOG est une base de connaissances

décrivant l’état du monde à l’aide de relations (prédicats) portant sur des entités (termes)

 Un prédicat particulier (=) correspond à l’unification

Syntaxe de PROLOG

 Considérons l’énoncé

 Socrate est un homme  Tout homme est mortel  Socrate est-il mortel ?

Calcul des prédicats Prolog

x, homme(x) _{homme(socrate).}

x, homme(x) _ mortel(x) mortel(X) :- homme(X). ?- mortel(socrate).

La famille

masculin(tom). % tom est de sexe masculin masculin(tim).

masculin(bob).

masculin(jim). % «paquet» de clauses feminin(pam). feminin(liz). feminin(ann). feminin(pat). enfant(bob,pam). enfant(bob,tom). enfant(liz,tom). enfant(ann,bob). enfant(pat,bob). Le langage

Premières requêtes

masculin(jim). feminin(pam). feminin(liz). feminin(ann). feminin(pat). enfant(bob,pam). enfant(bob,tom). enfant(liz,tom). enfant(ann,bob). enfant(pat,bob). enfant(tim,liz). enfant(jim,pat).

Est-ce que pat est un enfant de bob ?

?- enfant(pat,bob).

Quels sont les enfants de tom ?

?- enfant(X,tom). X = bob ;

Yes

X = liz ;

Lien avec le calcul des prédicats

Règles PROLOG a :- b,c,d. a Règles LOGIQUE_{ } b _{ } c _{ } d Requête PROLOG ?- q. Requête LOGIQUE_ q Unification

Écriture de prédicats

• Qui est le père de bob ?

?- enfant(bob,X), masculin(X). masculin(jim). feminin(pam). feminin(liz). feminin(ann). feminin(pat). enfant(bob,pam). enfant(bob,tom). enfant(liz,tom). enfant(ann,bob). enfant(pat,bob). enfant(tim,liz). enfant(jim,pat). X=pam échec retour X=tom X=tom • Plus généralement pere(X,Y) :-enfant(Y,X), masculin(X).

À chacun son tour

 Écrire les prédicats correspondant aux relations

 grand-pere/2  frere/2

 tante/2  cousin/2

PROLOG

 PROLOG est un langage déclaratif

on spécifie les propriétés du résultat du programme et non pas le processus pour arriver à ce résultat (aspect

opérationnel)

 Intérêts

 facilité de compréhension  facilité d’écriture

Retour sur le retour arrière

 Considérons la requête  ?- frere(bob,liz). masculin(tom). masculin(tim). masculin(bob). masculin(jim). feminin(pam). feminin(liz). feminin(ann). feminin(pat). enfant(bob,pam). enfant(bob,tom). enfant(liz,tom). enfant(ann,bob). enfant(pat,bob). enfant(tim,liz). enfant(jim,pat). frere(X,Y) masculin(X), enfant(X,Z), enfant(Y,Z). X = bob, Y = liz Z=pam échec Yes Z = tom retour

Le mécanisme de retour-arrière (backtrack) assure la complétude de la recherche

Demander une nouvelle solution revient à provoquer un échec fictif pour forcer le backtrack

Quelques propriétés

 la recherche réalisée par PROLOG est une

recherche en profondeur d’abord

 on peut obtenir plusieurs solutions pour une

même requête

 on appelle cela le non-déterminisme de PROLOG

 un prédicat peut servir à autre chose que ce

pour quoi il a été écrit

 on appelle cela la réversibilité de PROLOG

 les seuls résultats possibles : yes ou no

Récursivité

 Écrire le prédicat ascendant/2

ascendant(X,Y) :- enfant(Y,X). ascendant(X,Z) enfant(Z,Y), ascendant(X,Y). Condition d’arrêt en premier Information discriminante en premier Le langage

PROLOG = logique ?

 Soit une relation binaire r. Comparer :

 récursion droite

fermeture(X,Y) :- r(X,Y).

fermeture(X,Z) :- r(X,Y), fermeture(Y,Z).

 récursion gauche

fermeture(X,Y) :- r(X,Y).

fermeture(X,Z) :- fermeture(Y,Z), r(X,Y).

 Attention à la procédure de recherche !!!

 Règle de sélection du but

– le plus à gauche

2. Arithmétique

 Les opérateurs usuels existent : +, , /, mod

 attention il s’agit de symboles de fonctions !!!

?- X = 1 + 2.

X= 1+2 _ +(1,2)

•

Un opérateur spécial is

?- X is 1 + 2. X = 3

•

L’argument de droite doit être complètement

instancié à l’appel

Opérateurs arithmétiques

 > et <

 >= et =<

 =:= égalité numérique

 =\= diségalité numérique

attention : les deux arguments

Exemple: calcul du PGCD

 Propriétés du PGCD D de X et Y

 si X et Y sont égaux, D vaut X

 si X < Y alors D est le PGCD de X et de Y - X  si Y < X alors échanger le rôle de X et Y

pgcd(X, Y , D) :- X =:= Y , D is X._{X X ).} X=Y pgcd(X, Y , D) :- X < Y , pgcd(X,Y-X,D). Y1 is Y - X, pgcd(X,Y1,D). pgcd(X, Y, D)

:-oui, mais que se passe-t-il

Attention …

 X = Y réussit si X s’unifie avec Y sinon échec

 X is Y réussit si Y est une expression arithmétique

complètement instanciée à l’appel et X est une variable

libre sinon il y a erreur

 X =:= Y réussit si X et Y sont deux expressions

arithmétiques de même valeur sinon, il y a échec ou erreur selon le cas

 X == Y réussit si les termes sont identiques (pas

simplement unifiables)

3. Listes

 La liste vide : []

 Les listes non vides :

 [a, b, c]  [a, [b, c], d]  Le constructeur de listes : |  [Tete | Reste]  [a]  [a | [] ]  [a, b]  [a | [b |[]]]  [a | [b] ]

 Analogie avec Haskell

Analogie avec Haskell

 A-t-on besoin de head et tail ?

 ?- [1,2,3,4] = [H|T].

 On ne dispose pas des listes en compréhension

Prédicats de base

 Longueur d’une liste : length/2

length([], 0).

length([_ | Xs], N1) :-length(Xs, N),

 Appartenance à une liste : member/2

member(X, [X|Ys]). member(X, [Y |Xs]) :-member(X,Xs). Ys ne sert à rien _ Y ne sert à rien _ Le langage

Prédicats de base (suite)

 Suppression d’un élément d’une liste : efface/3

efface(_, [], []).

efface(X,[X|Ys], Ys).

efface(X,[Y|Ys], [Y|Zs]) :-X \== Y,

efface(X,Ys,Zs)

Prédicats de base (suite)

 Concaténation de deux listes: append/3

append([], Ys, Ys).

append([X|Xs], Ys, [X|Zs]) :-append(Xs,Ys,Zs).

 Une nouvelle version de member ?

member(X,L) :-

Prédicats de base (suite)

 Renversement d’une liste : reverse/2

reverse([], []).

reverse([X|Xs], Ys) :-reverse(Xs,Zs),

append(Zs, [X], Ys).

 Une autre version de reverse ?

nreverse([], L, L).

nreverse([X|Xs], Ys, L)

:-nreverse(Xs, [X|Ys], L). nreverse(Xs, Ys)

:-Un prédicat plus délicat

 Permutation d’une liste : permute/2

insere(X,Ys,[X|Ys]). insere(X,[Y|Ys], [Y|Zs]) :-insere(X,Ys,Zs). permute([], []). permute([X|Xs], Ys) :-permute(Xs,Zs), insere(X,Zs,Ys). Le langage

A vous de jouer !

 Les mutants … mutant(Nouveau) :- animal(A1), animal(A2), A1 \== A2, name(A1,L1), name(A2,L2), append(_, [X|Xs], L1), append([X|Xs], Fin, L2), append(L1, Fin, Mutant), name(Nouveau,Mutant).

4. Le contrôle PROLOG

 Contrôle du backtrack

 Soit une fonction f dont une définition Prolog peut être :

f(X, 0) :- X < 3.

f(X, 2) :- 3 =< X, X < 6. f(X, 4) :- 6 =< X.

 Que se passe-t-il si on pose la question ?

?- f(1,Y), 2 < Y.

?- f(1,Y), 2 < Y.

f(X, 0) :- X < 3. f(X, 2) :- 3 =< X, X < 6. f(X, 4) :- 6 =< X. Démonstration de f(1,Y) Première règle : Y = 0 Démonstration de 2 < Y :- échec Deuxième règle : échec

La coupure : !

 On appelle but père le but ayant permis

d’unifier la clause contenant la coupure (! cut)

 L’effet du cut est de couper tous les points de

choix restant depuis le but père. Les autres alternatives restent en place

f(X, 0) :- X < 3, !.

f(X, 2) :- 3 =< X, X < 6, !. f(X, 4) :- 6 =< X.

Si … alors … sinon

 Le cut peut servir à exprimer des conditions

mutuellement exclusives et ainsi simplifier l’écriture

 La clause suivant un cut peut être considérée

comme un sinon

f(X, 0) :- X < 3, !. f(X, 2) :- X < 6, !. f(X, 4).

Un usage délicat

 Green cut : la sémantique déclarative du

programme n’est pas modifiée

 on peut enlever le cut le programme fonctionnera

toujours

 Red cut : la sémantique déclarative du

programme est modifiée

 Le retrait du cut conduit à un programme au

fonctionnement erroné

Généralement, la version avec cut peut être prise en

Autres prédicats de contrôle

 true est un but qui réussit toujours

 p(a,b).  p(a,b) :- true.

 fail est un but qui échoue toujours

 call(X) est un méta but. Il considère X comme

un but et essaie de le résoudre.

 ?- Y=b, X=member(Y, [a,b,c]), call(X).

Yes

Application : négation

 Expression de la négation en Prolog

 different(X, Y)

:-X = Y, !, fail.

different(X, Y).

 Un prédicat plus général :

 not(P)

:-P, !, fail.

not(_).

Problèmes avec le not !

 ?- q(X), p(X).  ?- p(X), q(X). r(a). q(b). p(X) :- not( r(X) ).

Théorie du monde clos

 not(X)

 ne veut pas dire

– X est toujours faux

 veut simplement dire

– Je n’ai pas assez d’information pour prouver X

 Prolog considère ce qui n’est pas vrai comme

faux et vice-versa

 c’est la théorie du monde clos

A quoi peut servir : not(not(P)) ?

Typage en Prolog

 var/1, nonvar/1

 integer/1, float/1, number/1

 atom/1, string/1, atomic/1

 compound/1

5. Termes structurés

 Notion de foncteur famille(

indiv(tom, fox, date(7, mai, 1950), travail(emn, 7850)), indiv(ann, fox, date(9, mai, 1951), sans-emploi),

[ indiv(pat, fox, date(5, mai, 1973), sans-emploi), indiv(jim, fox, date(5, mai, 1973), sans-emploi) ])

On pourrait utiliser des listes (de listes …) mais on préfère structurer l’information

Utilisation de l’unification

 Les familles à trois enfants :

 famille(_,_,[_,_,_]).

 Les femmes mariées ayant au moins trois

enfants

 famille(_,indiv(Prenom, Nom,_,_), [_,_,_|_]).

famille(

indiv(tom, fox, date(7, mai, 1950), travail(emn, 7850)), indiv(ann, fox, date(9, mai, 1951), sans-emploi),

[ indiv(pat, fox, date(5, mai, 1973), sans-emploi),

Outils de manipulation

 Consultation de termes structurés

 functor/3

?- functor(date(9, janvier, 1973), F, A) F = date, A = 3

 arg/3

?- arg(3, date(9, janvier, 1973), F) F = 1973

 Construction/déconstruction de termes structurés

 =../2

?- X =.. [date, 9, janvier, 1973]

Opérateurs

 On peut définir de nouveaux opérateurs. Il ne

s’agit que d’une définition syntaxique pour faciliter l’écriture de termes.

:- op(80, fy, non). :- op(100, yfx, et).

 non a et b est devenu un terme valide, il est

Fonctionnement

 Un opérateur possède une précédence (1..1200)

 par exemple : + a une plus forte précédence que / car

a+b/c se lit a+(b/c)

 Un opérateur possède une politique de résolution des

ambiguïtés :

 xfx correspond aux opérateurs infixes non associatifs

les deux sous-expressions ont un niveau de précédence inférieur à celui de l’opérateur

 xfy correspond aux opérateurs associatifs à droite seule

l’expression de gauche doit avoir un niveau inférieur à l’opérateur

 yfx correspond aux opérateurs associatifs à gauche

6. Méta-interprétation

 Méta-programmation

 écrire des programmes qui analysent, transforment

et simulent d’autres programmes

 Prolog est un langage adapté à la

méta-programmation car :

Méta-interprétation

 Un méta-interprète d’un langage donné est un interprète du langage écrit dans le même

langage

 Le prédicat prouve(But) réussit si la requête

But par rapport au programme que l’on cherche

à interpréter

 Le plus simple des méta-interprètes Prolog

Outils pour la méta-interprétation

 Le prédicat clause/2 (accès aux programmes) append([],X,X).

append([X|Xs], Ys, [X|Zs]) :-append(Xs,Ys,Zs).

X = [], Y = _A1, Z=_A2, Corps = true ? ; X = [_A1|_A2], Y = _A3, Z = [_A1|_A4], Corps = append(_A2, _A3, _A4) ? ;

Un premier interprète

prouve( true ). prouve( (A,B) ) prouve(A), prouve(B). prouve( But ) clause(But, Corps), prouve(Corps). Le langage

Améliorations

 Gestion des prédicats prédéfinis

prouve( But )

predefini( But ), predefini( _ = _ ). But. predefini( _ is _ ).

 Gestion explicite de l’unification

prouve( But ) But =.. [Foncteur|Arguments], Tete =.. [Foncteur|AutresArguments], clause(Tete, Corps), unification(But, Tete), prouve(Corps).

Algorithme d’unification

unification( X, Y) :-var(X), !, Y = X. % nooccur(X,Y) unification( X, Y) :-var(Y), !, X = Y. % nooccur(Y,X) unification( X, Y) :-atomic(X), atomic(Y), X == Y. unification( X, Y) :-X =.. [Foncteur|Arguments], Y =.. [Foncteur|AutresArguments], unificationListe(Arguments, AutresArguments). unificationListe([], []). Le langage

Le test d’occurrence

 Théoriquement, lors d’une unification il faut

réaliser le test d’occurrence. Prolog ne le fait pas. En particulier :

?- X = f(X).

réussit mais ne peut afficher de résultat !

nooccur/2

noccur( _, Y) :-ground(Y). noccur( X, Y) :-var(Y), X \== Y. noccur( X, Y) :-Y =.. [_|Arguments], nooccurListe(X, Arguments). nooccurListe(_, []). nooccurListe(X, [Y|Ys]) :-nooccur(X,Y), Le langage

1. Structures incomplètes 2. Listes de solutions

3. Modifications de la base 4. Indexation de clauses

1. Structures incomplètes

 Concaténation

 Notoirement inefficace !  Le problème

– pas de « pointeur » sur le dernier élément

– pas de possibilité de modification d’une variable logique

Prolog avancé

append([], Ys, Ys).

append([X|Xs], Ys, [X|Zs]) :-append(Xs,Ys,Zs).

Une solution : listes de différences

 Une nouvelle structure de liste

 idée : conserver une partie inconnue pour

instanciation au dernier moment

 Liste de différence

– on nomme la fin de la liste

– [a,b,c] est représentée par [a,b,c|Xs]-Xs – la liste vide Xs-Xs

 Concaténation en une opération

append(Ls-Xs, Xs-Rs, Ls-Rs).

?- append([a,b,c|Xs]-Xs, [1,2,3|Ys]-Ys, R). R = [a,b,c,1,2,3|Ys]-Ys

Une opération !?!

Ls - Xs a b c 1 2 3 ? ? ? - 1 2 3 ? ? ? Xs - Rs 1 2 3 ? ? ? - ? ? ? Ls - Rs a b c 1 2 3 ? ? ? - ? ? ? Merci l’unification ! Prolog avancé

2. Listes de solutions

 On veut la liste de tous les enfants de tarzan et leur

âge.

 pere(tarzan, X), age(X,A) ne donne les solutions

qu’une par une

 Comment les récupérer toutes dans une liste ?

pere(tarzan, fils). pere(tarzan, fille). age(fils, 5).

age(fille, 2).

Prédicats « toutes solutions »

 setof/3 résultat trié (fail si pas de solution)

 bagof/3 résultat tel que le backtrack (fail si pas de

solution)

 findall/3 résultat tel que le backtrack ([] si pas de

solution)

?- setof(X/A, (pere(tarzan, X), age(X,A)), L). L = [fils/5, fille/2]

findall(X, member(X/Y, [b/1, a/2]), L) --> [b,a]

setof(X, member(X/Y, [a/1, b/2]), L --> L=[b] Y=1 ;

3. Modifications de la base

 Besoin : résistance au backtrack

 Ajout dans la base

 assert/1  asserta/1  assertz/1

 Retrait dans la base

 retract/1  retractall/1

4. Indexation de clause

 Les clauses Prolog sont rangées dans une

hashtable. Elles sont indexées par le foncteur

et l’arité de leur premier argument

 Pour écrire des programmes plus efficaces,

mettre en tête l’argument le plus discriminant.

1. Cours

2. Travaux pratiques 3. A quoi ça sert ?

Bilan du cours

 Rappels de logique

 Comment programmer avec la logique

 Le langage PROLOG

 Subtilités du langage

Bilan des TP

 TP-1/TP-2: Mise en route, manipulations

 écriture rapide de fonctions sur les listes  écriture rapide de petits outils

 TP-3: Résolution d’énigmes logiques/de réflexion

 tester des idées,

 résoudre des problèmes non triviaux

 TP-4: Écriture d’un système expert complet

 4 heures pour un système complet, convivial et extensible  à comparer avec 50h en Pascal …

PROLOG : à quoi ça sert ?

 Principal langage de l’Intelligence Artificielle

 Systèmes experts

– cf. TP

 Traitement du langage naturel

– cf. GINA

 Faire intervenir le raisonnement …

PROLOG pour l’Industrie

 Programmation par Contraintes

 point de rencontre de diverses disciplines

– programmation logique (et IA au sens large)

– recherche opérationnelle (graphes, prog. Linéaire, …) – analyse numérique

 Pour résoudre des problèmes combinatoires complexes

– gestion de ressources (humaines ou non), – réseaux télécoms, …

 Technologie française en plein boom !

– ILOG SA, Cosytec (systèmes de PPC)

– Bouygues SA, Bouygues Telecom, France Telecom R&D, Air France, DGA, SNCF, …

PROLOG dans l’Industrie

 Utilisé pour

 prototyper très rapidement,  tester des idées …

 Mais aussi pour développer des applications

 Dassault Électronique

 ECRC (Centre de recherche commun Bull, Siemens)  …