Devoir commun 1
reS 2007
Exercice 1 : produit scalaire
SoitABC un triangle, tel queAB= 5,AC= 6et # AB.#
AC= 15.
1. Calculer, en degrés, une mesure de l’angle\BAC.
2. En utilisant # BC=#
AC−#
AB, calculerBC2 puisBC.
3. Démontrer que # CA.#
CB= 21. En déduire une valeur approchée, à un degré près, de l’ange\BCA.
4. Calculer l’aire du triangleABC. En déduire les longueurs des trois hauteurs de ce triangle.
Exercice 2 : suites et géométrie
On considère un triangle équilatéral de côté2. On applique à chacun des côtés la transformation suivante : on partage le côté en trois parties égales, puis on construit sur le segment du milieu un triangle équilatéral « tourné vers l’extérieur ». On supprime alors la base de ce triangle. Voici une illustration de cette transformation sur l’un des trois côtés :
=⇒
On note F0 le triangle de départ, F1 la première figure (l’étoile), et plus généralement Fn le polygone obtenu après n transformations. Ci-dessous, on a représentéF0,F1,F2 etF4.
F0 F1 F2 . . . F4
Pour le polygoneFn, on désigne par :
cn le nombre de ses côtés, λn la longueur de chaque côté, pn son périmètre et sn son aire.
1. (a) Déterminerc0,c1,c2,λ0,λ1,λ2 puisp0,p1,p2.
(b) Exprimercn+1 en fonction decn. En déduirecn en fonction den.
(c) Exprimerλn+1 en fonction deλn. En déduire λn en fonction den.
(d) Montrer que pour tout entier natureln,pn= 6× 4
3 n
. (e) Déterminer la limite de la suite(pn)n∈
N.
2. On notean la surfaceajoutée à chaque étape (i.e. la différence des aires de Fn et Fn−1).
(a) Déterminera1 eta2.
(b) Montrer que pour toutn∈N∗,an =
√3 3
4 9
n−1
.
(c) En déduire ques0=√
3, et pourn >0,sn=√ 3 +
√3
3 1 + 4 9+
4 9
2
+· · ·+ 4
9 n−1!
. (d) Calculer la limite de la suite(sn)n∈
N.
Exercice 3 : angles orientés et repérage polaire
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct(O;#ı ,#).
1. Placer les pointsA de coordonnéespolaires 1;π4
,I tel que #
OI =#ı etS tel que # OS=#
OI+# OA.
2. (a) Déterminer les coordonnées cartésiennes deApuis deS.
(b) Calculer OS.
3. (a) Déterminer la nature du quadrilatère OASIet en déduire une mesure de l’angleIOS.d (b) En déduire les valeurs exactes decos π8
et sin π8 .
4. (a) SoientRtel que OIRsoit équilatéral direct (c’est-à-dire : OI,# OR#
=π
3) etB tel queOR# =AB. Montrer que# OABRest un losange.
(b) Donner les coordonnées cartésiennes deR, et en déduire celles deB.
(c) Déterminer une mesure de l’angleIOB, puis les coordonnées polaires de[ B.
(d) En déduire les valeurs exactes decos 7π24
et sin 7π24 .
Exercice 4 : études de fonctions et (toujours !) géométrie
1. Soitgla fonction définie sur[0; 1]parg(x) = 4x3+ 9x2+ 6x+ 3.
(a) Étudier les variations deg.
(b) Montrer que ggarde un signe constant strict sur [0; 1].
2. Soit maintenantf la fonction définie sur[0; 1]parf(x) =x4+ 3x3+ 3x2+ 3x−2.
(a) Montrer quef0(x) =g(x). En déduire le tableau de variations def.
(b) Montrer que f s’annule une fois et une seule sur l’intervalle [0; 1]. On note α l’unique solution sur [0; 1] de l’équationf(x) = 0.
(c) Montrer quef(x) = x2+x+ 2
x2+ 2x−1
. En déduire queα=√ 2−1.
3. SoitABCD un carré de côté1. I est un point du segment[AB], on notexla longueur AI. On trace le cercleC1 de centreI passant parA.
J est un point du segment[BC], tel que le cercleC2de centreJ passant parCsoit tangent àC1. On noteyla longueur CJ.
A B
C D
I
J
x
y
(a) Montrer que y=1−x
1 +x (on pourra considérer le triangleIJ B, et utiliser le fait que si deux cercles sont tangents, leur unique point de contact est aligné avec leurs centres respectifs).
(b) Montrer que la somme des aires des deux disques est égale àπ x2+
1−x 1 +x
2! .
4. Soithla fonction définie sur[0; 1]parh(x) =x2+
1−x 1 +x
2 .
(a) Montrer queh0(x) = 2 f(x) (1 +x)3.
(b) En déduire le tableau de variations de h.
(c) Montrer quehadmet un minimum enα, et calculer ce minimum.
(d) En déduire la valeur de xpour laquelle la somme des aires des deux disques de la partie 3 est minimale, calculer cette aire minimale, et montrer que pour cette valeur dex, on a y=x.
