JF FERRARIS – L1 – IUT1 – Matrices 1 – TD 5. Système linéaire (n,n).
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Exercice 1 -
Résoudre, par la méthode matricielle de votre choix, le système suivant : x y
x y
− =
+ =
2 7 15
3 1 .
Exercice 2 -
Résoudre, par une méthode matricielle, le système suivant :
2 3 9
2 3 0
3 2 9
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
.
Exercice 3 -
Résoudre les systèmes suivants par la méthode de Cramer :
a. 2 30
4 3 21
x y
x y
− + =
− =
b.
x y z
x z
x y z
− + =
− =
+ + =
2 2 1
3 2
3 4 3
c.
x z
x y z
y z
+ =
− + =
+ =
5 6 12
2 2 2
4 3 3
Exercice 4 -
Résoudre, par une méthode matricielle, le système suivant :
2 3 5
2 1
2 1
x y z
x z
x y
+ + =
− =
+ = −
.
Exercice 5 -
1) Résoudre, par une méthode matricielle, le système
x y mz m x my z
x y z + + =
+ − =
+ − =
1 1
où m est un nombre réel quel- conque. Donner les conditions sur m pour que ce système admette une solution (x, y, z) unique.
2) Quelle est la condition sur m pour que l'unique vecteur x y z
solution du système soit de norme 1 ?
Exercice 6 -
1) Résoudre, par la méthode de Cramer, le système d'inconnues x, y, z : 2 2
x y z a
x y z b
x y z c
− + =
+ + =
+ + =
où a, b et c sont trois constantes réelles.
2) En déduire que la matrice
1 1 1
A 1 2 1
1 1 2
−
=
est inversible et donner A-1.
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Exercice 7 -
Une entreprise de matériel électronique fabrique des Tablettes (T), des Smartphones (S) et des Ecrans LCD (E) à l'aide de trois machines M1, M2 et M3. Les consommations électriques (en kwh) par machine et par produit sont les suivantes :
M1 M2 M3
(T) 3 2 3
(S) 2 1 0
(E) 1 3 2
Au bout d'un certain temps, on relève les consommations totales de chaque machine : C1(M1) : 56 kwh C2(M2) : 63 kwh C3(M3) : 54 kwh
En choisissant une méthode matricielle parmi celle de Gauss, la méthode de Cramer ou l'inversion de matrice, déterminer le nombre d'appareils de chaque type fabriqués durant cette période.
Exercice 8 -
Pour une fabrication, une entreprise utilisera x pièces de type X, y pièces de type Y et z pièces de type Z.
La masse et le coût de chacune de ces pièces sont donnés dans le tableau suivant :
X Y Z
Masse en grammes 2,5 2 1
Coût en euros 1 1,5 0,5
L'entreprise effectue une étude en vue d'optimiser cette fabrication. Pour cela, elle doit considérer le nombre total N des pièces employées, leur masse totale M en grammes et leur coût total C en euros.
1) Exprimer N, M et C en fonction de x, y et z.
2) Résoudre le système d'inconnues x, y, z en utilisant la méthode de Cramer : 3) On considère les matrices :
x y z
=
U et
=
N
B M
C
. Déterminer la matrice carrée d'ordre 3, A, telle que le système du 2) soit équivalent à l'égalité matricielle AU = B
4) On désigne par A' la matrice :
0,5 1 1
0,25 0,5 1,5 1,75 0,5 0,5
− −
− −
− −
Calculer le produit de matrices A'A. Que constate-t-on ?
5) a) Sans utiliser l'expression des matrices sous la forme de tableaux de nombres, démontrer, à partir du résultat de la question 4), que l'égalité matricielle AU = B est équivalente à l'égalité matricielle U = A’B
b) En déduire l'écriture de la matrice U en fonction de N, M et C. Ce résultat est-il cohérent avec le résultat obtenu en 2) ?
6) L'étude a montré que la fabrication est optimale lorsque sont employées au total 140 pièces, d'une masse totale de 275 g et d'un coût total de 135 euros. Dans ces conditions, calculer les nombres de pièces de chacun des types X, Y et Z utilisées pour cette fabrication.
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Exercice 9 -
Une usine fabrique trois types de vannes pour l'industrie pétrolière. Pour fabriquer le modèle V1, il faut 20 h d'usinage et 20 h de montage. Pour fabriquer le modèle V2, il faut 32 h d'usinage et 10 h de mon- tage. Pour fabriquer le modèle V3, il faut 24 h d'usinage et 20 h de montage. Le personnel spécialisé dans ce domaine est occupé à raison de 620 h d'usinage par semaine et 360 h de montage par semaine.
On désigne par :
x : nombre de vannes de type V1 fabriquées en une semaine, y : nombre de vannes de type V2 fabriquées en une semaine, z : nombre de vannes de type V3 fabriquées en une semaine.
Le bénéfice réalisé sur une vanne de type V1 est de 1500 €, le bénéfice sur une vanne de type V2 de 1800 € et le bénéfice sur une vanne de type V3 de 4200 €.
En sachant que le bénéfice total réalisé pendant une semaine est de 50 400 €, montrer que la situation ci-dessus se traduit par le système d'équations suivant :
5 8 6
2 2
5 6 14
x y z a
x y z b
x y z c
+ + =
+ + =
+ + =
dans lequel a, b et c sont trois paramètres que l'on déterminera. Ensuite, résoudre ce système par la méthode de Cramer et en déduire le nombre de vannes de chaque type fabriquées en une semaine.
