Microlentilles gravitationnelles binaires: Algorithmes de minimisation et méthodes bayésiennes

Microlentilles gravitationnelles binaires:

Algorithmes de minimisation et m´ ethodes bay´ esiennes

Institut d’Astrophysique de Paris

Maxime Garnier

Sous la direction d’Arnaud Cassan

Soutenance de stage L3, 26 Juin 2014

June 26, 2014 1 / 24

Plan de la pr´ esentation

1 Introduction

L’Institut d’Astrophysique de Paris La recherche de plan`etes extra-solaires L’effet de lentille gravitationnelle

2 Mod´elisation des microlentilles gravitationnelles binaires Equation des lentilles, amplification et courbes de lumi`´ ere Caustiques et courbes critiques

Mouvement de la source

3 Optimisation de l’ajustement des courbes de lumi`ere Objectif

Etude des d´´ eriv´ees analytiques de l’amplification Th´eor`eme de Bayes

Simulation de donn´ees exp´erimentales Minimisation par m´ethode de Newton Algorithme Markov Chain Monte-Carlo Orthonormalisation de l’espace des param`etres

4 Conclusion

Plan de la pr´ esentation

1 Introduction

L’Institut d’Astrophysique de Paris La recherche de plan`etes extra-solaires L’effet de lentille gravitationnelle

2 Mod´elisation des microlentilles gravitationnelles binaires Equation des lentilles, amplification et courbes de lumi`´ ere Caustiques et courbes critiques

Mouvement de la source

3 Optimisation de l’ajustement des courbes de lumi`ere Objectif

Etude des d´´ eriv´ees analytiques de l’amplification Th´eor`eme de Bayes

Simulation de donn´ees exp´erimentales Minimisation par m´ethode de Newton Algorithme Markov Chain Monte-Carlo Orthonormalisation de l’espace des param`etres

4 Conclusion

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Plan de la pr´ esentation

1 Introduction

L’Institut d’Astrophysique de Paris La recherche de plan`etes extra-solaires L’effet de lentille gravitationnelle

2 Mod´elisation des microlentilles gravitationnelles binaires Equation des lentilles, amplification et courbes de lumi`´ ere Caustiques et courbes critiques

Mouvement de la source

3 Optimisation de l’ajustement des courbes de lumi`ere Objectif

Etude des d´´ eriv´ees analytiques de l’amplification Th´eor`eme de Bayes

Simulation de donn´ees exp´erimentales Minimisation par m´ethode de Newton Algorithme Markov Chain Monte-Carlo Orthonormalisation de l’espace des param`etres

4 Conclusion

Plan de la pr´ esentation

1 Introduction

L’Institut d’Astrophysique de Paris La recherche de plan`etes extra-solaires L’effet de lentille gravitationnelle

2 Mod´elisation des microlentilles gravitationnelles binaires Equation des lentilles, amplification et courbes de lumi`´ ere Caustiques et courbes critiques

Mouvement de la source

3 Optimisation de l’ajustement des courbes de lumi`ere Objectif

Etude des d´´ eriv´ees analytiques de l’amplification Th´eor`eme de Bayes

Simulation de donn´ees exp´erimentales Minimisation par m´ethode de Newton Algorithme Markov Chain Monte-Carlo Orthonormalisation de l’espace des param`etres

4 Conclusion

June 26, 2014 2 / 24

Mot-clefs :

Microlentille gravitationnelle.

Mod´elisation.

Optimisation.

Inf´erence bay´esienne.

Travail r´ealis´e:

Impl´ementation num´erique dans le langage Python (et un peu de Fortran).

Interfa¸cage d’une routine de r´esolution de polynˆome de Fortran vers Python.

V´erification des calculs.

Bibliographie (m´ethodes d’optimisation, validation statistique de mod`eles).

Synth`ese hebdomadaire avec A.Cassanet C.Ranc(doctorant).

Introduction

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L’Institut d’Astrophysique de Paris (IAP)

Fondation en 1936 : Jean Perrinet Jean Zay.

Actuel directeur : Francis Bernardeau.

52 enseignants-chercheurs, chercheurs et ing´enieurs de recherche, ainsi que 29 doctorants et 24 post-doctorants. Nombreux visiteurs et stagiaires.

Astrophysique& physique th´eorique : Cosmologie, relativit´e g´en´erale, formation des grandes structures, astrophysique des hautes ´energies, origine et ´evolution des galaxies, physique stellaire, plan`etes extrasolaires.

La recherche de plan` etes extra-solaires

J.-B. Marquette courtesy

→ Etude statistique par microlentille : au moins une plan`ete par ´etoile dans la Voie Lact´ee (orbites entre 0.5 et 10 UA et masse entre 5M⊕ et 10MJ) Cassanet al. (Nature, 2012).

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La recherche de plan` etes extra-solaires

J.-B. Marquette courtesy

→ Etude statistique par microlentille : au moins une plan`ete par ´etoile dans la Voie Lact´ee (orbites entre 0.5 et 10 UA et masse entre 5M⊕ et 10MJ) Cassanet al. (Nature, 2012).

L’effet de lentille gravitationnelle

Relativit´e G´en´erale d’Einstein(1915)→d´eviation de la lumi`ere par tout corps massif→effet delentille gravitationnelle(1936).

Microlentille: la lentille est une ´etoile ou un syst`eme plan´etaire.

Distortion de l’espace-temps : effet de lentille gravitationnelle (satellite Hubble).

Configuration typique de l’observation d’un ´ev´enement de microlentille gravitationnelle.

D_L= 1-8kpc,D_S= 8kpc.

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Mod´elisation des microlentilles gravitationnelles

binaires

Equation des lentilles, amplification et courbes de lumi` ´ ere

L’´ev´enement OGLE 2003–BLG–235 / MOA 2003–BLG–53 (http://ogle.astrouw.edu.pl/)

Equation des lentilles binaires :´

ζ=z− 1 1 +q

1 z + q

z +s

(1)

3 ou 5 imagesz_j pourζ donn´e.

Amplification d’une source ponctuelle :

µ=

N_im

X

j

1

|J(z_j)| =

N_im

X

j

1

|1−W₂(z_j))|

avec :

W_k(z_j) = _1+q¹

1 z_j^k +_(z ^q

j+s)^k

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Caustiques et courbes critiques

Figure: Les trois topologies de caustiques. Haut gauche : close, haut droiteintermediate et baswide.

D´ efinition

On d´efinit les courbes critiques (resp. caustiques) comme ´etant le lieu des points z (resp. ζ) o`u le jacobien s’annule. L’amplification y est formellement infinie.

(Witt, 1990):

1 1 +q

1

z²+ q (z+s)²

=e^−iφ, φ∈[0; 2π] (2)

Influence sur l’amplification

Gauche: Trajectoire du centre de la source. Milieu: amplification source ponctuelle, Droite: amplification dans l’approximation hexadecapolaire(Gould, 2008).

On montre qu’il y abijectionz ↔ζsur les caustiques/courbes critiques.

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Mouvement de la source: les deux param´ etrisations

Figure: D’apr`es Cassan (2005).

(α,u0,tE,t0)

Param´ etrisation classique

(α,u0,tE,t0) ζ(t) =

t−t0

tE

+iu0+δζ(t)

e^iα

Figure: D’apr`esCassan (2008).

(tin,tout, φin, φout)

Param´ etrisation “caustic-crossing”

(Cassan, 2008) ζ(t) =ζ_out−ζ_in

tout−tin

(t−t_in) +ζ_in+δζ(t)

Optimisation de l’ajustement des courbes de lumi`ere

Inf´ erence bay´ esienne, MCMC, Newton-CG

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Objectif et travail r´ ealis´ e

Objectif :

Optimiser l’ajustement des courbes de lumi`ere exp´erimentales : faire plus vite et plus judicieux.

Pour cela :

Calcul, mise en place et test des d´eriv´ees analytiques de l’amplification (deux param´etrisations, source ponctuelle et ´etendue).

Amor¸cage des algorithmes d’optimisation : validation statistique, m´ethodes num´eriques et solver de polynˆomes complexes (Skowron and Gould, 2012).

D´ eriv´ ees analytiques de µ

Impl´ementation et tests des d´eriv´ees analytiques pour les deux param´etrisations en source ponctuelle et ´etendue.

∂µj

∂θ = 2ε

1− |W2|²²Re

W2

∂W2

∂θ

(3)

∂µj

∂θ = −4

1− |W2|²

3Re

W2W3

∂ζ

∂θ −W2

∂ζ

∂θ

(4)

Tests r´ealis´es:

1 Comparaison num´erique/analytique : ^∂µ_∂θ et ^∆µ_∆θ, ∆θ1.

2 Lin´earisation de l’amplification : µ(θ+dθ)≈µ(θ) +^∂µ_∂θdθ →domaine de validit´e.

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Construction d’une bijection sur les caustiques

→ Sch´ema de construction : zi+1=arg min(|z_i+1^(k) −zi|) o`uk = 1. . .4.

→ On impose certaines solutions (pourφ= 0) enφ= 0, 4πet 6π.

Exemple de courbes

D´eriv´ee en hexadecapolaire et premier test (classique).

Second test (caustic-crossing) et tableau des param`etres.

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Th´ eor` eme de Bayes

Th´ eor` eme de Bayes

Soit D un jeu de donn´ees et~θ le vecteur des param`etres du mod`ele consid´er´e.

P(~θ|D) = P(D|~θ)P(~θ) RP(D|~θ)P(~θ)d~θ

P(θ|D) : probabilit´~ ea posteriori.

Likelihood: L=P(D|~θ).

P(θ) : probabilit´~ ea pioriouprior.

→ Construction des priors `a partir de donn´ees exp´erimentales ou d’autres mod`eles. Cassan et al. (2010).

→ Erreurs gaussiennes : L=exp(−χ²/2), χ²=PNmes

i=1

(µ_mes(t_i)−µmod(t_i))² σ²_i .

Simulation de donn´ ees exp´ erimentales

Probabilit´ e conditionnelle de mesure

P(µmes(ti)|~θ)∝exp

−(µmes(ti)−µmod(ti))² 2σ²_i

σ_i : incertitude de mesure du point `a l’instantt_i.

Exemple de simulation de donn´ees exp´erimentales avec erreurs gaussiennes (ESBL, 100 points).

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M´ ethode Newton-CG (en cours)

Minimisationdirecte duχ²par m´ethodeNewton-CGavec scipy.optimize.minimize().

Figure: Newton (rouge) vs Gradient Descent (vert).

Pour cela :

→ Calculer le jacobien duχ²grˆace aux d´eriv´ees deµ.

→ Fortes divergences des matrices jacobienne et hessienne sur les caustiques.

→ Convergence quadratique vers un minimum pas forc´ement global !

Algorithme MCMC (en cours)

→ Caract´eristiques de l’algorithme acceptance-rejet :

I Distribution de “saut” gaussienne (Central Limit Theorem) : θ⁽ⁱ⁾_k+1=θ⁽ⁱ⁾_k +δθiN(0,1).

I γ= ^L_L^k+1

k .

F Siγ >1 : On accepte le changement.

F Siγ <1 : On tire un nombrer al´eatoire entre 0 et 1. Sir< γ, on accepte le changement, sinon on ne change pas.

I Taux d’acceptance id´eal : 0.234. D’apr`esRoberts et al. (1997).

→ Point crucial : Choix desδθ_i.

→ Apr`es de nombreuses it´erations: construction et diagonalisation de la matrice de variance - covariance.

→ Enlever le “burn-in” et d´eterminer les meilleurs param`etres (m´ediane, moyenne, ...).

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Orthonormalisation de l’espace des param` etres

Figure: Diff´erentes corr´elations pour deux param`etres. c = 0 indique l’absence de corr´elations.

Figure: Deux premi`eres ´etapes du proc´ed´e de Gram-Schmidt.

Param`etres corr´el´es~θ<sup>G</sup>−→<sup>−S</sup> Param`etres d´ecorr´el´esβ.~ Kains (2010).

Vecteurs : P_i= ^t

∂µ

∂θ_i(t_j)

j=1···Nmes

Pas d’expression analytique de ces nouveaux param`etres !

A. Cassan. L’ effet de microlentille gravitationnelle dans la recherche de plan`etes extra-solaires et dans le sondage d’atmosph`eres d’´etoiles g´eantes du Bulbe.

PhD thesis, Universit´e Pierre et Marie Curie (Paris VI), 2005.

A. Cassan. An alternative parameterisation for binary-lens caustic-crossing events.

Astronomy and Astrophysics, November 2008.

A. Cassan and al. One or more bound planets per Milky Way star from microlensing observations. Nature, January 2012.

A. Cassan, K. Horne, N. Kains, Y. Tsapras, and P. Browne. Bayesian analysis of caustic-crossing microlensing events. Astronomy and Astrophysics, June 2010.

A. Gould. Hexadecapole Approximation in Planetary Microlensing. The Astrophysical Journal, July 2008.

N. Kains. The Solar System in Perspective : from Debris Discs to Extrasolar Planets. PhD thesis, University of St. Andrews, 2010.

J. O. Roberts, A Gelman, and W. R. Gilks. Weak Convergence And Optimal Scaling of Random Walk Metropolis Algorithms. The Annals of Applied Probability, 1997.

J. Skowron and A. Gould. General complex polynomial root solver. December 2012.

H. J. Witt. Investigation of high amplification events in light curves of

gravitationally lensed quasars. Astronomy and Astrophysics, September 1990.

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Conclusion

Beaucoup de travail r´ealis´e (d´eriv´ees, optimisations, solver de polynˆomes, ...).

Etapes suivantes : orthonormalisation (Newton), inclure les priors, travailler sur des donn´ees exp´erimentales.

Importance de l’organisation (hi´erarchisation des programmes, r´esultats, ...).

Emulation, scientifique ou non, de la recherche et humilit´´ e.

Grand choix de conf´erences de l’IAP.

Attrait pour la recherche confirm´e.

Continuation en astrophysique ?

Remerciements : A. Cassan, C. Ranc, Jill C. (M2) et les doctorants et autres stagiaires de l’IAP.