Structures de donn´ees et algorithmes fondamentaux

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Structures de donn´ ees et algorithmes fondamentaux

R´ecursivit´e

Anthony Labarre

Universit´e Gustave Eiffel

4 novembre 2020

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Principes de base Algorithmes récursifs basiques Coût en temps et en mémoire des algorithmes récursifs Fonctions auxiliaires

Notion de r´ ecursivit´ e

La r´ ecursivit´ e est la propri´ et´ e que poss` ede un objet ou un concept de s’exprimer “en fonction de lui-mˆ eme”.

Exemple 1 (quelques objects r´ ecursifs)

niveau 0

niveau 1

niveau 2

niveau 3

I

matrioshka = poup´ ee contenant une matrioshka ;

I

fractale = ligne polygonale “fractalis´ ee” ;

(3)

Notion de r´ ecursivit´ e

La r´ ecursivit´ e est la propri´ et´ e que poss` ede un objet ou un concept de s’exprimer “en fonction de lui-mˆ eme”.

Exemple 1 (quelques objects r´ ecursifs)

niveau 0

niveau 1

niveau 2

niveau 3

I

matrioshka = poup´ ee contenant une matrioshka ;

I

fractale = ligne polygonale “fractalis´ ee” ;

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Notion de r´ ecursivit´ e

La r´ ecursivit´ e est la propri´ et´ e que poss` ede un objet ou un concept de s’exprimer “en fonction de lui-mˆ eme”.

Exemple 1 (quelques objects r´ ecursifs)

niveau 0

niveau 1

niveau 2

niveau 3

I

matrioshka = poup´ ee contenant une matrioshka ;

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Notion de r´ ecursivit´ e en algorithmique

Un algorithme est r´ ecursif s’il s’appelle lui-mˆ eme.

Exemple 2 ((mauvaise) fonction r´ ecursive)

def f(x):

a = f(2 * x - 17) return (5 * a + 18)

L’approche r´ ecursive est utile pour :

I

´ ecrire des algorithmes ;

I

d´ efinir des structures de donn´ ees (on en reparlera pour la r´ ecursivit´ e sur les it´ erables) ;

On parlera d’algorithme it´ eratif par opposition aux algorithmes r´ ecursifs.

5

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Exemple informel : recherche de fichiers

Cherchons l’emplacement d’un fichier dont on connaˆıt le nom.

L’algorithme de recherche s’exprime tr` es simplement de mani` ere r´ ecursive :

1.

si le fichier ` a chercher est dans le r´ epertoire actuel, on renvoie son chemin ;

2.

sinon, on effectue la

mˆ eme recherche dans les sous-r´ epertoires.

/ (24 sous-répertoires) /bin ( 1 sous-répertoires) /boot ( 3 sous-répertoires) /dev (20 sous-répertoires) /etc (83 sous-répertoires) /home ( 4 sous-répertoires) /lib (18 sous-répertoires) /lib32 ( 1 sous-répertoires) /lib64 ( 1 sous-répertoires) /lost+found ( 1 sous-répertoires) /media ( 3 sous-répertoires) /mnt ( 2 sous-répertoires) /opt ( 5 sous-répertoires) /proc (83 sous-répertoires) /root ( 1 sous-répertoires) ...

(7)

Fonctions r´ ecursives

Une fonction est r´ ecursive si son ex´ ecution peut conduire ` a sa propre invocation.

Sch´ ema d’une fonction r´ ecursive

def f(P): # P = liste de param`etres

# instructions (1)

x = f(Q) # appel avec d'autres param`etres

# instructions (2) return resultat

Le renvoi de valeur n’est pas obligatoire et d´ ependra bien sˆ ur du probl` eme ` a r´ esoudre : certaines fonctions r´ ecursives ne renvoient rien.

7

(8)

Conditions d’arrˆ et

“Une fonction est r´ ecursive si son ex´ ecution

peut

conduire ` a sa propre invocation.”

I

Comme avec les boucles, il est facile d’´ ecrire des fonctions qui ne s’arrˆ etent jamais ;

I

Il nous faut donc une condition d’arrˆ et, qui d´ etermine dans

quelle(s) situation(s) les appels r´ ecursifs doivent cesser ;

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Conditions d’arrˆ et

“Une fonction est r´ ecursive si son ex´ ecution

peut

conduire ` a sa propre invocation.”

I

Comme avec les boucles, il est facile d’´ ecrire des fonctions qui ne s’arrˆ etent jamais ;

I

Il nous faut donc une condition d’arrˆ et, qui d´ etermine dans quelle(s) situation(s) les appels r´ ecursifs doivent cesser ;

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Conditions d’arrˆ et

“Une fonction est r´ ecursive si son ex´ ecution

peut

conduire ` a sa propre invocation.”

I

Comme avec les boucles, il est facile d’´ ecrire des fonctions qui ne s’arrˆ etent jamais ;

I

Il nous faut donc une condition d’arrˆ et, qui d´ etermine dans

quelle(s) situation(s) les appels r´ ecursifs doivent cesser ;

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Conditions d’arrˆ et

Il faut bien sˆ ur aussi que la condition d’arrˆ et finisse par ˆ etre v´ erifi´ ee ! Pour ce faire, il faut que les appels r´ ecursifs utilisent d’autres param` etres que l’appel initial.

Exemple 3

Voici deux fonctions r´ ecursives visant ` a r´ ealiser la mˆ eme tˆ ache : Mauvaise fonction r´ ecursive Bonne fonction r´ ecursive

def f(n): # n naturel if n == 0:

print("!") else:

print("*", end="") f(n)

print("!") else:

print("*", end="") f(n-1)

La premi` ere fonction ne s’arrˆ ete jamais car si

n

ne vaut pas 0 au d´ ebut, il ne vaudra jamais 0.

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Conditions d’arrˆ et

Il faut bien sˆ ur aussi que la condition d’arrˆ et finisse par ˆ etre v´ erifi´ ee ! Pour ce faire, il faut que les appels r´ ecursifs utilisent d’autres param` etres que l’appel initial.

Exemple 3

Voici deux fonctions r´ ecursives visant ` a r´ ealiser la mˆ eme tˆ ache : Mauvaise fonction r´ ecursive Bonne fonction r´ ecursive

print("!") else:

print("*", end="") f(n)

print("!") else:

print("*", end="") f(n-1)

La premi` ere fonction ne s’arrˆ ete jamais car si

n

ne vaut pas 0 au

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Sch´ ema d’une fonction r´ ecursive correcte

Une fonction r´ ecursive correcte se pr´ esente donc comme suit : Sch´ ema d’une fonction r´ ecursive correcte

def f(P): # P = param`etre(s) if test(P): # condition d'arr^et

# bloc sans appel r´ecursif else:

# bloc avec appel(s) r´ecursif(s) sur des

# param`etres "plus simples"

La signification de “plus simple” d´ epend du contexte :

I

si

P

est un naturel et que la condition d’arrˆ et se base sur des petits nombres, alors

P⁰ <P

;

I

si

P

est une liste et que la condition d’arrˆ et v´ erifie si la liste est vide, alors

P⁰

est une liste plus petite ;

I . . .

13

(14)

Exemple 1 : nombres de Fibonacci

Pour rappel, le

n^`^eme

nombre de Fibonacci

Fn

est donn´ e par :

∀n ∈N

:

F_n

=

n

si

n≤

1,

Fn−1

+

Fn−2

sinon.

La d´ efinition de ces nombres est une r´ ecurrence, dont les cas de base correspondent ` a la condition d’arrˆ et. On obtient donc directement :

def fibo_rec(n): if n <= 1:

return n

return fibo_rec(n - 1) + fibo_rec(n - 2)

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Exemple 1 : nombres de Fibonacci

Pour rappel, le

n^`^eme

nombre de Fibonacci

Fn

est donn´ e par :

∀n ∈N

:

F_n

=

n

si

n≤

1,

Fn−1

+

Fn−2

sinon.

La d´ efinition de ces nombres est une r´ ecurrence, dont les cas de base correspondent ` a la condition d’arrˆ et.

On obtient donc directement :

return n

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Exemple 1 : nombres de Fibonacci

Pour rappel, le

n^`^eme

nombre de Fibonacci

Fn

est donn´ e par :

∀n ∈N

:

F_n

=

n

si

n≤

1,

Fn−1

+

Fn−2

sinon.

La d´ efinition de ces nombres est une r´ ecurrence, dont les cas de base correspondent ` a la condition d’arrˆ et. On obtient donc directement :

def fibo_rec(n):

if n <= 1:

return n

(17)

Conception d’algorithmes r´ ecursifs basiques

En g´ en´ eral, le probl` eme ` a r´ esoudre n’est pas exprim´ e de mani` ere r´ ecursive ; on doit donc :

1.

trouver une formulation r´ ecursive ;

I si je connais la solution pour une valeur plus “petite / simple / ...”, comment l’utiliser pour r´esoudre mon probl`eme ?

2.

trouver une ou plusieurs conditions d’arrˆ et ;

I dans quels cas puis-je r´esoudre directement le probl`eme ? (liste vide ou petite, valeur dennulle ou petite, ...)

3.

et seulement apr` es, traduire le raisonnement en un algorithme.

Illustrons cette m´ ethode sur quelques exemples.

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Conception d’algorithmes r´ ecursifs basiques

En g´ en´ eral, le probl` eme ` a r´ esoudre n’est pas exprim´ e de mani` ere r´ ecursive ; on doit donc :

1.

trouver une formulation r´ ecursive ;

2.

trouver une ou plusieurs conditions d’arrˆ et ;

3.

et seulement apr` es, traduire le raisonnement en un algorithme.

Illustrons cette m´ ethode sur quelques exemples.

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Conception d’algorithmes r´ ecursifs basiques

En g´ en´ eral, le probl` eme ` a r´ esoudre n’est pas exprim´ e de mani` ere r´ ecursive ; on doit donc :

1.

trouver une formulation r´ ecursive ;

2.

trouver une ou plusieurs conditions d’arrˆ et ;

3.

et seulement apr` es, traduire le raisonnement en un algorithme.

Illustrons cette m´ ethode sur quelques exemples.

19

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Conception d’algorithmes r´ ecursifs basiques

En g´ en´ eral, le probl` eme ` a r´ esoudre n’est pas exprim´ e de mani` ere r´ ecursive ; on doit donc :

1.

trouver une formulation r´ ecursive ;

2.

trouver une ou plusieurs conditions d’arrˆ et ;

3.

et seulement apr` es, traduire le raisonnement en un algorithme.

Illustrons cette m´ ethode sur quelques exemples.

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Conception d’algorithmes r´ ecursifs basiques

En g´ en´ eral, le probl` eme ` a r´ esoudre n’est pas exprim´ e de mani` ere r´ ecursive ; on doit donc :

1.

trouver une formulation r´ ecursive ;

2.

trouver une ou plusieurs conditions d’arrˆ et ;

3.

et seulement apr` es, traduire le raisonnement en un algorithme.

Illustrons cette m´ ethode sur quelques exemples.

21

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Conception d’algorithmes r´ ecursifs basiques

En g´ en´ eral, le probl` eme ` a r´ esoudre n’est pas exprim´ e de mani` ere r´ ecursive ; on doit donc :

1.

trouver une formulation r´ ecursive ;

2.

trouver une ou plusieurs conditions d’arrˆ et ;

3.

et seulement apr` es, traduire le raisonnement en un algorithme.

Illustrons cette m´ ethode sur quelques exemples.

(23)

Exemple 2 : factorielle r´ ecursive

La factorielle de

n ∈N

est

n! =n×

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1, avec le cas particulier 0! = 1.

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

n! =n×

=(n−1)!

z }| {

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1 =

n×

(n

−

1)!

2.

trouver une condition d’arrˆ et : voir la d´ efinition : si

n ≤

1, alors

n! = 1.

On peut donc r´ e´ ecrire la d´ efinition de mani` ere r´ ecursive :

∀n ∈N

:

n! =

1 si

n≤

1,

n×

(n

−

1)! sinon.

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Exemple 2 : factorielle r´ ecursive

La factorielle de

n ∈N

est

n! =n×

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1, avec le cas particulier 0! = 1.

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

n! =n×

=(n−1)!

z }| {

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1 =

n×

(n

−

1)!

2.

trouver une condition d’arrˆ et : voir la d´ efinition : si

n ≤

1, alors

n! = 1.

On peut donc r´ e´ ecrire la d´ efinition de mani` ere r´ ecursive :

∀n ∈N

:

n! =

1 si

n≤

1,

n×

(n

−

1)! sinon.

(25)

Exemple 2 : factorielle r´ ecursive

La factorielle de

n ∈N

est

n! =n×

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1, avec le cas particulier 0! = 1.

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

n! =n×

=(n−1)!

z }| {

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1 =

n×

(n

−

1)!

2.

trouver une condition d’arrˆ et : voir la d´ efinition : si

n ≤

1, alors

n! = 1.

On peut donc r´ e´ ecrire la d´ efinition de mani` ere r´ ecursive :

∀n ∈N

:

n! =

1 si

n≤

1,

n×

(n

−

1)! sinon.

25

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Exemple 2 : factorielle r´ ecursive

La factorielle de

n ∈N

est

n! =n×

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1, avec le cas particulier 0! = 1.

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

n! =n×

=(n−1)!

z }| {

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1 =

n×

(n

−

1)!

2.

trouver une condition d’arrˆ et : voir la d´ efinition : si

n ≤

1, alors

n! = 1.

On peut donc r´ e´ ecrire la d´ efinition de mani` ere r´ ecursive :

∀n ∈N

:

n! =

1 si

n≤

1,

n×

(n

−

1)! sinon.

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Exemple 2 : factorielle r´ ecursive

La factorielle de

n ∈N

est

n! =n×

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1, avec le cas particulier 0! = 1.

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

n! =n×

=(n−1)!

z }| {

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1 =

n×

(n

−

1)!

2.

trouver une condition d’arrˆ et : voir la d´ efinition : si

n ≤

1, alors

n! = 1.

On peut donc r´ e´ ecrire la d´ efinition de mani` ere r´ ecursive :

∀n ∈N

:

n! =

1 si

n≤

1,

n×

(n

−

1)! sinon.

27

(28)

Exemple 2 : factorielle r´ ecursive

La factorielle de

n ∈N

est

n! =n×

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1, avec le cas particulier 0! = 1.

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

n! =n×

=(n−1)!

z }| {

(n

−

1)

×

(n

−

2)

× · · · ×

2

×

1 =

n×

(n

−

1)!

2.

trouver une condition d’arrˆ et : voir la d´ efinition : si

n ≤

1, alors

n! = 1. On peut donc r´

e´ ecrire la d´ efinition de mani` ere r´ ecursive :

∀n ∈N

:

n! =

1 si

n≤

1,

n×

(n

−

1)! sinon.

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Exemple 2 : factorielle r´ ecursive

∀ n∈N

:

n! =

1 si

n ≤

1,

n×

(n

−

1)! sinon.

Une fois le travail r´ ealis´ e, il n’y a plus qu’` a traduire la d´ efinition r´ ecursive en code :

def facto_rec(n):

"""Renvoie la factorielle du naturel n."""

if n <= 1:

return 1

return n * facto_rec(n - 1)

29

(30)

Exemple 3 : puissance r´ ecursive

On a d´ ej` a vu comment calculer

aⁿ

de mani` ere it´ erative dans le cas o` u

n∈N. Pour pouvoir calculer ce nombre de mani`

ere r´ ecursive, appliquons la m´ ethodologie que l’on a suivie dans le cas de la factorielle :

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

aⁿ

=

n

facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×

n−

1 facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×aⁿ⁻¹

2.

trouver une condition d’arrˆ et : le plus petit naturel est

n

= 0, auquel cas

aⁿ

= 1.

On obtient

∀ a∈R,∀n ∈N

:

aⁿ

=

1 si

n

= 0,

a×aⁿ⁻¹

sinon.

(31)

Exemple 3 : puissance r´ ecursive

On a d´ ej` a vu comment calculer

aⁿ

de mani` ere it´ erative dans le cas o` u

ere r´ ecursive, appliquons la m´ ethodologie que l’on a suivie dans le cas de la factorielle :

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

aⁿ

=

n

facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×

n−

1 facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×aⁿ⁻¹

2.

trouver une condition d’arrˆ et : le plus petit naturel est

n

= 0, auquel cas

aⁿ

= 1.

On obtient

∀ a∈R,∀n ∈N

:

aⁿ

=

1 si

n

= 0,

a×aⁿ⁻¹

sinon.

31

(32)

Exemple 3 : puissance r´ ecursive

On a d´ ej` a vu comment calculer

aⁿ

de mani` ere it´ erative dans le cas o` u

ere r´ ecursive, appliquons la m´ ethodologie que l’on a suivie dans le cas de la factorielle :

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

aⁿ

=

n

facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×

n−

1 facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×aⁿ⁻¹

2.

trouver une condition d’arrˆ et : le plus petit naturel est

n

= 0, auquel cas

aⁿ

= 1.

On obtient

∀ a∈R,∀n ∈N

:

aⁿ

=

1 si

n

= 0,

a×aⁿ⁻¹

sinon.

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Exemple 3 : puissance r´ ecursive

On a d´ ej` a vu comment calculer

aⁿ

de mani` ere it´ erative dans le cas o` u

ere r´ ecursive, appliquons la m´ ethodologie que l’on a suivie dans le cas de la factorielle :

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

aⁿ

=

n

facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×

n−

1 facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×aⁿ⁻¹

2.

trouver une condition d’arrˆ et : le plus petit naturel est

n

= 0, auquel cas

aⁿ

= 1.

On obtient

∀ a∈R,∀n ∈N

:

aⁿ

=

1 si

n

= 0,

a×aⁿ⁻¹

sinon.

33

(34)

Exemple 3 : puissance r´ ecursive

On a d´ ej` a vu comment calculer

aⁿ

de mani` ere it´ erative dans le cas o` u

ere r´ ecursive, appliquons la m´ ethodologie que l’on a suivie dans le cas de la factorielle :

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

aⁿ

=

n

facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×

n−

1 facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×aⁿ⁻¹

2.

trouver une condition d’arrˆ et : le plus petit naturel est

n

= 0, auquel cas

aⁿ

= 1.

On obtient

∀ a∈R,∀n ∈N

:

aⁿ

=

1 si

n

= 0,

a×aⁿ⁻¹

sinon.

(35)

Exemple 3 : puissance r´ ecursive

On a d´ ej` a vu comment calculer

aⁿ

de mani` ere it´ erative dans le cas o` u

ere r´ ecursive, appliquons la m´ ethodologie que l’on a suivie dans le cas de la factorielle :

1.

trouver une formulation r´ ecursive : remarquons que :

aⁿ

=

n

facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×

n−

1 facteurs

z }| {

a×a× · · · ×a

=

a×aⁿ⁻¹

2.

trouver une condition d’arrˆ et : le plus petit naturel est

n

= 0, auquel cas

aⁿ

= 1. On obtient

∀ a∈R,∀n ∈N

:

aⁿ

=

1 si

n

= 0,

a×aⁿ⁻¹

sinon.

35

(36)

Exemple 3 : puissance r´ ecursive

∀a∈R,∀ n∈N

:

aⁿ

=

1 si

n

= 0,

a×aⁿ⁻¹

sinon.

On d´ eduit facilement le code ` a ´ ecrire de la d´ efinition que l’on vient d’obtenir :

def puiss_rec(a, n):

"""Renvoie le réel a élevé à la puissance naturelle n."""

if n == 0:

return 1

return a * puiss_rec(a, n - 1)

(37)

Complexit´ e des algorithmes r´ ecursifs

I

On sait comment calculer la complexit´ e des algorithmes it´ eratifs ; que faire pour les algorithmes r´ ecursifs ?

I

Les r` egles ne changent pas ; on remplace le nombre

“d’it´ erations” par le nombre d’appels r´ ecursifs ;

def facto_rec(n): if n <= 1:

return 1

def puiss_rec(a, n): if n == 0:

return 1

. . . et pour Fibonacci ?

return n

37

(38)

Complexit´ e des algorithmes r´ ecursifs

I

On sait comment calculer la complexit´ e des algorithmes it´ eratifs ; que faire pour les algorithmes r´ ecursifs ?

I

Les r` egles ne changent pas ; on remplace le nombre

“d’it´ erations” par le nombre d’appels r´ ecursifs ;

def facto_rec(n): if n <= 1:

return 1

. . . et pour Fibonacci ?

return n

(39)

Complexit´ e des algorithmes r´ ecursifs

I

On sait comment calculer la complexit´ e des algorithmes it´ eratifs ; que faire pour les algorithmes r´ ecursifs ?

I

Les r` egles ne changent pas ; on remplace le nombre

“d’it´ erations” par le nombre d’appels r´ ecursifs ;

def facto_rec(n):

if n <= 1:

return 1

. . . et pour Fibonacci ?

return n

39

(40)

Complexit´ e des algorithmes r´ ecursifs

I

On sait comment calculer la complexit´ e des algorithmes it´ eratifs ; que faire pour les algorithmes r´ ecursifs ?

I

Les r` egles ne changent pas ; on remplace le nombre

“d’it´ erations” par le nombre d’appels r´ ecursifs ;

def facto_rec(n):

if n <= 1:

return 1

if n == 0:

return 1

. . . et pour Fibonacci ?

return n

(41)

Complexit´ e des algorithmes r´ ecursifs

I

On sait comment calculer la complexit´ e des algorithmes it´ eratifs ; que faire pour les algorithmes r´ ecursifs ?

I

Les r` egles ne changent pas ; on remplace le nombre

“d’it´ erations” par le nombre d’appels r´ ecursifs ;

def facto_rec(n):

if n <= 1:

return 1

if n == 0:

return 1

. . . et pour Fibonacci ?

def fibo_rec(n):

if n <= 1:

return n

41

(42)

Arbres d’appels

L’arbre d’appelsd’une fonction contient :

I un nœud par appel ;

I un lien de chaque appel vers tous ceux qu’il d´eclenche.

Le nombre de nœuds permet d’évaluer la complexité de la fonction récursive.

Exemple 4 (arbre d’appels de fibo_rec(5))

fiboR(5)

fiboR(4)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0) fiboR(1)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(1)

Chaque appel en d´eclenche deux⇒O(2ⁿ) !

(43)

Arbres d’appels

L’arbre d’appelsd’une fonction contient : I un nœud par appel ;

Exemple 4 (arbre d’appels de fibo_rec(5))

fiboR(5)

fiboR(4)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(1)

43

(44)

Arbres d’appels

Exemple 4 (arbre d’appels de fibo_rec(5))

fiboR(5)

fiboR(4)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(1)

(45)

Arbres d’appels

Exemple 4 (arbre d’appels de fibo_rec(5))

fiboR(5)

fiboR(4)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(1)

45

(46)

Arbres d’appels

Exemple 4 (arbre d’appels de fibo_rec(5))

fiboR(5)

fiboR(4)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(1)

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Arbres d’appels

Exemple 4 (arbre d’appels de fibo_rec(5))

fiboR(5)

fiboR(4)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(3)

fiboR(2)

fiboR(1) fiboR(0)

fiboR(1)

47

(48)

Contextes et pile d’appels

Lecontexted’une fonction est l’ensemble des variables (et de leurs valeurs) qu’elle utilise.

Lorsqu’on appelle une fonction, on interrompt le flux du programme :

d´ebut

appel

ex´ecution de la fonction

retour

I Pour revenir au point de départ, il faut sauvegarder les données et l’état ; I Ces données se retrouvent sur lapile d’appels;

I Chaque appel (r´ecursif ou non) empile un contexte ... I ... et a donc un impact direct sur la complexit´e spatiale ;

(49)

Contextes et pile d’appels

Lecontexted’une fonction est l’ensemble des variables (et de leurs valeurs) qu’elle utilise. Lorsqu’on appelle une fonction, on interrompt le flux du programme :

d´ebut

appel

retour

49

(50)

Contextes et pile d’appels

d´ebut

appel

retour

(51)

Contextes et pile d’appels

d´ebut

appel

retour

51

(52)

Contextes et pile d’appels

d´ebut

appel

retour

(53)

Contextes et pile d’appels

d´ebut

appel

retour

I Pour revenir au point de départ, il faut sauvegarder les données et l’état ;

I Ces données se retrouvent sur lapile d’appels; I Chaque appel (récursif ou non) empile un contexte ... I ... et a donc un impact direct sur la complexité spatiale ;

53

(54)

Contextes et pile d’appels

d´ebut

appel

retour

(55)

Contextes et pile d’appels

d´ebut

appel

retour

I Chaque appel (r´ecursif ou non) empile un contexte ...

I ... et a donc un impact direct sur la complexit´e spatiale ;

55

(56)

Contextes et pile d’appels

d´ebut

appel

retour

(57)

Impact des appels r´ ecursifs sur la pile d’appels

d´ebut

appel 1

retour 1

appel 2

retour 2

appel 3

retour 3

. . .

pr´e appel 1

pr´e appel 2 pr´e appel 3

.. .

Les fonctions

facto_rec

et

puiss_rec

consomment donc un espace m´ emoire en

O

(n) ... et la consommation de

fibo_rec

est en

O(2ⁿ

).

57

(58)

Impact des appels r´ ecursifs sur la pile d’appels

d´ebut appel 1

retour 1

appel 2

retour 2

appel 3

retour 3

. . .

pr´e appel 1

.. .

Les fonctions

facto_rec

et

puiss_rec

consomment donc un

espace m´ emoire en

O

(n) ... et la consommation de

fibo_rec

est

en

O(2ⁿ

).

(59)

Impact des appels r´ ecursifs sur la pile d’appels

d´ebut appel 1

retour 1

appel 2

retour 2

appel 3

retour 3

. . .

pr´e appel 3

.. .

Les fonctions

facto_rec

et

puiss_rec

consomment donc un espace m´ emoire en

O

(n) ... et la consommation de

fibo_rec

est en

O(2ⁿ

).

59

(60)

Impact des appels r´ ecursifs sur la pile d’appels

d´ebut appel 1

retour 1

appel 2

retour 2

appel 3

retour 3

. . .

pr´e appel 3

.. .

Les fonctions

facto_rec

et

puiss_rec

consomment donc un

espace m´ emoire en

O

(n) ... et la consommation de

fibo_rec

est

en

O(2ⁿ

).

(61)

Impact des appels r´ ecursifs sur la pile d’appels

d´ebut appel 1

retour 1

appel 2

retour 2

appel 3

retour 3

. . .

pré appel 1 pré appel 2 pré appel 3

.. .

Les fonctions

facto_rec

et

puiss_rec

consomment donc un espace m´ emoire en

O

(n) ... et la consommation de

fibo_rec

est en

O(2ⁿ

).

61

(62)

Impact des appels r´ ecursifs sur la pile d’appels

d´ebut appel 1

retour 1

appel 2

retour 2

appel 3

retour 3

. . .

.. .

Les fonctions

facto_rec

et

puiss_rec

consomment donc un

espace m´ emoire en

O

(n) ... et la consommation de

fibo_rec

est

en

O(2ⁿ

).

(63)

Impact des appels r´ ecursifs sur la pile d’appels

d´ebut appel 1

retour 1

appel 2

retour 2

appel 3

retour 3

. . .

.. .

Les fonctions

facto_rec

et

puiss_rec

consomment donc un espace m´ emoire en

O

(n) ... et la consommation de

fibo_rec

est en

O(2ⁿ

).

63

(64)

Nombre limit´ e d’appels r´ ecursifs

I

La pile d’appels poss` ede une taille limit´ ee ;

I

Donc Python limite le nombre d’appels r´ ecursifs que l’on peut effectuer ;

Exemple 5 (trop d’appels r´ ecursifs)

facto_rec

s’ex´ ecute sans probl` eme ... jusqu’` a une certaine valeur :

>>> facto_rec(997)

# ok, le r´esultat s'affiche

>>> facto_rec(998)

...

RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

Cette erreur survient quand :

I

le code est correct mais le nombre d’appels r´ ecursifs est trop grand ;

I

les appels r´ ecursifs sont “infinis” ; dans ce cas, v´ erifiez vos

conditions d’arrˆ et et vos appels r´ ecursifs ;

(65)

Nombre limit´ e d’appels r´ ecursifs

I

La pile d’appels poss` ede une taille limit´ ee ;

I

Donc Python limite le nombre d’appels r´ ecursifs que l’on peut effectuer ;

Exemple 5 (trop d’appels r´ ecursifs)

facto_rec

s’ex´ ecute sans probl` eme ... jusqu’` a une certaine valeur :

>>> facto_rec(997)

>>> facto_rec(998)

...

Cette erreur survient quand :

I

le code est correct mais le nombre d’appels r´ ecursifs est trop grand ;

I

les appels r´ ecursifs sont “infinis” ; dans ce cas, v´ erifiez vos conditions d’arrˆ et et vos appels r´ ecursifs ;

65

(66)

Nombre limit´ e d’appels r´ ecursifs

I

La pile d’appels poss` ede une taille limit´ ee ;

I

Donc Python limite le nombre d’appels r´ ecursifs que l’on peut effectuer ;

Exemple 5 (trop d’appels r´ ecursifs)

facto_rec

s’ex´ ecute sans probl` eme ... jusqu’` a une certaine valeur :

>>> facto_rec(997)

>>> facto_rec(998)

...

Cette erreur survient quand :

I

le code est correct mais le nombre d’appels r´ ecursifs est trop grand ;

I

les appels r´ ecursifs sont “infinis” ; dans ce cas, v´ erifiez vos

conditions d’arrˆ et et vos appels r´ ecursifs ;

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Nombre limit´ e d’appels r´ ecursifs

I

La pile d’appels poss` ede une taille limit´ ee ;

I

Donc Python limite le nombre d’appels r´ ecursifs que l’on peut effectuer ;

Exemple 5 (trop d’appels r´ ecursifs)

facto_rec

s’ex´ ecute sans probl` eme ... jusqu’` a une certaine valeur :

>>> facto_rec(997)

>>> facto_rec(998)

...

Cette erreur survient quand :

I

le code est correct mais le nombre d’appels r´ ecursifs est trop grand ;

I

les appels r´ ecursifs sont “infinis” ; dans ce cas, v´ erifiez vos conditions d’arrˆ et et vos appels r´ ecursifs ;

67

(68)

Nombre limit´ e d’appels r´ ecursifs

I

La pile d’appels poss` ede une taille limit´ ee ;

I

Donc Python limite le nombre d’appels r´ ecursifs que l’on peut effectuer ;

Exemple 5 (trop d’appels r´ ecursifs)

facto_rec

s’ex´ ecute sans probl` eme ... jusqu’` a une certaine valeur :

>>> facto_rec(997)

>>> facto_rec(998)

...

Cette erreur survient quand :

I

le code est correct mais le nombre d’appels r´ ecursifs est trop grand ;

I

les appels r´ ecursifs sont “infinis” ; dans ce cas, v´ erifiez vos

conditions d’arrˆ et et vos appels r´ ecursifs ;

(69)

Nombre limit´ e d’appels r´ ecursifs

I

La pile d’appels poss` ede une taille limit´ ee ;

I

Donc Python limite le nombre d’appels r´ ecursifs que l’on peut effectuer ;

Exemple 5 (trop d’appels r´ ecursifs)

facto_rec

s’ex´ ecute sans probl` eme ... jusqu’` a une certaine valeur :

>>> facto_rec(997)

>>> facto_rec(998)

...

Cette erreur survient quand :

I

le code est correct mais le nombre d’appels r´ ecursifs est trop grand ;

I

les appels r´ ecursifs sont “infinis” ; dans ce cas, v´ erifiez vos conditions d’arrˆ et et vos appels r´ ecursifs ;

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(70)

Fonctions auxiliaires

I

Il est parfois utile de disposer d’une fonction auxiliaire pour

“cacher” la r´ ecursivit´ e ;

I

Elle sera utile :

I quand il est n´ecessaire de distinguer l’appel initial des appels r´ecursifs ;

I quand on aura besoin de paramètres supplémentaires qu’on ne veut pas demander à l’utilisateur

Exemple 6

def fonction_auxiliaire(parametres_originaux):

# initialisation de param`etres suppl´ementaires fonction_recursive(

parametres_originaux, parametres_supplementaires )

Ce concept nous servira surtout pour la r´ ecursivit´ e sur des

it´ erables.

(71)

Fonctions auxiliaires

I

Il est parfois utile de disposer d’une fonction auxiliaire pour

“cacher” la r´ ecursivit´ e ;

I

Elle sera utile :

Exemple 6

Ce concept nous servira surtout pour la r´ ecursivit´ e sur des it´ erables.

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(72)

Fonctions auxiliaires

I

Il est parfois utile de disposer d’une fonction auxiliaire pour

“cacher” la r´ ecursivit´ e ;

I

Elle sera utile :

Exemple 6

Ce concept nous servira surtout pour la r´ ecursivit´ e sur des

it´ erables.

(73)

Fonctions auxiliaires

I

Il est parfois utile de disposer d’une fonction auxiliaire pour

“cacher” la r´ ecursivit´ e ;

I

Elle sera utile :

Exemple 6

Ce concept nous servira surtout pour la r´ ecursivit´ e sur des it´ erables.

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