DUT Info Structures de donn´ ees et algorithmes fondamentaux 2020–2021

DUT Info Structures de donn´ ees et algorithmes fondamentaux 2020–2021

TP 1 - Complexit´ e

L’objectif de ce TP est de comparer les performances de divers algorithmes en th´ eorie et en pratique dans des cas simples. Pour ce faire, outre les complexit´ es, il faut ´ egalement tester les programmes sur des donn´ ees suffisamment grandes. Prenez garde cependant ` a commencer par de petites valeurs, pour d´ etecter d’une part ` a partir d’o` u on commence ` a observer des diff´ erences, et pour ´ eviter d’autre part de planter votre machine.

Pr´ erequis: R´ ecup´ erez sur la page du cours le fichier complexite_matplotlib.py.

Ce fichier contient une fonction tracer(nom_fichier, *listes_et_titres), que vous utiliserez tout au long du TP et que vous rendrez une fois compl´ et´ e apr` es l’avoir renomm´ e.

Cette fonction prend en param` etres un nom de fichier, des listes de donn´ ees et des titres (sans caract` eres sp´ eciaux (’, “, ...)), et a pour effet de:

1. tracer

un graphique comportant une courbe par jeu de donn´ ees, en associant ` a chaque courbe le titre qui suit les donn´ ees;

2. sauver ce graphique sous la forme d’une image nomm´ ee nom_fichier.png dans le r´ epertoire contenant complexite.py.

Le graphique ci-dessous, par exemple, a ´ et´ e produit ` a l’aide de l’instruction:

tracer("essai", [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81], "x^2", [0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729], "x^3")

1

Cette fonction utilise le module matplotlib, il faut donc veiller ` a l’installer si vous travaillez sur une autre machine que celles de l’IUT.

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DUT Info Structures de donn´ ees et algorithmes fondamentaux 2020–2021 Exercice 1. Op´ erations sur les listes

1. ´ Ecrivez deux fonctions range_append(n) et range_insert(n), qui renvoient toutes deux la liste [1, 2, ..., n] mais construite diff´ eremment: range_append(n) ajoutera les nombres dans l’ordre croissant en fin de liste, et range_insert(n) ajoutera les nombres de mani` ere d´ ecroissante en d´ ebut de liste. D’apr` es vous, quelle fonction s’ex´ ecutera le plus rapidement?

2. ´ Ecrivez un programme utilisant la fonction tracer pour produire un graphique comparant la croissance du temps d’ex´ ecution de ces deux fonctions sur base de la croissance de n. On effectuera un appel ` a chacune des deux fonctions pour chaque valeur de n jusqu’` a une certaine borne fix´ ee (par exemple 1 000).

3. Les r´ esultats obtenus correspondent-ils ` a vos attentes? Justifiez votre r´ eponse en calculant la complexit´ e des deux fonctions.

4. ´ Ecrivez deux fonctions range_plus_fin(n) et range_plus_debut(n), qui ren- voient toutes deux la liste [1, 2, ..., n] construite en utilisant la concat´ enation de listes (le +): range_plus_fin(n) ajoutera les nombres dans l’ordre croissant en fin de liste, tandis que range_plus_debut(n) ajoutera les nombres de mani` ere d´ ecroissante en d´ ebut de liste. D’apr` es vous, quelle fonction s’ex´ ecutera le plus rapidement? Attention: n’utilisez pas la notation raccourcie lst += [i]!

5. Ajoutez ` a votre programme ce qu’il faut pour produire un graphique comparant la croissance du temps d’ex´ ecution des quatres fonctions pr´ ec´ edentes.

6. Les r´ esultats obtenus correspondent-ils ` a vos attentes? Justifiez votre r´ eponse en calculant la complexit´ e des deux derni` eres fonctions.

Exercice 2. Temps d’ex´ ecution des op´ erations basiques

Les op´ erations arithm´ etiques consomment plus ou moins de temps en Python selon leur type et celui de leurs op´ erandes.

1. ´ Ecrivez trois fonctions additions(n), divisions(n) et multiplications(n), qui renvoient respectivement la somme, le quotient et le produit de n r´ eels al´ eatoires non nuls (g´ en´ er´ es ` a l’aide de la fonction random() du module random). Quelle est la complexit´ e de chacune de ces fonctions?

2. ´ Ecrivez un programme utilisant la fonction tracer pour produire un graphique comparant le temps d’ex´ ecution de n additions, divisions et multiplications. Il est recommand´ e de commencer les tests avec des valeurs de n relativement petites (100, 200, . . .), et d’augmenter progressivement ces valeurs.

3. Que peut-on dire des courbes r´ esultantes? En particulier, correspondent-elles bien

`

a vos estimations th´ eoriques?

4. ´ Ecrivez trois fonctions que vous appellerez respectivement additions_int(n, b), divisions_int(n, b) et multiplications_int(n, b), analogues aux trois fonc- tions ci-dessus mais effectuant cette fois-ci leurs op´ erations sur des entiers al´ eatoires entre 1 et b (g´ en´ er´ es ` a l’aide de la fonction randint()). Quelle est la complexit´ e de chacune de ces fonctions?

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DUT Info Structures de donn´ ees et algorithmes fondamentaux 2020–2021 5. Compl´ etez votre programme pour qu’il utilise la fonction tracer pour produire un graphique comparant le temps d’ex´ ecution de ces trois nouvelles fonctions, comme dans la question 2.

6. Compl´ etez votre programme pour qu’il compare, sur un mˆ eme graphique, le temps d’ex´ ecution des six fonctions que vous avez ´ ecrites. Remarquez-vous des diff´ erences avec les temps d’ex´ ecution des fonctions traitant des r´ eels? Comment les expliquez- vous?

Exercice 3. Nombres premiers

Pour rappel, un nombre naturel est premier s’il poss` ede exactement deux diviseurs, ` a savoir 1 et lui-mˆ eme (donc 0 et 1 ne sont pas premiers, mais 2 oui). La page suivante:

http://primes.utm.edu/nthprime/ recense quelques-uns de ces nombres premiers.

1. ´ Ecrivez une fonction premier1(n) renvoyant True si le naturel n donn´ e est premier et False sinon, en cherchant un diviseur entre 2 et n − 1.

2. On peut am´ eliorer l’algorithme pr´ ec´ edent en remarquant que le seul nombre premier pair est 2, et en ne cherchant donc que les diviseurs impairs de n. Impl´ ementez cette am´ elioration dans une autre fonction premier2(n).

3. Une autre am´ elioration, moins ´ evidente, se base sur le fait que si un naturel n peut s’exprimer comme le produit des nombres a et b, alors min(a, b) ≤ √

n (en effet, si les deux facteurs ´ etaient sup´ erieurs ` a √

n, alors leur produit serait sup´ erieur ` a n).

(a) int´ egrez cette am´ elioration ` a la fonction premier1(n) dans une nouvelle fonc- tion premier3(n);

(b) int´ egrez cette am´ elioration ` a la fonction premier2(n) dans une nouvelle fonc- tion premier4(n).

4. Compl´ etez votre programme afin qu’il utilise la fonction tracer pour produire un graphique comparant les temps totaux d’ex´ ecution de vos fonctions, pour des valeurs croissantes du nombre k de bits dans les entiers g´ en´ er´ es. Le nombre p d’ex´ ecutions sera le mˆ eme pour chaque valeur de k. Pour obtenir un entier al´ eatoire sur k (≥ 1) bits, on utilise la fonction getrandbits(k) du module random.

Afin d’obtenir des graphiques interpr´ etables, on vous recommande de ne pas d´ epas- ser 80 pour p et 16 pour k.

5. Constatez-vous des diff´ erences dans le temps d’ex´ ecution de ces fonctions? Dans quels cas, et ` a partir de quelles valeurs?

6. Donnez la complexit´ e de chacune des fonctions impl´ ement´ ees. Les r´ esultats que vous obtenez en pratique vous semblent-ils coh´ erents par rapport ` a la th´ eorie?

7. Quel est le cas qui prendra le plus de temps ` a v´ erifier?

8. Faites quelques tests en ne comparant que premier3 et premier4. Obtenez-vous des diff´ erences frappantes?

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