Structures de donn´ees et algorithmes fondamentaux

Texte intégral

(1)Structures de données et algorithmes fondamentaux Algorithmes de tri. Anthony Labarre Université Gustave Eiffel. 25 novembre 2020.

(2) Rappels. I On a vu deux algorithmes de tri : 1. le tri par insertion ; 2. le tri par sélection ;. I Ces algorithmes basiques sont en O(n2 ) ; I On va voir aujourd’hui deux algorithmes plus performants ;.

(3) Le tri par énumération. I Rappels :. 3.

(4) Le tri par énumération. I Rappels : 1. la fonction enumerer(liste) renvoie en O(n + V ) le nombre d’occurrences de chaque naturel ≤ V d’une liste de taille n ;. 4.

(5) Le tri par énumération. I Rappels : 1. la fonction enumerer(liste) renvoie en O(n + V ) le nombre d’occurrences de chaque naturel ≤ V d’une liste de taille n ; 2. le parcours des positions de l’énumération nous donne les nombres de départ dans l’ordre croissant ;. 5.

(6) Le tri par énumération. I Rappels : 1. la fonction enumerer(liste) renvoie en O(n + V ) le nombre d’occurrences de chaque naturel ≤ V d’une liste de taille n ; 2. le parcours des positions de l’énumération nous donne les nombres de départ dans l’ordre croissant ;. I Il n’y a donc plus grand-chose à faire pour en tirer un algorithme de tri :. 6.

(7) Le tri par énumération. I Rappels : 1. la fonction enumerer(liste) renvoie en O(n + V ) le nombre d’occurrences de chaque naturel ≤ V d’une liste de taille n ; 2. le parcours des positions de l’énumération nous donne les nombres de départ dans l’ordre croissant ;. I Il n’y a donc plus grand-chose à faire pour en tirer un algorithme de tri : 1. énumérer la liste ;. 7.

(8) Le tri par énumération. I Rappels : 1. la fonction enumerer(liste) renvoie en O(n + V ) le nombre d’occurrences de chaque naturel ≤ V d’une liste de taille n ; 2. le parcours des positions de l’énumération nous donne les nombres de départ dans l’ordre croissant ;. I Il n’y a donc plus grand-chose à faire pour en tirer un algorithme de tri : 1. énumérer la liste ; 2. écraser le contenu de la liste en parcourant l’énumération obtenue ;. 8.

(9) Le tri par énumération en action. Exemple 1 (tri par énumération) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L = 72 2 5 6 7 10 8 4 8 10 5 2 4 8 2 8 2 6. 9.

(10) Le tri par énumération en action. Exemple 1 (tri par énumération) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 L = 72 2 5 6 7 10 8 4 8 10 5 2 4 8 2 8 2 6. C = 0 0 3 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. 10.











(21) Implémentation du tri par énumération I On utilise la fonction enumerer qu’on a déjà vue ; I Attention, il faut se rappeler où on en est dans la réécriture de la liste ; def tri_enumeration(T): """Trie la liste T par énumération.""" decalage = 0 for valeur, occurrences in enumerate(enumerer(T)): for i in range(occurrences): T[decalage + i] = valeur decalage += occurrences.

(22) Complexité du tri par énumération def tri_enumeration(T): """Trie la liste T par énumération.""" decalage = 0 for valeur, occurrences in enumerate(enumerer(T)): for i in range(occurrences): T[decalage + i] = valeur decalage += occurrences I enumerer(T) coûte O(n + V ) (avec V = max T ) ;. 22.

(23) Complexité du tri par énumération def tri_enumeration(T): """Trie la liste T par énumération.""" decalage = 0 for valeur, occurrences in enumerate(enumerer(T)): for i in range(occurrences): T[decalage + i] = valeur decalage += occurrences I enumerer(T) coûte O(n + V ) (avec V = max T ) ; I Attention : multiplier les complexités des for surestime grandement la complexité ;. 23.

(24) Complexité du tri par énumération def tri_enumeration(T): """Trie la liste T par énumération.""" decalage = 0 for valeur, occurrences in enumerate(enumerer(T)): for i in range(occurrences): T[decalage + i] = valeur decalage += occurrences I enumerer(T) coûte O(n + V ) (avec V = max T ) ; I Attention : multiplier les complexités des for surestime grandement la complexité ; I La somme des occurrences de tous les éléments vaut exactement n ;.

(25) Complexité du tri par énumération def tri_enumeration(T): """Trie la liste T par énumération.""" decalage = 0 for valeur, occurrences in enumerate(enumerer(T)): for i in range(occurrences): T[decalage + i] = valeur decalage += occurrences I enumerer(T) coûte O(n + V ) (avec V = max T ) ; I Attention : multiplier les complexités des for surestime grandement la complexité ; I La somme des occurrences de tous les éléments vaut exactement n ; I Complexité : O(n + V ) ; 25.

(26) Le tri fusion. I La récursivité nous permet de décrire de manière relativement simple un nouvel algorithme de tri : le tri (par) fusion ;.

(27) Le tri fusion. I La récursivité nous permet de décrire de manière relativement simple un nouvel algorithme de tri : le tri (par) fusion ; I C’est un exemple d’application de la stratégie “diviser pour régner” ;.

(28) Le tri fusion. I La récursivité nous permet de décrire de manière relativement simple un nouvel algorithme de tri : le tri (par) fusion ; I C’est un exemple d’application de la stratégie “diviser pour régner” ; I Idée : pour trier une liste, il suffit de :. 28.

(29) Le tri fusion. I La récursivité nous permet de décrire de manière relativement simple un nouvel algorithme de tri : le tri (par) fusion ; I C’est un exemple d’application de la stratégie “diviser pour régner” ; I Idée : pour trier une liste, il suffit de : 1. trier ses deux moitiés séparément, puis.

(30) Le tri fusion. I La récursivité nous permet de décrire de manière relativement simple un nouvel algorithme de tri : le tri (par) fusion ; I C’est un exemple d’application de la stratégie “diviser pour régner” ; I Idée : pour trier une liste, il suffit de : 1. trier ses deux moitiés séparément, puis 2. les fusionner en une liste triée..

(31) Le tri fusion. I La récursivité nous permet de décrire de manière relativement simple un nouvel algorithme de tri : le tri (par) fusion ; I C’est un exemple d’application de la stratégie “diviser pour régner” ; I Idée : pour trier une liste, il suffit de : 1. trier ses deux moitiés séparément, puis 2. les fusionner en une liste triée.. I Les découpes se poursuivent récursivement jusqu’à ce qu’elles ne soient plus possible (donc quand la liste contient au plus un élément)..

(32) Exemple ['T', 'R', 'I', 'F', 'U', 'S', 'I', 'O', 'N']. ['T', 'R', 'I', 'F', 'U'] découpes récursives. ['T', 'R', 'I'] ['F', 'U']. ['T', 'R'] ['I']['F']. ['T']. ['S', 'I']. ['O', 'N']. ['U']['S']. ['I']['O']. ['N']. ['U']['S']. ['I']['O']. ['N']. ['R']. ['R', 'T'] ['I']['F'] fusions triées. ['S', 'I', 'O', 'N']. ['I', 'R', 'T'] ['F', 'U']. ['F', 'I', 'R', 'T', 'U']. ['I', 'S']. ['N', 'O']. ['I', 'N', 'O', 'S']. ['F', 'I', 'I', 'N', 'O', 'R', 'S', 'T', 'U'] 32.









(41) Le tri I Conditions de base : si la liste contient moins de deux éléments, il n’y a rien à faire ;.

(42) Le tri I Conditions de base : si la liste contient moins de deux éléments, il n’y a rien à faire ; I Sinon :.

(43) Le tri I Conditions de base : si la liste contient moins de deux éléments, il n’y a rien à faire ; I Sinon : 1. on trie récursivement les deux moitiés de la liste ;.

(44) Le tri I Conditions de base : si la liste contient moins de deux éléments, il n’y a rien à faire ; I Sinon : 1. on trie récursivement les deux moitiés de la liste ; 2. et on les fusionne de manière triée..

(45) Le tri I Conditions de base : si la liste contient moins de deux éléments, il n’y a rien à faire ; I Sinon : 1. on trie récursivement les deux moitiés de la liste ; 2. et on les fusionne de manière triée. I On utilise des indices de début et de fin pour préciser quelle sous-liste nous intéresse (pas de slices !) ;.

(46) Le tri I Conditions de base : si la liste contient moins de deux éléments, il n’y a rien à faire ; I Sinon : 1. on trie récursivement les deux moitiés de la liste ; 2. et on les fusionne de manière triée. I On utilise des indices de début et de fin pour préciser quelle sous-liste nous intéresse (pas de slices !) ; def tri_fusion_rec(lst, debut, fin): # plus que 0 ou 1 élément à trier if debut >= fin: return # partitionner lst en deux-sous listes et les trier milieu = (debut + fin) // 2 tri_fusion_rec(lst, debut, milieu) tri_fusion_rec(lst, milieu+1, fin) # fusionner les deux sous-listes triées fusionner(lst, debut, milieu, fin).

(47) Les fusions I Pour fusionner deux listes triées A et B en une liste triée C :. 47.

(48) Les fusions I Pour fusionner deux listes triées A et B en une liste triée C : I on parcourt en parallèle les deux listes A et B avec deux curseurs i et j ;. 48.

(49) Les fusions I Pour fusionner deux listes triées A et B en une liste triée C : I on parcourt en parallèle les deux listes A et B avec deux curseurs i et j ; I à chaque étape, on ajoute à la fin de C le minimum de A[i] et B[j] ;. 49.

(50) Les fusions I Pour fusionner deux listes triées A et B en une liste triée C : I on parcourt en parallèle les deux listes A et B avec deux curseurs i et j ; I à chaque étape, on ajoute à la fin de C le minimum de A[i] et B[j] ; I le curseur de l’élément recopié avance de 1 ;. 50.

(51) Les fusions I Pour fusionner deux listes triées A et B en une liste triée C : I on parcourt en parallèle les deux listes A et B avec deux curseurs i et j ; I à chaque étape, on ajoute à la fin de C le minimum de A[i] et B[j] ; I le curseur de l’élément recopié avance de 1 ;. Exemple 2 (fusion de deux sous-listes triées) j j j j j j i i i i i i 1 1 1 3 5 2 4 6 8 10. 1 1 1 2 3 4 5 6 8 10. 51.











(62) L’algorithme pour les fusions def fusionner(lst, debut, milieu, fin): aux = [] premier, second = debut, milieu + 1 while premier <= milieu or second <= fin: if premier > milieu: # moitié 1 finie => copier moitié 2 aux.extend(lst[second:fin+1]) break if second > fin: # moitié 2 finie => copier moitié 1 aux.extend(lst[premier:milieu+1]) break if lst[premier] < lst[second]: aux.append(lst[premier]) premier += 1 else: aux.append(lst[second]) second += 1 lst[debut:fin+1] = aux. # recopier aux dans lst 62.

(63) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ?.

(64) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ? I au pire : O(n) fois ;.

(65) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ? I au pire : O(n) fois ;. I Quel est le coût des opérations dans le while ?.

(66) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ? I au pire : O(n) fois ;. I Quel est le coût des opérations dans le while ? I tout se fait en O(1), sauf extend ;.

(67) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ? I au pire : O(n) fois ;. I Quel est le coût des opérations dans le while ? I tout se fait en O(1), sauf extend ; I mais au pire, on ne fait qu’un seul extend sur les éléments résiduels ;.

(68) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ? I au pire : O(n) fois ;. I Quel est le coût des opérations dans le while ? I tout se fait en O(1), sauf extend ; I mais au pire, on ne fait qu’un seul extend sur les éléments résiduels ;. I Vision plus simple : on lit et on copie chaque élément vers aux une seule fois ;.

(69) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ? I au pire : O(n) fois ;. I Quel est le coût des opérations dans le while ? I tout se fait en O(1), sauf extend ; I mais au pire, on ne fait qu’un seul extend sur les éléments résiduels ;. I Vision plus simple : on lit et on copie chaque élément vers aux une seule fois ; I Le recopiage de aux se fait en O(n) ;.

(70) Complexité des fusions. I Combien de fois passe-t-on dans le while ? I au pire : O(n) fois ;. I Quel est le coût des opérations dans le while ? I tout se fait en O(1), sauf extend ; I mais au pire, on ne fait qu’un seul extend sur les éléments résiduels ;. I Vision plus simple : on lit et on copie chaque élément vers aux une seule fois ; I Le recopiage de aux se fait en O(n) ; I La fusion est donc en O(n) ;.

(71) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ;.

(72) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ; I Combien de fois fait-on les découpes ?.

(73) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ; I Combien de fois fait-on les découpes ? I Comme pour la recherche dichotomique :.

(74) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ; I Combien de fois fait-on les découpes ? I Comme pour la recherche dichotomique : I on suppose pour simplifier que n = 2k ;.

(75) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ; I Combien de fois fait-on les découpes ? I Comme pour la recherche dichotomique : I on suppose pour simplifier que n = 2k ; I on s’arrête quand les divisions successives de n par 2 donnent un nombre ≤ 1 ;.

(76) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ; I Combien de fois fait-on les découpes ? I Comme pour la recherche dichotomique : I on suppose pour simplifier que n = 2k ; I on s’arrête quand les divisions successives de n par 2 donnent un nombre ≤ 1 ; I donc, on s’arrête après O(log n) divisions ;.

(77) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ; I Combien de fois fait-on les découpes ? I Comme pour la recherche dichotomique : I on suppose pour simplifier que n = 2k ; I on s’arrête quand les divisions successives de n par 2 donnent un nombre ≤ 1 ; I donc, on s’arrête après O(log n) divisions ;. I En conclusion, le tri fusion est en O(n log n) ;.

(78) Complexité du tri fusion. I On sait déjà que la partie fusion se fait en O(n) ; I Combien de fois fait-on les découpes ? I Comme pour la recherche dichotomique : I on suppose pour simplifier que n = 2k ; I on s’arrête quand les divisions successives de n par 2 donnent un nombre ≤ 1 ; I donc, on s’arrête après O(log n) divisions ;. I En conclusion, le tri fusion est en O(n log n) ; I Sa complexité spatiale est en O(n) puisqu’on utilise un stockage intermédiaire pour aux, au pire de taille n ;.

(79) Améliorations du tri fusion I Le tri fusion est encore améliorable en pratique ;.

(80) Améliorations du tri fusion I Le tri fusion est encore améliorable en pratique ; I Par exemple : on peut faire une première passe en O(n) pour identifier comment découper la liste ;.



(83) Améliorations du tri fusion I Le tri fusion est encore améliorable en pratique ; I Par exemple : on peut faire une première passe en O(n) pour identifier comment découper la liste ;. Version normale [3, 4, 1, 2]. [3, 4]. [1, 2]. [3]. [4]. [1]. [2]. [3]. [4]. [1]. [2]. [3, 4]. [1, 2]. [1, 2, 3, 4].

(84) Améliorations du tri fusion I Le tri fusion est encore améliorable en pratique ; I Par exemple : on peut faire une première passe en O(n) pour identifier comment découper la liste ;. Version normale [3, 4, 1, 2]. [3, 4]. [1, 2]. [3]. [4]. [1]. [2]. [3]. [4]. [1]. [2]. [3, 4]. [1, 2]. [1, 2, 3, 4]. 84.

(85) Améliorations du tri fusion I Le tri fusion est encore améliorable en pratique ; I Par exemple : on peut faire une première passe en O(n) pour identifier comment découper la liste ;. Version normale. Version améliorée [3, 4, 1, 2]. [3, 4, 1, 2]. [3, 4]. [3, 4]. [1, 2]. [3]. [4]. [1]. [2]. [3]. [4]. [1]. [2]. [3, 4]. [1, 2]. [1, 2, 3, 4]. [1, 2]. [1, 2, 3, 4]. 85.

(86) Bilan des nouveaux algorithmes de tri. I Quand utiliser le tri par énumération ?.

(87) Bilan des nouveaux algorithmes de tri. I Quand utiliser le tri par énumération ? I sur des listes L de naturels avec max L << O(|L|2 ) ;.

(88) Bilan des nouveaux algorithmes de tri. I Quand utiliser le tri par énumération ? I sur des listes L de naturels avec max L << O(|L|2 ) ; I |L| a un impact sur le temps et l’espace ;.

(89) Bilan des nouveaux algorithmes de tri. I Quand utiliser le tri par énumération ? I sur des listes L de naturels avec max L << O(|L|2 ) ; I |L| a un impact sur le temps et l’espace ;. I Quand utiliser le tri fusion ?. 89.

(90) Bilan des nouveaux algorithmes de tri. I Quand utiliser le tri par énumération ? I sur des listes L de naturels avec max L << O(|L|2 ) ; I |L| a un impact sur le temps et l’espace ;. I Quand utiliser le tri fusion ? I quand on peut se permettre de consommer O(|L|) en mémoire ;. 90.

(91) Bilan des nouveaux algorithmes de tri. I Quand utiliser le tri par énumération ? I sur des listes L de naturels avec max L << O(|L|2 ) ; I |L| a un impact sur le temps et l’espace ;. I Quand utiliser le tri fusion ? I quand on peut se permettre de consommer O(|L|) en mémoire ;. I Remarque : sorted et list.sort() mélangent des idées du tri fusion et du tri par insertion ;.

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