Equations de Schrödinger stochastiques. Clément Pellegrini. Université Claude Bernard Lyon1. Institut Camille Jordan.

Equations de Schr¨odinger stochastiques

Cl´ement Pellegrini

Universit´e Claude Bernard Lyon1 Institut Camille Jordan

pelleg@math.univ-lyon1.fr

1) Trajectoires quantiques discr`etes

Interaction simple

On consid`ere un petit syst`eme H₀ ' C^{N ´equip´e} d’un ´etat ρ en contact avec une copie de la chaˆıne H munit de l’´etat β

Le syst`eme coupl´e : (H₀ ⊗ H , ρ ⊗ β) L’interaction est d´ecrite par un unitaire

U = exp(ihH_tot)

Nouvel ´etat apr`es interaction : U(ρ ⊗ β)U^?

Mesure indirecte sur H

Soit A = ^Pp_i=0λ_iP_i une observable de H et I⊗A son prolongement sur H₀ ⊗ H.

On observe λ_i avec probabilit´e

P[observer λ_i] = T r[U(ρ ⊗ β)U^? I ⊗ P_i]

Ph´enom`ene de r´eduction du paquet d’onde, apr`es observation de λ_i, le nouvel ´etat sur H₀⊗ H est

ρ˜¹_i = I ⊗ P_i U(ρ ⊗ β)U^? I ⊗ P_i T r[U(ρ ⊗ β)U^? I ⊗ P_i] Nouvel ´etat sur H₀ :

ρ¹_i = E₀ ^hρ^˜1_i ⁱ,

o`u E₀ ^d´esigne la trace partielle sur H₀ par rap-

Trajectoires quantiques sur la chaˆıne infinie Comme la chaˆıne est suppos´ee infinie, l’espace d’´etat est d´ecrit par

Γ ⁼ H₀ ⊗

∞ O k=1

H_k , H_k ' H munit de l’´etat

µ = ρ

∞ O k=1

β_k , β_k ' β

L’interaction num´ero k est d´ecrite par un uni- taire U_k qui agit sur H₀ tenseur H_k comme l’op´erateur U et l’identit´e ailleurs.

Les interactions r´ep´et´ees sont donc d´ecrites par

( V_k+1 = U_k+1V_k

V₀ = I (1)

L’´etat µ apr`es k interactions est donc µ_k = V_kµV_k^?

Mesure au site k

Soit A = ^Pp_i=0 λ_iP_i une observable de H_k et A^(k) = I ⊗

k−1 O i=1

I ⊗ A ⊗

∞ O j≥k+1

I,

son prolongement sur Γ^{, on note P}_i^{(k) les pro-} longements des op´erateurs P_i.

Si α est un ´etat sur Γ ^alors P[observer λ_i] = T r

α P_i^(k)

Mesures r´ep´et´ees

L’espace de probabilit´e d´ecrivant la suite de mesures est donc Σ^N? avec Σ = {0, . . . , p}, les indices des valeurs propres de A.

On munit Σ^N? de la tribu cylindrique C en- gendr´ee par les cylindres

Λ_i1,...,i

k = {ω ∈ Σ^N?/ω₁ = i₁, . . . ω_k = i_k} On d´efinit alors l’op´erateur

µ˜_k(i₁, . . . , i_k)

= I ⊗ P_i1 ⊗ . . . P_i

k ⊗ . . . µ_kI ⊗ P_i1 ⊗ . . . P_i

k ⊗ . . .

= P_i^(k)

k . . . P_i⁽¹⁾

1 µ_kP_i⁽¹⁾

1 . . . P_i^(k)

k . (2)

C’est l’´etat non-normalis´e obtenu si on avait observ´e les valeurs propres λ_i1, . . . , λ_i

k. On pose alors

P[Λ_i1,...,i

k] = P ^hobserver λ_i1, . . . , λ_i

k

i

= T r^hµ˜_k(i₁, . . . , i_k)ⁱ.

Grˆace au th´eor`eme de consistence de Kolmo- gorov cela d´efinit une unique mesure de pro- babilit´e sur Σ^N? munit de la tribu C.

On d´efinit alors la trajectoire quantique discr`ete ρ˜_k sur Γ^.

ρ˜_k : Σ^N? −→ B(Γ⁾ ω 7−→ ^{µ˜k(ω1,...,ωk)}

T r[˜µ_k(ω₁,...,ω_k)]

Trajectoires quantiques sur H₀

On pose pour tout ω ∈ Σ^N? et pour tout k ∈ N^? ρ_k(ω) = E₀^[˜ρ_k(ω)].

Ici E₀ ^d´esigne la trace partielle par rapport `a toute la chaˆıne.

Proposition 1 La trajectoire quantique discr`ete (ρ_k) est une chaˆıne de Markov sur (Σ^N?,C, P)

`a valeur dans les ´etats de H₀.

De mani`ere plus pr´ecise si ρ<sub>k</sub> = θ<sub>k</sub> o`u θ_k est un ´etat sur H₀, alors l’´etat al´eatoire ρ_k+1 prend l’une des valeurs suivantes

L_i(θ_k)

T r[L_i(θ_k)], i = 0, . . . , p (3) avec L_i(θ_k) = E₀[I ⊗ P_iU (θ_k ⊗ β) U^?I ⊗ P_i].

Chaque possibilit´e pour ρ_k+1 apparaˆıt avec probabilit´e

p_i(θ_k) = T r

U (θ_k ⊗ β) U^?I ⊗ P_i

.

On a alors

ρ_k+1 =

p X i=0

L_i(ρ_k)

T r[L_i(ρ_k)]1^k+1_i ,

o`u 1^k+1_i ^{(ω) =} 1_i^(ω_k+1) pour tout ω ∈ Σ^N?.

Atome `a deux niveaux cas H₀ = H = C² La trajectoire (ρ_k) satisfait

ρ_k+1 = L₀(ρ_k)

p₀(ρ_k)1^k+1₀ ^{+ L1(ρk)}

p₁(ρ_k)1^k+1₁ On pose alors X_k+1 = ¹

k+1

1 −p₁(ρ_k)

√p₀(ρ_k)p₁(ρ_k).

La famille (1, X_k+1) forme une b.o.n de L²({0,1}, p₀(ρ_k)δ₀ + p₁(ρ_k)δ₁).

Dans cette base la trajectoire quantique (ρ_k) satisfait

ρ_k+1 = L₀(ρ_k) + L₁(ρ_k) +



 −

v u u t

p₁(ρ_k)

p₀(ρ_k)L₀(ρ_k) +

v u u t

p₀(ρ_k)

p₁(ρ_k)L₁(ρ_k)



X_k+1 Introduisons maintenant le temps d’interaction

Comportement asymptotique

Introduisons h = 1/n le temps entre deux in- teractions successives. On rappelle que

L_i(ρ_k) = E₀^[I ⊗ P_i(U(n)(ρ ⊗ β)U^?(n))I ⊗ P_i], o`u U(n) = exp(i¹

nH_tot).

pour ´etudier le comportement asymptotique de la trajectoire (ρ_k) `a partir du comportement asymptotique de U(n), il faut expliciter L_i(ρ_k) en termes d’op´erateurs sur H₀. Pour cela on fixe une base {Ω₀,Ω₁} de H₀ = H = C^2.

On choisit la base B = {Ω₀ ⊗Ω₀,Ω₁⊗Ω₀,Ω₀⊗ Ω₁,Ω₁ ⊗ Ω₁} pour le produit tensoriel H₀ ⊗ H. On choisit l’´etat de r´ef´erence du syst`eme ca- ract´eristique de la chaˆıne dans l’´etat vide :

β = |Ω₀ihΩ₀|.

Dans la base B, l’op´erateur unitaire U(n) s’´ecrit U(n) = U₀₀(n) U₀₁(n)

U₁₀(n) U₁₁(n)

!

(4) o`u les U_ij(n) sont des op´erateurs sur H₀.

St´ephane Attal et Yan Pautrat ont montr´e alors que les coefficients U_ij(n) devaient satisfaire des asymptotiques pr´ecises pour que l’op´erateur

V_[nt] = U_[nt]U_[nt]−1 . . . U₁

converge vers un op´erateur ˜V_t. La famille ( ˜V_t) satisfait une ´equation de Langevin quantique d´ecrivant un mod`ele continu d’interaction entre H₀ et un espace de Fock. Ici on pose donc

U₀₀(n) = I + 1 n

−iH₀ − 1

2CC^?

+ ◦

1 n

U₁₀(n) = 1

√nC + ◦

1 n

Les op´erateurs L_i d´ependent ´egalement des projecteurs de l’observable A, on obtient alors deux comportements asymptotiques diff´erents suivant l’expression des projecteurs P_i dans la base B.

Si l’observable A = λ₀P₀ + λ₁P₁ de H est

diagonale dans {Ω₀,Ω₁} alors on obtient le comportement asymptotique suivant

ρ_k+1 = ρ_k + 1

n[L(ρ_k) + ◦(1)]

+





T r[J (ρ_k)

T r[J (ρ_k)] − ρ_k



(1^k+1₁ − p₁(ρ_k)) et les probabilit´es de transition satisfont

p₀(ρ_k) = 1 − 1

nT r[J (ρ_k)] + ◦

1 n

P₁(ρ_k) = 1

nT r[J (ρ_k)] + ◦

1 n

Ici L(ρ) = −i[H, ρ] − ¹₂{CC^?, ρ} + CρC^? et J (ρ) = CρC^?.

Si l’observable A = λ₀P₀ + λ₁P₁ de H

n’est pas diagonale dans {Ω₀,Ω₁} alors on ob- tient le comportement asymptotique suivant

ρ_k+1 = ρ_k + 1

n[L(ρ_k) + ◦(1)]

+ 1

√n

Cρ_k + ρ_kC^? − T r[ρ_k(C + C^?) + ◦(1)]ρ_k

X_k+1 Ici les probabilit´es sont de la forme

p₀(ρ_k) = ξ + 1

√nν

"

T r[ρ_k(C + C^?)] + ◦(1)

#

p₁(ρ_k) = 1 − p₀(ρ_k)

2) Trajectoires quantiques continues

Equations de Belavkin

A partir des descriptions asymptotiques pr´ecedentes on va obtenir les mod`eles limites des ´equations

de Belavkin dites “classiques”. Dans la litt´erature, elles sont d´ecrites par :

1. une ´equation de type diffusif dρ_t = L(ρ_t)dt

+Cρ_t + ρ_tC^? − T r[Cρ_t + ρ_tC^?]ρ_tdW_t, o`u (W_t) est un mouvement brownien stan- dard

2. une ´equation de type saut dρ_t = L(ρ_t)dt+

"

J (ρ_t)

T r[J (ρ_t)] − ρ_t

#

(dN˜_t−T r[J (ρ_t)]dt), o`u ˜N_t est un processus de comptage d’in-

tensit´e stochastique t → ^R₀^t T r[J(ρ_s)]ds

Les solutions de ces ´equations sont appel´ees

Convergence cas diffusif

Dans le cas de l’observable non diagonale on peut d´efinir

ρ_[nt] = ρ₀ +

[nt]−1 X k=0

ρ_k+1 − ρ_k

= ρ₀ +

[nt]−1 X k=0

1

n[L(ρ_k) + ◦(1)]

+

[nt]−1 X k=0

√1

n[H(ρ_k) + ◦(1)]X_k+1, o`u H(ρ) = Cρ+ρC^?−T r[ρ(C+C^?)]ρ. On d´efinit alors

ρ_n(t) = ρ_[nt], V_n(t) = [nt]

n , W_n(t) = 1

√n

[nt]−1 X k=0

X_k+1. Ainsi

ρ_n(t) = ρ₀ +

Z _t

0 L(ρ_n(s−)dV_n(s) +

Z _t

H(ρ_n(s−))dW_n(s) + ε_n(t)

On a le th´eor`eme suivant

Theorem 1 Les processus (W_n(t), V_n(t), ε_n(t)) converge en loi vers (W_t, V_t,0) o`u (W_t) est un mouvement brownien standard et V_t = t pour tout t.

De plus on a

supn E

"

[W_n(t), W_n(t)]

#

< ∞ Alors le processus (ρ_n(t)) satisfaisant

ρ_n(t) = ρ₀ +

Z _t

0 L(ρ_n(s−)dV_n(s) +

Z _t

0 H(ρ_n(s−))dW_n(s) + ε_n(t) converge en loi vers le processus (ρ_t) unique solution de

ρ_t = ρ₀ +

Z _t

0 L(ρ_s)ds +

Z _t

0 H(ρ_s)dW_s

Equation avec saut

Probl`eme de d´efinition : dans l’´equation avec saut le processus ˜N_t d´epend de la solution (ρ_t).

En effet pour d´efinir un processus de comp- tage, il faut pouvoir d´eterminer la distribution des sauts de ce processus. Or ici il est impos- sible de d´efinir le processus ˜N_t sans d´efinir la solution. De mˆeme pour pouvoir d´efinir la so- lution (ρ_t) il est n´ecessaire de connaitre le pro- cessus qui dirige l’´equation diff´erentielle sto- chastique.

Definition 1 Soit (Ω,F,F_t, P) un espace de probabilit´e. Un processus (ρ_t) est solution de l’´equation de Belavkin avec saut si il existe un processus de comptage ( ˜N_t) d’intensit´e sto- chastique t → ^R₀^t T r[J (ρ_s)]ds tel que

ρ_t = ρ₀ +

Z _t 0

"

J (ρ_s) + T r[J (ρ_s)]ρ_s − J(ρ_s)

#

ds +

Z _t





J (ρ_s−)

T r[J (ρ )] − ρ_s−



dN˜_s P p.s

Formulation en terme de processus de Poisson Soit (Ω,F, P) l’espace de probabilit´e d’un pro- cessus ponctuel de Poisson N sur R^{2. Le pro-} cessus N est une distribution al´eatoire de point sur R² tel que pour tout bor´elien B

P[N(B) = k] = e^(−Λ(B))Λ(B)^k k! ,

o`u Λ d´esigne la mesure de Lebesgue, on a E[N(B)] = Λ(B).

Le processus N permet de d´efinir une mesure al´eatoire de comptage N(., ds, dx) sur R^{2, alors} tout processus solution de

ρ_t = ρ₀ +

Z _t 0

"

J (ρ_s) + T r[J (ρ_s)]ρ_s − J(ρ_s)

#

ds +

Z _t 0

Z R





J(ρ_s−)

T r[J (ρ_s−)] − ρ_s−



10<x<T r[J(ρ_s−)]N(ds, dx) permet de d´efinir le processus

N˜_t =

Z _t 0

Z

10<x<T r[J(ρ_s−)]N(ds, dx)

Convergence De mˆeme on d´efinit dans le cas o`u l’observable A est diagonale

ρ_[nt] = ρ₀ +

[nt]−1 X k=0

ρ_k+1 − ρ_k

= ρ₀ +

[nt]−1 X k=0

1 n

L(ρ_k) − J (ρ_k) + T r[J (ρ_k) + ◦(1)]ρ_k

+

[nt]−1 X k=0





J (ρ_k)

T r[J (ρ_k)] − ρ_k + ◦(1)



1^k+1₁

On d´efinit alors

ρ_n(t) = ρ_[nt]

V_n(t) = [nt]

n , N_n(t) =

[nt]−1 X k=0

1^k+1₁

De mˆeme, on peut ´ecrire une ´equation discr`ete de la forme

ρ_n(t) = ρ₀ +

Z _t

0 F(ρ_n(s−))dV_n(s) +

Z _t

Q(ρ_n(s−)dN_n(s) + ε_n(t)

Ici par exemple il n’est pas possible de montrer directement une convergence du type

N_n(t) −→^L N˜_t

car cela entrainerait la convergence de l’inten- sit´e stochastique. Or on a :

E[N_n(t)] =

[nt]−1 X k=0

E^h1^k+1₁ ^{i =}

[nt]−1 X k=0

1 nE

T r[J (ρ_k)]

−→L

Z _t

0 E^{hT r[}J (ρ_s)]ⁱds = E^{[ ˜N}_t^]

Cela n´ecessite la convergence de la trajectoire quantique discr`ete.

On ne peut pas appliquer un r´esultat similaire

`a celui du cas diffusif. De la mˆeme mani`ere que construire le processus ( ˜N_t) n´ecessite la construction simultan´ee de (ρ_t), ici la conver- gence de (N_n(t)) est indissociable de de celle de (ρ (t)).

Pour obtenir la convergence on utilise une m´ethode de couplage, c’est `a dire que l’on r´ealise la tra-

jectoire discr`ete (ρ_n(t)) dans l’espace du pro- cessus de Poisson N.

Construction de la premi`ere mesure

On part d’un ´etat ρ₀, alors ρ₁ est d´efinit par ρ₁ = L₀(ρ₀)

T r[L₀(ρ₀)]1¹₀ ^{+ L1(ρ1)}

T r[L₁(ρ₁)]1¹₁

La variable al´eatoire 1¹₁ prend la valeur 1 avec probabilit´e T r[L₁(ρ₀)] et 0 avec probabilit´e T r[L₀(ρ₀)].

Soit N le processus de Poisson, on d´efinit G⁰_n =

(x, y) ∈ R^{2/ 0} < x < 1 n, 0 < y < −nlnT r[L₀(ρ₀)]

Alors 1_N(G0

n)>0 a mˆeme loi que 1¹₁ et de proche en proche on construit les variables al´eatoires

Theorem 2 Le processus (ρ_n(t)) d´efinit `a par- tir d’une trajectoire quantique d´ecrivant les me-

sures r´ep´et´ees d’une observable diagonale converge en loi vers la solution (ρ_t) de l’´equation avec

saut.

La m´ethode de couplage permet de comparer les deux processus,il faut encore utilis´e un pro- cessus interm´ediaire qui consiste `a appliqu´e un sch´ema d’Euler `a l’equation de Belavkin avec saut.

Extensions

1. Bain de chaleur

2. Th´eorie du contrˆole 3. Retour `a l’´equilibre

4. Dimension sup´erieure ´equations de saut- diffusion.