UJF - Master 2 Physique Subatomique et Astroparticules B. Cl´ement et I. Schienbein
Physique des Particules - TD10
Probl`eme 1 :Moments
Calculez les moments de Mellin de toutes les fonctions de branchement (splitting functions)Pij(x) `a l’ordre le plus bas :
Pqq(x) = 4 3
1 +x2 1−x
+
Pqg(x) = 1 2
x2+ (1−x)2
Pgq(x) = 4 3
1 + (1−x)2 x Pgg(x) = 6
1 1−x
+
+ 1−x
x −1 +x(1−x)
+ 33−2nf
6 δ(1−x)
Probl`eme 2 :Inversion de Mellin
La transform´ee de Mellin d’une fonctionf(x)est d´efinie par
F(N) = Z 1
0
dx xN−1f(x).
Montrez que cette transformation peut ˆetre invertie de la mani`ere suivante (Inversion de Mellin)
f(x) = 1 2πi
Z σ+∞
σ−i∞
dN x−NF(N)
o`uσ est `a choisir tel que les parties r´eelles de toutes les singularities deF(N)sont plus petites que σ. Montrez en plus que la transform´ee de Mellin d’une convolution de deux fonctionsf, g
(f ⊗g)(x) = Z 1
x
dz
z f(z)gx z
est le produit des transform´ees de ces fonctions : Z 1
0
dx xN−1(f⊗g)(x) =F(N)G(N).
