Analyse fréquentielle Principe

(1)

1

CNAM Cours d'Automatisme A1 D. Jaume 1

• Principe

On applique à l ’entrée du système une entrée sinusoïdale

» X₀: amplitude du signal d ’entrée,

» ωωωω: pulsation (rd/s) de la sinusoïde,

Après un régime transitoire, le signal de sortie en régime permanent s ’écrit :

» Y₀: amplitude du signal de sortie,

» ϕ: déphasage de la sortie par rapport à l ’entrée.

t X t

u()= ₀sinωωωω.

(

ωω +ωω ϕϕϕϕ

)

=Y t

t

y() ₀sin.

t X t

u()= ₀sinωωωω. H(p) y(t)=Y₀sin

(

ωωωω +.t ϕϕϕϕ

)

(2)

2

• Régimes transitoire et permanent d ’une réponse harmonique t

X t

(

ωω +ωω ϕϕϕϕ

)

=Y t

t

y() ₀sin.

0 5 10 15 20 25

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y(t) u(t)

transitoire permanent t(s)

(3)

3

• Caractéristiques du signal y(t)

Si dans l ’expression de H(p) on remplace p (opérateur de Laplace) par j.ωωωω(j²= -1) on obtient un nombre complexe H(jωωω) qui présente :ω

» un module :

» un argument /H (jωωω) = arg[H(jωω ωω)] =ω

– On montre que : ) (jωωωω

H

[ ]

^_^



 ℜ

− ℑ

) (

) tan (

ωω ωω ωωω ω j H

j

1 H

( )

[ ( ) ]





=

= ωωω ϕϕϕϕ ω

ω ωω ω j H

j H X Y₀ ₀

arg

t X t

u()= ₀sinωωωω. H(jωωωω) y(t)=Y₀sin

(

ωωωω +.t ϕϕϕϕ

)

(4)

4

• Réponse harmonique d ’un système

– C ’est l ’évolution de et de arg[H(jω)]

quand ωωωωvarie de 0 à∞. – Deux possibilités :

» calcul direct à partir de H(p),

» à partir de l ’expérimentation : ) (jωωωω H

( ) ( )

[ ]







=

= ϕϕϕϕ ω ω ω ω

ωω ωω ω

ω ω ω ωω ωω ω

ω ω ω ωωω ω ω

ωω ω j H

X Y j u

j y j u

j j y H

0 0

arg

) ( ) (

) (

système Générateur

TBF

t X t

-1 -0. 8 -0. 6 -0. 4 -0. 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y(t)

Oscilloscope X₀fixe

2 1 ωωωω ωωωω ωω

ωω ≤ ≤

(5)

5 • Intérêt

– Les performances dynamiques d ’un système sont jugées sur la réponse temporelle (généralement indicielle).

– Pour les systèmes d ’ordre 1 et 2, les réponses temporelles sont faciles à calculer et à tracer. Pour les ordre plus élevés, des difficultés numériques apparaissent.

– L ’étude des systèmes dans le domaine fréquentiel est très facile, même si l ’ordre du système est élevé ; elle se traduit par une représentation graphique.

– Les domaines fréquentiel et temporel sont étroitement liés (transformée de Fourier).

– Les conclusions obtenues par analyse du domaine fréquentiel induisent des conclusions dans le domaine temporel.

(6)

6 • Différentes représentations graphiques

– Dans le plan de Nyquist

– Au lieu de visualiser le module et la phase de H(jωωωω) en fonction de ωωωω, on représente les parties réelle et imaginaire dans le plan complexe.

– La courbe doit être graduée en ωωωω.

-0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

0.1 ℑ

ℜ ω

ω ω

ω= ∞∞∞∞ ωωωω= 0

ω ω ω ω= ωωωωi )

(jωωωω H

Re[H(jω]

Im[H(jω]

arg[H(jω)]

(7)

7

– Dans le plan de Bode

– On présente les deux courbes (module et phase) en fonction de ωωωωde façon séparée.

– L ’axe des abscisses est gradué en échelle logarithmique.

» L ’intervalle entre ωωωω= 1 et ωωωω= 10 s ’appelle une décade.

» L ’intervalle entre ωωωω= 1 et ωωωω= 2 s ’appelle une octave.

– Pour la courbe de gain, l ’axe des ordonnées est gradué en décibel :

»

– Pour la courbe de phase, l ’axe des ordonnées est gradué en degrés.

( )

jωωωω 20 H

( )

jωωωω H _dB = log₁₀

(8)

8

– Courbes de Bode

Courbe de phase Courbe de gain

ω ω ω ω(rd/s)

ω ω ω ω(rd/s) dB

deg

-30 -20 -10

0.1 1 10

-150 -100 -50 0

2 4 8

0.5

(9)

9

– Dans le plan de Black (abaque de Black-Nichols)

– On représente le module (en décibels) et la phase (en degrés) sur une seule courbe graduée en ω.

– C ’est la réunion des deux courbes de Bode en une seule.

– Un usage bien précis apparaîtra à la suite du cours.

Open-Loop Gain (dB)

-200 -150 -100 -50 0

-40 -30 -20 -10 0 10 20

arg[H(jω)]

( )

^j _dB H ωωωω

ω ω ω ω=∞∞∞∞

ω ω ω ω=0

(10)

10

– Avantage de la représentation de Bode par rapport aux autres

• Considérons un système composé de 2 transmittances en série.

• On connaît les courbes de Bode de H1(jω) et H2(jω).

• On pose H(jω) = H1(jω) . H2(jω)

• Dans Bode, on additionne (pour une pulsation donnée) les modules en dB et les arguments en degrés.

• Facilité de construction à partir des transmittances élémentaires.

H2(p)

H1(p) w(p) y(p)

x(p)

( )

jωωωω H1

( )

jωωωω H2

( )

jωωωω

H = .

( )

^j _dB ^H¹

( )

^j _dB ^H²

( )

^j _dB H ωωωω = ωωωω + ωωωω

( )

[

H jωωωω

]

arg

[

H1

( )

jωωωω

]

arg

[

H2

( )

jωωωω

]

arg = +

dans Bode dans Nyquist

(11)

11 • Représentation harmonique de transmittances élémentaires

• H1(p) = k , k∈∈ℜ∈∈ℜℜℜ ^H¹

( )

^jωωωω =^k ^H¹

( )

^jωωωω dB =²⁰log10^k

( )

[ ]

( )

[ ]





<

−

=

≥

=

0 k si 180 j

1 H

0 k si 0 j 1 H

ωω ωω ω ω ω ω arg arg

10-1 100 101

-200 -150 -100 -50 0

k 20log₁₀

[

^H¹

( )

^jωωωω

]

=⁰ ^si ^k≥⁰ arg

[

^H¹

( )

^jωωωω

]

=−¹⁸⁰ ^si ^k<⁰ arg

Dans le plan de Bode

(12)

12

• Courbes de Nyquist et Black de H1(p) = k

ℜ ℜ ℜ ℜ

( )

[ ]

( )

[ ]





= ℑ

= ℜ

0 j 1 H

k j 1 H

ωω ωω ωω ωω ℑ ℑℑ ℑ

Nyquist 0 k

arg[H(jωωωω)]

( )

^j _dB H ωωωω

k 20log₁₀

0

Black (k>0) 0<k<1

k>1

(13)

13

• H2(p) = p

– H2(jωωωω) = jωωωω H2

( )

jωω =ωω ωωωω H2

( )

jωωωω _dB =20^log₁₀⁽ωωωω⁾

[

H2

( )

jωωωω

]

=90° arg

( ) ( ) ( )

^j ²⁰ 2

H 10

6 j

2 H 2

0 j

2 H 1

dB dB dB

=

→

=

→

=

→

=

ω ω ω ω ω

ω ω ω

ω ωω ω ω

ω ω ω

ω ωω ω ω

ω ω ω

0.1 1 10

-20 -10 0 10 20 30

89 90 91

( ) [

H2 jωωωω

]

=90° arg

Pente 6 dB/octave ou 20 dB/décade H2(p) = p

H22(p) = 2p 6

(14)

14

• Courbes de Nyquist et Black de H2(p) = p

ℑ ℜℜ ℜℜ

( )

[ ]

[ ( ) ]





= ℑ

= ℜ

ω ω ω ω ω ωω ω ω ω ω ω j 2 H

0 j 2 H

( )

jωωωω =ωωωω 2

H

( ) [

H2 jωωωω

]

=90° arg

Nyquist 0 ω ω ω ω

Black

arg[H(jωωωω)]

( )

^j _dB H ωωωω

0 90°

) ( log10ωωωω ω 20

ωω ω>1

0<ωωωω<1 ω ω ω ω=1 rd/s

(15)

15

• H3(p)=1/p

– H3(jωω) = 1/jωωω ωωω= - j/ωωωω H3

( )

jωωωω =1/ωωωω

( )

jωωωωdB 20^log10⁽1⁾ 20^log10⁽ωωωω⁾ 20^log10⁽ωωωω⁾

3

H = − =− arg

[

H3

( )

jωωωω

]

=−90°

0.1 1 10

-40 -20 0 20

-89

-90

-91

[

H3

( )

j

ω ω ω ω ] = −

90

°

arg

Pente -6dB/octave ou -20dB/décade H33(p) = 0.1/p

H3(p) = 1/p

(16)

16

• Courbes de Nyquist et Black de H3(p) = 1/p

( )

jωωωω 1/ωωωω

3

H =

( ) [

H3 jωωωω

]

=−90° arg

[ ( ) ] ( )

[ ]





−

= ℑ

= ℜ

ωω ωω ωω

ωω ω ω ω ω

1/ j

3 H

0 j 3 H

ℑ ℑℑ ℑ

ℜ ℜ ℜ ℜ ωω ωω

Nyquist

0 arg[H(jω)]

( )

^j _dB H ωωωω

0 -90

ωω ωω>1 0<ωωωω<1

Black ω

ω ω ω=1 rd/s

(17)

17

• H4(p)=1+τp (plan de Nyquist) H5(p)=1/(1+τp) ω

ω ω ττττω ω ω ω ω 1 j j

4

H ( )= +

( )

[ ]

( )

[ ]





= ℑ

= ℜ

ωω ωω ττττ ωω ωω ω ω ω ω j . 4 H

1 j 4 H

2

1 2

j 1 j 1 j 1 5

H ττττ ωωωω

ωω ωω ττττ ω ωω ττττω ω ω ω

ω +

= −

= + ) (

( )

[ ]

( )

[ ]







+

= − ℑ

= + ℜ

2 2

j 1 5 H

1 j 1 5 H

ω ω ω ω ττττ

ω ω ω ω ω ττττ

ω ω ω

ωω ωω ω ττττ

ω ωω

.

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

ω ωω ω= 0 ω

ω ω ω= ∞

ω ω ω ω= 1/ττττ

H5 ℑ H4

ℑ ℑ ℑ

ℜ ℜ ℜ ℜ ω

ωω ω= ∞∞∞∞

- 45°

1

(18)

18

• H4(p)=1+τp (Courbe de gain dans le plan de Bode) ω

ωω ττττω ω ω ω ω 1 j j

4

H ( )= + ^H⁴

( )

^jωωωω = ¹+ττττ²ωωωω²

( )

j dB 10 10

[

1 ² ²

]

4

H ωωωω = log +ττττ ωωωω



( )



→

∞

→

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω

dB 10 dB

20 4

H 0 4 H 0

log

-1 0 1

0 5 10 15 20 25

+1dB

ωω

ωω=1/2ττττ ωωωω=2/ττττ ωω

ωω=1/ττττ +3dB +1dB

( )

_dB

10H4j 20log ωωωω

Pente 6dB/octave

squelette Courbe

réelle 4/ττττ

4dB

ω H ωω ω 1/4ττττ

2/ττττ 1/ττττ

1/2ττττ ¹⁰^log

(

¹^.⁰⁶²

)

^≈⁰^.²

(

¹²⁵

)

¹ 10log. ≈

( )

² ³ 10log ≈

( )

⁵ ⁷ 10log ≈

( )

¹⁷ ¹²² 10log ≈ .

(19)

19

• H4(p)=1+τp (Courbe de phase dans le plan de Bode) ω

ω ω ττττω ω ωω ω 1 j j

4

H ( )= + arg

[

H4

( )

jωωωω

]

=tan⁻¹

( )

ττττ.ωωωω

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

ω ω ω ω=1/ττττ

( )

[

H4 jωωωω

]

arg

ω ω ω

ω=1/100ττττ ωω=1/10ττττωω ωωωω=10/ττττ ωωωω=100/ττττ ω

ωω

ω argH4 1/16ττττ

1/8ττττ 1/4ττττ 2/ττττ 1/ττττ 1/2ττττ 4/ττττ 8/ττττ 16/ττττ

4

45 63 76 83 86 27 14 7

(20)

20

• H5(p)=1/(1+τp) (Bode) ω

ω ω ττττω ω ωω ω 1 j j 1

5

H ( )= +

( )

₂ ₂

1 j 1 5

H ωωωω ττττ ωωωω

= +

( )

[

ωωωω

]

tan

( )

ττττ.ωωωω argH5 j =− ⁻¹

( )

j dB 10 10

[

1 ² ²

]

5

H ωωωω =− log +ττττ ωωωω Avec H4 :

symétrie par rapport à l ’axe 0dB

Avec H4 :

symétrie par rapport à l ’axe 0°

-40 -30 -20 -10 0

-80 -60 -40 -20 0

Pente -6dB/octave

ω ωω

ω=1/100ττττ ωωωω=1/ττττ ω ω ω ω=10/ττττ

ω=100/ττττ ω

ωω ω=1/10ττττ

- 45°

(21)

21

• H4(p)=1+τp et H5(p)=1/(1+τp) (dans le plan de Black)

Ope n-Loop P ha s e (de g)

Open-Loop Gain (dB)

-100 -50 0 50 100

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

50 ^H

( )

^jωωωω_dB

arg[H(jωωωω)]

0 ω ωω ω=0

ωω ωω=∞∞∞∞

ω ω ω ω=∞∞∞∞

H4(p)

H5(p)

(22)

22

• H6(p)=1/p(1+τp) (Nyquist)

( ) ( )( )

² ⁴ ²

2 2

2 2 2

j j

j j j

1 j

1 j j 1 6

H ττττ ωωωω ωωωω

ω ωω ω τω τω τω τω ω ωω ω τω τωτω τω ω ωω ω τω τωτω τω

ω ω ω ω τω τω τω τω ω

ω ω ω τω τω τω τω ω ωω ω ττττ ω ωω ω ω ωω

ω +

−

=−

−

− +

−

= − +

=−

= + ) (

[ ( ) ]

[ ( ) ] ( )













→ ℑ

∞

→

−∞

→ ℑ

→ +

= − ℑ





→ ℜ

∞

→

−

→ ℜ

→ +

= − ℜ

0 0

1 j 1

6 H

0 0

j 1 6 H

2 2

ω ω ω ω ωω ωω ω

ω ω ω ττττ ω ω ω ω ω ω ωω

ωω ωω

ττττ ω

ω ω ω ωω

ωω ττττ ω ττττ ω ω ω

. .

( )



→

∞

→

∞

→

= +

0 6 H

6 H 0 1

j 1 6

H 2 2 ωωωω

ω ω ω ω ω ω ω ω ττττ ω ω ω ω ω ωω ω

[ ( ) ] ( )

[ ] [ ]





°

−

→

∞

→

°

−

→

−

°

−

= ⁻

180 6

H

90 6 H 0

90 j

6

H ¹

arg arg

. tan arg

ω ωω ω ω ωω ω

ωωω ττττω ωωω

ω

-1 -0 . 8 -0 . 6 -0 . 4 -0 . 2 0 0 .2 -1 0

-8 -6 -4 -2 0

2 ℑℑℑℑ

ℜℜℜ ℜ

ωω ωω= 0

ωωω ω= ∞∞∞∞ -ττττ

(23)

23

• H6(p)=1/p(1+τp) (Bode)

-40 -20 0 20

-160 -140 -120 -100

H6

H6 - 40dB/décade

- 20dB/décade

- 135°

-20 -10 0 10 20

-100 -80 -60 -40 -20 0

H3

H3 H5

H5

- 45°

- 20dB/décade

( )

⁽^). ⁽⁾

)

( H3p H5p

p 1

1 p 1 p 1 p p 1 6

H =

= +

ττττ ττττ

(24)

24

• H6(p)=1/p(1+τp) (Black)

Ope n-Loop P ha s e (de g)

Open-Loop Gain (dB)

-200 -180 -160 -140 -120 -100 -80

-150 -100 -50 0 50

arg[H(jω)]

( )

^j _dB H ωωωω

ω ωω ω=0

-90

ω ωω ω=∞∞∞∞

(25)

25

• (présence d ’un retard pur)

– Exemple : mesure retardée de l ’épaisseur de la tôle.

– Etude du terme e^-Tp

– L ’élément retard pur e^-Tpprésente un module égal à 1.

– Et un déphasage proportionnel à ωωω.ω p

1 p e 7 H

Tp

ττττ

= +⁻ ) (

T j T e

j

H(ωωωω)= ⁻^Tj^ωω^ω^ω=cosωωωω − sinωωωω _

[ ]







−

=



 



= −

= +

=

−

T T e T

1 T T

e

1 Tj

2 2

Tj

ωω ωω ω

ωω ωω ωω

ωω

ω ωω ω ω ωω ω

cos tan sin arg

sin cos

v d

T = d/v

(26)

26

• Nyquist

– Exemple : ττττ= 1s , T = 5s On trace la courbe bleue

du système sans retard pur (un demi cercle).

p 1 p e 7 H

Tp

ττττ

= +⁻ ) (

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

- T.ωωωω_k ωωωω= ωωωωk

ℜ ℜ ℜ ℜ ℑℑℑ

ℑ

ω= 0 Système sans retard pur

Système avec retard pur ωω

ωω= ∞∞∞∞ Pour chaque ωωωω, on calcule

le point qui a le même module et un argument augmenté de -T ωωωω

(27)

27

• Bode (ττττ= 1s , T = 5s) p

1 p e 7 H

Tp

ττττ

= +⁻ ) (

0.1 1 10

-20 -15 -10 -5 0

-150 -100 -50 0

Système sans retard pur

Système avec retard pur - Tωωωω -20dB/décade ω

ω ω ω=1/ττττ

La courbe de gain est inchangée.

La courbe de phase est modifiée.

(28)

28

• Black (ττττ= 1s , T = 5s) p

1 p e 7 H

Tp

ττττ

= +⁻ ) (

-140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20

-20 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2

( )

^j _dB H ωωωω

arg[H(jω)]

ωω ωω=0

ω ωω

ω=∞∞∞∞ ωωωω=∞∞∞∞

Système sans retard pur Système avec retard pur

(29)

29

• Système d ’ordre 2 hyper-amorti

• Lieu de Nyquist

(

¹ ^p

)(

¹ ⁴^p

)

p 10

8

H ()= + +

( )( ) ( )

(

^ω^ω^ω^ω ^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω

)(

^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω^ω ^ω^ω^ω^ω

)

ω ω ω ω ω ωω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω

ω ω

ω 1 4 5j 1 4 5j

j 5 4 1 10 j

5 4 1

10 j

4 1 j 1 j 10 8

H ₂ ₂

2

2 − + − −

−

= − +

= + ) (

( )

( ) ( )

1 17 16

j 5 4 1 10 25 4

1

j 5 4 1 j 10 8

H ₄ ₂

2 2 2

2 2

+ +

−

= − +

−

= −

ω ω ω ω ω ω ω ω

ωωω ω ωω ωω ωω

ωω ωω

ωω

ωω ωω ωωω ω ω

ω ω ω) (

[ ] ( )







→ ℜ

∞

→

= ℜ

=

→ ℜ

→ +

+

= − ℜ

0 0 5

0

10 0

1 17 16

4 1 j 10

8

H ₄ ₂

2

ωω ωω ωω ωω ω ω ω ω ωω

ωω ωω ωω

ωω ωω ωωω

ω) .

(

[ ]





→ ℑ

∞

→

→ ℑ

→ +

+

= −

ℑ 0

0 0

1 17 16 j 5 8

H ₄ ₂

ωω ωω ωω ωω ωω

ωω ωω ωω

ωω) (

(30)

30

• Construction du lieu de Nyquist

– On calcule les valeurs des parties réelles et imaginaires

-2 0 2 4 6 8 10 12

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

ℑ ℑ ℑ

ℑ ℜℜℜℜ

ω ωω

ω= 0.0625

ω ω ω

ω= 0.125 ωω

ωω= 0.25 ω

ω ω ω= 0.5 ω ωω ω= 1

ω 1 0 ωω ω= 0 ω

ωω

ω(rd/s) ℜℜℜℜ(H8) ℑℑℑℑ(H8) 0.0625

0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

9.23 7.38 3.53 0 -0.88 -0.46 -0.14 -0.04

-2.93 -4.92 -5.88 -4 -1.47 -0.31 -0.045 -0.006

(31)

31

•

• Courbes de Bode – On décompose

– Pour H81 (voir H5(p) avecωωωω1 = 1rd/s – Pour H82 voir H5(p) avec ωωω2 = 0.25rd/s ω

– On remarque dans cet exemple que les deux pulsations de cassure sont séparées par un intervalle de deux octaves. Il est possible de construire un tableau des valeurs pour les modules et les arguments de H80, H81 et H82.

(

¹ ^p

)(

¹ ⁴^p

)

p 10

8

H ()= + +

(

¹ ^p¹⁰

)(

¹ ⁴^p

)

¹⁰¹¹^p ¹ ¹⁴^p p

8

H ()= + + = + +





=

= 0 80 H

20 80 H _dB arg 82

H 81 H 80 H p 8

H ()= . .

(32)

32

• Tableau des valeurs ω

ω ω

ω(rd/s) 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8

8dB

H 82dB

H 81dB

H 80dB

H

81 H arg

82 H arg 8 H arg

20 20 20 20 20 20 20 20 0 0 0 -1 -3 -7 12 -18 0 -1 -3 -7 -12 -18 -24 -30 20 19 17 12 5 -5 -16 -28 -4 -7 -14 -27 -45 -63 -76 -83 -14 -27 -45 -63 -76 -83 -86 -88 -18 -34 -59 -90 -121 -146 -162 -171

(33)

33

• Courbes de Bode

-20 0 20

0.01 0.1 1 10

-150 -100 -50 0

ω ω ω ω1=1rd/s ωω

ωω2=0.25rd/s

-8dB -20dB/dec

-40dB/dec

(34)

34

• Courbe de Black ; on utilise le tableau des valeurs page 32.

Open-Loop Gain (dB)

-200 -150 -100 -50 0

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30

arg[H(jωωωω)]

( )

^j _dB H ωωωω

ωωω ω=0

ω ωω ω=∞∞∞∞ ω ωω ω=8

ω ω ω ω=1

ω ω ω ω=0.5

ω ω ω

ω=0.25ωω=0.125ωω ωω

ωω=0.0625

ω ωω ω=4

ωωω ω=2

(35)

35

• H9(p) = système du 2ème ordre

– ξξξξ 1 : on a deux pôles réels.

On est ramené à l ’exemple H8(p).

– ξ< 1 : on a deux pôles complexes conjugués.

n 1 p 2 n p

K

2

2 + +

ω ω ω ω ξξξξ ω ω ω ω

ju 2 u 1

K n 1

j 2 n j K 9

H ₂

2

2 ξξξξ

ω ωω ω

ω ω ω ξξξξω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω

+

= − +

− +

= ) (

u n ω ωω ω ω ωω

= ω

u : pulsation réduite

(

¹ ^u²

)

^K² ⁴ ²^u²

j 9

H ωωωω ξξξξ

+

= − ) (







<

 −

 



− −

−

>

 −

 



− −

=

= −

−

0 u 1 u si

1 u 2

0 u 1 u si

1 u 2 j

9 H

2 2

1

2 2

1

ππππ ξξξξ ξξξξ ωωω

ϕϕϕϕω ωω ωω

tan tan )

( ) ( arg

≥

(36)

36

• Etude aux limites dans le plan de Bode – Basses fréquences

– Hautes fréquences





→

→ →

0 9 H

K 9 0 H

u arg





−

→

−

∞ →

→ H9 ππππ

u 40 K 20 9

u H ^dB

arg

log log

-200 -100 0

?

-40 dB/dec 20*logK

(37)

37

• Analyse du module, recherche d ’un maximum.

– On remarque que pour ωωωω= ωωωωn (u=1) le module vaut :

– Or ξ<1 ; on peut donc avoir – Cherchons le minimum de :

(

¹ ^u²

)

^K² ⁴ ²^u²

u 9

H ()= − + ξξξξ

ω ξξξξ ωω

ω 2

n K 9 H ( )=

K 9 H (ωωωω)>

(

¹ ^u

) ⁽

²^u

⁾

⁸ ^u ⁰

du 2 u f

d ()= − ₂ − + ξξξξ₂ =

(

¹ ^u²

)

² ⁴ ²^u²

f= − + ξξξξ

(

⁻⁴^u

) (

¹⁻^u²⁻²^ξξξξ²

)

⁼⁰





−

=

= 2 2

1 u

0 u

ξξξξ

2

2 r n 1 2

2 1 u

0 0

u

ξξξξ ω

ωω ω ω ωω ω ξξξξ

ω ω ω ω

−

=

⇒

−

=

⇒

=

2 si ξξξξ< 2

(38)

38

• Calcul de la valeur du maximum

(

¹ ^u²

)

^K² ⁴ ²^u²

u 9

H ()= − + ξξξξ avec : u= 1−2ξξξξ2

( )

[

¹ ¹ ² ²

]

^K² ⁴ ²

(

¹ ² ²

)

Q= − − ξξξξ + ξξξξ − ξξξξ

( )

² ²² ^K⁴ ² ⁸ ⁴ ² ¹^K ²

Q ξξξξ ξξξξ ξξξξ = ξξξξ −ξξξξ

−

= +

2 si ξξξξ< 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ξξξξ Q

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0 5 10 15 20 25

ξξξξ 20 log Q(dB)

Pour K=1

(39)

39

• Courbes de Bode d ’un système du 2nd ordre pour K=1

-40 -20 0 20

0.1 1 10

-150 -100 -50 0

ξ=2 ξξξξ=0.05 ξξξξ=0.1

ξξξξ=0.2

ξξξξ=0.4

ξξξξ=0.7

ξξξξ=1

ω ω ω ωω ωω ωn ω

ωω ω= ωωωωn

(40)

40

• Etude de H9(jωωωω) dans le plan de Nyquist

ju 2 u 1

K n 1

j 2 n j K 9

H ₂

2

2 ξξξξ

ω ωω ω

ωω ωω ξξξξ ω ω ω ω ωω ωω ω ω ω

ω = − +

+

− +

= ) (

u n ω ω ω ω ω ωω

= ω u : pulsation réduite

( )

( )( ) ( )

(

²

)

² ² ²

2 2

u 4 u 1

ju 2 u 1 K ju 2 u 1 ju 2 u 1

ju 2 u 1 j K

9

H ξξξξ

ξξξξ ξξξξ

ξξξξ ω ξξξξ

ω ω

ω − +

−

= −

−

− +

−

= − ) (

[ ( ) ] ( )

( )

[ ]

( )















→ ℑ

∞

→

→ ℑ

→ +

−

= − ℑ





→ ℜ

∞

→

→ ℜ

→ +

−

= − ℜ

0 u

0 0

u u

4 u 1

u K j 2

9 H

0 u

K 0

u u

4 u 1

u 1 j K

9 H

2 2 2 2

2

ξξξξ ω ξξξξ

ωω ω ω ξξξξ ω ω ω

(41)

41

• Courbes de Nyquist d ’un système du 2nd ordre pour K=1

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0

0.2 ℑℑℑℑ ℜℜℜℜ

ζζζζ=0.7

ζζζζ=0.4 ζζζζ=1

ζζζζ=2 ωωω ω=0 ωω

ωω=∞∞∞∞ K

(42)

42

• Courbes de Black d ’un système du 2nd ordre pour K=1

Open-Loop Gain (dB)

-200 -150 -100 -50 0

-80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10

arg[H(jωωωω)]

( )

^j _dB H ωωωω

ωωω ω=0

ω ωω ω=∞∞∞∞

ζζζζ=0.4 ζζζζ=0.7

ζζζζ=1

ζζζζ=2

(43)

43

• En conclusion sur le système H9(p)=

n 1 p 2 n p

K

2

2 + +

ω ω ω ω ξξξξ ω ω ω ω

→0 ω ωω

ω ωω =ωω ωωωωn ωωωω→∞ H

H arg

K 2ξξξξ

K n ²

K 

 ωω ωω ωωω ω -180 -90

0

⇒

> 2

si ξξξξ 2 pas de résonance

⇒

≤ 2

si ξξξξ 2 résonance







= −

−

=

2 2

1 2 Q K

2 1 n r

ξξξξ ξξξξ

ξξξξ ω