Bcpst 2 Lycée François 1er - samedi 25 septembre
Devoir surveillé 2 - Séries et dénombrement
Durée : 3h
La présentation, la lisibilité, la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Les consignes suivantes sont à respecter sous peine d’absence de correction ou de no- tation :
- Les résultats doivent être encadrés, - Les pages doivent être numérotées,
- Chaque nouvel exercice ou nouveau problème commencera sur une nouvelle copie, ou à défaut, sur une nouvelle feuille. (Les exercices peuvent être traités dans l’ordre souhaité.)
- Tout résultat ou toute affirmation doit être dûment justifié(e).
- Les programmes Python doivent être expliqués.
Les téléphones portables et les calculatrices sont interdits et doivent être rangés dans les sacs.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre.
Chaque étudiant portera en tête de son devoir le tableau suivant :
Réd. Rais. Mod. Calc. Rech. Représ. Comm. Cours
Exercice 1 :
1. Déterminer la nature et, si possible, la somme totale des séries ci-dessous :
a) P
n>1
22n+1 n+n!
(n 1)!en
b) P
n>0
Pn k=0
1 2k
1 3n k
2. Déterminer la nature des séries ci-dessous
a) P
n>1
en 1 n1 n
2
b) P
n>3
2n+1000 3n+1
Exercice 2 :
1. Montrer que pour toutndeN,(2 +p
3)n+ (2 p
3)n est un entier naturel pair.
2. Justifier que|sinx|6xpour toutx2R+.
3. En déduire que la série de terme généralun= sin(⇡(2+p
3)n)est absolument convergente.
Exercice 3 :
On dispose de 300 euros sous forme de billets de 10. En ne s’intéressant qu’au montant final obtenu par chaque personne, Quel est le nombre de manières de distribuer cet argent àppersonnes dans les différentes situations ci-dessous.
1. Si chaque personne doit avoir quelque chose.
2. De façon à ce que tout le monde ait au moins 20 euros ?
Exercice 4 : Une colonie de vampires a élu domicile dans un château des Car- pates, et le comte Drakul souhaite estimer leur nombre. Pour cela, une nuit de pleine lune, le comte en capture 10, leur mord les oreilles, puis les relâche. La nuit suivante, il en capture 10 au hasard. Trois ont une morsure aux oreilles.
On notenle nombre total de vampires présents dans le château etAl’événement
"Il y a 3 vampires mordus parmi les 10 capturés".
1. a) De combien de manières différentes le comte peut-il capturer 10 vam- pires parmi les n vampires ?
b) Comme 10 vampires parmi les n ont des morsures aux oreilles, de combien de manières différentes le comte peut-il en capturer 10 pour qu’exactement 3 vampires aient des morsures ?
2. Quel est (de manière certaine) le nombre minimum de vampires dans le châ- teau ? On noten0ce nombre.
3. On notef(n)la probabilité de l’événementAet on pose un = f(n)
f(n+ 1) 8n>n0.
Déterminer lesn pour lesquels cette formule a un sens et montrer que dans ce cas
un= n2 15n 16 n2 18n+ 81.
4. Le "maximum de vraisemblance"mest défini comme la valeur de l’entiern pour laquelle la fonctionf atteint un maximum.
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a) Expliquer pourquoi la dénomination du terme "maximum de vraisem- blance" est logique par-rapport au problème posé.
b) Complétez le programme Python suivant de manière à ce qu’il retourne le m cherché, en expliquant ce que vous faites et sans faire de calcul suppplémentaire.
(On supposera dans cette question uniquement qu’il y a bel et bien exis- tence et unicité duntel que f(n)soit maximum.)
1 def maxi_vraisemblance () :
2 n =...
3 while (...) :
4 n +=1
5 return (...)
c) Justifier que m existe et le déterminer. Conclure par-rapport au pro- blème de départ.
Exercice 5 : Dans cet exercice, on pourra se servir sans le démontrer du fait que ln(1 +x)6xpour toutx>0.
Soit r un réel dans l’intervalle [0,1[. On s’intéresse aux suites réelles (un)n2N
vérifiant, pour toutn2N, la relation de récurrence :
un+2=un+1+rnun. (1)
1. Dans cette question, on suppose u0 > 0 et u1 > 0. On considère la suite (vn)n2N⇤ définie par :
v1=u1 et8n2N⇤, vn+1= 1 +rn 1 vn. (2) a) Explicitervn en fonction dev1 à l’aide d’un produit pour toutn2N
avecn>2.
b) En observant éventuellementln(vn), étudier la convergence de la suite (vn)n2N⇤.
2. a) Justifier queun>0pour toutn2Npuis que(un)n>1 est croissante.
b) Montrer queun 6vn pour n2N⇤ et en déduire la nature de la suite (un)n2N.
3. Dans cette question, on noteL(r)la limite de la suite(un)telle que définie par(1)avecu0=u1= 1.
a) Justifier queun>1pour toutn2N.
b) Justifier la convergence de la série de terme généralrkuk, et exprimer sa somme en fonction deL(r).
c) Déterminer la limite deL(r)quand rtend vers1.
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