SMIA 1 COMPLEMENT DU COURS D’ANALYSE 1 : Question-R´eponse

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SMIA 1

COMPLEMENT DU COURS D’ANALYSE 1 :

Question-R´ eponse

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Vos remarques seront les bienvenues.

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Table des mati` eres

1 Propriétés de l’ensemble R et des réels 7

1.1 Le théorème fondamental de l’analyse réelle . . . 7

1.2 Propriété de la borne supérieure . . . 8

1.3 Caract´erisation de la borne sup´erieure . . . 9

1.4 Caract´erisation de la borne inf´erieure . . . 9

1.5 Caractérisation séquentielle de la borne supérieure . . . 9

1.6 Caractérisation séquentielle de la borne inférieure . . . 9

1.7 Densit´e deQ dans R . . . 10

1.8 Caractérisation séquentielle de la densité deQ dans R . . . 10

2 Les suites r´eelles 11 2.1 Comment ´etudier la monotonie d’une suite . . . 11

2.1.1 Comment montrer qu’une suite est croissante . . . 11

2.1.2 Comment montrer qu’une suite est d´ecoissante . . . 12

2.2 Suites majorées, minorées et bornées . . . 12

2.2.1 Comment montrer qu’une suite est major´ee . . . 13

2.2.2 Comment montrer qu’une suite est minor´ee . . . 14

2.2.3 Comment montrer qu’une suite est born´ee . . . 14

2.3 Comment calculer la limite d’une suite . . . 14

2.3.1 Calcul par passage . . . 14

2.3.2 Calcul par Encadrement . . . 15

2.3.3 Formes ind´etermin´ees . . . 15

2.3.4 Utilisation de l’expression conjugu´ee . . . 15

2.4 Comment ´etudier la nature d’une suite . . . 16

2.4.1 Comment montrer qu’une suite (un) est convergente . . . 16

2.4.2 Comment montrer qu’une suite (un) est divergente . . . 17

2.4.3 Comment montrer que deux suites sont adjacentes . . . 17

2.4.4 Comment montrer qu’une suite est de Cauchy . . . 18

2.4.5 Comment montrer qu’une suite (un) n’est pas de Cauchy . . . 18

2.5 Suites r´ecurrentes . . . 18

2.5.1 Comment étudier une suite récurrente première forme . . . 18

2.5.2 Comment étudier une suite récurrente deuxième forme . . . 22

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3 Les fonctions 25

3.1 Comment d´eterminer le domaine de d´efinition d’une fonction . . . 25

3.1.1 Le d´enominateur doˆıt ˆetre non nul. . . 25

3.1.2 Ce qui est sous la racine doˆıt ˆetre positif. . . 25

3.1.3 L’argument du logarithme doˆıt ˆetre STRICTEMENT positif. . . 26

3.1.4 L’argument de l’arccos ou de l’arcsin doˆıt ˆetre dans [−1,1]. . . 26

3.1.5 L’argument de la tangente doˆıt ˆetre dans∪^k∈Z]⁻₂^π +kπ,⁻₂^π + (k+ 1)π[. 26 3.1.6 L’argument de l’argch doˆıt ˆetre dans [1,+∞[. . . 27

3.2 Comment ´etudier la parit´e d’une fonction . . . 27

3.2.1 Fonction paire . . . 27

3.2.2 Fonction impaire . . . 27

3.2.3 Courbe admettant un axe de sym´etrie . . . 27

3.2.4 Courbe admettant un centre de sym´etrie. . . 27

4 Limite d’une fonction réelle 29 4.1 Définition générale de la limite d’une fonction . . . 29

4.2 Comment calculer la limite d’une fonction . . . 30

4.2.1 Par passage `a la limite . . . 30

4.2.2 Par Encadrement . . . 31

4.2.3 Par composition . . . 32

4.2.4 En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis . . . 33

4.2.5 Comment montrer que la limite d’une fonction existe sans calcul . . 34

4.3 Comment montrer que la limite d’une fonction en un point n’existe pas . . 34

4.3.1 La limite à droite est différente de La limite à gauche . . . 34

4.3.2 Par la caract´erisation s´equentielle de la limite . . . 35

5 La continuité des fonctions réelles 37 5.1 Comment étudier la continuité d’une fonction . . . 37

5.1.1 Continuit´e d’une fonction bien connue . . . 37

5.1.2 Continuit´e d’une fonction d´efinie par morceaux . . . 37

5.1.3 Comment montrer qu’une fonction n’est pas continue en un pointa. 37 5.2 Continuit´e uniforme . . . 40

5.2.1 Comment Montrer qu’une fonction est uniform´ement continue . . . 40

5.2.2 Comment Montrer qu’une fonction n’est pas uniformément continue surA 41 6 La dérivabilité des fonctions réelles 43 6.1 Comment étudier la dérivabilité d’une fonction . . . 43

6.1.1 D´erivabilit´e d’une fonction bien connue . . . 43

6.1.2 Dérivabilité d’une fonction définie par morceaux . . . 44

6.1.3 Dérivabilité de la fonction réciproquef⁻¹. . . 44

6.2 Comment ´etudier les variations d’une fonction . . . 44

6.2.1 En ´etudiant le signe du taux d’accroissement . . . 44

6.2.2 En étudiant le signe de la dérivée . . . 45

6.3 R´esolution d’´equations . . . 46

6.3.1 Comment montrer que l’´equationf(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a, b[ 46 6.3.2 Comment montrer que l’´equationf(x) = 0 admet une seule solution dans [a, b] 47

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6.3.3 Comment montrer que l’équationf(x) = 0 admet au plus n solutions dans [a, b] 48 6.3.4 Exemple de résolution numérique . . . 48

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Chapitre 1

Propri´ et´ es de l’ensemble R et des r´ eels

Pour ne pas trop compliquer les choses, nous dirons simplement que l’ensemble R,est un ensemble qui contiendrait tous les nombres que l’on peut ´ecrire en utilisant les chiffres de 0

`a 9, les signes + et−, ainsi que la virgule.

Pour nous qui faisons de l’analyse r´eelle, l’ensembleR,contient les entiers naturels (∈N,) les entiers relatifs (∈Z,) les rationnels (∈Q,) et les irrationnels (∈/ Q).

1.1 Le th´ eor` eme fondamental de l’analyse r´ eelle

(R,+,×, <) est un corps totalement ordonné qui possède la propriété de la borne supérieure

∗∗Les axiomes du corps (propriétés des lois + et×) défiissent les règles à respecter lorsque l’on fait des calculs, c’est à dire lorsque l’on effectue les opérations +,×,−,;.

∗∗ Les axiomes de l’ordre (propriétés de <), fixent les règles de comparaison à respecter lorsque l’on manipule les symboles<,≤, >,≥ .

∗∗ La propriété de la borne supérieure , c’est elle qui différencie l’ensemble R de l’ensemble Q. Elle rend l’ensemble Rcomplet, sachant que Qne l’est pas !

Ce Théorème (TFAR) constitue le point de départ de l’analyse réelle. Il est à la base de toutes les propriétes deR et de tous les théorèmes classiques de l’analyse réelle, à savoir :

La propriété d’Archimède de l’ensemble R.

La densit´e de l’ensemble Q dans R.

Le th´eor`eme de la limite monotone.

Le th´eor`eme des suites adjacentes.

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Le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.

La compl´etude de l’ensemble R.

Les crit`eres de Cauchy (des suites et des fonctions).

Le théorème des valeurs intermédiaires.

Le théorème des valeurs extérieures Le théorème de la bijection.

Le th´eor`eme de la borne.

Le th´eor`eme de Heine.

Le th´eor`eme de Rolle.

Le th´eor`eme des accroissements finis.

La connaissance de ces théorème est non seulement la clé pour répondre aux questions posées à l’examen, mais sûrtout, pour suivre sans aucun problèmes les cours d’analyse des années prochaines incha Allah.

1.2 Propri´ et´ e de la borne sup´ erieure

Tout partie non vide major´ee de R admet une borne sup´erieure Qui se traduit par

(∀A⊂R) A6=∅ et A majorée =⇒ supA∈R Cette propriété n’est pas vraie dans Q.

Prenons A= [0,√

2]∩Q. Aest une partie non vide major´ee de Qmais A n’admet pas de borne sup´erieure car √

2∈/Q.

De même, R possède la propriété de la borne inférieure suivante :

Tout partie non vide minor´ee de R admet une borne inf´erieure Qui se traduit par

(∀A⊂R) A6=∅ et A minor´ee =⇒ infA∈R

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1.3 Caract´ erisation de la borne sup´ erieure

M est la borne sup´erieure deA si et seulement siM est le plus petit des majorants de A.

ce qui signifie que si ǫ >0, M−ǫ n’est pas un majorant de A.

Ceci se traduit math´ematiquement par

M = supA ⇐⇒ (∀x ∈A) x≤M et (∀ǫ >0) (∃a ∈A) : M −ǫ < a≤M

1.4 Caract´ erisation de la borne inf´ erieure

m est la borne inf´erieure deA si et seulement si m est le plus grand des minorants de A.

ce qui veut dire que si ǫ >0,m+ǫ n’est pas un minorant de A. C qui donnee m= infA ⇐⇒ (∀x ∈A) x≥m et (∀ǫ >0) (∃a∈A) : m≤a < m+ǫ

1.5 Caract´ erisation s´ equentielle de la borne sup´ erieure

C’est une condition n´ecessaire et suffisante qui fait appel aux suites.

Elle est obtenue en rempla¸cant ǫ ci-dessus par _n¹.

M = supA ⇐⇒ (∀x∈A)x≤M et (∀n >0) (∃an∈A) : M − 1

n < an≤M

⇐⇒ (∀x∈A)x≤M et ∃(an)∈A^N : M = lim

n→+∞an

On en d´eduit que

M est la borne supérieure de A si et seulement si M est un majorant de A qui est en même temps limite d’une suite d’éléments de A.

1.6 Caract´ erisation s´ equentielle de la borne inf´ erieure

Soit A une partie non vide minor´ee de Ret m∈R.

m = infA ⇐⇒ (∀x∈A)x≥m et (∀n >0) (∃an ∈A) : m≤an< m+ 1 n

⇐⇒ (∀x∈A)x≥m et ∃(an)∈A^N : m = lim

n→+∞an . Ce qui permet de dire que

m est la borne inférieure deAsi et seulement si m est un minorant deAqui est en même temps limite d’une suite d’éléments de A.

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1.7 Densit´ e de Q dans R

Entre deux r´eels quelconques, il existe une infinit´e de rationnels.

Q est dense dans R ⇐⇒ (∀(x, y)∈R²) : x < y (∃r∈Q) : x < r < y.

1.8 Caract´ erisation s´ equentielle de la densit´ e de Q dans R

Tout r´eel est limite d’une suite de rationnels.

Q est dense dans R ⇐⇒ (∀x∈R) (∃(rn)∈Q^N) :x= lim

n→+∞rn

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Chapitre 2

Les suites r´ eelles

Une suite r´eelle est une application de N vers R.

2.1 Comment ´ etudier la monotonie d’une suite

2.1.1 Comment montrer qu’une suite est croissante

De fa¸con directe

Il faut montrer que

(∀n∈N) un+1≥un

ce qui est ´equivalent `a

(∀n ∈N) u_n+1−un ≥0 ou bien si un >0, on montre que

(∀n∈N) un+1

un

>1 Exemple Montrer que la suite r´ecurrente (un) d´efinie par

u0 = 1et (∀n ∈N) un+1 =un+n². est coissante.

De fa¸con directe, on

(∀n∈N) un+1−un =n² ≥0 donc (un) est croissante.

Par r´ecurrence

On montre par r´ecurrence que :

(∀n∈N) un≤un+1

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Exemple

Montrer que la suite r´ecurrente (un) d´efinie par

u₀ = 0 et (∀n ∈N) u_n+1 = 2− 1 un+ 1. est croissante sachant que

(∀n∈N) 0≤un≤2.

Montrons par r´ecurrence que

(∀n∈N) un≤un+1

On a

u1 = 1 =⇒ u0 ≤u1. Soit n ≥0 tel queun ≤un+1.

un≤u_n+1 =⇒0<1 +un≤1 +u_n+1 =⇒ 1

1 +un+1 ≤ 1 1 +un

=⇒2− 1

1 +un ≤2− 1

1 +u_n+1 =⇒un+1 ≤un+2

CQFD.

——- Voir la section sur les Suites R´ecurrentes —————–

2.1.2 Comment montrer qu’une suite est d´ecoissante Il faut montrer que

(∀n∈N) un+1≤un

ce qui est ´equivalent `a

(∀n ∈N) u_n+1−un≤0 ou bien si un >0, on montre que

(∀n∈N) u_n+1 un ≤1

2.2 Suites major´ ees, minor´ ees et born´ ees

Il serait utile de connaˆıtre les majorations suivantes

(∀x∈R) −1≤sin(x)≤1 et −1≤cos(x)≤1 (∀x∈R) |sin(x)| ≤ |x|

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(∀x∈[0,π 2] 2

πx≤sin(x)≤x (∀x∈R) e^x >0 (∀x ∈R) e⁻^x² ≤1 (∀(x, a)∈R×R^∗) 1

a²+x²

≤ 1 a² (∀x∈R) ch(x)≥1 (∀x∈R) 1

1 +x² ≤1 (∀x∈R) |arctg(x)|< π

2 2.2.1 Comment montrer qu’une suite est major´ee

De fa¸con directe

Il faut montrer que

(∃M ∈R) : (∀n ∈N) un ≤M On peut, montrer directement que

(∃N ∈N) : (∀n ≥N) un−M ≤0 Exemple Soit (un) la suite r´eelle d´efinie par

(∀n∈N)un= 3 + cos(n) n²+ 5

Soit n ∈ N. D’une part cos(n) ≤ 1 =⇒3 + cos(n) ≤ 4. D’autre part 0 < 5 ≤ n² + 5 =⇒ _n²¹₊₅ < ¹₅.

On en d´eduit que

un ≤ 4 5.

Par r´ecurrence

Cette m´ethode marche surtout lorsque l’on connaˆıt le majorant M.

On montre alors, facilement, que

(∀n∈N) un≤M Exemple

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Soit (un) une suite récurrente associée à une fonction f : I → I croissante. Si L est un point fixe de f et que u₀ ≤L, alors on montre Facilement par récurrence que

(∀n∈N) un ≤L 2.2.2 Comment montrer qu’une suite est minor´ee

Il faut montrer que

(∃m∈R) : (∀n∈N) un≥m On peut, montrer directement que

(∃m ∈R) : (∀n ∈N) un−m≥0 Ou bien utiliser le raisonnement par r´ecurrence.

2.2.3 Comment montrer qu’une suite est born´ee

Il faut montrer qu’elle est à la fois majorée et minorée ou que (∃M ∈R) : (∀n ∈N) |un| ≤M Exemple

si

(∀n∈N) un = 1 + sin(n) +e⁻ⁿ alors

(∀n∈N) |un| ≤3

2.3 Comment calculer la limite d’une suite

2.3.1 Calcul par passage

Dans l’expression du terme g´en´eral un pour n assez grand, on remplace n par +∞. (∀n ≥N) un =vn et lim

n→+∞vn=L =⇒ lim

n→+∞un=L Exemples :

(∀n ≥1000) un= 1

n =⇒ lim

n→+∞un = 0 (∀n ≥100) un= 3 + ln(n)

n =⇒ lim

n→+∞un = 3 (∀n ≥10) un =eⁿ =⇒ lim

n→+∞un = +∞

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2.3.2 Calcul par Encadrement

(∀n ≥N) un < vn et lim

n→+∞un=L1 et lim

n→+∞vn =L2 =⇒L1 ≤L2

(∀n ≥N) un < vn< wn et lim

n→+∞un =L et lim

n→+∞wn =L=⇒ lim

n→+∞vn =L (∀n≥N) un< vn et lim

n→+∞un = +∞=⇒ lim

n→+∞vn= +∞ (∀n ≥N) un< vn et lim

n→+∞vn =−∞=⇒ lim

n→+∞un=−∞

Exemples :

(∀n ≥100) 5− 2

n < un <5 + 1

n =⇒ lim

n→+∞un = 5 (∀n≥1000) n− 2

n < un =⇒ lim

n→+∞un= +∞ (∀n≥10) un< −n²+ 1

n+ 2 =⇒ lim

n→+∞un=−∞

2.3.3 Formes ind´etermin´ees

Forme indéterminée Méthode à appliquer

0

0 Factoriser et simplifier

∞

∞ Factoriser et simplifier

∞ − ∞ Factoriser ou le conjugu´e

1^∞ et 0⁰ Remplacer A^B par e^B^ln(A)

2.3.4 Utilisation de l’expression conjugu´ee Le conjugu´e de A−B, c’est A+B.

Le conjugu´e de A+B, c’est A−B.

Exemple

n→+∞lim (√

n²+ 3−n) = lim

n→+∞(√

n² + 3−n)

√n² + 3 +n

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= lim

n→+∞

√ 3

n²+ 3 +n = 0

Utilisation des sous-suites

n→+∞lim un=L ⇐⇒ lim

n→+∞u2n = lim

n→+∞u2n+1 =L

n→lim+∞un=L ⇐⇒ lim

n→+∞u3n= lim

n→+∞u3n+1 = lim

n→+∞u3n+2=L Exemple

La suite (un) d´efinie par un= ⁽²⁺⁽⁻_n¹⁾ⁿ⁾ tend vers 0 car

n→+∞lim u_2n = lim

n→+∞

3

2n = 0 et

n→lim+∞u2n+1 = lim

n→+∞

1

2n+ 1 = 0.

2.4 Comment ´ etudier la nature d’une suite

2.4.1 Comment montrer qu’une suite (un) est convergente

1. On calcule sa limite (par passage ou par comparaison )et on trouve un nombre fini.

Pour cela, on aura besoin de connaˆıtre les Limites Usuelles Tr`es Utiles et les op´erations sur les limites. ——————————————————-

n→+∞lim

sin(¹_n)

1 n

= lim

n→+∞nsin(1 n) = 1.

n→+∞lim ntg(1 n) = 1.

n→+∞lim

ln(1 + ¹_n)

1 n

= lim

n→+∞nln(1 + 1 n) = 1.

n→lim+∞n(eⁿ¹ −1) = 1.

n→+∞lim n²(1−cos(1 n)) = 1

2. (∀α∈R) lim

x→+∞

(ln(n))^α n = 0.

(∀α ∈R) lim

n→+∞n^αe⁻ⁿ= 0.

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2. On montre qu’elle est croissante majorée. Donc elle converge vers sup{un, n∈N} 3. On montre qu’elle est décroissante minorée. Donc elle converge vers inf{un, n∈N} 4. On montre qu’elle est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite L.

Donc (un) convergera vers L.

5. On montre que (un) et une autre suite (vn) sont adjacentes.

6. On montre que

(∃(L, N)∈R×N) : (∀n ≥N) |un−L| ≤vn

avec limn→+∞vn = 0. La suite (un) aura ainsi Lcomme limite.

7. On montre que les deux sous-suites (u2n) et (u2n+1) ont la mˆeme limite.

(un) convergera vers cette limit commune.

8. On montre qu’elle est de Cauchy.

2.4.2 Comment montrer qu’une suite (un) est divergente

1. On calcule sa limite (par passage ou par comparaison) et on trouve ±∞. 2. On montre qu’elle est croissante NON majorée. Donc sa limite sera +∞. 3. On montre qu’elle est décroissante NON minorée. Donc sa limite sera −∞.

4. On montre qu’elle est minor´ee par une suite qui tend vers +∞.Donc sa limite sera +∞. 5. On montre qu’elle est major´ee par une suite qui tend vers −∞. Donc sa limite sera

−∞.

6. On montre qu’elle admet une sous-suite divergente.

7. On montre qu’elle admet deux sous-suites qui tendent vers deux limites diff´erenetes.

8. On montre qu’elle n’est pas de Cauchy.

9. On montre qu’elle existe une sous suite (vn) telle que limn→+∞(un−vn)6= 0.

2.4.3 Comment montrer que deux suites sont adjacentes

Pour montrer que les deux suites (un) et vn sont adjacentes, on commence par étudier le signe de la différenceun−vn.On tient compte du fait que la suite majorante est décroissante et que la suite minorante est croissante.

et donc, on peut connaˆıtre `a l’avance, laquelles des deux suites sera croissante.

Par suite, on a

(∀n∈N) un> vnimplies(un) d´ecroissante et (vn) croissante (∀n∈N) un< vnimplies(un) croissante et (vn) d´ecroissante Exemple

un= 1 + 1 1! + 1

2!+...1 n!

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vn =un+ 1 nn!

Il est clair que

(∀n∈N) un< vn

Par cons´equent, (un) sera croissante et (vn) sera d´ecroissante.

Il reste en fin, à vérifier que leur différence tend vers 0.

2.4.4 Comment montrer qu’une suite est de Cauchy 1. On utilise la définition (en général, ce n’est pas évident) 2. On montre qu’elle est convergente.

3. On montre la condition suffisante suivante : (∀(n, p)∈N²) |un+p−un| ≤vn et lim

n→+∞vn = 0 =⇒(un) est de Cauchy 2.4.5 Comment montrer qu’une suite (un) n’est pas de Cauchy

1. On montre qu’elle est divergente.

2. On montre qu’il existe une sous suite (vn) telle que limn→+∞(vn−un)6= 0.

2.5 Suites r´ ecurrentes

2.5.1 Comment étudier une suite récurrente première forme

Soit I un intervalle fermé de R., c’est à dire queI est soit un segment du type [a, b],soit un intervalle non borné du type [a,+∞[.

Une suite récurrente première forme (un) est définie par u0 ∈I, (∀n∈N) un+1=f(un)

avec f : I →I. ou bien f(I) ⊂ I. Cette condition de stabilité de I par f, est nécessaire pour que la suite (un) soit bien définie et que

(∀n∈N) un∈I.

Nous supposerons aussi que f est continue sur I.

Limites possibles ou probables

Si la suite (un) converge vers un réelL, alorsL∈I et puisquef est supposée être continue sur I, on aura

n→+∞lim u_n+1 =L= lim

n→+∞f(un) =f( lim

n→+∞un) =f(L).

L est donc n´ecessairement un point fixe def, qui satisfait la condition f(L) =L.

Il se peut quef admette plusieurs point fixes. La limite éventuelle de la suite (un) dépend alors de la position du premier terme u0 par rapport à ces points fixes.

Cas o`u f est croissante sur I

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2

2 1,5

1,5 1

0,5

1 0

0,5 0

Figure 2.1 – Cas o`uf est croissante et (un) croissante convergente.

1,5

1

0,5

0

3 2

1 0

-1

3

2,5

2

Figure2.2 – Cas o`uf est croissante et (un) d´ecroissante convergente.

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19

(20)

4

4 3

3 2

1

2 0

1 0

Figure2.3 – Cas o`uf est d´ecroissante et (un) CONVERGENTE.

Si f est croissante sur I, la suite (un) est monotone. IL SUFFIT de comparer les deux premiers termes u0 etu1.

u0≤ u1 =⇒ (un) est croissante

Pour cela, Comme dans un jeu d’enfants, on montre facilement par r´ecurrence que : (∀n∈N) un≤un+1

u0 ≥u1 =⇒ (un) est d´ecroissante

Pour cela, Comme dans un autre jeu d’enfants, on montre facilement par r´ecurrence que : (∀n ∈N) un ≥un+1.

Pour savoir si (un) est major´ee ou minor´ee, il suffit de comparer u₀ avec le point fixeL.

u0 ≥L =⇒ (∀n∈N) un≥L u₀ ≤L =⇒ (∀n∈N) un≤L

Il n’y a pas plus simple que de raisonner, encore une fois, par r´ecurrence.

Cas o`u f est d´ecroissante sur I

Si f est d´ecroissante sur I, les suites (u_2n) et (u_2n+1) sont monotones et varient en sens inverse.

IL SUFFIT de comparer les deux premiers termes u0 et u2.

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(21)

4 3

2 1

0 4

2

0

-2

-4

-6

-8

-10

Figure2.4 – Cas o`uf est d´ecroissante et (un) DIVERGENTE.

u₀ ≤u₂ =⇒ (u_2n) est croissante et (u_2n+1) d´ecroissante.

u0 ≥u2 =⇒ (u2n) est d´ecroissante et (u2n+1) croissante.

u0 ≥L =⇒ (∀n ∈N) u2n≥L u₁ ≥L =⇒ (∀n ∈N) u_2n+1 ≥L

u0 ≤L =⇒ (∀n∈N) u2n≤L u1 ≤L =⇒ (∀n ∈N) u2n+1 ≤L

COMME dans le cas oùf est croissante, Toutes les propriétés précédentes, se démontrent aisément à l’aide du raisonnement par récurrence.

(un) converge ⇐⇒ (u2n) et (u2n+1) sont adjacentes Utilisation du th´eor`eme des accroissements finis : TAF

Soit (un) une suite récurrente associée à la fonctionf :I →I,oùI est un intervalle fermé deR. On suppose que L est un point fixe def appartenat àI.

On suppose de plus que f est d´erivable sur I. On a alors, d’apr`es le TAF, (∀n∈N) (∃c∈I) : un+1−L=f(un)−f(L) = (un−L)f^′(c).

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21

(22)

Distinguons les deux cas suivants : 1^er cas

(∀x∈I)|f^′(x)| ≤K <1 donc

(∀n ∈N) |un−L| ≤K|un−1−L| ≤Kⁿ|u₀−L|. La suite (un) converge vers L.

Dans ce cas, le point fixe est dit attractif (Voir Fifure 3.) 2^`^eme cas

(∀x∈I)|f^′(x)| ≥K >1 donc

(∀n ∈N) |un−L| ≥K|un−1−L| ≥Kⁿ|u0−L|. La suite (un) est alors divergente.

Dans ce cas, le point fixe est dit r´epulsif (Voir Fifure 4.)

2.5.2 Comment étudier une suite récurrente deuxième forme Un suite récurrente deuxième forme (un) est définie par

(∀n ∈N) aun+2+bun+1+cun =f(n) o`u (a, b, c)∈R³ etf :R→R.

Ce sont des suites (un) vérifiant une égalité du type

aun+2+bun+1+cun=f(n) avec u0 etu1 donn´ees.

o`u (a, b, c)∈R^∗×R² et f :R→R.

Supposons que l’on connaisse une suite particuli`ere (vn) qui satisfait la relation ci-dessus.

Par soustraction, on aura

a(un+2−vn+2) +b(un+1−vn+1) +c(un−vn) =0 Pour trouver (un), il suffit alors de trouver (wn) telle que

awn+2+bwn+1+cwn=0 (C) Pour cela, cherchons wn sous la forme wn =αⁿ.

En rempla¸cantwndans la condition (C), on tombe sur l’´equation caract´eristique suivante aα²+bα+c= 0

trois cas se pr´esentent alors

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22

(23)

1. ∆>0

L’équation caractéristique admet deux solutions réelles : α1 = −b−√

∆

2a et α2 = −b+√

∆ 2a et

wn =Aα1n

+Bα2n

Les constantes A et B sont d´etermin´ees par les conditions initialesu0 et u1. Exemple

D´eterminer un sachant que un+2−3un+1+ 2un= 0, u0 = 0, u1 = 1.

L’équation caractéristique s’écrit :

x² −3x+ 2 = 0, ∆ = 1, x1 = 1, x2 = 2 donc

un=A+B2ⁿ = 2ⁿ−1 2. ∆ = 0

L’´equation caract´eristique admet une racine double : α = −b

2a et

wn =

A+Bn αⁿ

Les constantes A et B sont d´etermin´ees par les conditions initialesu0 et u1. 3. ∆<0

L’´equation caract´eristique admet deux solutions complexes : α1 = −b−i√

−∆

2a =ρe^iθ et α2 = −b+i√

−∆

2a =ρe⁻^iθ et

wn =ρⁿ

Acos(nθ) +Bsin(nθ)

Les constantes A et B sont d´etermin´ees par les conditions initialesu0 et u1.

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23

(24)

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24

(25)

Chapitre 3

Les fonctions

3.1 Comment d´ eterminer le domaine de d´ efinition d’une fonction

3.1.1 Le d´enominateur doˆıt ˆetre non nul.

Si f(x) = _D(x)¹ , alors

Df ={x∈R : D(x)6= 0}.

On résoud alors l’équation D(x) = 0 pour déterminer les racines r1, r2, ....

Le domaine de d´efinition sera alors

Df =R− {r1, r2, ...}. Exemple

f(x) = 1

x(x² −5x+ 6)

Df ={x∈R : x(x²−5x+ 6)6= 0}. Les solutions de l’´equation x(x²−5x+ 6) = 0 sont 0,2, et 3.

Par suite

Df =R− {0,2,3}=]− ∞,0[∪]0,2[∪]2,3[∪]3,+∞[.

3.1.2 Ce qui est sous la racine doˆıt ˆetre positif.

Si f(x) =p

D(x), alors

Df ={x∈R : D(x)≥0}.

On résoud alors l’inéquation D(x)≥0 pour déterminer l’ensemble S des solutions.

Le domaine de d´efinition sera alors

Df =S.

Exemple

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(26)

f(x) =p

x(x² −5x+ 6) Df ={x∈R : x(x²−5x+ 6)≥0}.

L’ensemble des solutions de l’in´equation x(x²−5x+ 6)≥0 est S=[0,2] ∪ [3,+∞[.

Par suite

Df = [0,2] ∪ [3,+∞[.

3.1.3 L’argument du logarithme doˆıt ˆetre STRICTEMENT positif.

Exemple

f(x) = ln(x²−5x+ 4) Df ={x∈R : x²−5x+ 4>0}.

L’ensemble des solutions de l’in´equation x²−5x+ 4>0 est S =]− ∞,1[∪]4,+∞[.

Par suite

Df =]− ∞,1[∪]4,+∞[.

3.1.4 L’argument de l’arccos ou de l’arcsin doˆıt ˆetre dans [−1,1].

Exemple

f(x) = arccos(x²−5x+ 5) Df ={x∈R : −1≤x²−5x+ 5 ≤1}

={x∈R : x²−5x+ 5 ≥ −1 et x²−5x+ 5 ≤1}.

L’ensemble des solutions de l’in´equation x²−5x+ 6≥0 est S₁ =]− ∞,2] ∪ [3,+∞[.

L’ensemble des solutions de l’in´equation x²−5x+ 4≤0 est S2 = [1,4].

Par suite

Df =S1∩S2 = [1,2]∪[3,4].

3.1.5 L’argument de la tangente doˆıt ˆetre dans ∪^k∈Z]⁻₂^π +kπ,⁻₂^π + (k+ 1)π[. Exemple

f(x) = tg(2x) Df ={x∈R : 2x6= π

2 +kπ}

={x∈R : x6= π 4 +kπ

2} d’o`u

Df =R\{π 4 +kπ

2, k ∈Z}

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(27)

3.1.6 L’argument de l’argch doˆıt ˆetre dans [1,+∞[.

Exemple

f(x) = argch(x²−6x+ 9) Df ={x∈R : x² −6x+ 9 ≥1}

L’ensemble des solutions de l’in´equation x²−6x+ 8≥0 est S =]− ∞,2] ∪ [4,+∞[.

Par suite

Df =]− ∞,2] ∪ [4,+∞[.

3.2 Comment ´ etudier la parit´ e d’une fonction

3.2.1 Fonction paire On montre que

(∀x∈Df) f(−x) =f(x) 3.2.2 Fonction impaire

Il faut v´erifier que

(∀x∈Df) f(−x) =−f(x) 3.2.3 Courbe admettant un axe de sym´etrie

La droite d’équation x=a est axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction f si

(∀x∈Df) f(a−x) =f(x) 3.2.4 Courbe admettant un centre de sym´etrie

Le point de coordonnées (a, b) est un centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction f si

(∀x∈Df) f(2a−x) = 2b−f(x)

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27

(28)

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28

(29)

Chapitre 4

Limite d’une fonction r´ eelle

4.1 D´ efinition g´ en´ erale de la limite d’une fonction

Soit f une fonction r´eelle avec Df comme domaine de d´efinition. Dans la plupart des cas , Df est une intervalle.

Soit A⊂Df , a un point d’accumulation de A etl ∈R.

x→lima,x∈Af(x) =l ⇐⇒ (∀V ∈ V(l)) (∃U ∈ V(a)) : f(U ∩A)⊂V V(l) et V(a) d´esignent respectivement l’ensemble des voisinages de l et de a.

Remarque

La notion de limite d’une fonction f en un point a est un concept local. En ce sens que seule l’expression

de f(x) AU VOISINAGE du point a entrera en ligne de compte.

Par exemple, pour calculer la limite de f(x) quand xtend vers 2, il suffit de connaˆıtre f(x) pour x ∈ [1,3]. L’expression de f(x) pour x > 3 n’aura aucune influence sur cette limite.

Nature du point un voisinage de ce point

a∈R ]a−η, a+η[ (η >0)

l ∈R ]a−ǫ, a+ǫ[ (ǫ >0)

a= +∞ ]A,+∞[ (A >0)

a=−∞ ]− ∞, B[ (B <0)

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(30)

Nature de l’ensemble A Nature de la limite

Df lim

x→af(x)

Df \ {a} lim

x→a,x6=af(x) Df∩]a,+∞[ lim

x→a,x>af(x) Df∩]− ∞, a[ lim

x→a,x<af(x)

Df lim

x→af(x)

N lim

n→+∞f(n)

4.2 Comment calculer la limite d’une fonction

Le Calcul de limite est `a la base de l’´etude de la CONTINUITE et de la DERIVABILITE EN UN POINT.

Supposons que l’on veuille calculer lim

x→a,x∈Af(x).

4.2.1 Par passage `a la limite

Soit f :R→Ret U un voisinage dea ∈A^′ avec A∈Df. On a alors,

(∀x∈U ∩A) f(x) = g(x) et lim

x→a,x∈Ag(x) =L =⇒ lim

x→a,x∈Af(x) =L

——————————————————————————————–

Si l’on connaˆıt l’expression de f(x), AU VOISINAGE du point a, on remplace, dans cette expression, x par a.

Soit on trouve un résultat, soit une forme indéterminée. (V. le chapitre sur les suites).

———————————————————————————————

Pour le passage , Nous aurons sˆurement besoin de connaˆıtre les Limites Usuelles suivantes (Tr`es Utiles).

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30

(31)

———————————————————————————————

x→lim0,x6=0

sin(x) x = 1.

x→0,xlim6=0

tg(x) x = 1.

x→lim0,x6=0

ln(x+ 1) x = 1.

x→0,xlim6=0

e^x−1 x = 1.

x→lim0,x6=0

1−cos(x) x² = 1

2.

x→lim+∞

ln(x) x = 0.

x→lim0,x>0xln(x) = 0.

(∀α >0) lim

x→+∞x^αe⁻^x = 0.

Exemples :

(∀x ∈]−1,0[∪]0,1[) f(x) = 1

|x| =⇒ lim

x→0,x6=0f(x) = +∞ (∀x≥100) f(x) = 3 +ln(x)

x =⇒ lim

x→+∞f(x) = 3 (∀x∈[0,1[) f(x) = 3 +1 + ln(x)

x =⇒ lim

x→1,x<1f(x) = 4 (∀x∈]2,3]) f(x) = 3 +x² =⇒ lim

x→2,x>2f(x) = 7 4.2.2 Par Encadrement

(∀x∈U∩A) g(x)< f(x)< h(x) et lim

x→a,x∈Ag(x) = lim

x→a,x∈Ah(x) =L =⇒ lim

x→a,x∈Af(x) =L (∀x∈U ∩A) g(x)< f(x) et lim

x→a,x∈Ag(x) = +∞ =⇒ lim

x→a,x∈Af(x) = +∞ (∀x∈U ∩A) f(x)< h(x) et lim

x→a,x∈Ah(x) =−∞ =⇒ lim

x→a,x∈Af(x) =−∞

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31

(32)

Exemples

(∀x∈]−1,1[) 7−x² < f(x)<7 +x² =⇒ lim

x→0f(x) = 7 (∀x∈]1,3[) 10−x² < f(x)<2 +x² =⇒ lim

x→2f(x) = 6 (∀x ≥100) 5− 2

x < f(x)<5 + 1

x =⇒ lim

x→+∞f(x) = 5 (∀x≥ 1000) x− 2

x < f(x) =⇒ lim

n→+∞un = +∞ (∀x≥10) f(x)< −x² + 1

x+ 2 =⇒ lim

x→+∞f(x) =−∞

4.2.3 Par composition

Soient f :Df →R et g :Dg →R. Soient A ⊂Df et B ⊂Dg avec

f(A)⊂B.

Soient enfin a∈A^′,b ∈B^′ et L∈R.

On a alors

x→lima,x∈Af(x) =b et lim

x→b,x∈Bg(x) =L =⇒ lim

x→a,x∈Ag◦f(x) =L Que l’on ´ecrit sous la forme

lim

X→ lim

y→a,y∈Af(y), X ∈Bg(X) = lim

x→a,x∈Ag(f(x) Exemple

On se propose de calculer

X→1,Xlim6=1

ln(X) X²−1 Posons

g(X) = ln(X)

X²−1 etX =f(x) =x+ 1.

On a alors, avec les mˆemes notations,

B =]0,1[∪]1,2[, b= 1, a= 0, etA=f⁻¹(B) =]−1,0[∪]0,1[.

La formule ci-dessus donne alors

X→lim1,X6=1

ln(X)

X²−1 = lim

X→1,X∈Bg(X) = lim

x→0,x∈Ag(f(x)) = lim

x→0,x∈A

ln(1 +x) x(x+ 1) = 1

2.

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32

(33)

Remarque Importante

Sans la condition f(A)⊂B , la composition des limites ne marche pas.

Exemple

Soient f etg les applications r´eelles d´efinies par :

f :x7→

(1 si x6= 0

0 si x= 0. et g :x7→

(2 si x6= 1 3 si x= 1 Prenons

A=R\ {0}, B =R\ {1}, a= 0, et b= 1.

On a alors

x→lim0,x6=0f(x) = 1,

x→1,xlim6=1g(x) = 2, et

g◦f :x7→

(3 si x6= 0 2 si x= 0 donc

x→0,xlim6=0g◦f(x) = 36= 2 En effet

f(A) ={1} 6⊂B.

4.2.4 En utilisant le th´eor`eme des accroissements finis

On y pense sûrtout lorsque la limite à calculer se présente sous l’une des formes suivantes

xlim→∞(F(x+ 1)−F(x)) On remplace alors F(x+ 1)−F(x) par F^′(c).

On calcule ensuite la limite quand c tend vers ∞. Exemple

x→+∞lim ((x+ 1)¹⁺^x+1¹ −x¹⁺¹^x) =

x→+∞lim (F(x+ 1)−F(x)) = lim

x→+∞F^′(c).

avec F(x) = x¹⁺¹^x =e⁽¹⁺^x¹^{) ln(x)}, et x < c < x+ 1.

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33

(34)

Donc

F^′(c) = (1 c + 1

c²(1−ln(c))c¹⁺¹^c) = (1 +1

c(1−ln(c))c¹^c Finalement, remarquons que lorsque x→+∞, c→+∞, d’o`u

x→lim+∞((x+ 1)¹⁺^x+1¹ −x¹⁺¹^x) = lim

c→+∞(1 + 1

c(1−ln(c))c¹^c = 1 ou

xlim→a(F(x)−F(a)).

On remplace alors F(x)−F(a) par (x−a)F^′(c) avec a < c < x.

on calcule ensuite la limite quand c tend vers a.

Remarque

Pour certaines limites difficiles à calculer par les méthodes ci-dessus, L’utilisation des développements limités est nécessaire.

Exemple

x→0,xlim6=0( 1

x³ − 1 sin³(x).

4.2.5 Comment montrer que la limite d’une fonction existe sans calcul

Comme pour les suites r´eelles, si l’on montrer qu’une suite est de Cauchy, alors elle converge. De la mˆeme fa¸con, pour montrer que lim

x→a,x∈Af(x)∈R, il suffit d’utiliser le crit`ere de Cauchy :

x→lima,x∈Af(x)∈R ⇐⇒(∀ǫ >0) (∃U ∈ V(a)) : (∀(x, y)∈U) |f(x)−f(y)|< ǫ Ce critère est à retenir, vu qu’il est aussi valable pour les intégrales généralisées (S2), les suites et séries de fonctions (S₃) .

4.3 Comment montrer que la limite d’une fonction en un point n’existe pas

4.3.1 La limite à droite est différente de La limite à gauche Exemple

f :x7→







x+ 4 si x <0

0 si x= 0

x²+ 3x−7 si x >0.

On a

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34

(35)

x→lim0,x<0f(x) = 4 et

x→lim0,x>0f(x) =−7 donc

x→0,xlim6=0f(x) n’existe pas

4.3.2 Par la caract´erisation s´equentielle de la limite

C’est une condition n´ecessaire et suffisante qui lie la limite d’une fonction `a la limite d’une suite.

Elle s’´enonce ainsi :

f(x) tend vers L quand x tend vers a suivant A, si et seulement si pour toute suite d’´el´ements de A qui converge versa, la suite f(xn) des images converge versL.

Elle se traduit par :

x→lima,x∈A=L ⇐⇒ (∀(xn)∈A^N) : lim

n→+∞xn =a lim

n→+∞f(xn) = L On en d´eduit que

(∃(xn)∈A^N) : lim

n→+∞xn=a et lim

n→+∞f(xn) n’existe pas =⇒ lim

x→a,x∈Af(x) n’existe pas non plus Exemple

f :x7→

(cos(¹_x) si x6= 0

0 si x= 0.

Prenons xn= _nπ¹ . D’une part,

n→+∞lim xn = 0 et de l’autre

n→+∞lim f(xn) = lim

n→+∞(−1)ⁿ qui n’existe pas Il s’en suit que

xlim→0cos(1

x) n’existe pas et que

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35

(36)

(∃((xn),(yn))∈(A^N)²) : lim

n→+∞xn= lim

n→+∞yn=a et lim

n→+∞f(xn)6= lim

n→+∞f(yn)

=⇒ lim

x→a,x∈Af(x) n’existe pas Exemple

f :x7→

(sin(¹_x) si x6= 0

0 si x= 0.

Prenons xn= _nπ¹ etyn= ^π ¹

2+2nπ

D’une part,

n→+∞lim xn= lim

n→+∞yn= 0 et de l’autre

n→lim+∞f(xn) = 0 tandis que

n→+∞lim f(yn) = 1 Il s’en suit que

xlim→0sin(1

x) n’existe pas

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36

(37)

Chapitre 5

La continuit´ e des fonctions r´ eelles

5.1 Comment ´ etudier la continuit´ e d’une fonction

En fait, l’étude de la continuité et de la dérivabilité d’une fonction en un point, revient à calculer une limite.

5.1.1 Continuit´e d’une fonction bien connue On se sert des r`egles suivantes :

Les polynˆomes sont continues sur R. Les Fractions rationnelles sont continues sur leurs domaines de d´efinition .x7→√

xest continue surR⁺. x7→ln(x) est continue surR^∗+. x7→e^x est continue sur R. x 7→ cos(x) et x 7→ sin(x) sont continues sur R. x 7→ arccos(x) et x 7→

arcsin(x) sont continues sur [−1,1]. x 7→ tg(x) est continue sur R\{^π₂ +kπ}. x 7→ arctg(x) est continue sur R.La somme de deux fonctions continues est continue. Le produit de deux fonctions continues est continue. La compos´ee de deux fonctions continues est continue.

5.1.2 Continuité d’une fonction définie par morceaux Si a est un point de Df tel que f(a) soit défine séparément.

Pour ´etudier la continuit´e de f au point a, il faut calculer limx→a,x6=af(x).

Si cette limite existe et est égale à f(a), alors f est continue en a, sinon, si cette limite n’existe pas ou est différente def(a), alors f n’est pas continue en a.

5.1.3 Comment montrer qu’une fonction n’est pas continue en un point a.

Soit f une fonction r´eelle et a∈Df. 1. On montre que lim

x→a,x6=af(x)6=f(a). f est alors discontinue au point a.

Exemple Soit f :R→R d´efinie par f :x7→

(_sin(x)

x si x6= 0 2 si x= 0.

On a

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(38)

x→0,xlim6=0f(x) = 1 6=f(0) =⇒ f n’est pas continue en 0.

—————————————————————————————

2. On montre que lim

x→a,x<a6=f(a). f est alors discontinue `a gauche du point a.

Exemple

Soit f :R→R d´efinie par

f :x7→







e^x−1

x si x <0

2 si x= 0

3x²+ 5x+ 2 si x >0 On a

x→lim0,x<0f(x) = 16=f(0) =⇒ f n’est pas continue `a gauche de 0

=⇒ f n’est pas continue en 0.

Alors que

x→lim0,x>0f(x) = 2 =f(0) =⇒ f est continue `a droite de 0.

——————————————————————————————-

3. On montre que limx→a,x>a 6=f(a). f est alors discontinue `a droite du point a.

Exemple

Soit f :R→R d´efinie par

f :x7→







ln(x+1)

x si x <0

1 si x= 0

x²+ 2 six >0 On a

x→0,x>0lim f(x) = 2 6=f(0) =⇒ f n’est pas continue `a droite de 0

=⇒ f n’est pas continue en 0.

Alors que

x→0,x<0lim f(x) = 1 =f(0) =⇒ f est continue `a gauche de 0.

——————————————————————————————

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38

(39)

0,8 y

0,6 1

0,5

0,4 0

-0,5

0,2

-1

x

1

Figure 5.1 – Cette fonction paire n’a pas de limite en 0.

4. On pr´esente une suite (xn)∈(Df \ {a})^N telle que

n→+∞lim xn =a et lim

n→+∞f(xn)6=f(a) Exemple

f :x7→

(cos(_x¹) si x6= 0

1 si x= 0.

Si l’on pose xn = _nπ¹ , on aura f(xn) = (−1)ⁿ puis

n→+∞lim xn = 0 et lim

n→+∞f(xn) n’existe pas

=⇒ lim

x→+∞cos(x) n’existe pas.

f n’est donc pas continue en 0( Voir Figure .

————————————————————————————————

5. On pr´esente deux suites (xn) et (yn)∈(Df \ {a})^N telles que

n→lim+∞xn = lim

n→+∞yn=a et lim

n→+∞f(xn)6= lim

n→+∞f(yn) Exemple

f :x7→

(cos(_x¹2) si x6= 0

1 si x= 0.

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39

(40)

Si l’on pose xn = ^√¹

2nπ et , yn = √ ¹

(2n+1)π. on aura d’une part

n→+∞lim xn = lim

n→+∞yn= 0, et

(∀n >0) f(xn) = 1 et f(yn) =−1 Puis d’autre part,

n→+∞lim f(xn)6= lim

n→+∞f(yn) Et par cons´equent,

=⇒ lim

x→0,x6=0cos( 1

x²) n’existe pas.

5.2 Continuit´ e uniforme

5.2.1 Comment Montrer qu’une fonction est uniform´ement continue

La continuité uniforme est une propriété GLOBALE, en ce sens que, lorsque l’on dit : uniformément continue, IL FAUT préciser où ? sur quel ensemble ?

Passer par la définition de la continuité uniforme, est en général difficile. On a recours aux règles suivantes

f continue sur le segment compact [a, b] =⇒f est uniform´ement continue sur [a, b].

Cette implication est aussi connue sous le nom du théorème de Heine. Ce théorème est à la base de l’intégrabilité des fonctions continues sur un compact [a, b].

On peut aussi profiter des conditions suffisantes

Sif est d´erivable sur I alors f est Lipschitzienne surI ⇐⇒ f^′ est born´ee sur I.

et

f Lipschitzienne sur A=⇒f est uniform´ement continue sur A.

ou des conditions n´ecessaires

f est uniform´ement continue sur A et (xn)∈A^N de Cauchy =⇒(f(xn)) de Cauchy .

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40

(41)

5.2.2 Comment Montrer qu’une fonction n’est pas uniform´ement continue sur A

Il y a, en gros, trois m´ethodes : 1. On pr´esente une suite

(un)∈A^N de Cauchy telle que (f(un)) ne soit pas de Cauchy Exemple

Pour montrer que la fonction f : x 7→ ¹_x n’est pas uniformément continue sur ]0,1], il suffit de considérer la suite (xn) définie par xn= _n+1¹ .

(xn) est une suite d’´el´ements de ]0,1] qui converge vers 0. C’est donc une suite de Cauchy.

Mais f(xn) =n+ 1, dons la suite (f(xn) n’est pas de Cauchy, vu qu’elle diverge.

On en d´eduit que f n’est pas uniform´ement continue sue ]0,1].

2. On pr´esente deux suites

(un) et (vn) telles que : lim

n→+∞(un−vn) = 0 et lim

n→+∞(f(un)−f(vn))6= 0 Exemple

Soit f la fonction d´efinie de R⁺ vers R⁺ par (∀x∈R) f(x) = x². Prenons

xn =n etyn=n+ 1 n. (xn) et (yn) sont des suites d’´el´ements de R⁺.

D’une part,

f(yn)−f(xn) = (n+ 1

n)²−n² = 2 + 1 n² De l’autre, On a

n→+∞lim (yn−xn) = lim

n→+∞

1 n = 0 et

n→lim+∞(f(yn)−f(xn)) = lim

n→+∞(2 + 1

n²) = 2 6= 0

On en d´eduit que x: 7→x² n’est pas uniform´ement continue sur [0,+∞[.

3. On peutaussi appliquer la règele ci-après, du prolongement d’une fonction uniformément continue sur un intervalle BORNE.

Soient a et b deux r´eels tels que :a < b.

f uniform´ement continue sur ]a, b] =⇒ lim

x→a⁺f(x)∈R.

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Exemple

Soit f la fonction d´efinie de ]0,1] versR par (∀x∈R) f(x) = _x¹. Il suffit de remarquer que

lim

x→0⁺f(x) = +∞

f n’est donc pas prolongeable par continuit´e `a droite de 0.

On en d´eduit que x: 7→ ¹x n’est pas uniform´ement continue sur ]0,1].

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Chapitre 6

La d´ erivabilit´ e des fonctions r´ eelles

6.1 Comment ´ etudier la d´ erivabilit´ e d’une fonction

L’étude de la dérivabilité est en fait basée sur le calcul d’une limite.

6.1.1 Dérivabilité d’une fonction bien connue On se sert des règles suivantes :

Les polynômes sont dérivables sur R. Les Fractions rationnelles sont dérivables sur leurs domaines de définition . x 7→ √

x est dérivable sur R^∗+. x 7→ ln(x) est dérivable sur R^∗+. x7→e^x est dérivable sur R. x7→cos(x) etx 7→sin(x) sont dérivables sur R. x7→arccos(x) et x 7→ arcsin(x) sont dérivables sur ] −1,1[. x 7→ tg(x) est dérivable sur R\{^π₂ +kπ}. x7→ arctg(x) est dérivable sur R. La somme de deux fonctions dérivables est dérivable. Le produit de deux fonctions dérivables est dérivable. La composée de deux fonctions dérivables est dérivable.

f dérivable en a etg dérivable en f(a) =⇒gof est dérivable en a et de plus

(gof)^′(a) = g^′(f(a)).f^′(a) Exemple

Si

f(x) = sin(x) et

g(x) =e^x+ln(1+x²⁾ Alors

(gof)^′(x) =

1 + 2 sin(x) 1 +sin²(x)

esin(x)+ln(1+sin²(x))cos(x).

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6.1.2 Dérivabilité d’une fonction définie par morceaux Si a est un point de Df tel que f(a) soit défine séparément.

Pour étudier la dérivabilité de f au point a, il faut calculer limx→a,x6=a f(x)−f(a) x−a .

Si cette limite existe et est égale à L∈R, alors f est dérivable en a et f^′(a) =L, sinon, si cette limite est infinie ou n’existe , alorsf n’est pas dérivable en a.

Pour que f soit dérivable en a, il faut qu’elle soit dérivable à droite et à gauche de a et que

x→lima,x<a

f(x)−f(a)

x−a = lim

x→a,x>a

f(x)−f(a) x−a . 6.1.3 Dérivabilité de la fonction réciproquef⁻¹.

Soient I et J deux intervalles de R etf une bijection continue deI SUR J.

Soit y0 ∈J et x0 ∈I : f(x0) =y0.

f d´erivable en x0 etf^′(x0)6= 0 =⇒f⁻¹ est d´erivable en y0

et

f⁻¹(y0) = 1

f^′(x0) = 1 f^′(f⁻¹(y0). Exemple

Prenons f :x7→cos(x).

f est continue et strictement croissante sur [0, π].

f est une bijection de [0, π] sur [−1,1].

f est d´erivables sur [0, π] et ∀x∈]0, π[f^′(x) =−sin(x)6= 0.

Or

f(]0, π[) =]−1,1[

Donc f⁻¹ = arccos est d´erivable sur ]−1,1[ et

(∀y∈]−1,1[) (f⁻¹)^′(y) = 1

−sin(arccos(y))

= −1

p1−cos²(arccos(y)) = −1 p1−y².

6.2 Comment ´ etudier les variations d’une fonction

6.2.1 En ´etudiant le signe du taux d’accroissement

Soit f une fonction r´eelle et A une partie de son domaine de d´efinition.

(∀(x, y)∈A²) :x6=y f(x)−f(y)

x−y ≥0 ⇐⇒ f est croissante sur A

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