BTS du Groupement A R´evisions de Math´ematiques

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BTS du Groupement A R´evisions de Math´ematiques

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La connaissance du cours est une condition absolument nécessaire, mais non suffisante, de réussite à l’épreuve de l’examen.

Les math´ematiques ne peuvent se maˆıtriser que par un entraˆınement r´egulier, et donc par la recherche de nombreux exercices.

N’oubliez pas que c’est par l’hésitation, les erreurs et même l’échec que vous progresserez.

Voici un recueil de sujets récents proposés aux divers BTS, et classé par thèmes destiné à mener à bien vos révisions.

Pendant l’´epreuve

F Lisez entièrement l’énoncé d’un problème.

Vous pourrez ainsi d´etecter les questions que vous pensez savoir traiter ou celles qui sont ind´ependantes.

Une r`egle absolue : Faites d’abord ce que vous savez faire.

F Vérifiez vos calculs et la cohérence de vos résultats.

– Une expression au carrée ne peut être négative

– Le sens de variation d’une fonction doit ˆetre en accord avec l’´etude aux bornes du domaine

F Si votre r´esultat semble absurde ne le laissez pas ainsi.

– Les correcteurs sont des ˆetres fragiles, ne les agressez pas par des r´esultats du type cos(x) = 3,√

4 = −2, ou une probabilit´e P(A)>1

– Signalez dans votre copie que votre résultat est absurde, et ajoutez que vous ne parvenez pas à détecter l’erreur. Vous y gagnerez peut-être des circonstances atténuantes

F Respectez toujours les notations et les unit´es du sujet.

Ne remplacez pas t par x, i par j, les minuscules par des majuscules ou inversement.

Si vous devez utiliser une variable supplémentaire ou un autre symbole, définissez les clairement et veillez à ce qu’il ne puisse y avoir de confusion dans la suite du problème.

Une r`egle : Pour les graphiques respectez les consignes du sujet.

F Soignez la pr´esentation et la r´edaction.

Ecrivez bien, formez bien vos chiffres, encadrez ou soulignez vos r´esultats, pr´esentez cor- rectement vos courbes en n’oubliant pas l’origine ni les vecteurs unitaires sur les axes.

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Table des mati` eres

Nombres Complexes 3

Fonctions Num´ eriques 6

Int´ egration 8

Equations Diff´ ´ erentielles 10

Transform´ ee de Laplace 12

S´ eries de Fourier 14

Probabilit´ es 16

Lois de Probabilit´ e 17

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Premi` ere partie

Nombres Complexes

BTS-Electronique-1986

A tout nombre complexe` z diff´erent de 8, on associe le nombre complexe Z d´efini par : Z = z(z−6)

z−8

1)

Quels sont les complexes z pour lesquelsZ = 10 ?

2)

On d´esigne par j le complexe d’argument π

2 et de module 1.

a) Quel est l’ensemble E des points m d’affixe z = 8 + 4e^jθ lorsque le nombre r´eel θ d´ecrit l’intervalle [−π, π] ?

b) Lorsque m décrit E, quel est l’ensemble des points M d’affixe Z? On représentera les deux ensembles de points mis en évidence.

BTS-Electronique-1990

En ´electronique on utilise la fonctionT de la pulsation ω d´efinie sur ]0 ; +∞[ par :

T(ω) = K

R+j Lω− _Cω¹ – j est le complexe de module 1 et d’argument π

– K est une constante complexe 2

– R, L etC sont des constantes r´eelles strictement positives On pose h(ω) = 1

R Lω− _Cω¹

o`u ω ∈]0 ; +∞[

Dans ces conditions, T(ω) = K R

1 1 +j h(ω)

(4)

1)

Etudier les variations de^´ h.

D´eterminer en fonction de L etC, la valeur de ω qui annuleh.

2)

On se propose d’´etudier l’ensemble (E) du plan complexe, d´ecrit par le point d’affixe T(ω) quand ω parcourt ]0 ; +∞[

a) Représenter dans le plan complexe, l’ensemble ∆ des points d’affixe 1 +j h(ω) b) En utilisant les propriétés de l’inversion complexe, en déduire l’ensemble Γ des points

d’affixe 1

1 +j h(ω)

c) Pr´eciser la nature de l’ensemble (E).

d) Avec les données numériques fournies à la fin du texte de l’exercice, représenter graphiquement l’ensemble (E) lorsque α = 0 et colorier la partie de (E) correspondant aux valeurs de la fréquence f comprise entre 50 Hz et 100 Hz.

A l’aide de ces r´` esultats, traiter le cas où α= π 6 Données numériques : La fréquence f = ω

2π st exprim´ee en Hertz.

L= 0,05 ; C = 20 ; R = 50 ; K = 200e^jα

Pour les représentation graphiques, le choix du repère et des unités physiques est laissé à l’initiative du candidat.

BTS-Electronique

On considère un filtre où C désigne la capacité d’un condensateur exprimée en Farad, R₁ est un résistor de 10 kΩ et R2 la valeur d’un résistor exprimée en Ohm.

Le but de l’exercice consiste à ajuster les valeurs de C et deR₂ pour obtenir un filtre dont les propriétés sont fixées (avec R₁=10 kΩ).

La fonction de transfert, en r´egime harmonique, de ce filtre peut s’´ecrire : T(ω) = α 1 +i a ω

1 +i b ω o`u α= R₂

R₁+R₂ ; a=R₁C ; b =α a ; ω∈]0; +∞[

eti d´esigne le complexe de module 1 et d’argument π 2

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Partie A

1)

Montrer que, pour tout ω >0, T(ω) = α+ 1−α 1−i 1 bω

a) Dans le plan P muni d’un rep`ere orthonormal, l’ensemble des points m d’affixe z = 1−i 1

bω est not´e ∆.

Déterminer cet ensemble ∆ quand ω varie dans ]0; +∞[, b étant fixé strictement positif.

On utilisera le point h d’affixe 1 pour d´efinir ∆.

b) Soit la fonction f :

( C → C

z 7→ f(z) =α+ (1−α)1 z

et la transformation ponctuelle associéeF deP privé de O dans P, qui àm d’affixe z associe M d’affixe f(z).

Dans le plan P on note C l’ensemble des points M images des points m de ∆ par la transformation ponctuelle F.

Décrire une construction géométrique deM à partir d’un point m pris sur ∆.

On notera l’invariance du point h d’affixe 1 et on rappelle que : 0< α <1

c) Montrer à partir de cette construction que lorsque m décrit ∆, M décrit une Partie (que l’on précisera) d’un cercle dont on définira le diamètre porté par l’axe des abscisses.

Faire une figure pour α = 1

2, l’unit´e graphique ´etant de 12 cm.

2)

Soit θ un argument de T(ω) ´el´ement de i 0,π

2 h

Déterminer géométriquement le point N de C pour lequel θ est maximum.

On note A(ω) la valeur maximale de cet argument exprim´ee en radians.

Calculer sin A(ω) .

Partie B

Dans cette partie, on se propose de calculer les valeurs deR₂et deCde sorte que A(ω) = π pour une fr´equencef = 1 kHz. 6

On rappelle que ω= 2πf, ω en rd s⁻¹ f en Hz.

1)

De A(ω) = π

6, d´eduire la valeur correspondante deα, et celle deR₂ On rappelle que R₁ =10 kΩ.

2)

a) En admettant que α = 2

3, faire une nouvelle figure et construire le point n de ∆ dont l’image par F est le pointN en lequel θ est maximum.

b) Calculer la distance h n, et en d´eduire la valeur de b correspondante puis celle de C.

(6)

Deuxi` eme partie

Fonctions Num´ eriques

BTS-Electronique-1985

Soit la fonction num´erique f d´efinie sur R par

(t 7→f(0) = 0

t 7→f(t) = (t²+t)e^1/t si t6= 0 Soit C sa courbe dans un repère orthonormé (unité : 2 cm)

1)

Etudier la continuit´^´ e et la d´erivabilit´e de f en 0.

2)

D´eterminer les limites def en +∞ et−∞.

En utilisant un développement à l’ordre 3 de e^1/t montrer que la courbe Γ représentative de la fonction t 7→t²+ 2t+3

2 est une asymptote `a la courbe C.

3)

Etudier les variations de^´ f. Tracer la courbe C et la courbe Γ dans le mˆeme rep`ere.

BTS-Fonderie sur mod` ele-1989

On consid`ere les fonctions f et g d´efinies sur R^+∗ par : x7→f(x) = ln(x) + 2

x − 1

x² et x7→g(x) = ln(x)

C_f et C_g désignent les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère ortho- normé, d’unité graphique 2 cm.

1)

Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition, et établir son tableau de variation.

2)

D´eterminer la limite de f(x)−g(x) lorsque x tend vers +∞

Interpréter graphiquement ce résultat. Etudier la position de´ C_f par rapport à C_g.

3)

Construire dans le mˆeme rep`ere les courbes Cf et Cg.

4)

Calculer l’aire, en cm², du domaine plan E ensemble des pointsM de coordonn´ees (x, y) telles que : 16x6e et g(x)6y 6f(x)

5)

On souhaite résoudre l’équation : x²ln(x) + 2x−1 = 0 Déterminer graphiquement le nombre de solutions de cette équation.

Donner une valeur approchée à 10⁻¹ près par excès de la solution.

(7)

BTS-Electronique-1989

Décharge d’un condensateur de capacité C dans un circuit comprenant une résistance R et une inductance L.

On admet que la charge q du condensateur est une fonction du temps deux fois dérivable, qui vérifie à tout instantt de l’intervalle [0; +∞[, l’équation différentielle :

L q⁰⁰(t) +R q⁰(t) + 1

C q(t) = 0 (1)

1)

On donne L= 10 H, C = 0,2 F, R= 22,5 Ω (q en coulombs).

D´eterminer la solution q de l’´equation (1) telle que : q(0) = 1 et q⁰(0) = 13 4

2)

a) Etudier la fonction g définie sur [0; +∞[ par : t 7→ g(t) =−2e^−2t+ 3e^−t/4 On montrera en particulier que la dérivéeg⁰ s’annule pour un nombre réelα et un seul dont on donnera une valeur exacte.

On déterminera ensuite une valeur approchée à 10⁻² près de α et deg(α).

b) Déterminer des valeurs approchées à 10⁻² près de g(1), g(2), g(4), g(8), g(16).

On pr´esentera les r´esultats sous forme de tableau.

c) Construire la courbe représentativeC deg dans un repère orthonormé.

Pr´eciser la tangente `a la courbe au point d’abscisse 0.

3)

Utiliser l’étude précédente pour déterminer une valeur approchée à 0,5 seconde près de l’instant où la charge q du condensateur est devenue inférieure à 0,2 coulombs.

(8)

Troisi` eme partie

Int´ egration

BTS-Constructions M´ etalliques-1987

On se propose de calculer : I = Z 4

2

−t³−t²+ 5t+ 7 t³ + 3t²+t−5 dt

1)

R´esoudre l’´equation t³+ 3t²+t−5 = 0 dans R et justifier l’existence deI.

2)

Trouver des réels a, b, cet d tels que pour toutt élément de l’intervalle [2,4] on ait :

−t³−t² + 5t+ 7

t³+ 3t²+t−5 = at+b

t²+ 4t+ 5 + c t−1 +d

3)

Calculer : I₁ = Z 4

2

1

t²+ 4t+ 5dt

4)

Calculer : I₂ = Z 4

2

t+ 2 t²+ 4t+ 5dt

5)

Calculer I.

BTS-Fonderie En Moules M´ etalliques-1987 1)

Calculer l’int´egrale suivante : I =

Z 2 1

2 t²−4dt

2)

Utiliser le changement de variable : t =√

e^x−1 pour en d´eduire : J =

Z ln(5) ln(2)

e^x (e^x+ 3)√

e^x−1 dt

BTS-Conception de produits industriels-1988

Calculer la valeur exacte de l’int´egrale suivante : I = Z 1

0

t 2t+ 1dt

(9)

BTS-Constructions m´ etalliques-1988

On veut calculer simultan´ement les trois int´egrales suivantes : A=

Z ^π₂

0

cos⁴(t)dt ; B = Z ^π₂

0

sin⁴(t)dt ; C = Z ^π₂

0

2 sin²(t) cos²(t)dt

1)

Calculer A−B et A+B +C

2)

Montrer que : cos⁴(t) + sin⁴(t)−6 sin²(t) cos²(t) = cos(4t) En d´eduire la valeur de A+B−3C, puis celles de A, de B et de C.

BTS-Mise en œuvre des plastiques-1989

Calculer l’int´egrale : I = Z

√ 3 1

1

t³ ln(1 +t²)dt

BTS-Industrie du bois-1989

Calculer les int´egrales d´efinies suivantes : I =

Z 1 0

t²−5t+ 9

t²−5t+ 6 dt ; J = Z ^π₂

0

cos(t) ln 1 + cos(t) dt

BTS-Electronique

Calculer les int´egrales d´efinies suivantes : A=

Z 1 0

t²+ 3

(t+ 2)(t−3)dt ; B = Z π

0

cos(2t)e^−3tdt ; C= Z π

0

(2t+ 1)e^−tdt

(10)

Quatri` eme partie

Equations Diff´ ´ erentielles

BTS-Maintenance-1989

En physique l’étude d’un mouvement amorti conduit à l’équation différentielle :

x⁰⁰+ 2x⁰+ 2x= 0 (E)

dans laquelle x est une fonction inconnue de la variablet.

1)

R´esoudre cette ´equation sur R.

2)

Trouver la solution particulière de cette équation prenant la valeur 0 pour t = 0 et dont la dérivée prend la valeur 1 pour t= 0.

3)

Soit f la fonction numérique, telle que, pour tout élément t de l’intervalle [0;π]

t 7→ x=f(t) =e^−tsin(t) Etudier les variations de f.

En déduire sa représentation graphique C dans le plan rapporté à un repère orthogonal où l’unité graphique vaut 2 cm sur l’axe (t⁰Ot) des abscisses et 10 cm sur l’axe (x⁰Ox) des ordonnées.

4)

On se propose de calculer, en cm², une valeur approchée par défaut à 1 mm² près de l’aire du domaine plan délimité par la courbeC et l’axe des abscisses.

A cette fin deux méthodes sont proposées : a) Déterminer

Z π 0

f(t)dt au moyen de deux int´egrations par partie successives.

b) En utilisant l’équation différentielle (E) écrite sous la forme : x =−1

2(x⁰+ 2x)⁰ D´eterminer une primitive F de f sur [0;π].

En d´eduire l’expression de Z π

0

f(t)dt `a l’aide de F.

c) Déterminer une valeur approchée de l’aire considérée à 1 mm² près par défaut.

BTS-Construction M´ etallique-1990

Soit l’´equation diff´erentielle (E) :

x⁰⁰−2x⁰+ 5x=e^tsin(2t)

1)

Résoudre l’équation différentielle x⁰⁰−2x⁰+ 5x= 0

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2)

Déterminer les solutions particulières de (E) de la forme : x=e^t(Acos(2t) +Bsin(2t)) oùA et B désignent deux nombres réels.

3)

En d´eduire l’ensemble des solutions de l’´equation (E).

Remarque

On peut aussi d´eterminer les solutions particuli`eres de(E) en passant sous forme complexe.

BTS-´ Equipement Technique-´ Energie-1990

La charge d’un condensateur dans un circuit ´electrique est une fonction Q du temps t, d´efinie sur l’intervalle [0,+∞[

Dans certaines conditions, le système d’unités étant bien choisi, cette fonction vérifie l’équation différentielle (E) :

Q⁰⁰(t) + 2Q⁰(t) + 2Q(t) = 0 pour t>0

dans laquelle Q⁰ etQ⁰⁰ sont les fonctions dérivées première et seconde de la fonction Q.

1)

D´eterminer toutes les solutions de l’´equation (E).

A l’instant` t = 0, instant o`u l’on ferme l’interrupteur, la charge du condensateur v´erifie les conditions : Q(0) = 1 et Q⁰(0) = 0

En d´eduire que l’expression de la charge du condensateur est : Q(t) = √

2e^−tcos(t− ^π₄)

2)

Etude des variations de la charge^´ Q(t) sur [0,2π]

a) Quelle est la limite deQ(t) lorsque t tend vers +∞? b) D´eterminer les instants pour lesquels la charge est nulle.

Soit Γ la courbe repr´esentative de la fonction Q.

c) Construire l’arc de Γ correspondant à l’intervalle [0,2π] dans le plan rapporté à un repère orthogonal d’unité graphique : 8 cm représentent π unité en abscisse et 20 cm représentent une unité en ordonnée.

3)

Déterminer en utilisant l’équation différentielle (E) les primitives de la fonction Q.

En d´eduire que la primitive F deQ, qui s’annule pour t = 0 est d´efinie par : F(t) = 1−e^−tcos(t) pour t >0

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Cinqui` eme partie

Transform´ ee de Laplace

BTS-Contrˆ ole industriel-1988

On d´esigne par j le nombre complexe de module 1 et dont un argument est π 2. La fonction U apparaissant dans cet exercice est d´efinie par : U :

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0 Le circuit électrique considéré dans cet exercice a pour signal d’entrée une tension, et pour signal de sortie une intensité i(t).

L’équation différentielle régissant ce circuit est : Ld²i

dt² +Pdi dt + i

C = de

dt (1)

On suppose que si t <0, e(t) = 0 et i(t) = 0 On suppose en outre, qu’`a l’instant initial on a :







e(t) = 0 i(0) = 0 di

dt(0) = 0

1)

Appliquer la transformation de Laplace à l’équation différentielle (1). (On noteraI et E les transformées respectives des fonctions i ete).

En déduire la fonction de transfert H du système, définie par :

I(p) =H(p)×E(p) (2)

2)

On suppose dans toute la suite de l’exercice, que :

L= 1 henry R= 10 ohms et C = 4000 microfarads V´erifier que l’on a alors : H(p) = p

(p+ 5)²+ 15²

Déterminer L⁻¹(H) (L⁻¹ désignant la transformée de Laplace inverse)

3)

Dans cette question on a : e(t) = U(t−1)− U(t−3) a) Repr´esenter le signale(t)

b) Calculer E(p) puis, en utilisant (2), d´eterminer I(p).

c) D´eterminer i(t).

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4)

On alimente le circuit par une tension sinuso¨ıdale de pulsation ω positive.

Le gain r(ω) du syst`eme est alors ´egal au module du nombre complexe H(jω).

a) Calculer r(ω).

b) Etudier les variations de la fonction num´´ erique f d´efinie sur l’intervalle ]0,+∞[ par : f(u) = u²−400 + 62500

u²

(on ne demande pas de tracer la courbe repr´esentative de f) c) Quelle relation a-t-on entre r(ω) et f(ω) ?

Pour quelle valeur de ω, le gain atteint-il son maximum ? d) D´eterminer la limite de r(ω) lorsque ω tend vers +∞

e) Le tableau ci-dessous donne les valeurs approch´ees de r(ω)

ω 0 ¹₂π π ³₂π 2π ⁵₂π 3π

r(ω) 0 0,0063 0,013 0,020 0,029 0,039 0,05 ω ⁷₂π 4π ⁹₂π 5π ¹¹₂π 6π ¹³₂π r(ω) 0,065 0,08 0,094 0,0999 0,096 0,087 0,077

ω 7π ¹⁵₂π 8π ¹⁷₂π 9π ¹⁹₂ π 10π r(ω) 0,069 0,061 0,055 0,05 0,046 0,042 0,04

Utiliser ces valeurs pour construire sans étude supplémentaire, l’arc correspondant de la courbe d’équation polaire : ρ=r(ω)

BTS-Electronique-1985

En utilisant la transform´ee de Laplace r´esoudre :









 dy₁

dt = −y₁ + 3y₂ dy₁

dt = 2y2

dy₁

dt = 2y₁ + y₂ − y₃

avec











y₁(0) = 1 y₂(0) = −1 y₃(0) = 0

(14)

Sixi` eme partie

S´ eries de Fourier

BTS-Electronique-1986

Soit la fonctionf deR dans R, paire, périodique de période 4 définie par : f(t) = 1 pour 06t <1

f(t) =t pour 061<2

1)

Calculer : Z 2

−2

f(t)dt et Z 2

−2

f²(t)dt

En d´eduire la valeur moyenne et la valeur efficace de la fonction f.

2)

Déterminer le développement en série de Fourier def.

BTS-Assistance technique d’ing´ enieur-1988

Les constructeurs de pompes affirment :

«le d´ebit est plus r´egulier si le nombre p de pistons est impair»

On se propose de v´erifier cette affirmation dans les deux cas particuliers p= 3 etp= 4.

Soit f la fonction de p´eriode 2π d´efinie par :

f(t) = sin(t) pour 0 6t < π f(t) = 0 pour π61<2π

Cette fonction décrit le débit d’un cylindre (un cylindre ne débite que pendant la phase de refoulement).

1)

Etude du cas^´ p= 3

Les d´ebits q₁ , q₂ ,q₃ des trois cylindres sont respectivement donn´es par : q₁(t) =f(t) ; q₂(t) =f

t+ 2π

3

; q₃(t) = f

t+4π 3

Le d´ebit de la pompe est : Q₃ =q₁+q₂+q₃

a) Repr´esenter graphiquement q₁ sur l’intervalle [−2π; +2π]

En déduire les représentations, sur le même intervalle, deq₂ etq₃ b) Montrer que : Q₃(t) = Q₃

t+2π

3

c) Montrer que :











Q3(t) = sin

t+ π 3

pour 06t < π 3 Q₃(t) = sin(t) pour π

3 61< 2π 3

(15)

d) Donner l’allure de la courbe repr´esentative de Q₃ sur l’intervalle [−2π; +2π].

Pr´eciser les valeurs de Q3(0), Q₃π 3

, Q₃

2π 3

2)

Etude du cas^´ p= 4

Le d´ebit de la pompe est : Q4(t) =f(t) +f

t+ π 2

+f(t+π) +f

t+3π 2

Montrer que Q₄ a pour p´eriode π

2 et montrer que, pour 06t6 π

2 on a : Q4(t) =√

2 sin

t+ π 4

Pr´eciser les valeurs de Q₄(0) et de Q₄π 4

et donner l’allure de la courbe repr´esentative deQ4 sur l’intervalle [−2π; +2π].

3)

Etude du taux d’irr´^´ egularité du débit Par définition le taux d’irrégularité Ω_p est donné par :

Ω_p = Q_pmaximum−Q_pminimum Q_p moyen

a) Calculer le d´ebit moyen q commun d’un cylindre (c’est-`a-dire la valeur moyenne de la fonction f, sur l’intervalle [0; 2π]).

En d´eduire le d´ebit moyen Qp dans les cas p= 3 et p= 4.

b) En utilisant les r´esultats de 1) et 2), calculer Ω₃ et Ω₄ et v´erifier que Ω₄ >Ω₃.

4)

Etude du cas^´ p= 4 `a l’aide des s´eries de Fourier a) Calculer les coefficients de Fourier a0 , a1 , b1 , an ,bn de f.

b) Il résulte de la question précédente que : f(t) = 1

π +1

2 sin(t)− 2 π

+∞

X

k=1

1

4k²−1cos(2k t)

Ecrire les d´eveloppements en s´erie de Fourier de : f

t+π 2

; f(t+π) ; f

t+ 3π

2

c) En d´eduire que :

Q4(t) = 4 π − 8

π

+∞

X

p=1

1

16p²−1cos(4p t)

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Septi` eme partie

Probabilit´ es

BTS-Architecture-1988

Un enfant a dans sa poche dix pièces de monnaie : quatre pièces de 1 F, quatre pièces de 0,50 F, deux pièces de 0,20 F

Pour régler un achat de 3,70 F, il tire de sa poche, au hasard, cinq pièces. (On suppose que tous les groupes de cinq pièces ont la même probabilité d’être tiré).

1)

Quelle est la probabilit´e pour qu’il obtienne ainsi exactement la somme de 3,70 F ?

2)

Quelle est la probabilit´e pour qu’il obtienne un somme suffisante pour payer son achat ?

BTS-Fonderie sur mod` ele-1988

Deux pour cent des pièces fabriquées dans un atelier étant défectueuses, on décide de les contrôler.

Le procédé de contrôle est tel que :

– Si la pièce est bonne : elle est acceptée avec une probabilité de 0,96.

– Si la pièce est défectueuse : elle est refusée avec une probabilité de 0,98.

1)

On considère les deux événements disjoints suivants : E₁ etE₂

– E₁ est l’événement : «la pièce est défectueuse et la pièce est acceptée»

– E₂ est l’événement : «la pièce est bonne et la pièce est refusée»

Il y a donc une erreur de contrôle si l’un ou l’autre de ces événements se produit.

a) Calculer la probabilité de l’événement E₁ b) Calculer la probabilité de l’événement E₂

c) Calculer la probabilit´e pour qu’il y ait erreur de contrˆole.

2)

Calculer la probabilité pour que la pièce soit bonne sachant qu’elle a été refusée.

BTS-Archictecture-1989

Une urne contient dix boules blanches et sept boules noires. On extrait simultan´ement deux boules de l’urne. On suppose les boules indiscernables au toucher et donc les tirages sont

´equiprobables.

1)

Quelle est la probabilit´e pour que ces deux boules soient de couleurs diff´erentes ?

2)

Quelle est la probabilit´e pour que les deux soient blanches ?

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Huiti` eme partie

Lois de Probabilit´ e

BTS-Assistance technique d’ing´ enieur-1988

Une entreprise fabrique des boulons dont le diam`etre suit une loi de Laplace-Gauss de moyenne 6 mm, et d’´ecart type 0,1 mm.

On considère qu’un boulon est défectueux si son diamètre est inférieur à 5,80 mm ou supérieur à 6,25 mm.

Calculer la probabilité exprimée en pourcentage pour qu’un boulon soit défectueux.

BTS-Industries Graphiques-1988

Une usine produit des articles dont 3% pr´esentent des d´efauts.

En vue du contrôle de qualité, on constitue au hasard un échantillon de 120 articles.

1)

A quelle loi de probabilité obéit la distribution des objets défectueux ?

Justifier que l’on peut approcher cette loi par une loi de Poisson ; quel en est le param`etre ?

2)

Calculer alors la probabilité (4 décimales) pour que l’échantillon contienne : a) au moins un article défectueux.

b) au plus trois articles d´efectueux.

BTS-Conception de produits industriels-1989

Dans un atelier fonctionnent 12 machines ; chacune d’elle a la probabilit´e 0,036 de se trouver en panne un jour donn´e.

1)

On appelleAl’événement : «3 machines au moins se trouvent en panne un jour donné»

Calculer à 10⁻⁵ près la probabilité p₁ =P(A). On prendra par la suitep₁ = 0,008.

2)

Cet atelier fonctionne 250 jours par an. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de jours dans l’année où se produit l’événement A.

Calculer à 10⁻³ près, en utilisant une approximation par la loi de Poisson de la loi suivie par X, une valeur approchée de la probabilité p₂ =P(X >3).

(18)

BTS-Industries papeti` eres-1991

Une usine fabrique des pièces en grande série en deux phases indépendantes. La première phase est susceptible de faire apparaˆıtre un défautA (2% des cas) et la deuxième un défautB (10% des cas).

1)

Calculer les probabilités pour qu’une même pièce tirée au hasard : a) présente les deux défauts.

b) ne pr´esente aucun des deux d´efauts.

c) pr´esente un et un seul des deux d´efauts.

2)

On prélève n = 300 pièces dans le stock

a) On s’intéresse à la variable aléatoire X égale au nombre de pièces de cet échantillon présentant le défautA.

Donner la loi de probabilit´e de X.

En déterminer l’espérance mathématique et l’écart type.

b) On admet que X suit une loi de Poisson.

Justifier cet ajustement.

Quel est le param`etre de cette loi de Poisson ?

Quelle est la probabilité pour que parmi les 300 pièces il y en ait 10 qui présentent le défaut A?

BTS-Maintenance-1988

1)

Un sac contient 100 billes : 36 sont rouges les autres sont bleues. Une ´epreuve consiste

`

a tirer 50 fois de suite une bille au hasard dans ce sac, à constater sa couleur et à la remettre dans le sac avant le tirage de la boule suivante. SoitX la variable aléatoire associant à chaque

´epreuve le nombre de boules rouges tir´ees.

Déterminer la loi de probabilité de X, son espérance mathématique et sa variance.

Calculer la probabilit´e pour que X = 2.

2)

On suppose que la loi X peut être approchée par une loi normale de moyenne 18 et d’écart type 3,394.

Calculer à l’aide de cette approximation les valeurs numériques approchées des probabilités P(X >22) et P(X620).

En déduire également une valeur approchée de P(|X−18|62).