1.2. R-modules différentiels gradués

Scindage des complexes en catégorie dérivée

Alberto Arabia 14 août 2012 Résumé

• Soient R un anneau commutatif gradué, Diff^gr(R) la catégorie desR- modules différentiels gradués (R-mdgen bref),IKDiff^gr(R)la catégorie obte- nue deDiff^gr(R)en identifiant les morphismesR-homotopes, etIDDiff^gr(R) obtenue deIKDiff^gr(R)en inversant ses quasi-isomorphismes. On définit la structure triangulée deIKDiff^gr(R)et deIDDiff^gr(R), et l’on étudie le pro- blème du scindage des R-modules différentiels gradués, plus précisément, l’existence d’un isomorphisme dansIDDiff^gr(R), entre un R-mdg (M, dM) et sa cohomologie : leR-mdg (H(M, dM),0).

•Comme la catégorieDiff^gr(R)est abélienne, on dispose aussi des catégories trianguléesK⁻(Diff^gr(R))etD⁻(Diff^gr(R))de complexes deR-mdg’s bor- nés supérieurement. SiF: Mod^gr(R) Mod^gr(R)est un foncteur covariant additif compatible au décalage, il induit un foncteur DiffF : Diff^gr(R) Diff^gr(R)et son dérivé à gaucheILDiffF:D⁻(Diff^gr(R)) D⁻(Diff^gr(R)). Nous montrons qu’il existe de même un prolongement

IDF:IDDiff^gr(R) IDDiff^gr(R).

La cohomologie deIDF(−)est alors l’aboutissement de la suite spectrale associéé à la filtration par degrés de R-mdg’s du bicomplexe ILDiffF(−).

Lorsque (M, d_M) est scindé, les R-modules gradués h(IDF(M, d_M)) et totIL^∗F(h(M, d_M))sont isomorphes, oùIL^kF:D⁻(Mod^gr(R))est lek-ième foncteur dérivé à gauche standard.

• Pour un groupe de LieGcompact et connexe, les complexes des formes différentielles équivariantes pour uneG-variété différentielleX, sont des ob- jets deDiff^gr(H_G)oùH_G désigne la cohomologieG-équivariante d’un point.

LorsqueX vérifie la dualité de Poincaré rationnelle, le morphisme de dualité de Poincaré équivariante

IDG,X : (ΩG[dX], dG)→Homgr^∗_HG((ΩG,c, dG), HG), (ID) est un quasi-isomorphisme.

On verra que lorsqueGest le toreS¹, toutHG-mdg est scindé, de sorte que l’on a alors des isomorphismes dansIDDiff^gr(HG)

(ΩG(X), dG)∼= (HG(X),0) et(ΩG,c(X), dG)∼= (HG,c(X),0). () Le quasi-isomorphisme(ID)induit alors un isomorphisme de HG-mg

DG,X :HG(X)[dX]−→_∼= totExtgr^∗,•_H

G(HG,c(X), HG). Il en résulte le critère de dualité de Poincaré équivariante suivant.

Critère. LorsqueX vérifie la dualité de Poincaré rationnelle, le morphisme de dualité

HG(X)[dX]→Homgr^∗_HG(HG,c(X), HG)

induit parIDG,X est bijectif si, et seulement si,HG(X)est un HG-module libre.

1

Table des matières

1 Catégories de R-modules différentiels gradués 3

1.1 Rappels sur les catégories triangulées . . . 3

1.2 R-modules différentiels gradués . . . 5

1.2.1 La catégorie des R-modules différentiels gradués. . . 5

1.2.2 Convention sur les notations . . . 6

1.2.3 Le foncteur de translation. . . 6

1.2.4 Le module différentiel graduéHomgr^•_R(−,−). . . 6

1.2.5 Le bifoncteurHomgr^•_R(−,−). . . 6

1.2.6 Le groupe Hotgr_R(−,−). . . 7

1.2.7 Les R-mgHotgr^∗_R(−,−). . . 7

1.2.8 Le module différentiel gradué(− ⊗^R−)^•. . . 7

1.2.9 Le bifoncteur(− ⊗^R−)^•. . . 8

1.2.10 Propriétés de Homgr^•_R(−,−) et(− ⊗^R−)^•. . . 8

1.2.12 La catégorie triangulée IKDiff^gr(R). . . 9

1.2.15 Foncteurs cohomologiques. . . 13

1.2.18 La catégorie IDDiff^gr(R). . . 14

2 R-mdg’s projectifs 16 2.1 R-mdg simple associé à un complexe deR-mdg’s . . . 16

2.1.1 Foncteur «R-mdg simple associé». . . 16

2.1.3 Qestions d’acyclicité du R-mdgsimple associé. . . 17

2.1.5 Troncatures bêtes. . . 18

2.1.6 Morphisme de connexion et quasi-isomorphismes . . . 19

2.2 La paire adjointe(F,Z) . . . 19

2.2.1 Le foncteur F: Mod^gr(R) Diff^gr(R). . . 19

2.2.2 Le foncteur Z : Diff^gr(R) Mod^gr(R). . . 20

2.3 La paire adjointe(E,o) . . . 20

2.3.1 Foncteur «oubli» o : Diff^gr(R) Mod^gr(R). . . 20

2.3.2 Le foncteur E: Mod^gr(R) Diff^gr(R). . . 20

2.3.4 Morphismes d’adjonction. . . 21

2.4 Existence deR-mdg’s projectifs . . . 21

3 Présentations projectives de R-mdg’s 23 3.1 Résolutions projectives et présentations projectives . . . 23

3.1.3 Remarques sur l’existence de présentations projectives. . . 23

3.2 Théorème fondamental des présentations projectives . . . 24

3.3 Le foncteur IDHotgr^∗_R(−,N) . . . 28

3.3.4 Le foncteur IDHotgr^∗_R(F(−), N). . . 29

4 Suites exactes courtes et triangles distingués 30 4.1 Le cas des suites scindées dans Mod^gr(R) . . . 30

4.2 Le cas général . . . 32

5 Relèvements projectifs simultanés de R-mdgr’s 33

§1 Catégories de R-modules différentiels gradués 3

5.1 Le cas des complexes d’une catégorie abélienne . . . 33

5.1.1 Les foncteurs B^m,Z^m,H^m. . . 34

5.1.3 Relèvements projectifs simultanés des suites exactes courtes. . 34

5.1.4 Relèvement projectif simultané d’un complexe quelconque. . . 35

5.1.6 Décomposition des relèvements projectifs simultanés. . . 37

5.1.10 Résolutions projectives simultanées. . . 39

5.2 Résolutions projectives simultanés des R-mdg’s . . . 39

5.2.1 Les foncteurs B,Z,H. . . 40

5.2.2 Relèvements projectifs simultanés des R-mdg’s. . . 40

5.2.4 Résolutions projectives simultanées des R-mdg’s. . . 40

5.2.7 À propos de Hotgr^∗_R(P,−). . . 42

6 Foncteurs dérivés 43 6.1 Foncteurs DiffF, IKF, IDF. . . 43

6.1.2 Exemples. . . 44

6.2 Filtrations et suites spectrales canoniques . . . 44

6.2.1 Filtration canonique de H(IDF(N)). . . 44

6.3 Morphisme de comparaison entre ILDiffF etIDF . . . 48

7 Scindage de R-mdgr’s 51 7.1 R-mdg’s scindés . . . 51

7.1.2 Définition. . . 51

7.1.6 IDHotgr^∗_R(hscindéi, N). . . 53

7.1.9 Suite spectale canonique associée à IDHotgr^∗_R(−, N). . . 56

7.2 Critère général de scindage . . . 56

7.3 Scindage et anneaux héréditaires . . . 69

8 Cohomologie équivariante 70 8.1 Formes différentielles équivariantes . . . 70

8.1.1 Les anneaux gradués R(g) etS_g. . . 70

8.1.3 Les S_g-mdg’sΩ_G(X) etΩ_G,c(X). . . 70

8.1.5 Suite spectrale de Leray-Serre. . . 71

8.2 Le cas où G=S¹ . . . 72

8.3 Un critère de dualité équivariante lorsqueG=S¹ . . . 73

1. Catégories de R-modules différentiels gradués

1.1. Rappels sur les catégories triangulées

Une catégorie «triangulée » est une catégorie additiveA munie de :

a) Un automorphisme de catégoriesT :A→ A, appelé «le foncteur trans- lation ». On note aussiX[m] :=T^m(X), pour tout m ∈Z.

On appelle alors «triangle», tout sextuplet(X, Y, Z, u, v, w)oùX, Y, Z sont des objets deAet oùu:X→Y,v:Y →Z etw:Z→T(X)sont des

morphismes de A. Un triangle se note classiquement des deux manières suivantes

X −→^u Y −→^v Z −→^w X[1] et

X ^u //Y

v

Z

w

[[ [1]

Un «morphisme de triangles»(X, Y, Z, u, v, w)→(X⁰, Y⁰, Z⁰, u⁰, v⁰, w⁰), est la donnée de morphismes f :X →X⁰, g :Y →Y⁰, h:Z →Z⁰ de A, tels que le diagramme :

X −→^u Y −→^v Z −→^w X[1]

f y ^g



y h

y ^f[1]

 y X⁰ −→^u0 Y⁰ −→^v0 Z⁰ −→^w0 X⁰[1]

est commutatif.

b) Une classe de triangles (X, Y, Z, u, v, w) appelés «triangles distingués » vérifiant les conditions suivantes

(TR1) Tout triangle (X, Y, Z, u, v, w) isomorphe à un triangle distingué est distingué. Pour tout morphisme u :X → Y de A, il existe un tri- angle distingué de la forme(X, Y, Z, u, v, w). Pour tout objet X de A, le triangle (X, X,0,id_X,0,0)est distingué.

(TR2) Le triangle (X, Y, Z, u, v, w) est distingué si, et seulement si, le triangle(Y, Z, X[1], v, w,−u[1]) l’est.

(TR3) Soient(X, Y, Z, u, v, w)et(X⁰, Y⁰, Z⁰, u⁰, v⁰, w⁰)deux triangles dis- tingués, etf:X→X⁰ etg:Y →Y⁰ tels queu⁰◦f=g◦u, il existe alors h:Z →Z⁰ (pas forcément unique) tel que (f, g, h) est un morphisme de triangles.

X ^u //

f ⊕

Y ^v //

g

Z ^w //

h

X[1]

f[1]

X^{0 u0} //Y^{0 v0} //Z^{0 w0} //X⁰[1]

(TR4) (Axiome de l’octaèdre.) Étant donné le diagramme de triangles distingués

X ^u //Y ^v //

⊕ ^g

Z ^w //X[1]

X ^u0 //Y^{0 v0} //

g⁰

Z^{0 w0} //X[1]

Y⁰⁰

g⁰⁰

Y[1]

()

§1 Catégories de R-modules différentiels gradués 5 il existe un triangle distingué (Z, Z⁰, Z⁰⁰, h, h⁰, h⁰⁰) et un isomorphisme v⁰⁰ :Y⁰⁰ →Z⁰⁰, tels que le diagramme

X ^u //Y ^v //

g

Z ^w //

h

X[1]

X ^u0 //Y^{0 v0} //

g⁰

Z^{0 w0} //

h⁰

X[1]

Y⁰⁰

g⁰⁰

v⁰⁰

∼= //Z⁰⁰

h⁰⁰

Y[1] ^v[1] //Z[1]

()

est commutatif.

1.1.1. Commentaires sur les axiomes TR

• Les axiomes TR1 et TR3 appliqués au diagramme()fournissent aussi- tôt un diagramme commutatif () mais ne garantissent pas à priori la bijectivité de v⁰⁰.

• Les axiomes TR1, TR2 et TR3 permettent de montrer que, pour tout triangle distingué∆ = (X, Y, Z, u, v, w)et toutM ∈A, l’application des foncteurs (−) Mor_A(M,−) et (−) Mor_A(−, M) à ∆, donne lieu aux suites

Mor_A(M, X)−→^u∗ Mor_A(M, Y)−→^v∗ Mor_A(M, Z)−→^w∗ Mor_A(M, X[1])−→

Mor_A(X, M)←−^u∗ Mor_A(Y, M)←−^v∗ Mor_A(Z, M)←−^w∗ Mor_A(X[1], M)←−

qui sont des suites exactes longuesde groupes abéliens.

1.2. R-modules différentiels gradués

1.2.1. La catégorie des R-modules différentiels gradués. Dans cet ar- ticle, on désigne parR un anneau commutatif, unitaire, positivement gradué R:= (R⁰ ⊕R¹ ⊕ · · ·) et de composantes de degrés impaires nulles (¹).

Un « R-module différentiel gradué » (un R-mdg en bref), est un couple M= (M, d_M), où M := (· · · ⊕M⁻¹ ⊕M⁰ ⊕M¹ ⊕ · · ·) est un R-module Z-gradué (un R-mg en bref), et oùd_M :M →M est un endomorphisme de R-module gradué, de degré 1et de carré nul, appelé sa «différentielle ».

Un «morphisme de R-mdg» α : (M, d_M)→ (N, d_N), est la donnée d’un morphisme R-modules gradués α : M → N, de degré 0, qui commute aux différentielles, i.e. tel que α◦d_M =d_N ◦α.

1. La nécessité de cette condition apparaît notamment lors de l’introduction des R- modules différentiels graduésHomgr^•_R(−,−)et(− ⊗^R−)^• (cf.1.2.4 et 1.2.8).

Les R-mdg’s et leurs morphismes constituent la catégorie des R-modules différentiels gradués, notée Diff^gr(R). C’est une catégorie abélienne.

1.2.2. Convention sur les notations On note par des caractères cursifs : A,B,M,N, . . . des R-mdg’s, et par des caractères romains A, B, M, N, . . . lesR-mg’s sous-jacents, ce qui est cohérent avec l’écriture ‘M= (M, d_M)’.

1.2.3. Le foncteur de translation. On note T : Diff^gr(R) Diff^gr(R) le foncteur qui associe àM= (M, d_M), le R-mdg TM:= (T(M), d_T(M)), où

T(M)^m =M^m+1 et d_T(M) =−d_M , et qui associe à α:M →N, le morphisme

T(α) :T(M)→T(N) avec T(α)m :=αm+1. Pour i∈Z, on notera également TⁱM:=M[i] etTⁱ(α) :=α[i].

1.2.4. Le module différentiel gradué Homgr^•_R(−,−). Étant donnés deux R-mg’s M et N et un entier m ∈ Z, on note Homgr^m_R(M, N) le sous- R-module de Hom_R(M, N) des homomorphismes gradués de degré m. On remarquera queHomgr^m_R(M, N)n’a pas de structure naturelle deR-module, en ce sens que six∈R^d etλ∈Homgr^m_R(M, N)alorsxλ∈Homgr^m+d_R (M, N).

On considère alors l’ensemble Homgr^•_R(M, N) := L

m∈ZHomgr^m_R(M, N)

⊆Hom_R(M, N),

dont la structure de R-mg est claire. Maintenant si M = (M, d_M) et N = (N, d_N) sont des R-mdg’s, on pose

Homgr^•_R(M,N) := Homgr^•_R(M, N), D•

, (Eq.1)

oùD• est définie par

( Homgr^m_R(M, N)−−−→^Dm Homgr^m+1_R (M, N) λ 7−−−→d_N ◦λ−(−1)^mλ◦d_M ,

ce qui fait du couple (Eq.1) unR-mdgpuisqueRest gradué par degrés paires.

1.2.5. Le bifoncteur Homgr^•_R(−,−).La donnée des morphismes de R-mdg’s α:M₁ → M₂ etβ :N₁ → N₂ détermine des applications

( Homgr^•_R(M2,N)−→Homgr^•_R(M1,N), λ7−→λ◦α Homgr^•_R(M,N₁)−→ Homgr^•_R(M,N₂), λ7−→β◦λ

dont on vérifie qu’il s’agit de morphismes de R-mdg’s. Ces correspondances définissent un bifoncteur biadditif, contravariant sur la première variable et

§1 Catégories de R-modules différentiels gradués 7 covariant sur la seconde variable,

Homgr^•_R(−,−), D•

: Diff^gr(R)×Diff^gr(R) Diff^gr(R) (Eq.2)

1.2.6. Le groupe Hotgr_R(−,−). Dans le R-mdg Homgr^•_R(M,N), on a ker(D_m) = Mor_Diff^gr_(R) M,N[m]

et im(Dm−1) est le groupe des homoto- pies deR-mdg’s deMà valeurs dansN[m]. Le quotientker(D_m)/im(Dm−1) s’identifie donc au groupe abélien des morphismes demdg’s deMversN[m]

à homotopie près, on le note Hotgr_R M,N[m]

:= H^m Homgr^•_R(M,N) .

La loi de composition de morphismes

◦: Mor_Diff^gr_(R)(M,N)×Mor_Diff^gr_(R)(L,M)→Mor_Diff^gr_(R)(L,N) induit alors une loi de composition

◦: Hotgr_R(M,N)×Hotgr_R(L,M)→Hotgr_R(L,N)

vérifiant les propriétés habituelles d’associativité, distributivité et existence d’élément neutre.

1.2.7. Les R-mg Hotgr^∗_R(−,−). Nous noterons également Hotgr^m_R(M,N

:= Hotgr_R(M,N[m]

= H^m Homgr^•_R(M,N) .

de sorte que

Hotgr^∗_R(M,N :=L

m∈ZHotgr^m_R(M,N

= H^∗ Homgr^•_R(M,N) est naturellement muni d’une structure de R-mg.

1.2.8. Le module différentiel gradué (− ⊗^R −)^•. Étant donnés deux R-mg’sM etN et un entier m ∈Z, on note (M ⊗_RN)^m le sous-R-module deM ⊗_RN des tenseurs homogènes de degré total m, i.e. on pose

(M ⊗RN)^m :=

m⊗n∈M ⊗RN

m∈M^a, n ∈N^b, a+b=m On a clairementR^d(M⊗RN)^m ⊆(M⊗RN)^m+d d’où la structure naturelle de R-mg sur M ⊗R N. Maintenant, si M = (M, dM) et N = (N, dN) sont

des R-mdg’s, on pose

(M ⊗_R N)^• := (M ⊗_RN)^•,∆_•

, (Eq.3)

où∆• est définie par

(M^a⊗_RN^b −−−→^∆m (M ⊗_RN)^a+b+1

m⊗n 7−−−→dM(m)⊗n+ (−1)^am⊗dN(n),

ce qui fait du couple (Eq.3) unR-mdgpuisqueRest gradué par degrés paires.

1.2.9. Le bifoncteur (− ⊗^R −)^•. La donnée des morphismes deR-mdg’s α:M₁ → M₂ et β :N₁ → N₂ détermine des applications

((M₁ ⊗ N)^•−→(M₂ ⊗ N)^•, µ⊗ν7−→α(µ)⊗ν (M ⊗ N₁)^• −→(M ⊗ N₂)^•, µ⊗ν7−→µ⊗β(ν)

dont on vérifie qu’il s’agit de morphismes de R-mdg’s. Ces correspondances définissent un bifoncteur biadditif, covariant sur les deux variables,

(− ⊗^R−)^•,∆•

: Diff^gr(R)×Diff^gr(R) Diff^gr(R). (Eq.4)

1.2.10. Propriétés de Homgr^•_R(−,−) et (− ⊗^R −)^•. La proposition suivante rappelle sans démonstration des propriétés basiques de ces deux bi- foncteurs.

1.2.11. Proposition

a) Pour m∈Z, on a des identifications canoniques















Homgr^•_R(−,−[m]), D•

= Homgr^•_R(−,−), D•

[m]

Homgr^•_R(−[m],−), D_•

= Homgr^•_R(−,−)[−m], D_• (−[m]⊗_R−)^•,∆•

= (− ⊗^R−)^•,∆•

[m]

(M ⊗_RN)^•,∆•

−→

∼= (N ⊗_RM)^•,∆•

, m⊗n7→(−1)^|m||n|n⊗m b) Les bifoncteurs Homgr^•_R(−,−)et (− ⊗^R−)^• sont compatibles aux homo-

topies, variable par variable.

Indication.À titre d’exemple, montrons (b) pour le foncteur Homgr^•_R(−,N).

Soit α :M1 → M2 un morphisme de R-mdg’s et soit h:M1 → M2[−1] un

§1 Catégories de R-modules différentiels gradués 9 morphisme de R-mg’s tel queα =hd+dh. Notons H : Homgr^•_R(M₂,N)→ Homgr^•_R(M1,N)[−1]le morphisme deR-mg’sH:λ7→(−1)^|λ|λh. On a alors

DH(λ) +HD(λ) = (−1)^|λ|dλh+λhd

+ (−1)^|λ|+1 dλ−(−1)^|λ|λd h

=λ(hd+dh) = λα .

1.2.12. La catégorie triangulée IKDiff^gr(R). Les objets de cette caté- gorie sont ceux deDiff^gr(R), et ses morphismes sont donnés par

MorIKDiff^gr(R)(M,N) := Hotgr_R(M,N).

La catégorieIKDiff^gr(R)est additive. Rappelons sa structure triangulée.

• La translation. Il s’agit du foncteurT :IKDiff^gr(R) IKDiff^gr(R) déjà introduit dans 1.2.3.

• Le cône d’un morphisme de mdg’s. Étant donné un morphisme deR-mdg α:A → B, son «cône » c(α) = (ˆˆ c(α),∆), est le R-mdg défini par

ˆ

c(α) :=B⊕A[1] et ∆(b, a) = (dBb+α(a),−dAa).

On note alors j :B →c(α)ˆ l’injection j(b) := (b,0), et p:c(u)ˆ → A[1]

la projection p(b, a) :=a. On a ainsi le triangle de R-mdg’s

A −→ B^α −→^j ˆc(α)−→ A[1]^p . (Eq.5)

• Triangle distingué. On appelle ainsi tout triangle de IKDiff^gr(R), X −→ Y^u −→ Z^v −→ X^w [1],

isomorphe à un triangle de la forme (Eq.5), i.e. tel qu’il existe un tri- plet(f, g, h)d’isomorphismes deIKDiff^gr(R)rendant commutatif le dia- gramme

X −→ Y^u −→ Z^v −→ X^w [1]

f y^{∼ g}



y^∼ h

y^{∼ f[1]}

 y^∼ A −→ B^α −→^j c(α)ˆ −→ A[1]^p pour un certain α.

1.2.13. Proposition. La catégorie IKDiff^gr(R), munie de cette classe de triangles distingués, est une catégorie triangulée.

Démonstration. (TR1) résulte de vérifier que c(idˆ X) = 0 dans IKDiff^gr(R).

Ceci équivaut à montrer que idˆc(idX) = 0 dans Hotgr_R(ˆc(idX)). Or, si nous notons

h: X ⊕ X[1]

→ X[−1]⊕ X

, h(x, x⁰) = (0, x), on a bien

h∆ + ∆h

(x, x⁰) =h(dx+x⁰,−dx⁰) + (x,−dx) = (x, x⁰) (TR2)Soit α:A → B un morphisme de R-mdg’s et soit

A−−−→ B^α −−−→^j c(α)ˆ −−−→ A[1]^p

le triangle (exact) associé au cône deα. Nous devons montrer que le triangle B −−−→^j c(α)ˆ −−−→ A[1]^p −−−→ B[1]^−α[1]

est aussi exact. Pour cela, nous montrons qu’il est isomorphe au triangle as- socié au cône de j.

Considérons le diagramme

B −−−→^j ˆc(α)−−−→ A[1]^p −−−→ B[1]^−α[1]

I ^ϕ y x

^φ II B −−−→^j ˆc(α) ^j

0

−−−→c(j)ˆ ^p

0

−−−→ B[1]

(Eq.6)

où la différentielle de ˆc(j) = (B ⊕A[1])⊕B[1],∆) est par définition

∆(b, a⁰, b⁰) = (db+α(a⁰) +b⁰,−da⁰,−db⁰). (Eq.7) et où le morphisme

ϕ:A[1]→c(j) = (Bˆ ⊕A[1])⊕B[1], ϕ= (0⊕1_A[1])⊕ −α[1]

est bien un morphisme de R-mdg’s de A[1]vers c(jˆ ), puisque

∆(ϕ(a⁰)) = ∆(0, a⁰,−α(a⁰)) = (α(a⁰)−α(a⁰),−da⁰, dα(a⁰)) = ϕ(da⁰) d’après (Eq.7).

Avec ces définitions, le diagramme (Eq.6) est commutatif. Cela est évident pour le sous-diagramme II. Pour le sous-diagramme I, cela résulte de ce que

§1 Catégories de R-modules différentiels gradués 11 j⁰ −ϕ◦p:c(α)ˆ →c(j)ˆ est homotope à zéro. En effet, h: ˆc(α)→ ˆc(j)[−1], définie par (b, a⁰)7→(0,0, b), donne l’homotopie voulue :

(∆◦h+h◦∆)(b, a⁰) = (b,0,−db) + (0,0, db+α(a⁰)) = (b,0, α(a⁰))

= (j⁰ −ϕ◦p)(b, a⁰). L’application

φ: ˆc(j) =B ⊕A[1]⊕B[1]→A[1], (b, a⁰, b⁰)7→a⁰,

est un morphisme de R-mdg’s de ˆc(j) vers A[1] d’après (Eq.7), et c’est un inverse homotopique de ϕ. En effet, l’égalité φ◦ϕ= id_A[1] est immédiate, et la composée ϕ◦φ vérifie

(1−ϕ◦φ)(b, a⁰, b⁰) = (b, a⁰, b⁰)−(0, a⁰,−α(a⁰)) = (b,0, b⁰ +α(a⁰)). Or, si nous posons

h :B ⊕A[1]⊕B[1]→B[−1]⊕A⊕B , (b, a⁰, b⁰)7→(0,0, b), on a l’homotopie

(∆◦h+h◦∆)(b, a⁰, b⁰) = (b,0,−db) + (0,0, db+α(a⁰) +b⁰)

= (1−ϕ◦φ)(b, a⁰, b⁰) qui montre queφ est bien inverse homotopique de ϕ.

On a prouvé que si (u, v, w) est un triangle distingué, (v, w,−u[1]) l’est aussi. En itérant,(w,−u[1],−v[1])est exact. Par ailleurs, on montre aisément que si(u, v, w)est exact,(u,−v,−w) et(−u[−1], v[−1], w[−1]) le sont aussi.

Par conséquent, si (w,−u[1],−v[1]) est exact (−w[−1], u, v) l’est aussi.

(TR3)Étant donné un diagramme de morphismes de R-mdg’s A ^α //

f

B

g A^{0 α0} //B⁰

(∗)

commutatif à homotopie près,i.e.tel qu’il existe un morphisme deR-modules graduésh:A→B⁰[−1] vérifiant

g α−α⁰f =h d_A+d_B⁰ h ,

on le complète par les cônes de α etα⁰, ce qui donne le diagramme A ^α //

f

B

g

j //B⊕A[1]

I ϕ II

p //A[1]

f[1]

A^{0 α0} //B^{0 j}

0 //B⁰ ⊕A⁰[1] ^p

0 //A⁰[1]

(∗)

où l’on a poséϕ(b,a) = (g(b) +˙ h( ˙a), f( ˙a)), de sorte que ϕD(b,a) =˙ ϕ d(b) +α( ˙a),−d( ˙a)

= gd(b) +gα( ˙a)−hd( ˙a),−f d( ˙a)

= dg(b) +α⁰f( ˙a) +dh( ˙a),−df( ˙a)

=Dϕ(b,a)˙ , etϕ est un morphisme de R-mdg’s de c(α)ˆ vers c(α)ˆ ⁰.

Comme les sous-diagrammes I et IIde (∗)sont trivialement commutatifs dans la catégorie des R-mdg’s, cette construction fournit bien le morphisme de triangles demandé par (TR3).

(TR4) On suit la démarche décrite dans 1.1.1. La construction du para- graphe précédent, appliquée au diagramme

X ^u //Y

g X ^u0 //Y⁰

gu−u⁰ =d_Y⁰ ◦h+h◦d_X

supposé commutatif modulo l’homotopieh:X[1]→Y⁰, nous conduit au dia- gramme commutatif de R-mg’s

Y ^j //

g ⊕

Y ⊕X[1]

ϕ Y^{0 j}

0 //Y⁰ ⊕X[1],

ϕ(y,x) = (g(y) +˙ h( ˙x),x)˙

oùϕest un morphisme deR-mdg’s dec(u)ˆ vers c(uˆ ⁰). Ce diagramme induit alors le morphisme de R-mdg’s

j⁰⁰ :c(g)ˆ →c(ϕ)ˆ , ψ(y⁰,y) = (y˙ ⁰,0,y,˙ 0). Soit ψ :c(ϕ)ˆ →ˆc(g)l’application

ˆ

c(ϕ) = Y⁰ ⊕X[1]⊕Y[1]⊕X[2] −−−−−→^ψ Y⁰ ⊕Y[1] ====== c(g)ˆ (y⁰ , x˙ , y˙ , x)¨ 7−→ y⁰ −h( ˙x),y˙+u( ˙x) Elle vérifie, d’une part

ψD (y⁰,x),˙ ( ˙y,x)¨

=ψ D(y⁰,x) +˙ ϕ( ˙y,x),¨ −D( ˙y,x)¨

=ψ dy⁰ +u⁰x˙ +gy˙+hx,¨ −dx˙ + ¨x,−dy˙−u¨x, d¨x

= (dy⁰ +u⁰x˙ +gy˙+h¨x)−h(−dx˙ + ¨x),(−dy˙−u¨x) +u(−dx˙ + ¨x)

= dy⁰ +u⁰x˙ +gy˙+hdx,˙ −dy˙−udx˙

§1 Catégories de R-modules différentiels gradués 13 et d’autre part

Dψ (y⁰,x),˙ ( ˙y,x)¨

=D (y⁰−hx,˙ y˙ +ux˙

= dy⁰−dhx˙ +gy˙+gux,˙ −d( ˙y+ux)˙ de sorte que ψ◦D=D◦ψ, et ψ est bien un morphisme de R-mdg’s.

Le morphismeψ est l’inverse homotopique dej⁰⁰. En effet, l’égalitéψ◦j⁰⁰= idest immédiate, et j⁰⁰◦ψ vérifie

(1−j⁰⁰ ◦ψ)(y⁰,x,˙ y,˙ x) = (h¨ x,˙ x,˙ −ux,˙ x)¨ , mais, si l’on définit

H :Y⁰⊕X[1]⊕Y[1]⊕X[2]→Y⁰[−1]⊕X⊕Y ⊕X[1]

par H(y⁰,x,˙ y,˙ x) := (0,¨ 0,0,x), on a˙

(HD+DH)(y⁰,x,˙ y,˙ x) = (h¨ x,˙ x,˙ −ux,˙ x)¨

de sorte dej⁰⁰◦ψ = 1dansHotgr_R(ˆc(ϕ),ˆc(ϕ)), ce qui termine la vérification

de (TR4).

1.2.14. Remarque et proposition.La vérification de l’axiome (TR2) dans la démonstration précédente a montré

a) Pour tout morphisme de R-mdg’s α :A → B, le diagramme B −−−→^j c(α)ˆ −−−→ A[1]^p −−−→ B[1]^−α[1]

^ϕ

 y x

φ B −−−→^j c(α)ˆ ^j

0

−−−→c(jˆ ) ^p

0

−−−→ B[1]

où ϕ(a⁰) = (0, a⁰,−α(a⁰)) et φ(b, a⁰, b⁰) = a⁰, est une équivalence de tri- angles exacts de IKDiff^gr(R)

b) La donnée d’un triangle distingué A −→ B^u −→ C^v −→ A[1]^w détermine des isomorphismes canoniques dans IKDiff^gr(R) :

A[1]∼=c(v)ˆ , B[1]∼=ˆc(w), C ∼=ˆc(u).

1.2.15. Foncteurs cohomologiques. On rappelle qu’on appelle ainsi, tout foncteurF :T r→Abd’une catégorie triangulée vers une catégorie abélienne, tel que pour tout triangle distingué X −→ Y^u −→ Z^v −→ X^w [1], la suite

· · · −→ F(Z[−1])^F(w[−1])−→ F X −→ F Y^Fu −→ F Z^Fv −→ F(X^Fw [1])−→ · · · est un complexe exact.

1.2.16. Proposition. Le foncteurH :IKDiff^gr(R)→Mod^gr(R) qui fait cor- respondre à M= (M, d_M) sa cohomologie H(M) := ker(d_M)/im(d_M), com- mute au foncteur de translation et c’est un foncteur cohomologique. En par- ticulier, siX −→ Y^u −→ Z^v −→ X^w [1]est un triangle distingué, la suite deR-mg’s

· · · −−→HZ[−1]^Hw[−1]−−→ HX −−→^Hu HY−−→^Hv HZ−−→^Hw HX[1]−−→ · · · est un complexe exact.

Démonstration.Résulte du fait que les triangles exacts dansIKDiff^gr(R)cor-

respondent aux cônes de morphismes de R-mdg’s.

1.2.17. Example. Les foncteurs suivants, introduits dans 1.2.7, Hotgr^∗_R(M,−),Hotgr^∗_R(−,M) :IKDiff^gr(R)→Mod^gr(R) sont des foncteurs cohomologiques.

1.2.18. La catégorie IDDiff^gr(R). NotonsS la classe des morphismes de IKDiff^gr(R) qui induisent un isomorphisme en cohomologie, i.e. la classe de ses quasi-isomorphismes. On a

(FR1) Si f, g∈ S, et si f g est défini, alors f g∈ S. Évident.

(FR2) Étant donnéf :W → Y et s:W → X, avec s∈ S, le diagramme

W

f

s //X Y

se complète en un dia- gramme commutatif

W

f

s //X

g

Y t //Z avec t∈ S. Et de même avec les flèches inversées.

En effet, dans le premier cas, il suffit d’appliquer les axiomes (TR-1,2,3) pour justifier le diagramme de triangles exacts

c(s)[−1]ˆ ^w //W ^s //

f

X //

g

ˆ c(s)

c(s)[−1]ˆ ^f◦w //Y ^t //Z =ˆc(f◦u) //ˆc(s)

oùt∈ S puisquec(s)ˆ est acyclique (²). Le cas des flèches inversées se traite de manière entièrement analogue.

2. On prendra garde du fait que la somme amalgamée deR-mdg’s Z=Y ⊕_W X := (X ⊕ Y)/{(f(w), s(w))|w∈ W}

ne donne pas toujours la bonne réponse pour (FR2). En effet, on peut montrer que dans le diagramme de gauche ci-dessous, le morphismei1 est un quasi-isomorphisme lorsquesou f est injectif, mais des contrexemples existent autrement, par exemple, dans le diagramme de droite ci-dessous oùAetBsont desR-modules gradués non nuls, on a(B/A)⊕WA= 0 eti1 n’est pas un quasi-isomorphisme.

§1 Catégories de R-modules différentiels gradués 15 (FR3) Pourf:X → Y donné, il y a équivalence entre les assertions suivantes.

i) Il existes ∈ S tel que f s= 0, ii) Il existe t∈ S tel que tf = 0.

En effet, dans (i), complétons le diagramme de R-mdg’s X ^s //Y

f

Y⁰ en un diagramme de triangles exacts

X ^s //

Y

f

j //ˆc(s)

u //X[1]

0 //Y⁰ Y⁰ //

t

0[1]

ˆ c(u)

ˆ

c(s)[1]

maintenant, comme s est un quasi-isomorphisme et que le foncteur coho- mologieH:IKDiff^gr(R)→Mod^gr(R)est cohomologique (1.2.16), leR-mdg ˆ

c(s)est acyclique ce qui implique, pour la même raison, quetest un quasi- isomorphisme. Or,tf=tuj= 0. L’implication (ii)⇒(i) se démontre de ma- nière analogue.

1.2.19. Proposition. Les propriétés (FR-1,2,3) ci-dessus font de S un sys- tème multiplicatif de IKDiff^gr(R). Notons IKDiff^gr(R)S la catégorie obtenue de IKDiff^gr(R) en inversant ses quasi-isomorphismes. Notons

Q :IKDiff^gr(R)→IKDiff^gr(R)S

le foncteur canonique de « localisation ». Alors

a) Il existe une et une seule structure triangulée surIKDiff^gr(R)S qui fait de Q un δ-foncteur, i.e. transforme triangle distingué en triangle distingué.

b) Q(s) est un isomorphisme pour tout s ∈ S.

c) Tout foncteur G de IKDiff^gr(R) vers une catégorie D, tel que G(s) est inversible pour tout s∈ S, se factorise à travers Q.

W

f

s //X

i₂

Y ⁱ¹ //Y ⊕_W X

W:= (A ,→B)

p_A f

s

p_B/A //(B/A)

i2

A ⁱ¹ //A⊕_W (B/A) = 0

Démonstration.C’est la proposition 3.2 de [H] (page 32), elle résulte de mon- trer que S est compatible à la triangulation de IKDiff^gr(R), i.e. les deux axiomes suivants sont vérifiés

• (FR4) S est stable par le foncteur de translation.

• (FR5) Si dans un morphisme de triangles exacts, deux morphismes sont dans S, le troisième l’est aussi.

Propriétés clairement satisfaites dans notre cas.

1.2.20. Définition. La catégorie IDDiff^gr(R) := IKDiff^gr(R)S est appelée la «catégorie dérivé » de IKDiff^gr(R).

2. R-mdg’s projectifs

2.1. R-mdg simple associé à un complexe de R-mdg’s

2.1.1. Foncteur « R-mdg simple associé ». Soit (M•, •) := · · · −→ M₂−→ M² ₁−→ M¹ ₀−→ M⁰ −1

−1

−→ · · · un complexe de R-mdg’s. On pose dansMod^gr(R)

(

Σ

m∈ZM_m[m]

d_{Σ M}

m := (−1)^md_m+_m

Mm[m][1] //• M_m[m]

dm[m]OO

m //(Mm−1[m−1])[1]

OO

De même, si α• : (M•, •)→(M⁰_•, ⁰_•) est un morphisme de complexes de R-mdg’s, on pose

Σ

Σ

Σ

Σ

m∈Zα_m.

Le lemme suivant relève de vérifications élémentaires que nous n’explici- tons pas.

2.1.2. Lemme et définitions a) Le couple

Σ

est un R-mdg, c’est «leR-mdg simple associé au complexe (M_•, _•)».

b) Si α• : (M•, •)→(M⁰_•, ⁰_•) est un morphisme de complexes de R-mdg’s,

Σ

Σ

Σ

§2 R-mdg’s projectifs 17 c) Dans (b), soit {h_m :M_m → M_m+1 |m∈Z} une famille de morphismes deR-mdg’s réalisant une homotopie entre deux morphismes de complexes de R-mdg’s α•, β• : (M•, •)→(M⁰_•, ⁰_•), i.e. on a

α_m −β_m =_m+1 ◦h_m +hm−1 ◦_m, ∀m∈Z, alors, le morphisme de R-mg’s

Σ

Σ

Σ

Σ

m∈Zhm, est une homotopie entre

Σ

Σ

d) Le foncteur «R-mdg simple associé» est la correspondance

Σ

de la catégorie C^∗Diff^gr(R) des complexes de R-mdg’s, vers la catégorie de R-mdg’s. C’est un foncteur covariant, additif, exact et compatible aux homotopies.

2.1.3. Qestions d’acyclicité duR-mdg simple associé. Nous rappelons dans ce paragraphe et les suivants des constructions et résultats bien connus pour les complexes d’objets d’une catégorie abélienne, en les transposant dans le contexte des R-mdg’s.

2.1.4. Proposition

a) Pour tout complexe exact (M•, •) de R-mdg’s de différentielles nulles, i.e. tels que dM_k = 0, le R-mdg

Σ

b) Pour tout complexe de R-mdg’s borné supérieurement

(M•, •) = · · · −−→ M<sub>`+2</sub>−−→ M<sup>`+2</sup> <sub>`+1</sub>−−→ M<sup>`+1</sup> _`−−→0−−→ · · · ,

où les M_k sont acycliques, le R-mdg

Σ

c) Pour tout complexe exact de R-mdg’s borné inférieurement

(M_•, _•) = · · · −−→0−−→ M<sub>`</sub>−−→ M<sup>`</sup> <sub>`−1</sub>−−→ M<sup>`−1</sup> <sub>`−2</sub>−−→ · · ·<sup>`−2</sup> ,

le R-mdg

Σ

d) Pour tout complexe de R-mdg’s borné supérieurement et inférieurement (M•, •) = · · · −−→0−−→ Mm

m

−−→ · · ·−−→ M<sup>`+1</sup> `−−→0−−→ · · · , qui est ou bien exact, ou bien tel que les M_i sont acycliques, le R-mdg

Σ

Démonstration. Montrons (b). Un élémentx∈

Σ

x=x_a⊕xa−1 ⊕ · · · ⊕x_`, avec x_i ∈M_i^i+m, et, de même,

d_Σ(x) =d⁰_ax_a ⊕ _ax_a+d⁰_a−1xa−1

⊕ · · · ⊕ ₁x₁ +d⁰_{`</sub>x<sub>`} ,

où nous avons noté d⁰_a = (−1)^adMa et où _ix_i +d⁰_i−1xi−1

∈ M_i−1^i+m. Par conséquent, sixest un cocycle, l’égalité d_Σ(x) = 0 implique qued⁰_ax_a = 0, et commeM_a est supposé acyclique, il existey_a∈M_a^a+m−1 tel qued⁰_a(y_a) =x_a. On voit donc que le cocycle x est cohomologue àx−d_Σ(y_a) qui s’écrit sous la forme

x−d_Σ(y_a) =wa−1⊕xa−2 ⊕ · · · ⊕x_`, avec w_i ∈M_i^i+m.

Ainsi, de proche en proche, on montre que tout cocycle de

Σ

cohomologue à un cocycle de M_`−1 =0.

2.1.5. Troncatures bêtes. Étant donnés des entiersm≥` et un complexe deR-mdg’s(M•, •), on notera M<sub>m,`</sub> le complexe

Mm,` := 0→ Mm m

−−→ Mm−1 m−1

−−→ · · ·−−→ M<sup>`−1</sup> ` →0

De même, si α• : (M•, •)→ (M⁰_•, ⁰_•) est un morphisme de complexes, on note α_{m,`</sub> = M<sub>m,`} → M_m,` le morphisme de complexes qui vaut α_i sur M_i est s’annule ailleurs, soit

M_m,` := 0→ M_m−−→ M^m m−1 m−1

−−→ · · ·−−→ M<sup>`−1</sup> <sub>`</sub> →0

αm,`↓ <sup>αm</sup>↓ <sup>αm−1</sup>↓ <sup>α`</sup>↓

M⁰_m,` := 0→ M⁰_m

0

−−→ Mm ⁰_m−1 0

−−→ · · ·m−1 0

−−→ M`−1 <sup>0</sup><sub>`</sub> →0 on obtient ainsi le foncteur de «troncature bête »

(−)_m,` :C^∗Diff^gr(R) C^∗Diff^gr(R) clairement exact.

On défini de manière analogue les foncteurs (−)_+∞,m et(−)_`,−∞.

Notation. Pour tout complexe de R-mdg’s(M•, •)et tout m∈Z, on note M≥m :=

Σ

Σ

et de même pour les troncatures des morphismes.

§2 R-mdg’s projectifs 19 2.1.6. Morphisme de connexion et quasi-isomorphismes Pour tout complexe de R-mdg’s (M•, •) et m ∈Z donnés, on a les morphismes sui- vants entre les troncatures bêtes :

Mm−1,−∞ _

ιm−1,−∞

0

//Mm−1

m−1//Mm−2

m−2//· · ·

M• π∞,m

· · · //M_m+2^m+2//M_m+1^m+1//M_m ^m//Mm−1

m−1//Mm−2

m−2//· · ·

M_∞,m · · · //M_m+2^m+2//M_m+1^m+1//M_m //0 donnant la suite exacte courte de complexes deR-mdg’s

0→ Mm−1,−∞

ιm−1,−∞

,−−−−→ M• π∞,m

−−−−M∞,m →0

clairement scindée dans Mod^gr(R), de même que la suite deR-mdg’s 0→

Σ

ιm−1,−∞

,−−−−→

Σ

−−−−

Σ

Σ

ιm−1,−∞

−−−−→

Σ

−−−−→

Σ

−−−−→

Σ

oùe_m est le morphisme de «connexion» associé au morphisme de complexes

· · · //Mm+2

m+2//Mm+1 m+1 //

Mm m

//0

//0

//· · ·

· · · //0 //0 //Mm−1

m−1//Mm−2

m−2//Mm−3

m−3 //· · · La proposition suivante sera souvent utilisée sans référence.

2.1.7. Proposition. Avec les données en cours, le morphisme de R-mdg’s M≥m em

−−−−→ M≤m−1[1]

est un quasi-isomorphisme si, et seulement si,

Σ

2.2. La paire adjointe ( F , Z)

2.2.1. Le foncteur F : Mod^gr(R) Diff^gr(R). Si M est un R-module gradué, on note F(M) := (M, D_F) le R-module gradué M muni de la diffé- rentielle nulle, i.e. D_F = 0. Si β :M → N est un morphisme mg’s, on note F(β) :F(M)→F(N), le morphismex7→βx. La correspondance ainsi définie

F(−) = (−,0) : Mod^gr(R) Diff^gr(R) est clairement fonctorielle et exacte.

2.2.2. Le foncteur Z : Diff^gr(R) Mod^gr(R). SiM= (M, d_M) est un R-mdg; on note Z(M) le sous-R-mg des cocycles, i.e. Z(M) := ker(d_M), et si α : M → N est un morphisme de R-mdg’s, on note Z(α) := α _Z(M). Il est immédiat de constater, que la donnée d’un morphisme de R-mdg’s α : F(M)→ N équivaut à la donnée d’un morphisme deR-mg’sα:M →Z(N), de sorte que :

Lemme. La paire de foncteurs (F,Z) est adjointe.

Remarque.On voit ainsi que F(M)à peu de chances d’être unR-mdgpro- jectif, même si M est projectif, carZ(−) n’est pas exact.

2.3. La paire adjointe ( E , o)

2.3.1. Foncteur «oubli » o : Diff^gr(R) Mod^gr(R). C’est le foncteur o : Diff^gr(R) Mod^gr(R), N = (N, d_N) N ,

qui oublie la différentielle. Il s’agit clairement d’un foncteur exact.

2.3.2. Le foncteur E : Mod^gr(R) Diff^gr(R). Si M est un R-module gradué, on note E(M) le R-module gradué ε(M) := M[−1]⊕M muni de la différentielle D_E : ε(M)→ε(M), D_ε(x, y) = (y,0). Si β :M →N est un morphisme mg’s, on note ε(β) :ε(M)→ε(N) (resp.E(β) :E(M)→E(N)), le morphisme (x, y)7→(βx, βy). Les correspondances ainsi définies

ε(−) : Mod^gr(R) Mod^gr(R), E(−) = (ε(−), D_ε) : Mod^gr(R) Diff^gr(R) sont clairement fonctorielles et exactes. On notera

[−] : id_Mod^gr_(R)(−)→ε(−)

l’inclusion naturelle définie par [M] := {0} ⊕M ⊆M[−1]⊕M =ε(M).

2.3.3. Lemme. Les R-mdg’sE(M) sont homotopiquement nuls.

Démonstration. Soit h :ε(M)→ε(M)[−1], (x, y)7→(y,0). On a (D_εh+h D_ε)(x, y) = (0, y) + (x,0),

ce qui montre que id_E(M) est homotope à 0.

§2 R-mdg’s projectifs 21 2.3.4. Morphismes d’adjonction. Un morphismeα: (ε(M), D_ε)→(N, d_N) deR-mdg’s est entièrement déterminé par sa restriction à [M], puisque l’on aε(M) = D_ε([M])⊕[M]et qu’alors

α(x, y) = α(D_ε(0, x) + (0, y)) = d_N(α(0, x)) +α(0, y).

Cette correspondanceα7→α _[M], donne ainsi lieu à un isomorphisme naturel Φ_M,(N,dN) : Mor_Diff^gr_(R) (ε(M), D_ε),(N, d_N)∼= Homgr_R(M, N) et aux morphismes d’adjonction

( ad_(N,dN) : (ε(N), D_ε)(N, d_N), ad_(N,dN) := Φ⁻¹_N,(N,d

N)(id_N) ad_M :M ,→ε(M), ad_M := Φ_{M,(ε(M),Dε)}(id_(ε(M),Dε))

2.4. Existence de R-mdg’s projectifs

2.4.1. Théorème

a) Le couple(E,o)est une paire de foncteurs adjoints. En particulier, E res- pecte la projectivité et‘o’respecte l’injectivité. Le morphisme d’adjonction adN :E(o(N))N est surjectif.

b) Désignons par‘Q’unR-mgprojectif. ToutR-mdgest quotient d’unE(Q).

Tout R-mdg projectif est de la forme E(Q), et est homotopiquement nul.

Le foncteur ‘o’ respecte la projectivité.

c) La catégorie Diff^gr(R) possède suffisamment de projectifs. Plus précisé- ment, tout R-mdg N admet une résolution projective, et toutes ses réso- lutions projectives sont de la forme

· · · −→E(Q_m)−→ · · · −→^m E(Q₀)−→→ N →⁰ 0

avec Qi projectif dans Mod^gr(R), et chaque E(Qi) homotopiquement nul.

d) Si R est de dimension globale finie(³), pour tout R-mdg M il existe un quasi-isomorphisme surjectif QM, avec o(Q) projectif.

Démonstration

a) Ces propriétés sont claires d’après les préliminaires 2.3.4 et puisque les foncteurs E et ‘o’ sont exacts.

3. On rappelle que pour tout anneau commutatifA (gradué) et tout A-module (gra- dué)M, on appelle «dimension projective de M », notéedimproj(M), la longueur mini- male des résolutions projectives deM. La «dimension globale de A», notée dimgb(A), est alors le sup des dimensions projectives desA-modules (gradués).