UE Optionnelle 1 – AMPI :
Etude et dimensionnement des systèmes mécaniques
COURS 2 : Statique
1. Définition et buts de la statique ... 2
1.1. EQUILIBRE d'un solide ... 2
1.2. Nombre d'inconnues de la statique ... 2
1.3. Frontière d'isolement. ... 2
2. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE. ... 3
3. Application ... 4
4. METHODOLOGIE de RESOLUTION pour les SOLIDES ... 5
4.1. Solide soumis à deux Actions Mécaniques. ... 5
4.1.1. Premier cas : ________________________________________________________________________ 5 4.1.2. Deuxième cas : ______________________________________________________________________ 6
4.2. Solide soumis à trois Forces extérieures. ... 6
5. Isolement d'un système mécanique ... 7
5.1. Equilibre ... 7
5.2. Frontière d'isolement. ... 8
6. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE APPLIQUE A UN SYSTEME. ... 8
7. THEOREME DES ACTIONS RECIPROQUES ... 8
8. METHODE DE RESOLUTION D’UN PROBLEME DE STATIQUE ... 9
Vilebrequin du moteur V8 de
la Porche Cayenne
1. 1 . Dé D éf fi in ni it ti io on n e et t b bu ut ts s d de e l la a s s ta t at ti iq qu ue e
La statique correspond à l'étude des mécanismes en équilibre. Le but étant de déterminer les composantes des actions mécaniques en présence assurant cet équilibre afin de les contrôler (montage d'usinage, assemblages vissés), de les modifier (conception des pièces, agencement différent entre pièces).
Une étude de statique doit toujours commencer par l'assurance que le système étudié est en équilibre.
1.1. EQUILIBRE d'un solide
Un solide S est dit en équilibre par rapport à un référentiel
R
si et seulement si à chaque instant : M S
V
MS/R= 0
1.2. Nombre d'inconnues de la statique
Il est important, dans l'étude d'un mécanisme en équilibre de dénombrer le nombre de composantes inconnues (que l'on ne peut chiffrer) avant de se lancer dans les calculs de résolution.
La résolution d'un problème de statique ne peut être réalisée que si le système est isostatique. C'est à dire que le nombre de composantes inconnues de la statique ne doit en aucun cas être supérieur au nombre d'équations que l'on peut écrire. Cette analyse préalable s'appelle l'analyse des mécanismes et est développée dans les différents ouvrages de référence.
Exemple :
Dans le système de bridage ci-contre, on isole l'ensemble (2) + (3) qui est considéré comme un solide (puisqu'il 'y a pas de mouvement relatif entre (2) et (3)). On peut comprendre que l'action mécanique à déterminer est l'action en C (action de (2) sur (1)) qui représente le serrage de la pièce. L'action "mesurable" et donc qui peut être connue est celle appliquée à la vis (3) (utilisation d'une clé dynamométrique). Dans ce problème, il ne faut pas oublier l'action de liaison en B (action de (0) sur (1)) qui est aussi inconnue.
Le recensement des inconnues de la statique permet notamment de proposer une méthodologie de résolution et de savoir quels sont les isolements consécutifs à effectuer.
1.3. Frontière d'isolement.
Il s'agit ici de délimiter sans ambiguïté par une frontière d'isolement une portion de l'espace comprenant le solide étudié. Ce qui sera extérieur à cette frontière sera décomposé en éléments extérieur qui produiront ou non des actions mécaniques sur le solide isolé.
Méthodologie d'isolement :
Problème étudié : bridage d'une pièce
Isolement de (2) + (3)
Les erreurs dans les problèmes de statique, peuvent reposer sur des erreurs de calcul sur la résolution mais aussi sur l'oubli d'éléments extérieurs et une mauvaise modélisation des actions produites par ces éléments extérieurs.
2. 2 . PR P R IN I NC CI I PE P E F FO ON ND DA AM ME EN NT TA AL L D DE E L LA A S ST TA A TI T I QU Q UE E. .
Si un solide S est en équilibre alors, la somme des Torseurs des Actions mécaniques extérieures appliquées au solide S est égale au Torseur nul.
extS = 0
Rappel de certaines notions sur les Torseurs :
Le Torseur nul est un Torseur dont la résultante et le Moment sont nuls.
La somme de Torseur s’effectue en un même point de réduction.
Conséquences :
Le principe fondamental de la statique se décompose en deux équations vectorielles :
La somme des résultantes des Actions mécaniques extérieures appliquées au solide S est égale au vecteur nul.
F
(extS)= 0
La somme des Moments des Actions mécaniques extérieures par rapport à un point appliquée au solide S est égale au vecteur nul.
M M(ext S) = 0
La projection de ces deux équations vectorielles sur un repère orthonormé donne en tout 6 équations scalaires.
Lorsque l'hypothèse "problème plan" est utilisée, seules trois composantes des torseurs d'actions mécaniques extérieures sont non nulles. Le nombre d'équations scalaires se limitent à 3.
Dans la résolution des problèmes de statiques, il faut donc veiller à avoir un nombre d'équations suffisant devant le nombre d'inconnues de la statique.
Recherche des éléments extérieurs
(1)
(0)
pesanteur
Hypothèses simplificatrices
(1)
(0)
pesanteur
3. 3 . Ap A pp pl li ic ca at ti io on n
Reprenons l’exemple de la partie serrage du montage d’usinage (Application générale Modélisation des Actions Méca.). Isolons la partie (1+2). Le Bilan des Actions mécaniques nous a permis de définir les Actions suivantes (hors frottement) :
Les Trois Actions de contact sont décrites par les Torseurs suivants :
) z , y , x O, ( I I 2 PIECE
0 0 0
; 0 Y 0 :
; ) z , y , x O, ( A A
A 1 BÂTI
0 0 0
; 0 Y X :
;
) z , y , x O, ( B.
B. 1
PIECE
0 0
2 0 Y' 2
2 0 Y' 2
B :
La vis de serrage impose un effort de 400 N sur la pièce (YI = 400 N) QUESTION : Déterminer les Composantes XA, YA, Y’B.
Appliquons le principe fondamental de la statique. Pour cela, il faut réduire au même point les différents Torseurs des Actions Mécaniques.
) z , y , x O, I ( 2 I
PIECE
75.Y - 0
0 Y
0 0
A :
;
) z , y , x O, ( B.
B. B. 1
PIECE
2 65,5.Y' 2 0
2 0 Y' 2
2 0 Y' 2
A :
;
) z , y , x O, ( A
A
A 1 BÂTI
0 0 0
; 0 Y X :
La somme des résultantes est nulle :
F
(extS)= 0
Ce qui implique que les sommes des composantes sont nulles. Les équations scalaires sont :
0
= 0 z axe l' sur
0
= Y 2 + . 2 Y' + Y y axe l' sur
0
= X 2 + . 2 Y' x axe l' sur
A B
I
A B
Il n’y a que deux équations significatives (sur l’axe x et l’axe y) ces deux équations sont insuffisantes pour déterminer le problème, puisqu’on dénombre 3 inconnues : XA, YA, Y’B.
La somme des Moments est nulle au point A :
M A(ext S) = 0
A
I
B 1 2
x y
z
YI XA
YA
Y'B
1
2
L’équation scalaire qui en résulte (projection sur l’axe des z) est :
= 0 2 . 2 65,5.Y' +
Y .
75
I B
De l’équation :
648 N
2 . 2 65,5 .Y
= 75
Y'
B I
De l’équation :
- 458 N
2 648. 2 - 2 = . 2 Y' -
=
X
A B
De l’équation :
- 858 N
2 648. 2 - 400 - 2 = . 2 Y' - Y -
=
Y
A I B
Dans ce problème, nous constatons qu’un problème plan ne donne que trois équations scalaires significatives.
Le principe Fondamental de la statique comporte 2 équations vectorielles (somme des forces ; somme des moments). Dans l’espace, chaque équation vectorielle équivaut à 3 équations de composantes (3 équations scalaires), soit au total 6 équations scalaires. L’hypothèse “Problème plan” comme nous l’avons déjà vu, pose certaines conditions sur les composantes des Actions Mécaniques :
Toutes les résultantes sont contenues dans le plan 2 équations scalaires
Tous les Moments sont perpendiculaires au plan 1 équation scalaire
TOTAL 3 équations scalaires
Dans un problème dit “plan” on ne pourra, pour un solide en équilibre, écrire que trois équations scalaires au maximum indépendantes : Il faudra donc veiller pour la résolution à avoir un nombre au plus égal à 3 pour les inconnues de la statique.
4. 4 . ME M E TH T HO OD DO OL LO OG G IE I E d d e e RE R ES SO OL LU UT TI IO ON N p po ou ur r l le es s S SO OL LI ID DE ES S
4.1. Solide soumis à deux Actions Mécaniques.
Si un solide est en équilibre sous l’action de deux forces (représentées par deux torseurs à résultante). Ces deux forces sont égales et opposées.
Le cas le plus répandu est celui représenté ci-contre, où chaque Action est décrite à son point d’application propre.
4.1.1. Premier cas :
Soit une bielle soumise à deux actions mécaniques quelconques répondant à l’hypothèse “problème plan”, dont les Torseurs sont donnés ci-dessous :
) z , y , x O, A ( A
A
A BIELLE 1
ext
N 0 0
0 Y X :
) z , y , x O, B ( B B
B BIELLE 2
ext
N 0 0
0 Y X :
D’après le principe fondamental de la statique, on peut écrire que :
ext 2 BIELLE
ext 1 BIELLE
BIELLE 2
ext BIELLE 1
ext
-
=
0
= +
Il faut déplacer le Torseur de l’Action en B au point A, pour voir les conséquences sur les composantes des Torseurs.
Soit AB = a.
x
+ b.
y
Le Torseur de l’action 2 en A s’écrit donc :
) z , y , x O, ( B
B
B B B
A BIELLE 2 ext
0 b a
0 Y X + N
0 0
; 0 Y X :
Soit :
) z , y , x O, B ( B B B B
A BIELLE 2 ext
a.Y - b.X + N
0 0
; 0 Y X :
3
3
1
2
A
B
x y
z
B B B
A A B
A B
a.Y b.X N
N Y Y
X X
Par exemple, si on suppose qu’en A et en B il n’existe pas de moment pur. NA et NB sont nuls, l’équation scalaire statique du moment s’écrit :
-b.X
B+ a.Y
B= 0
Ce qui correspond au produit vectoriel nul entre la résultante et le vecteur AB. La seule possibilité pour que le produit vectoriel entre deux vecteurs soit nul est que ces deux vecteurs soient colinéaires (c’est le cas de la figure 1).
4.1.2. Deuxième cas :
La poutre encastrée est aussi un solide soumis à deux actions.
Visiblement F1 n’est pas colinéaire à AB, il existe donc un moment pur en A qui est égal à :
NA = + a.F1
Les Actions mécaniques sont dans ce cas définies par :
) z , y , x O, ( B
POUTRE ext
0 0 0
0 F1 -
0 :
) z , y , x O, ( A
POUTRE bâti
a.F1 0 0
0 F1
0 :
4.2. Solide soumis à trois Forces extérieures.
Un solide soumis à trois forces extérieures (non parallèles) reste en équilibre si :
Les 3 forces sont concourantes en un même point.
La somme des 3 forces est nulle (Principe Fondamental Statique) Démonstration :
Soient deux forces F1 et F2, appliquées respectivement en A et en B, concourantes en un point (noté I). Ces deux vecteurs appartiennent au même plan. Soit (O,
x
,
y
) ce plan. Quelle est l’action F3 au point C, pouvant équilibrer L’ensemble (F1, F2) ?
Les actions mécaniques respectivement en A et en B se définissent par les torseurs suivants :
) z , y , x O, ( A
1
0 0 0
0 Y1 X1 :
et
) z , y , x O, ( B
2
0 0 0
0 Y2 X2 :
A B
F1
x y
Figure 2
A B
F1 x y
F NA
Bâti
Modélisation de l'action de contact Bâti sur poutre
A B
C
F1 F2
I
O y
x Les composantes des moments ne sont pas du tout égales et dépendent fortement de la modélisation que l’on fait des actions mécaniques au départ.
) z , y , x O, ( C
3
0 0 0
Z3 Y3 X3 :
Le principe fondamental de la statique appliquée à la résultante, permet d'écrire que :
0
= Z3
0
= Y3 + Y2 + Y1
0
= X3 + X2 + X1
Il apparaît que la force F3 (résultante du Torseur 3) appartient aussi au plan (O,
x
,
y
).
Pour montrer que F3 passe aussi par le point I, il faut écrire et analyser l’équation du moment en un point très particulier du plan : Le point de concourance I.
En effet, le point I est un point appartenant à la fois à la direction de F1 et de F2. On peut donc écrire :
0
= (F2)
0
= (F1)
I I
M M
Dans ces conditions, l’équation de moment au point I s’écrit :
0
= I (F3)
0
= (F3) +
(F2) +
(F1)
I II
M
M M
M
Ce qui implique obligatoirement que le point I appartient aussi à la direction de F3.
Les Trois forces sont coplanaires et concourantes.
La détermination de F3, peut se faire analytiquement ou graphiquement, en traçant le polygone des forces :
La somme des forces :
F1 + F2 + F3 = 0
est une somme vectorielle nulle.La construction s’effectue en mettant bout à bout les trois vecteurs (en respectant évidemment leur intensité, leur direction et leur sens). Si la somme est bien nulle, on doit obtenir une figure triangulaire fermée.
Cette construction, permet la détermination des intensités d’au plus deux forces.
Exemple : Supposons la force F1 totalement connue et les directions de F2 et F3 connues. La figure graphique que l’on pourrait tracer est :
L’intersection entre les deux directions (de F2 et de F3) permet de déterminer le sens et de mesurer l’intensité des deux forces inconnues.
5. 5 . Is I s ol o le em m en e nt t d d 'u ' un n s sy ys s tè t èm m e e mé m éc ca an ni iq qu ue e
5.1. Equilibre
Un système () est dit en équilibre par rapport à un référentiel
R
si et seulement si à chaque instant de l'étude tous les solides composant ce système sont en équilibre :S ) et M S
V
MS/R = 0
A B
C
F1 F2
I
O y
x F3
F1 F2
F3 F1 F3
Direction deF2
Direction de5.2. Frontière d'isolement.
La frontière d'isolement pour un système suit la même démarche que pour un solide, à la différence importante, que la frontière d'isolement peut contenir soit le système entier, soit un sous-ensemble de solides appartenant au système ou éventuellement un solide particulier du système. Dans le dernier cas, relativement courant dans la résolution de problèmes de statique, il est peu probable que l'isolement d'un seul solide à l'intérieur du système amène au résultat. Il faut plutôt envisager une méthodologie consécutive d'isolement des solides ou des sous-ensembles de pièces pour arriver au résultat escompté.
Exemple :
Pression Action
de l'air de serrage
6. 6 . PR P RI IN NC CI I PE P E F FO ON ND DA AM ME EN NT TA AL L DE D E L LA A S ST TA A TI T I QU Q UE E A AP PP PL LI IQ QU UE E A A U UN N SY S YS ST TE EM ME E. .
Si le système est en équilibre, alors, dans ce cas, la somme des Torseurs des Actions Extérieures à ce système est nulle en tout point :
Soit
le système étudié, M
{
ext
}M = {0}Si le système est en équilibre, alors tout sous-système est en équilibre et peut être étudié à part entière. On peut appliquer le principe fondamental de la statique :
i (un sous-ensemble)
et M
i {
ext
i}M = {0}7. 7 . TH T HE EO OR RE EM ME E D DE ES S A AC CT TI IO ON NS S R RE EC CI I PR P RO OQ Q UE U ES S
Soient
1 et
2 deux systèmes en interaction.On note
l’ensemble (
1,
2). On considère l’ensemble
en équilibre, ce qui implique que les sous-systèmes
1 et
2 sont aussi en équilibre. On peut donc écrire : Principe Fondamental appliqué au système
1 : 1 1
M= 1
M+ 2 1
M= 0
NOTATION :
1
représente l'extérieur à
1.On peut décomposer
1
=
+
2 (l'extérieur à
1 est égal à l'extérieur à
additionné de
2).Donnée Résultat
Isolement du piston Isolement de la biellette
Isolement de la mâchoire
Principe Fondamental appliqué au système
2 : 2 2
M= 2
M+ 1 2
M= 0
est aussi un système en équilibre, le principe fondamental de la statique s’écrit :
M= 0
ce qui est équivalent à :
1
M+ 2
M= 0
Si on somme les deux équations de Torseur, relatives aux équilibres de
1 et de
2, il vient : 1
M+ 2 1
M+ 2
M+ 1 2
M= 0
que l’on peut regrouper sous la forme suivante :
0
= 2 1 + 1 2 + 2
+ 1
M M
0
=
M M
M
il reste donc :
2 1
M+ 1 2
M= 0
qui représente le théorème des actions réciproques (T.A.R.) : L’action mécanique produite par
1 sur
2 est directement opposée à l’action mécanique produite par
2 sur
1.
-
= R
-
= R
2 1 -
= 1 2
2) 1 ( M 1)
2 ( M
2 1 1
2
M M
M M
8. 8 . ME M E TH T HO OD DE E D DE E R RE ES SO OL LU UT TI I ON O N D D’ ’U UN N P PR RO OB BL LE EM ME E D DE E S ST TA AT TI I QU Q UE E
La difficulté d’un problème de statique tient plus dans la description de la modélisation plutôt que dans la résolution.
Quel que soit le problème, une approche analytique, plus ou moins poussée, est nécessaire :
Etude technologique (Etude du fonctionnement, modélisation des jeux, prise en compte ou non du frottement).
Etude cinématique (modélisation des liaisons).
Mise en forme des données et du problème (construction des repères, que connaît-on, que cherche-t-on ?).
Ordonner les isolements (chaque fois, évaluer le nombre d’inconnues et le nombre d'équations pour éviter des isolements inutiles) :
o On commence généralement à isoler une pièce ou un ensemble de pièces du système rendant extérieure l’action mécanique connue.
o Le passage entre les différents isolements s’effectue en utilisant le théorème des Actions réciproques.
o Repérer les pièces soumises à deux Actions mécaniques qui permettent de construire la direction de ces actions.
o On finit le problème, en isolant une pièce ou un ensemble de pièces rendant extérieure l’action mécanique recherchée.
Pour chaque isolement:
o Faire le Bilan des intervenants extérieurs (pour cela faire le graphe des liaisons à partir de la pièce ou du sous-système isolé).
o Modéliser les Actions Mécaniques Extérieures au sous-système isolé.
o Appliquer le principe Fondamental de la statique.
o Si l’équation des moments doit être écrite, faire un choix du point de réduction annulant le plus d’inconnues.
Le choix d’une résolution graphique ou analytique doit être fait en fonction de ce que l’on veut faire des résultats. La méthode analytique permet un paramétrage et une discussion des résultats, en vue d’une éventuelle modification. La méthode graphique donne des résultats figés, avec une faible précision, permettant la vérification du comportement d’un mécanisme dans une position donnée.
