Séries numériques et vectorielles

(1)

Séries numériques et vectorielles

A. Généralités.

1. Séries convergentes, séries divergentes.

2. Exemples de séries.

3. Suites vectorielles et séries.

B. Séries numériques à termes positifs.

1. Comparaison série-série.

2. Comparaison série-intégrale.

3. Séries de Riemann.

4. Séries géométriques.

C. Séries absolument convergentes.

1. Définition, premières propriétés.

2. Comparaison à une série à termes positifs.

3. Application 1 : série harmonique, constante d’Euler.

4. Application 2 : formule de Stirling.

5. Application 3 : suites récurrentes.

6. Produit de Cauchy de séries absolument convergentes.

7. Les espaces l¹(N) et l²(N).

D. Séries semi-convergentes.

1. Séries semi-convergentes.

2. Critère des séries alternées.

3. Transformation d’Abel.

4. La méthode du développement asymptotique.

5. Critère de Hardy.

E. Propriétés de la sommation.

1. Sommation par tranches.

2. Convergence commutative.

F. Séries doubles.

1. Le problème.

2. Théorème de « Fubini ».

G. Familles sommables.

1. Familles sommables de réels positifs.

2. Familles sommables dans un evn de dim. finie.

3. Applications aux probabilités discrètes.

H. Produits infinis.

À la haute mémoire de Niels Henrik Abel (1802-1829)

Pierre-Jean Hormière

(2)

Introduction

La manipulation de sommes infinies a commencé dès l’antiquité. Reprise au XVIIème siècle par Leibniz, elle fut systématiquement explorée par Leonhard Euler (1707-1783). Sans se préoccuper de convergence ou de divergence, notions alors mal définies, mais avec un sens mathématique très sûr, Euler obtint, au moyen de techniques ingénieuses et peu rigoureuses, une foule d’identités qui se révélèrent exactes lorsque Cauchy, Bolzano, Abel et Weierstrass dotèrent l’analyse de toute la rigueur souhaitable. Dès 1768, d’Alembert s’alarme du manque de rigueur de la théorie des séries :

«Pour moi, j’avoue que tous les raisonnements et les calculs fondés sur des séries qui ne sont pas convergentes ou qu’on peut supposer ne pas l’être, me paraîtront toujours très suspects ». Dans son Analyse algébrique (1821), Cauchy écrit : « Je me suis vu forcé d’admettre plusieurs propositions qui paraîtront un peu dures, par exemple qu’une série divergente n’a pas de somme ». Mais celui qui dénonça le plus clairement la situation fut Niels Abel, dans ces deux passages :

« Les séries divergentes sont en bloc une invention diabolique, et c’est une honte que l‘on ose fonder là-dessus une démonstration quelconque. On peut, avec leur secours, établir tout ce qu’on voudra, et ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui ont enfanté tant de paradoxes. Peut-on imaginer quelque chose de plus affreux que de débiter 0 = 1 −²ⁿ^{+ 3}ⁿ−⁴ⁿ + etc. ,

n étant un nombre entier positif ? Tout cela m'a fait lever les yeux avec une vraie consternation ; car, si l’on excepte les cas les plus simples, tels que les séries géométriques, il n’existe, dans toutes les mathématiques, presque aucune série infinie dont la somme soit déterminée rigoureusement ; en d’autres termes, ce qu’il y a de plus important en mathématiques ne repose sur aucun fondement. La plupart des résultats sont justes, il est vrai, et c’est un fait extrêmement étonnant. Je fais mes efforts pour en découvrir la raison. C‘est un problème excessivement intéressant. — Je ne crois pas que l’on pût me proposer beaucoup d’énoncés où il entrerait des séries infinies, et dont la démonstration ne me fournit pas matière à des objections fondées. Fais-le, et je te répondrai. — La formule du binôme elle-même n’est pas encore démontrée rigoureusement. (...). Le théorème de Taylor, fondement de toutes les hautes mathématiques est tout aussi mal établi. Je n’en ai rencontré qu’une seule démonstration rigoureuse ; c’est celle de Cauchy dans son Résumé des leçons sur le Calcul infinitésimal. » (lettre à B. M. Holmboe, 16 janvier 1826)

«Si l’on fait subir au raisonnement dont on se sert en général quand il s’agit de séries infinies, un examen plus exact, on trouvera qu’il est, à tout prendre, peu satisfaisant, et que par conséquent le nombre des théorèmes, concernant les séries infinies, qui peuvent être considérés comme rigoureusement fondés, est très limité. On applique ordinairement les opérations de l’analyse aux séries infinies de la même manière que si les séries étaient finies, ce qui ne me semble pas permis sans démonstration particulière. (...)

Un autre procédé qu’on trouve fréquemment dans l’analyse, et qui assez souvent conduit à des contradictions, c’est qu’on se sert des séries divergentes pour l’évaluation des valeurs numériques des séries. Une série divergente ne peut jamais être égale à une quantité déterminée ; c’est seulement une expression jouissant de certaines propriétés qui se rapportent aux opérations auxquelles la série est soumise.

Les séries divergentes peuvent quelquefois servir avec succès de symboles pour exprimer telle ou telle proposition d'une manière abrégée ; mais on ne saurait jamais les mettre à la place de quantités déterminées. Par un tel procédé on peut démontrer tout ce qu’on veut, l’impossible aussi bien que le possible.» (Recherches sur la série du binôme, 1826)

Après 1820, Cauchy et Abel développèrent la théorie des séries sur des bases rigoureuses, suivis par Dirichlet, Riemann et Weierstrass. Mais la théorie se développa de manière anarchique, accumulant les critères de convergence ou de divergence : « Il est permis de penser que la théorie élémentaire des séries, telle qu’elle est enseignée dans les cours de mathématiques spéciales, présente, peut-être par la force des choses, un caractère artificiel et disparate. L’exposé de cette théorie consiste surtout à passer en revue un certain nombre de caractères de convergence ou de divergence, sans qu’aucun lien logique apparaisse entre ces différents énoncés. L’lève à qui on a remis ces outils entre les mains, une fois en présence d’une application à traiter, en est réduit à les

(3)

essayer tour à tour, à peu près au hasard ; il est assez remarquable même que les caractères qui réussissent le moins souvent, comme la règle de d’Alembert, sont justement ceux que les élèves sont le plus portés à employer.» écrit René Baire, dans son article Sur la théorie élémentaire des séries publié au début du XXème siècle (Œuvres, p.188). La pertinence de sa critique est restée entière jusque dans les années 1960 : les cours de math spé énuméraient des critères de convergence ou de divergence, sans grand principe directeur. L’élève mis en présence d’un exercice les essayait tour à tour, commençant par les critères de convergence les plus grossiers (règles de d’Alembert ou Cauchy), puis passant à des critères moins grossiers (règles de Raabe-Duhamel, Gauss, Kummer, et j’en passe), et enfin, à des critères présentés comme très fins comme les règles de Riemann ou Bertrand : démarche dogmatique et inefficace. Ce n’est qu’au début des années 1970 que les cours de math spé ont enfin commencé à tenir compte des remarques de Baire, reprises par Bourbaki.

Cette conception moderne s’articule autour de deux idées-force :

 la comparaison série-intégrale. Elle fonctionne dans les deux sens : les intégrales impropres permettent d’étudier la nature de certaines séries, et les séries permettent d’étudier certaines intégrales impropres. Elle fournit également des encadrements de sommes partielles ou de restes, utilisables tant en calcul numérique qu’en calculs asympotiques.

 la comparaison série-série ramène l’étude de la nature d’une série à celle de séries-tests plus simples ou "connues". Pour cela, il suffit de disposer d’un équivalent ou d’un développement asymptotique du terme général de la série. Ces outils fournissent également des équivalents ou développements asymptotiques des sommes partielles (en cas de divergence), ou des restes (en cas de convergence), grâce au puissant théorème de sommation de relations de comparaison.

Ces deux méthodes unifient et simplifient beaucoup l’exposé des séries, et relèguent au grenier des exercices les anciens critères, désormais tombés en désuétude ou réservés aux mathématiciens professionnels. Certes, elles n’épuisent pas le sujet (notamment les séries trigonométriques, ou issues de la théorie des nombres) ; mais elles fournissent des outils puissants et souples, au vaste pouvoir d’intelligibilité, et elles donnent une grande capacité d’initiative.

_________

Qu’il y ait nécessité de définir avec précision les sommes infinies, c’est ce que montrent les exemples suivants, que l’on pourrait multiplier :

• Considérons la série S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... . On a : S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0 ,

S = 1 + (− 1 + 1) + (− 1 + 1) + (− 1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + ... = 1 , S = 1 − (1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... ) = 1 − S , d’où S = 1/2 .

• Posons T = 1 + 1 + 1 + 1 + ... . On a : T = +∞.

et aussi T = 1 + (2 − 1) + (3 − 2) + (4 − 3) + ... = 0 , après simplification 1 − 1, 2 − 2, 3 − 3, etc.

• On a formellement U = 1 + x + x² + x³ + ... = 1 + x.U , d’où U =

−x 11 _. En particulier, si x = 2 : 1 + 2 + 2² + 2³ + ... = −1 , etc.

• De même si l’on substitue x = −1 dans l’identité 1 + 2x + 3x² + ... = )² 1 ( 1

−x , il vient : 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ... = 1/4 . Why not ?

• Posons V = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + 1/5 − 1/6 + ... . On sait que V = ln 2.

On a : 2V = 2 − 1 + 2/3 − 1/2 + 2/5 − 1/3 + ... = 1 − 1/2 + 1/3 − 1/4 + ... = V , au moyen de simplifications convenables. D’où : ln 2 = 0 …

• Enfin

∑

^+∞

=

−

0

! . ) 1 (

n

nn =

∑

^+∞

∫

=

∞

+ −

−

0( 1).0 . .

n

x n

n x e dx =

∫ ∑

^{+ +∞}^∞

=

− −

0 0

. . ) (

n

x

ne dx

x = dx

x e ^x 1 .

∫

0⁺^∞ ₊⁻ ≈ 0, 5963…

(4)

A. Généralités sur les séries

K = R ou C. F est un K-espace vectoriel normé, supposé souvent complet¹, voire de dimension finie.

1. Séries convergentes, séries divergentes.

^+∞

=0 n

un désigne tout à la fois la série de terme général u_n, série qui peut converger ou diverger, et la somme de la série en cas de convergence. Cette ambiguïté est manifeste dans la phrase : « la série

∑

^+∞

=0

2 / 1

n

nconverge et

∑

^+∞

=0

2 / 1

n

n= 2 ». On pourrait, certes, noter S = ((u_n), (U_n)) la série, et

∑

^+∞

=0 n

u n sa somme éventuelle, mais cet usage ne s’est pas imposé.

Proposition 1 : Si les séries

∑

^+∞

=0 n

unet

∑

^+∞

=0 n

vnconvergent, il en est de même de la série

∑

^+∞

= +

0

) . . (

n

n v

u µ

λ ^,

et

∑

^+∞

= +

0

) . . (

n

n v

u µ

λ ⁼λ.

∑

^+∞

=0 n

un₊_µ.

∑

^+∞

=0 n

vn_.

Autrement dit, les séries convergentes forment un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des séries, et l’application qui à une série convergente S = ((u_n), (U_n)) associe sa somme, est linéaire.

Corollaire : La somme d’une série convergente et d’une série divergente est une série divergente.

Remarque : en revanche, la somme de deux séries divergentes peut converger ou diverger.

^+∞

=0 n

u )n .

Corollaire : Si F est un evn de dimension finie, de base (e₁, ..., e_p) , et si un =

∑

= p

i

uni 1

ei , alors

∑

^+∞

=0 n

un converge ssi, pour tout i ,

∑

^+∞

=0 n

uni converge, et

∑

^+∞

=0 n

un =

∑ ∑

= +∞

= p

i n

i

un

1 0

,) ( ei .

^+∞

+

=N 1 n

un sont de même nature, et, si elles convergent, alors

∑

^+∞

=0 n

un =

∑

= N

n

un 0

+

∑

^+∞

+

=N 1 n

un . Conséquences :

1) Si

∑

^+∞

=0 k

ukconverge et a pour somme U, son reste d’ordre n vérifie R_n= U − U_n=

∑

^+∞

+

=n 1 k

uk . 2) On ne change pas la nature d’une série (convergence ou divergence) si l’on modifie un nombre fini de termes. En d’autres termes, la nature d’une série est une propriété locale ou asymptotique de la suite (u_n). La suite du chapitre va confirmer cette idée : le plus souvent, un équivalent ou un développement asymptotique du terme général u_n permet d’élucider la nature de la série.

Proposition 5 : Si la série

∑

^+∞

=0 n

un converge, son terme général u_ntend vers 0.

Preuve : u_n = U_n − U_n₋₁ → U − U = 0.

Corollaire : Une série dont le terme général ne tend pas vers 0 est divergente.

De telles séries sont parfois dites grossièrement divergentes. Par exemple, la série de Leibniz- Euler

∑

(−1)ⁿest divergente ; on ne peut donc lui attribuer de somme.

Remarques : 1) La réciproque est fausse, comme le montrent les séries

∑

^+∞

= +

1

1) 1 ln(

n n ^et

∑

^+∞

=1

1

n n^{. Elles} divergent, mais leurs termes généraux tendent vers 0.

2) Cependant, nous verrons dans la suite que si la suite (u_n) tend vers 0 vite, alors la série converge.

3) Bien distinguer convergence et « convergence informatique ». Si la suite (u_n) tend vers 0, la calculatrice peut parfois considérer que u_n= 0 àpcr, et donc que (U_n) est stationnaire ; peuvent aussi apparaître àpcr des erreurs d’arrondis rendant l’évaluation des U_n fortement fluctuante, alors qu’elle converge. C’est ici l’occasion de rappeler qu’un float n’est pas un réel, et que tout calcul numérique en machine doit être contrôlé.

4) Il existe des espaces vectoriels topologiques sur des corps ultramétriques (nombres p-adiques par exemple), dans lesquels

∑

^+∞

=0 n

un converge ssi son terme général u_ntend vers 0. La théorie des séries est alors plus simple... mais dans un cadre nettement plus abstrait. Ici, K = R ou C.

Proposition 6 : critère de Cauchy. Si F est complet, la série

∑

^+∞

=0 n

un converge si et seulement si : (∀ε > 0) (∃n₀) (∀q > p ≥ n₀)

|| ∑

+

= q

p k

uk 1

||

≤ε .

2 Ce critère est en réalité peu usité : pour montrer qu’une série à termes complexes converge, penser d’abord à l’absolue convergence.

(6)

Preuve : Ce n’est autre que le critère de Cauchy appliqué à la suite U_n . En effet, U_q − U_p =

∑

+

= q

p k

uk 1

, sommes que l’on appelle tranches de Cauchy de la série.

Proposition 7 : transformation d’Abel. Soit

∑

^+∞

=0

.

n n nv

a une série à éléments dans K. Si V_n =

∑

= n

k

vk 0

, on a :

∑

= n

k k kv a

0

. = a_n.V_n −

∑

⁻

=¹ + −

0

1 ).

(

n

k

k k

k a V

a .

Ce résultat s’étend sans peine au cas où a_n∈ F et v_n∈ G, le produit a_n.v_n∈ H étant bilinéaire continu F×G → H. La transformation d’Abel est l’analogue pour les sommes finies de l’intégration par parties. En effet, elle s’écrit :

∑

= n

k k kv a

0

. = a_n.V_n −

∑

⁻

=¹∆

0

.

n

k

k kV a . V_n =

∑

=0

.

n n nv

a converge.

Nous reviendrons sur ce sujet en D.3.

2. Exemples de séries.

2.1. Séries à support fini.

Si la suite (u_n) est à support fini, i.e.{ n ; u_n≠ 0 } est fini, alors la série de terme général u_n est convergente, car (U_n) est stationnaire.

2.2. Séries géométriques.

Proposition 1 : Soit z ∈ C. La série

∑

^+∞

=0 n

zn converge ssi |z| < 1, et alors

∑

^+∞

=0 n

zn =

−z 1

1 _.

Preuve : S_n =

∑

= n

k

zk 0

= z

zⁿ

−

− ⁺ 1

1 ¹

si z ≠ 1, S_n = n + 1 si z = 1.

Si |z| < 1, (S_n) tend vers

−z 1

1 . Si |z| > 1, (S_n) est non bornée. Si z = 1, idem.

Enfin, si |z| = 1 et z ≠ 1, (S_n) est bornée car | S_n| ≤

−z 1

2 , mais divergente, car la suite (zⁿ) diverge.

En effet | zⁿ⁺¹ – zⁿ| = | 1 – z | ne tend pas vers 0.

Exercice : Deux trains distants de 200 km se dirigent l’un vers l’autre à la vitesse de 100 km/h.

A l’instant 0 une mouche part d’un train et va vers l’autre à la vitesse de 200 km/h. Lorsqu’elle l’atteint, elle rebousse chemin et revient vers le premier train à la même vitesse, et ainsi de suite.

Quelle distance la mouche aura-t-elle parcourue au moment où les deux trains se croisent ? Ce résultat s’étend aux algèbres de Banach unitaires :

Définition : On appelle algèbre de Banach une algèbre associative unifère normée complète A vérifiant : ∀(a, b) ∈ A² || a.b || ≤ ||a||.||b|| et ||e|| = 1 (où e est l’unité de A).

Proposition 2 : Soit A une algèbre de Banach, a un élément tel que ||a|| < 1. Alors

∑

^+∞

=0 n

an= (e − a)⁻¹.

(7)

Preuve : La série obéit au critère de Cauchy, car : ||

∑

+

= q

p k

ak 1

|| ≤

∑

+

= q

p k

ak 1

≤

∑

+

= q

p k

ak 1

=

a a a ^p ^q

−

− ⁺

+

1

1 1

≤ a

aⁿ

− 1

0

qui est apqv (au fond, il y a absolue convergence). Il reste à passer à la limite dans l’identité : ( e − a ).( e + a + a² + ... + aⁿ) = ( e + a + a² + ... + aⁿ).( e − a ) = e − aⁿ⁺¹. Application : Munissons Kⁿ d’une norme ||x||, et M_n(K) = L_(Kⁿ) de la norme subordonnée |||A||| . Si |||A||| < 1, la matrice I − A est inversible et ( I − A )⁻¹ =

∑

^+∞

=0 k

Ak.

En termes abstraits, la boule ouverte B(I, 1) de centre I et de rayon 1 est incluse dans Gl_n(K).

C’est d’ailleurs la plus grande boule ouverte de centre I et incluse dans Gl_n(K) [penser à O !].

Plus généralement, soit A ∈ Gl_n(K). La boule ouverte de centre A et de rayon 1/|||A⁻¹||| est incluse dans Gl_n(K), car ||| B ||| < 1/|||A⁻¹||| ⇒ ||| B.A⁻¹||| < 1 ⇒ I − B.A⁻¹∈ Gl_n(K) ⇒ A − B ∈ Gl_n(K).

Cela redémontre que Gl_n(K) est un ouvert de M_n(K).

_.

2.4. Développement d’un réel en base b.

Déjà exposés dans le chapitre sur la droite réelle, ce sont d’importants exemples de développements en série de réels, mais pas les seuls.

Exercice : Développement de Engel d’un réel.

Soit x ∈ ]0, 1]. Montrer qu’il existe une et une seule suite d’entiers 2 ≤ q₁ ≤ q₂ ≤ ... telle que : x =

1

q ⁺ 1. 2

1 q

q ⁺ 1. 2. 3

1 q q

q ^{+ ...}

Montrer que x est rationnel ssi les q_i sont égaux à partir d’un certain rang.

Écrire une procédure prenant en argument x, et affichant les q_i pour 1 ≤ i ≤ 10.

2.5. Séries télescopiques.

Nous dirons que la série

∑

^+∞

=0 n

u n est télescopique si l’on peut calculer explicitement ses sommes partielles U_n =

∑

= n

k

uk 0

au moyen d’une formule sommatoire. On pourra alors décider de la divergence ou de la convergence de la série, et calculer sa somme éventuelle, sans faire appel à aucun critère théorique. La situation est analogue à celle des intégrales impropres

∫

_[a,b[ f(t).dt lorsqu’on peut calculer élémentairement F(x) =

∫

_a^x^{f ).}⁽^t ^dt, puis faire tendre x vers b.

Comment reconnaître les sommes U_n =

∑

= n

k

uk 0

qui peuvent se calculer élémentairement, et comment les calculer ? Lorsque u_k = R(k) est fonction rationnelle de k, il est parfois possible de

(8)

calculer U_n =

∑

= n

k

uk 0

par décomposition en éléments simples de R. D’autres techniques existent : au fond, il suffit de mettre u_n sous la forme u_n = a_n− a_n₋₁ou u_n = a_n+1− a_n.

On pourrait développer un calcul systématique des sommes télescopiques, analogue au calcul des primitives. De même qu’un tableau de dérivation F(x) → F'(x) fournit aussitôt une table des primitives f(x) →

∫

^{f ).}⁽^x ^dx, de même un tableau des différences finies (a_n) → ∆an = a_n+1 − an

fournit autant de formules sommatoires u_n→ U_n =

∑

= n

k

uk 0

.

Ajoutons que de nombreuses séries numériques se calculent car elles sont de simples évaluations numériques de séries entières (dans le disque ouvert de convergence ou par limite radiale), de séries de fonctions (fonctions eulériennes notamment)³, ou de séries de Fourier. Ainsi, l’égalité :

ln 2 =

n

1

) 1

( ⁻

+∞

=

∑

− découle du développement en série entière de ln(1 + x) sur ]−1, 1] :

ln(1 + x) =

n xⁿ

n

∑

^+∞ n

=

− − 1

) 1

1

( = x −

2

² x ₊

3 x3

− 4 x4

+ ...

Exemple 1 : Nature et somme de la série

∑

^+∞

=₁ ( +1) 1

n n n ^.

u_n =

) 1 (

1+ n

n ⁼n 1₋

1 1+

n ^{, d’où U}ⁿ⁼

∑

= n

k

) 1 )...(

1 (

1 + − + n q n

n ⁻ ( 1)( 2)...( )

1

q n n

n+ + +

]

^.

On en déduit que U_n→

! . 1

q q ^.

Exercice 1 : Convergence et sommes des séries :

∑

^+∞

=₁ ( + ) 1

n n n q ( q ≥ 1 )

∑

^+∞

= −−

3 ( ² 4) 3 4

n n n

n

∑

^+∞

=₁( +1)( +2)( +3)

n n n n

n

∑

^+∞

= +

1

1) 1 ln(

n n

∑

^+∞

=₁ ²+ +1

tan 1

n Arc n n

∑

^+∞

=₁1²+2²+...+ ² 1

n n

^+∞

=

−

2

²) 1 1 ln(

n n

∑

^+∞

=

− +

1

) ( ) 1 (

n n

n E n

E

∑

^+∞

=

+ +

−

2

) 1 ( . 2 ) 1 (

n

a a

a n n

n

[ ]

∑

⁺^∞

=

− − 1

2 / ) 1

)(

1 (

n

n Exercice 2 : Convergence et sommes des séries

∑

^+∞

=0 5 n n!

n et

∑

^+∞

=0 ! ) (

n n

n

P , où P∈C[X].

3 Des algorithmes généraux de sommation élémentaire finie ou infinie, dus à Gosper et Zeilberger, sont implantés dans les logiciels de calcul formel. Ils sont l’analogue des algorithmes de calcul des primitives (dans Maple, consulter le package sumtools).

(9)

[ Indication : Noter que ( 1 , X , X(X − 1) , X(X − 1)(X − 2) , ... ) est une base de C[X].]

Les séries rencontrées dans les exercices suivants ne sont pas télescopiques au sens précédent. Leur somme se calcule car elle provient d’évaluations particulières de séries entières classiques.

Exercice 3 : Convergence et sommes des séries

∑

^+∞

=02

n n

n _,

∑

^+∞

=02

²

n n

n , et plus généralement

∑

^+∞

=0

).

(

n

xn

n

P pour |x| < 1 et P ∈ C[X]. [ Indication : Considérer

−x 1

1 et ses dérivées. ]

Exercice 4 : Convergence et calcul de

^+∞

=0 4

)!

4

n (

n

n x ,

∑

^+∞

=0 5

)!

5

n (

n

n x .

Exercice 5 : Résoudre les exercices précédents avec Maple, en utilisant éventuellement le package sumtools.

2.6. Séries divergentes.

• La série de Leibniz-Euler S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ... est divergente, ses sommes partielles valant alternativement 1 et 0. On ne peut donc lui attribuer la somme ½, comme on le faisait au XVIIIème siècle, du moins au sens de la théorie que nous développons ici. C’est aussi le cas de toutes les séries mentionnées au bas de la page 3.

• Lagrange affirmait que la série ½ + cosθ + cos2θ + … a une somme nulle. Or ses sommes partielles valent

1 _{+ ... +} n

1 _{− 2} _n U_n = 1 + _a 2

1 _{+ ... +} na

1 ₋ a n ^a

−

1

pour 0 < a < 1 . U_n = th 1 + th 2 + ... + th n − ln(ch n) U_n =

² 1 1

1+ ⁺ 1 2²

1+ ^{+ ... +} 1 ² 1

+n − Argsh n . U_n =

1 1 ln ₊

2 2

ln _{+ ... +} n

n ln ₋

2

²

ln n (cf ex. svt.) U_n =

1 2

1 ln ₊

2 2

2

ln _{+ ... +} n n 2

ln ₋_{( ln n}₋_{2 )} _n_. U_n =

2 ln 21 ₊

3 ln

31 _{+ ... +} n

nln1 ₋ ln(ln n) . U_n =

1 1+

n ⁺ 2 1+

n ^{+ ... +}n+1n U_n = ch 1 1+

n ^{+ ch} 2

1+

n + ... + ch

n+1 n ₋_{n .} Exercice : Constantes de Stieltjes.

Montrer que pour tout entier p ∈ N, la suite U_n =

∑

= n

k p

k k

1

ln − 1 ln ¹

+

p

p n

converge vers une constante, dite constante de Stieltjes, et notée γ_p. Équivalent de U_n − γ_p? Cas où p = 0 ?

B . Séries à termes positifs

1. Comparaison série-série.

Proposition 1 : Soit

^+∞

=0 n

un= sup U_n, et alors

^+∞

=0 n

v n ^⇒ (∀n) u_n = v_n.

(11)

Exemple : soit (d_n)_n_≥₁ une suite d’entiers compris entre 0 et 9 ; alors

∑

^+∞

=110

n n

dn _{= 1}_⇔₍_∀_{n) d}

^+∞

^+∞

=0 n

1 (

n n

n ^et

∑

^+∞

=

− +

−

1

1) ) 1 ((

n

n n ont des termes généraux équivalents, mais nous verrons plus tard (§ D.2) qu’elles ne sont pas de même nature.

Cependant, il arrive parfois que le signe de u_nne soit pas évident. On peut alors chercher un équi- valent simple de u_n quand n → +∞ : u_n∼ v_n. Si (v_n) a un signe constant au V(+∞), alors il en est de même de (u_n) et l’on peut alors appliquer la règle de l’équivalent. Dans ce cas, l’équivalent a servi deux fois : seule une rédaction soignée et rigoureuse peut rendre le raisonnement correct.

2. Comparaison série-intégrale.

Séries et intégrales ont des liens multiples, et dans les deux sens. Dans ce §, nous n’abordons qu’un aspect de ce problème. Nous en aborderons un autre en D.5. et récapitulerons ce sujet dans le chapitre sur l’intégrabilité.

2.1. Rappels sur les fonctions intégrables.

_nⁿ₋₁^f⁽^t^).^dt ⁻ f(n) est convergente.

Pour que la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( converge, il faut et il suffit que f soit intégrable.

Autrement dit, la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( et l’intégrale impropre

∫

_a^+∞^{f ).}⁽^t ^dt sont de même nature.

Preuve : Rappelons que toute fonction décroissante est réglée, donc intégrable, sur tout segment.

La décroissance de f implique, pour n > a l’encadrement 0 ≤ wn ≤ f(n − 1) − f(n).

Or la série de terme général f(n − 1) − f(n) est convergente, car ses sommes partielles f(a) – f(n), sont croissantes majorées par f(a). Donc la série de terme général w_n est convergente.

La seconde assertion se déduit de la première, car

∑

+

_a^x^{f ).}⁽^t ^dt^est

croissante majorée : f est intégrable. Si f est intégrable, F(x) a une limite en +∞, donc la suite n →

∫

_aⁿ^{f ).}⁽^t ^dt converge, et, par soustraction, la série

∑

^+∞

=a n

n

f )( converge.

Exercice : Sous les hypothèses du théorème précédent, établir qu’en posant u_n = f(n) : 1) Si série et intégrale convergent, on a les encadrements de la somme et des restes :

∫

_a^+∞₊₁^f⁽^t^).^dt ^≤

^∑

^+∞

+

=a 1 n

un_≤

∫

_a^+∞^{f ).}⁽^t ^dt

et (∀p ≥ a)

∫

_p^+∞₊₁^f⁽^t^).^dt ^≤

∑

^+∞

+

=p 1 n

un_≤

∫

_p^+∞^{f ).}⁽^t ^dt^.

2) Si série et intégrale divergent, les sommes partielles de la série vérifient :

∑

= n

a k

uk=

∫

_aⁿ^{f ).}⁽^t ^dt^{+ C +}^εⁿ , et a fortiori :

∑

= n

a k

uk ∼

∫

_aⁿ^{f ).}⁽^t ^dt^.