Complexes de sous-mots acycliques dans les groupes de Coxeter

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Groupes de Coxeter Complexes de sous-mots Ordre faible et morphisme de treillis

Complexes de sous-mots acycliques dans les groupes de Coxeter

Noémie Cartier

30 avril 2021

Noémie Cartier

Complexes de sous-mots acycliques dans les groupes de Coxeter

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1 Groupes de Coxeter Aspect algébrique Aspect géométrique

2 Complexes de sous-mots Mots et longueur

Sous-mots et fonction racine Complexes de sous-mots acycliques

3 Ordre faible et morphisme de treillis Un morphisme de treillis

Algorithme d’insertion Et maintenant ?

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Aspect algébrique

Définition

Un groupe de CoxeterW est défini par :

• S un ensemble de générateur

• M indexée surS une matrice symétrique d’entiers strictement positifs telle que pour s,t ∈S,Ms,t=1ssis=t.

La matriceM donne l’ordre de l’élémentst.

On représente généralement cette matrice par lediagramme de Coxeter du groupe, où une arête entres ett dit queMs,t>2. On étiquette l’arête par cette valeur si elle est différente de 3.

Dans la suite, on s’intéresse uniquement aux groupes de Coxeter finis.

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Aspect algébrique

Exemples de familles de groupes de Coxeter finis :

• type A : groupe symétrique, ou groupe des isométries du tétraèdre : S ={(i,i+1)|i∈J1,n−1K} et diagramme de la forme

• type B : groupe des permutations signées, ou groupe des isométries du cube :S ={(1,−1)} ∪ {(i,i+1)|i∈J1,n−1K} et diagramme de la forme

• groupe diédral : groupe des isométries dun-gone : diagramme de la forme

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Aspect géométrique

De manière équivalente : Définition

SoitE un espace vectoriel de dimension finie. Un groupe de CoxeterW fini est un groupe fini de transformations linéaires deE généré par un ensemble de réflexions.

Définition

Un système de racines deW est un sous-ensembleΦde E tel que : si α∈ΦalorsΦ∩αR={α,−α};

pour tout w ∈W, wΦ = Φ.

Un tel système existe pour tout groupe de Coxeter finiW. Les racines correspondent aux réflexions deW.

On partitionne le système enΦ⁺ etΦ⁻ (racines positives et négatives) de telle façon que les deux ensembles soient séparés par un hyperplan.

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De manière équivalente : Définition

SoitE un espace vectoriel de dimension finie. Un groupe de CoxeterW fini est un groupe fini de transformations linéaires deE généré par un ensemble de réflexions.

Définition

Un système de racines deW est un sous-ensembleΦde E tel que : si α∈ΦalorsΦ∩αR={α,−α};

pour tout w ∈W, wΦ = Φ.

Un tel système existe pour tout groupe de Coxeter finiW. Les racines correspondent aux réflexions deW.

On partitionne le système enΦ⁺ etΦ⁻ (racines positives et négatives) de telle façon que les deux ensembles soient séparés par un hyperplan.

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Groupe symétrique :

• σ∈Sn devientx = (x1, . . . ,xn)7→(x_σ(1), . . . ,x_σ(n));

• réflexions : transpositions(i,j), perpendiculairement aux hyperplans xi =xj;

• racines :{ei−ej|i6=j};ei−ej positive ssii<j.

On se ramène àRⁿ⁻¹en projetant sur l’hyperplan Pn

i=1xi=0.

Groupe diédral :

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SoitW un groupe de Coxeter muni d’un système de racinesΦ. On suppose que les seuls sous-espaces deE stables parW sont{0} etE.

Définition

Pour toute partition deΦen racines positives et négatives, il existe un unique sous-ensemble∆deΦ⁺ tel que∆ est une base de l’espaceE et les coefficients de l’écriture d’un élément deΦdans cette base sont soit tous positifs (dansΦ⁺), soit tous négatifs (dansΦ⁻).

Les éléments de∆ sont alors dits racines simples deW.

Proposition

Soit∆ un système de racines simples, alors{sα|α∈∆}génère W.

Proposition

Tous les systèmes de racines positifs et leur système de racines simples sont conjugués les uns des autres.

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Définition

Proposition

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Définition

Proposition

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Groupe symétrique :

• générateurs : les transpositions simples(i,i+1), aveci∈J1,n−1K

• racines simples :ei−ei+1, aveci∈J1,n−1K Groupe diédral :

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Proposition

Soientv,w ∈W deux éléments du groupe, les énoncés suivants sont équivalents :

v =w;

v(Φ⁺) =w(Φ⁺); v(∆) =w(∆).

En particulier, on peut caractériserw ∈W par l’ensemblew(Φ⁺), ou encore par l’ensemblew(Φ⁻)∩Φ⁺.

Pourw ∈W, on dit quew(Φ⁻)∩Φ⁺est l’ensemble des inversions dew, notéinv(w).

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Mots et longueur

On fixeW groupe de Coxeter fini, un système de racinesΦet un sous-système de racines simples∆. On noteS={sα|α∈∆}, c’est un ensemble de réflexions qui génèreW.

Définition

Une suite finieQ=Q1Q2. . .Qk d’éléments deSest appelée mot ou expression.

On dit queQreprésente l’élément deW donné par le produit desQi. Soitw ∈W, la longueur dew est la longueur minimale d’un mot le représentant.

Un mot est dit réduit si sa longueur est égale à celle de l’élément qu’il représente. Tout mot non réduit possède au moins une paire de lettres qu’on peut lui retirer sans modifier l’élément qu’il représente (opération de simplification).

Proposition

La longueur d’un élémentw∈W est donnée par le cardinal deinv(w). On notew0l’unique élément deW de longueur maximale (i.e. tel que w0(Φ⁺) = Φ⁻).

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Mots et longueur

On fixeW groupe de Coxeter fini, un système de racinesΦet un sous-système de racines simples∆. On noteS={sα|α∈∆}, c’est un ensemble de réflexions qui génèreW.

Définition

Une suite finieQ=Q1Q2. . .Qk d’éléments deSest appelée mot ou expression.

On dit queQreprésente l’élément deW donné par le produit desQi. Soitw ∈W, la longueur dew est la longueur minimale d’un mot le représentant.

Un mot est dit réduit si sa longueur est égale à celle de l’élément qu’il représente. Tout mot non réduit possède au moins une paire de lettres qu’on peut lui retirer sans modifier l’élément qu’il représente (opération de simplification).

Proposition

La longueur d’un élémentw∈W est donnée par le cardinal deinv(w).

On notew0l’unique élément deW de longueur maximale (i.e. tel que w0(Φ⁺) = Φ⁻).

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Mots et longueur

Pour le groupe symétrique, on représentera un mot par un réseau de tri.

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Mots et longueur

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Mots et longueur

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Sous-mots et fonction racine

Définition

SoitQ un mot quelconque deW composé dencaractères. Un sous-mot mdeQ est une sous-séquenceQm1, . . . ,Qm_k deQ.

On s’intéressera particulièrement aux sous-motsréduits.

Définition

SoitQ un mot, la fonction racine surQ est donnée pourm sous-mot de Q eti∈J1,nKpar

r(m,i) =Qm₁. . .Qm_j(αi)

avecαi la racine associée à la réflexion simpleQi etmj maximal tel que mj <i.

Proposition

SoitQ un mot et mun sous-mot réduit deQ représentantw, alors inv(w) ={r(m,m_i)|i∈J1,kK}.

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Définition

Proposition

SoitQ un mot et mun sous-mot réduit deQ représentantw, alors inv(w) ={r(m,m_i)|i∈J1,kK}.

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Définition

Proposition

SoitQ un mot etm un sous-mot réduit deQ représentantw, alors inv(w) ={r(m,m_i)|i∈J1,kK}.

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Dans cette situation, la fonction racine donne la paire de positions où sortent la paire de tuyaux qui passent sur une barre verticale.

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Dans cette situation, la fonction racine donne la paire de positions où sortent la paire de tuyaux qui passent sur une barre verticale.

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Complexes de sous-mots acycliques

Définition et propriété

Soitmun sous-mot deQ représentantw, soitα∈inv(w), alors on sait qu’il existei tel quer(m,mi) =α.

Si il existej ∈/ mtel quer(m,j) =±α, la condition d’échange dit que (m\ {i})∪ {j}est aussi un sous-mot deQ représentantw.

De plus, comme le cardinal ne change pas, si le sous-mot était réduit, alors il l’est toujours après cette opération.

On appelle cette opération un flip ; sii>j, le flip est dit ascendant, et sinon il est dit descendant.

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Dans les réseaux de tri, ça correspond à trouver un croisement et un contact concernant les deux mêmes tuyaux et à les échanger.

↓

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Définition

SoitQ un mot etm un sous-mot, la configuration racine demest l’ensembleR(m) ={r(m,i)|i∈/m}.

Un sous-mot est dit acyclique si sa configuration racine est incluse dans un demi-espace strict deE.

Définition

On fixeQ etw ∈W. On appelle complexe de sous-mots acyclique dew surQ l’ensemble des sous-mots deQ réduits acycliques qui représentent w.

On le munit de l’ordre des flips, dont les couvertures sont données par les flips ascendants.

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Définition

SoitQ un mot etm un sous-mot, la configuration racine demest l’ensembleR(m) ={r(m,i)|i∈/m}.

Un sous-mot est dit acyclique si sa configuration racine est incluse dans un demi-espace strict deE.

Définition

On fixeQ etw ∈W. On appelle complexe de sous-mots acyclique dew surQ l’ensemble des sous-mots deQ réduits acycliques qui représentent w.

On le munit de l’ordre des flips, dont les couvertures sont données par les flips ascendants.

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Dans le cas des réseaux de tri, on construit legraphe de contact.

↓

Le sous-mot est acyclique ssi le graphe de contact l’est.

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Conjecture

On se place sur un motQ représentantw₀l’élément le plus long deW construit à partir d’un élément de Coxeter deW.

Pour toutw ∈W, l’ordre des flips sur le complexe de sous-mots acyclique dew surQ est un treillis.

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Un morphisme de treillis

Définition

Sur un groupe de Coxeter, on définit le treillis de l’ordre faible de deux façons équivalentes : pourw,w⁰∈W, on aw w⁰ ssi :

• inv(w)⊆inv(w⁰);

• il existe un mot réduit représentantw et un mot réduit représentant w⁰ tels que le premier est un préfixe du second.

Conjecture

PourQ comme décrit précédemment, il existe une fonctioninsdes éléments deW inférieurs àw par l’ordre faible vers le complexe de sous-mots dew surQ définie parins(π) =m ⇐⇒ R(m)⊆π(Φ⁺).

Cette fonction est surjective et c’est un quotient de treillis.

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Algorithme d’insertion

Théorème

SoitQ un mot quelconque sur W etw ∈W tel qu’il existe une écriture dew qui soit un sous-mot deQ.

Alors l’algorithme suivant permet pour toutπ∈W inférieur àw dans l’ordre faible de construire un sous-mot deQ représentantw tel que sa configuration racine est incluse dansπ(Φ⁺).

Demazure-sous-w(x,T,w) : xcurr ←x

Pour i dans T :

Si xcurrπi 6w alors xcurr ←xcurrπi

Renvoyer xcurr

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Insertion(Q,w, π) : n←longueur(Q) w_curr ←()

m←[ ]

Pour i=1 à n: α←r(m,i)

Si α∈w(Φ⁻) alors Si α∈π(Φ⁺) alors

p←Demazure-sous-w(wcurr,Q[i+1:],w) Si p6=w alors

ajouter i à m wcurr ←wcurr(s_Q[i]) Sinon

ajouter i à m wcurr ←wcurr(sQ[i])

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Soitαla fonction racine en l’indicei, on distingue quatre cas :

1 si α∈w(Φ⁺), on ne fait rien ;

2 si α∈w(Φ⁻)etα∈π(Φ⁻), on ajoutei àm;

3 si α∈w(Φ⁻)etα∈π(Φ⁺), on cherche si on peut complétermen un sous-mot représentant w sans utiliseri :

a si oui, on ne fait rien ; b si non, on ajoutei àm.

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Et maintenant ?

Il reste à montrer :

que l’insertion est bien une fonction (i.e chaque élément a une unique image) ;

que cette fonction est surjective ;

que la fonction en question est bien un morphisme de treillis.

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Et maintenant ?

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Complexes de sous-mots acycliques dans les groupes de Coxeter

Merci pour votre attention !