Problème A331 - Solution de Jean Drabbe
1ère PARTIE
n = 30 vérifie la condition :
(C1) n – 17 , n – 11 , n – 7 , n – 1 , n + 1 , n + 7 , n + 11 et n +17 sont premiers . Nous devons montrer qu'aucun nombre n tel que 30 < n < 2012 ne satisfait à (C1) . Le dernier chiffre de tout nombre n vérifiant (C1) doit être 0 . En effet,
le dernier chiffre de n ne peut être 2 ou 8 (n – 7 et n + 7 ne peuvent se terminer par 5) ,
et le dernier chiffre de n ne peut être 6 ou 4 ( n – 1 et n +1 ne peuvent se terminer par 5) .
La consultation d'une liste de premiers jumeaux montre qu'il suffit d'éliminer les valeurs suivantes de n :
60 , 150 , 180 , 240 , 270 , 420 , 570 , 600 , 660 , 810 , 1020 , 1050 , 1230 , 1290 , 1320 , 1620 , 1950 .
Ceci est TRES FACILE : 7 divise 60 – 11 , 11 divise 150 – 7 , etc ...
2ième PARTIE
n = 30 vérifie la condition :
(C2) tous les naturels inférieurs à n distincts de 1 copremiers avec n sont premiers . Nous devons établir qu'aucun nombre supérieur à 30 ne satisfait à (C2) .
Nous utiliserons un résultat de Tchebychef (conjecturé par Bertrand) dont une démonstration simple a été donnée par Ramanujan [1].
Théorème de Tchebychef – Pour tout naturel n >1 , il existe un nombre premier p
tel que n < p < 2 • n .
Nous noterons p[1] , p[2] , p[3] , .... la suite croissante des nombres premiers (p[1] = 2 , p[2] = 3 , p[3] = 5 , etc ...) .
Comme n et n – 1 sont copremiers, il n'existe pas de naturel convenable impair supérieur
à 3 .
Proposition – Pour tout naturel n > 30 , il existe un carré parfait c copremier avec n tel que 1 < c < n .
Démonstration – m désignera toujours un naturel non nul – (1 est admis !) . Si n est de la forme 2 • m où m n'est pas divisible par 3 , c = 3^2 convient.
Si n est de la forme 2 • 3 • m où m n'est pas divisible par 5 , c = 5^2 convient.
Si n est de la forme 2 • 3 • 5 • m où m n'est pas divisible par 7 , c = 7^2 convient.
Si n est de la forme 2 • 3 • 5 • 7 • m où m n'est pas divisible par 11 , c = 11^2 convient.
Si n est de la forme 2 • p[2] • [p3] • p[4] • ... • p[r] • m où r > 4 et m n'est pas divisible par p[r+1] , on a :
p[r+1] < 2 • p[r] (théorème de Tchebychef) (1) p[r] < 2 • p[r-1] (théorème de Tchebychef)
p[r+1] < 4 • p[r-1]
p[r+1] < p[r-2] • p[r-1] (car p[r-2] > 4) (2)
et p[r+1]^2 < n (par (1) et (2)) .
[1] Ramanujan, S., A proof of Bertrand 's postulate, Collected Papers (edited by
G.H Hardy, P.V. Seshu Aiyar, & B.M. Wilson) , Cambridge University Press (1927), pp.208-209.
reprinted by Chelsea Publishing Company, New York, (1962).
