Td corrigé TD N°1 - Free pdf

(1)

Corrigé du TD N°04

TRANSFORMATION DE LAPLACE (1)

I- TRANFORMÉES DE SIGNAUX

Exercice 1

Le signal s(t) est la somme de deux échelons s1(t) et s2(t) : avec s1(t) = (t) et s2(t) = -(t-T).

On a donc S(p) S (p) S (p)1 2 1 e ^pT1

p p

    

soit ^S(p)^¹_p



^{1 e}^ ^^pT



^.

Exercice 2

Le signal s(t) est la somme de 3 rampes de coefficient directeur respectif "a" ; "-2a" et "a" : On a donc S(p) a₂ e ^{p 1}2a₂ e ^{p 2} a₂

p p p

   

  

soit 2



^2p ^p



S(p) a 1 e 2e p

 

   .

Exercice 3

L'amplitude de l'impulsion est 1/T, on a donc ^S(p)^_{T p}^{1 1}



^{1 e}^ ^^pT



^.

Si on fait tendre T vers 0 (impulsion unité) on a e^-pT  1-pT

 ^S(p) ^{1 1}



^{1 1 pT}

  

^{1 1}

 

^pT

T p T p

    soit ^{S(p) 1}^ .

Exercice 4

En considérant t > 0 dérivons temporellement le signal "rampe a.t" : d(a.t) a

dt  qui n'est autre que le signal "constant" a.(t) (échelon d'amplitude a).

La transformée de l'échelon (t) est 1 p .

pour dériver l'échelon il faut multiplier par p (propriété de la dérivation)

 1

p p 1 qui est la transformée de Laplace de l'impulsion unité.

II- TRANFORMÉES INVERSES

 F(p) 10 p(1 5p)

   f (t) 10 1 e



 ^^{t / 5}



 G(p) 4

 p 2

  g(t) 4e ^^{t / 2}



5 5e 3p

H(p) p p

    h(t) 5 (t) 5 (t 3)     .

III- RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

 s(t) ds(t) E

  dt   S(p) pS(p) E

   p  ^{S(p) 1}



^{  }^p



^E_p  ^S(p)^ ^{p 1}



^E^{ }^p



 ^{s(t) E 1 e}^



^ ^{ }^{t /}



^.



2

2 2

0 0

2m ds(t) 1 d s(t)

s(t) k.E

dt dt

  

   ₂ ²

0 0

1 1 E

S(p) 2m pS(p) p S(p) k

   p

 

 ₂ ²

0 0

1 2m E

S(p) p p 1 k

p

 

  

 

  

   2

2 0

0

S(p) k.E

1 2m

p p p 1

  

 

 

  

 

 ^{m t}⁰2



⁰ ²



s(t) k.E 1 e sin 1 m t 1 m

   

      

  

  avec tan ^{1 m}²

m

  

 (voir tableau).

 ²

2

1 ds(t) 1 d s(t)

s(t) 12

4 dt 9 dt

    S(p) 1pS(p) 1p S(p)² 12

4 9 p

  

 ² 2

2 0

0

12 12

S(p) p 1 14p 19p p 1 p 2mp 1

 

       

   

    

. s(t) a la même expression qu'à la

question  avec :

 ₂

0

1 1

9

   0 3rad / s



0

2m 1

4

  m ³ 0,375

 8 .

TS IRIS ( Physique Appliquée ) Christian BISSIERES http://cbissprof.free.fr Page 1 sur 1 Corrigé du TD04 "Laplace 1"