0.1 L ensemble C. J.M -La fonction logarithmique - 2bac PC

J.M -La fonction logarithmique - 2bac PC

0.1 L’ensemble C

L’ensemble C

Les nombres complexes Th´eor`eme 0.1.1. .

Il existe un ensemble not´e par : C^{, ces ´el´}ements sont appell´es les nombres complexes et v´erifient les propri´et´ees suivantes :

• R⊂C ⁽R est inclus dans C^).

• C muni des deux op´erations (+) et (×) qui sont consid´er´ees comme prolongement des op´erations dans R en conservant les mˆemes prori´et´ees.

• L’ensembleC contient un ´el´ement i non r´eel et qui v´erifie : i²=−1.

• Tout ´el´ement z de l’ensemble C ^s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme z =x+yi o`u x et y sont des nombres r´eels.

• Tout ´el´ement de la forme x+yi o`u x et y sont des nombres r´eels est un ´el´ement de C^. Remarque 0.1.1. .

^{On a :} N ⊂Z ⊂Q⊂R ⊂C^. On n’a pas d’ordre danc C^. C ={_x+_yi/ (_x,y) ∈R²}. (∀(x,y) ∈ R²) x+yi =x+iy

La forme alg´ebrique d’un nombre complexe D´efinition 0.1.1. .

• Soit z =x+iy un nombre complexe o`u x et y des nombres r´eels.

L’´ecriture x+iy s’appelle la forme alg´ebrique (ou l’´ecriture alg´ebrique) du nombre complexe z.

Le nombre x s’appelle la partie r´eelle du nombre copmlexe z, on le note par : x=Re(z). Le nombre y s’appelle la partie imaginaire du nombre complexe z, on le note par : x= Im(z).

• Si Re(z) =0 (ie x =0), alors on dit que le nombre z est un nombre imaginaire pure.

L’ensemble des nombres imaginaires pures est d´esign´e par : iR={iy/ y ∈R}.

• Si Im(z) = 0 (ie y=0), alors on dit que le nombre z est un r´eel.

Remarque 0.1.2. .

• Tout nombre r´eel x s’´ecrit de mani`ere unique sous la forme x= x+0i, donc (∀z∈ C)_: z∈ R⇐⇒ Im(z) =₀.

Egalit´e de deux nombres complexes Proposition 0.1.1. .

Deux nombres complexes sont ´egaux si et seulement s’ils ont la mˆeme partie r´eelle et la mˆeme partie imaginaire.

En d’autre terme :

(∀(z,z⁰) ∈C²) z= z⁰ ⇐⇒ Re(z) = Re(z⁰) et Im(z) = Im(z⁰). Remarque 0.1.3. .

• z= x+iy =₀⇐⇒ x= y=₀.En d’autre terme : (∀z∈ C) z=₀⇐⇒

Re(z) = ₀ Im(z) = 0

• x+iy =a+ib ⇐⇒ x=a et y =b.

On en d´eduit que : x+iy 6=a+ib⇐⇒ x 6=a ou y 6=b, d’o`u x+iy6=0⇐⇒ x 6=0ou y6=0. Exemple 0.1.1. .

<sup>On consid`</sup>ere les nombres complexes z et t tels que : z=x−1+ (y+2)i et t=−2xi+y o`u x et y des nombres r´eels.

Determinons x et y pour que :z =t.

On a :z =t⇐⇒

x−1= y

y+2 =−_2x ⇐⇒

x−y =1 2x+y=−₂

Finalement on obtient : z=t⇐⇒







x =−¹ 3 y=−⁴ 3

0.2 Op´ erations sur l’ensembles des nombres complexes

Op´erations sur l’ensembles des nombres complexes

Toutes les propri´et´ees et les r´egles de calculs dans R restent applicables dans C^. Proposition 0.2.1. .

Soient x;y;x⁰;y⁰ et λ des nombres r´eels, on a :

• (x+iy) + (x⁰+iy⁰) = (x+x⁰) +i(y+y⁰).

• (x+iy)×(x⁰+iy⁰) = (xx⁰−yy⁰) +i(xy⁰+x⁰y).

• λ(x+iy) = λx+i(λy). Remarque 0.2.1. .

∀(z,z⁰) ∈ C^{2 on a :}

Re(z+z⁰) = Re(z) +Re(z⁰) Im(z+z⁰) = Im(z) +Im(z⁰) et (∀λ ∈R) :

Re(λz) = λRe(z) Im(λz) = λIm(z) Proposition 0.2.2. .

Tout nombre complexe z =x+iy o`u x et y des nombres r´eels admet un ´el´ement oppos´e dans C ^qui s’´ecrit : −x+i(−y).

On ´ecrit −z=−x+i(−y).

Donc Re(−z) =−Re(z) et Im(−z) =−Im(z) D´efinition 0.2.1. .

La diff´erence z−z⁰ des deux nombres complexes z et z⁰ est le nombre complexe z−z⁰ =z+ (−z⁰). Remarque 0.2.2. .

Soient z =x+iy et z⁰ =x⁰+iy⁰, alors z−z⁰ = (x+iy)−(x⁰+iy⁰) = (x−x⁰) +i(y−y⁰) ce qui signifie que : Re(_z−_z⁰) = _Re(_z)−_Re(_z⁰) et Im(_z−_z⁰) = _Im(_z)−_Im(_z⁰).

Les identit´ees remarquables

• (z1+z2)²= z²₁+2z1z2+z²₂

• (z₁−z₂)²= z²₁−2z₁z₂+z²₂

• (z1−z2)(z1+z2) = z²₁−z²₂.

En particulier on a : (a+ib)²= a²−b²+2abi,

et(a−ib)² =a²−b²−2abi et(a+ib)(a−ib) = a²+b².

• (z1+z2)³= z³₁+3z²₁z2+3z1z²₂+z³₂

• (z₁−z₂)³= z³₁−3z²₂z₂+3z₁z²₂−z³₂.

• z³₁−z³₂ = (z₁−z₂)(z²₁+z₁z₂+z²₂)

• z³₁+z³₂ = (z1+z2)(z²₁−z1z2+z²₂).

En g´en´erale : Pour tout (z₁,z₂) deC ^et ∀n∈ N^{∗, on a :}

• zⁿ₁−zⁿ₂ = (z1−z2)(zⁿ₁⁻¹+zⁿ₁⁻²z2+...+z1zⁿ₂⁻²+zⁿ₂⁻¹)

= (z1−z2)^k

=n−1

∑

k=0

zⁿ₁^−k−1z^k₂ . Remarque 0.2.3. .

• (z1+z2)ⁿ =

p=n

∑

p=0Cn^pzⁿ₁^−pz₂^p =

q=n

∑

q=0Cn^qz^q₁zⁿ₂^−q.

La derni`ere identit´e s’appelle la formule du binˆome de Newtone, o`u Cn^p = ^n!

p!(n−p)! = ⁿ(n−_1....(n−p+₁))

p! .

Comme dansR ^{on a :} zz⁰ =0⇐⇒ z=0 ou z⁰ =0.

Exemple 0.2.1. .

On consid`ere le nombre complexe t=1+√

3+i(1−√ 3).

Calculer t², t⁴; t⁶; t¹²ⁿ pou tout n∈ N^{∗, et ´}ecriver les r´esultats sous leurs formes alg´ebriques.

Applications

1)∀z ∈C^{, on pose} f(z) = z²−z+2. D´eterminer tous les nombres complexes z tels que f(z) ∈R^. 2) Soient z1 =1−3i et z2 = ³

2 +5i. D´eterminer la forme alg´ebrique du nombre complexe u=_z²₁−_4z1z2+₃.

Proposition 0.2.3. .

Soit z =x+iy un nombre complexe non nul tel que x et y sont des nombres r´eels avec x 6=0 ou y 6=0. L’inverse du nombre z est le nombre complexe z⁻¹ ou 1

z tel que : 1

z = ¹

x+iy = ¹

x²+y²(x−iy) = ^x

x²+y² −i y x²+y². Preuve 1. .

Applications

Soit z un nombre complexe diff´erent de −1, montrer que : 1

z+1 ∈ R ⇐⇒ Im(z) = −1. D´efinition 0.2.2. .

Le quotient d’un complexe z sur un complexe non nul z⁰ est le complexe z

z⁰ =z× ¹ z⁰ Proposition 0.2.4. .

Soient x, y, x⁰, et y⁰ des nombres r´eels tels que x⁰+iy⁰ 6=0, c’est `a dire que : x⁰ 6=0 ou y⁰ 6=0, on a : x+iy

x⁰+iy⁰ = ¹

x⁰²+y⁰²[(xx⁰+yy⁰) +i(x⁰y−xy⁰)]. Remarque 0.2.4. .

• Comme dansR ^{on a :} (∀n∈ Z): z⁻ⁿ = ¹ zⁿ.

• Toutes les propri´et´ees de la puissance dans R restent valables dans C^. Applications

1) R´esoudre dansC ^{le syst`}eme suivant :

3z−2z⁰ =−11

iz+ (₁+i)z⁰ =₃(₄−i) 2) Montrer que l’ensemble des nombres complexes z pour que tel que iz

z−2 soit un r´eel est T ={(x+iy) ∈ C/ (x−₁)²+y² =₁et x 6=₂}.

0.3 Repr´ esentation g´ eom´ etrique d’un nombre complexe

Repr´esentation g´eom´etrique d’un nombre complexe Affixe d’un point- Affixe d’un vecteur

Image d’un nombre complexe - Affixe d’un point D´efinition 0.3.1. .

Le plan (P) est associ´e `a un rep`ere orthonorm´e directe (O,−→_e

1,−→_e

2).

• Soit z =x+iy un nombre complexe tel que (x,y) ∈R^2. L’unique point M qui a pour coordonn´es (x,y) dans (O,−→

e1,−→

e2) est appell´e image de z, et on ´ecrit M(z).

• Soit M un point de coordon´es (x,y) dans (O,−→_e

1,−→_e

2).

Le nombre complexe z= x+iy est appell´e Affixe du point M, et on le note par : A f f(M) (et parfois zM).

0

A −→ I

−→ J

M(z) z=x+iy

x y

Remarque 0.3.1. .

<sup>D’apr`es la d´</sup>efinition pr´ec´edente, il ´existe une bijection de C <sup>vers</sup> (P) qui `a z7−→ M(z) et la bijection r´eciproque est d´efinie de (P) vers C ^{qui `a} M7−→ A f f(M) (Remarquer que les notations : M(z) et A f f(z) ont le mˆeme sens).

D’o`u l’identification de l’ensemble C <sup>et le plan</sup> (P),et l’appelation du plan complexe (P) du plan orient´e et muni d’un rep´ere orthonorm´e directe o`u on peut repr´esenter les nombres complexes.

Tout point de l’axe des abscisse est image d’un nombre r´eel, d’o`u l’axe des abscisse est appell´e l’axe r´eel.

Tout point B(0,b) est image d’un nombre complexe pure : A f f(B) =bi, d’o`u l’axe des ordonn´e est appell´e l’axe imaginaire.

Du faite de la bijection ci-dessus, alors deux points M et N sont confondus si et seulement si A f f(M) = A f f(N).

D´efinition 0.3.2. .

Le plan (P) est associ´e `a un rep`ere orthonorm´e directe (O,−→ e1,−→

e2). Soit z =x+iy tels que (x,y) ∈ R^2.

Le vecteur −→

u (x,y) (Dans la base (−→ e₁,−→

e₂)) est appell´e l’image du nombre complexe z , on le note par :

−→

u(z) et le nombre z est appell´e Affixe du vecteur −→

u, on ´ecrit z= A f f(−→

u) et on dit que z est l’affixe du vecteur −→_u.

0

−→_u

−

→_u

−

→u(z)

−→ e1

−

→e2

Remarque 0.3.2. .

• Soit z un nombre complexe, on a : z= A f f(M) ⇐⇒ z= A f f(−−→

OM).

En d’autre terme, si le nombre z est l’affixe du point M, alors le nombre z est aussi l’affixe du vecteur

−−→OM, de mˆeme si le nombre z est l’affixe du vecteur −→

u, alors le nombre z est aussi l’affixe du point M o`u

−−→OM=−→ u.

• Il y a une bijection entre l’ensemble C et le plan vectoriel (V₂),d’o`u :

−→ u =−→

v ⇐⇒ A f f(−→

u ) = A f f(−→ v)

Interpr´etation g´eom´etrique de la somme et la diff´erence et le produit de deux nombres complexes

Dans toute cette partie le plan(P) est associ´e `a un rep`ere orthonorm´e directe (O,−→ e1,−→

e2).

Proposition 0.3.1. . Si −→

u et −→

v sont deux vecteurs d’affixes respectifs z et z⁰, alors l’affixe du vecteur −→ u +−→

v est z+z⁰. En d’autre terme A f f(−→

u +−→

v ) = A f f(−→

u) +A f f(−→ v).

Si M et M⁰ sont deux points images des nombres complexes z et z⁰ respectivement, alors l’image du nombre complexe z+z⁰ est le point S tel que : −→

OS=−−→

OM+−−→

OM⁰. (C’est `a dire que le quadriplet OMSM⁰ est un parall´elogramme).

0

M⁰(z⁰)

M(z) S(z+z⁰)

−→ e1

−→_e

2

−→ v

−→ u +−→

v

−

→u

Remarque 0.3.3. .

• Soit z un nombre complexe et −→_u(z) , −→_v (−z). L’affixe du vecteur nul −→

O est 0, et on a : z+ (−z) =0, donc d’apr`es la proposition pr´ec´edente

−→ u +−→

v =−→

O, d’o`u −→

v =−−→ u.

Par suite on a : A f f(−−→_u) = −A f f(−→_u). Soient M(z) et M⁰(z⁰).

L’affixe du point O (origine du rep`ere) est z+ (−z), donc −−→

OM+−−→

OM⁰ =−→

OO=−→

O par cons´equent :

−−→OM⁰ =−−−→

OM ce qui prouve que le point M⁰(−_z) est le sym´etrique du point M(_z) par rapport au point O

0

O

M⁰(−z) M(z)

−

→e1

−→ e2

−−→_u

−

→u

Proposition 0.3.2. .

Si M et M⁰ sont deux points dont les affixes respectifs sont z et z⁰, alors l’affixe de −−→

MM⁰ est z−z⁰. En d’autre terme : A f f(−−→

MM⁰) = A f f(M⁰)−A f f(M)

0

O

M⁰(z⁰)

M(z)

−−→MM⁰(z−z⁰)

Applications

• Soient A, B, C, et D des points du plan leurs affixes respectifs sont a, b, c,et d.

• Montrer que le quadriplet ABCD est un parall´elogramme si et seulement si a+c =b+d.

• Soient A, B, et E des points dont les affixes sont respectivement a=3−4i, b =7−i, et e =1+i, et soit M un point tel que :

−−−→

AM+−→

BM+−→

EM =−→ O

• D´eterminer l’affixe du point E, et qu’elle est la nature du quadriplet ABME.

Preuve 2. .

Proposition 0.3.3. .

^Si −→

u est un vecteur d’affixe z, et soit λ un nombre r´eel, alors l’affixe de λ−→

u est : λz.

En d’autre terme : A f f(λ−→

u) = λA f f(−→ u).

^Si M est un point d’affixe z, alors l’image du nombre complexe λz est le point P tel que −→

OP =λ−−→

OM

0

λ−→ u(λz) M(z)

−→ u

P(λz)

−→_e

1

−

→_e

2

Remarque 0.3.4. .

En utilisant les propositions pr´ec´edentes, on peut prouver la proposition suivante : Proposition 0.3.4. .

Pour tout vecteurs −→ u et −→

v et pour tout nombres r´eelsα et β, on a : A f f(α−→_u +β−→_v ) =αA f f(−→_u) +βA f f(−→_v ).

Interpr´etations complexes de l’alignement- Parall´elisme- Barycentre Proposition 0.3.5. .

Soient A, B, et C des points deux `a deux distincts dont les affixe sont respectivement a, b, et c.

Les points A, B, et C sont align´es si et seulement si le nombre complexe c−a

b−a est un r´eel.

Preuve 3. .

Les points A,B et C sont align´es si et seulement si il ´existe un nombre r´eel λ tel que −→

AC=λ−→

AB, et puisque l’affixe du vecteur −→

AB est b−a et l’affixe du vecteur −→

AC est c−a, alors l’alignement des points A, B et C est ´equivalent `a (∃λ ∈R) : c−a =λ(b−a) c’est `a dire que : c−a

b−a ∈R^.

Application

• Montrer que l’ensemble des points M(z) tel que les points B(i) et M(z) et M⁰(iz) soient align´es est un cercle qu’on determinera.

Proposition 0.3.6. .

Soient A, B, C et D quatres points du plan, dont les affixes sont respectivements zA, zB, zC et zD tels que : A6=_B et C 6=_D.

• Les droites (AB) et (CD) sont parall`eles si et seulement si le nombre complexe zD−_zC

zB−z_A est un nombre r´eel.

En d’autre terme : (AB)//(CD)⇐⇒ ^zD−zC

zB−z_A ∈ R^. Preuve 4. .

Application

On consid`ere les points A(−1) et B(i). Soit z∈ C, et soient M(z) et N(z²).

• D´eterminer l’ensemble des points M tel que : (BM)//(AN). Proposition 0.3.7. .

Soient A et B deux points d’affixe respectifs zA et zB, et soientα et β deux nombres r´eels tels que α+β 6=0.

L’affixe du barycentre G du syst`eme pond´er´e {(A,α);(B,β)} est le nombre complexe z_G =^αzA+βzB

α+β . Remarque 0.3.5. .

• Si A(zA) et B(zB), alors l’affixe du point I milieu du segment [AB] est : z_A+z_B

2 .

Remarque 0.3.6. .

• On peut g´en´eraliser la proposition pr´ec´edente au barycentre de plusieurs points c’est `a dire que : si G est le barycentre du syst`eme pond´er´e {(A_i,α_i)/ i=1, ....,i =n}, alors l’affixe du barycentre G est :

z_G=

i=n

∑

i=1

α_iz_Ai

i=k

∑

i=1

α_i

Application

Soient A, B et C des points dont les affixes respectifs sont a =₃+7i, b =₄+5i etc =₂+i.

• D´eterminer les affixes respectifs des barycentres G et H des syst`emes pond´er´es {(A, 2);(B, 1);(C, 1)}

et{(A, 1);(B, 2);(C, 1)}, puis d´eterminer l’ensemble des point M du plan tel que : k₂−−→

MA+−→

MB+−→

MCk =k−−→

MA+₂−→

MB+−→

MCk

0.4 Conjugu´ e d’un complexe

Conjugu´e d’un complexe D´efinition 0.4.1. .

Soit z =x+iy un nombre complexe o`u x et y sont des nombres r´eels.

Le nombre complexe x−yi s’appelle le conjugu´e du nombre complexe z, on ´ecrit z =x+iy =x−iy. C’est `a dire que : z =Re(z)−iIm(z).

Remarque 0.4.1. .

Le conjugu´e de z est z et le conjugu´e de z est z Proposition 0.4.1. .

Soit z un nombre complexe.

Les points M(z) et M⁰(z) (dans le plan complexe) sont sym´etriques par rapport `a l’axe des abcsisses (l’axe r´eel) .

O 0

M(z)

M⁰(z)

Proposition 0.4.2. .

1) Pour tout nombre complexe z =x+iy o`u x et y sont des nombres r´eels on a : zz=x²+y². En d’autre terme on a : zz = (Re(z))²+ (Im(z))².

2) (∀z∈ C): zz∈R Application

Pour tout z∈ C− {1}, on pose : f(z) = ⁱ(1+z)

1−z , et soit dans le plan complexe le point M d’affixe z. D´eterminer l’ensemble des points M(z) tel que : f(z)∈ iR^.

Proposition 0.4.3. .

Pour tout z ∈C^{, on a :} z+z=2Re(z) et z−z=2iIm(z).

• z∈ R ⇐⇒ z= z et z∈ iR ⇐⇒ z=−z.

Proposition 0.4.4. .

∀(_z,t) ∈ C^{2 et} ∀λ ∈R^{, on a :}

• z+t =z+t •- zt =zt •- λz=λz.

• Si t 6=0, alors 1 t = ¹

t •- Si t 6=0, alors z t

= ^z t.

• Si z6=₀, alors pour tout nombre entier relatif n on a : (zⁿ) = (z)ⁿ. Application

1) soit le nombre complexe j=−¹ 2 +i

√3 2 .

• Montrer que : (∀n ∈Z) : (j²ⁿ−jⁿ) ∈iR^.

2) Pour tout nombre complexez, on pose f(z) = (z−₂)(z+i), et soit M(z) un point du plan complexe .

• Determiner les ensembles (F) = {M(z)/ f(z) ∈ R} et(G) ={M(z)/ f(z)∈ iR}. 3) R´esoudre dansC ^{l’´equation :} z = (1−i)z+3+2i.

Remarque 0.4.2. .

On consid`ere un polynˆome dans C ^: P(z) = anzⁿ+an−1zⁿ⁻¹+...+a1z+a0 avec an,an−1, ...,a1,a0 des nombres r´eels et z un nombre complexe.

• P(z) = anzⁿ+a_n−1zⁿ⁻¹+...+a₁z+a₀

=anzⁿ+an−1zⁿ⁻¹+....+a1z+a0.

Et comme z^p = (z)^p et ap =ap, alors P(z) = an(z)ⁿ+an−1(z)ⁿ⁻¹+...+a1(z) +a0, d’o`u on obtient : P(z) = P(z).

• Siα est un nombre complexe tel que P(α) =0, alors : P(α) = P(α) = 0. C’est `a dire que : Siα est une racine d’un polynˆome `a coefficient r´eels, alorsα est aussi une racine de ce polynˆome.

0.5 Module d’un nombre complexe

Module d’un nombre complexe D´efinition 0.5.1. .

Soit z =x+iy un nombre complexe tel que x et y des nombres r´eels.

Le module d’un nombre complexe z est le nombre r´eel positif qu’on note par |z| et qui est d´efini par :

|z| =√

zz=^px²+y².

Exemple 0.5.1. .

• |12+5i|=^p(12)²+ (−5)² =√

169=13 et |3+5i| =√

3²+5² =√

34 et | −3i| =^p(−3)² =3. Proposition 0.5.1. .

Soit z un nombre complexe et soient M et −→_u ces images, on a :|z| =OM et |z| =k−→_u k. Proposition 0.5.2. .

Soient M et N deux points dont les affixes respectifs sont z et z⁰, alors N M=k−−→

N Mk =|z−z⁰|. Applications

1) D´eterminer et construire l’ensemble (H) des points M(z) tel que |z+2|=|z+4i|. 2) D´eterminer l’ensemble des points M(z) tel que : |z| <|z+2−2i|.

3) Montrer que : (∀z ∈C) : |z−1| =2|z+1| ⇐⇒ |3z+5| =4, puis determiner l’ensemble des points M(z) tel que : |z−1| =2|z+1|.

Proposition 0.5.3. .

Pour tout nombres complexes z et t on a :

1) |Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z| 2)- |z|=0 ⇐⇒ z=0 3) |z×t|=|z| × |t|.

4) |z| =|z| =| −z| =| −z| 5)- Si t6=0 alors 1 t = ¹

|t| ^et z t = |z|

|t|^. 6) Si z6=0 alors pour tout nombre entier relatif n : |zⁿ| =|z|ⁿ

Preuve 5. . Applications

1) D´eterminer le module du nombre complexe t = (^p2−√

2+ip 2+√

2)¹⁶. 2) D´eterminer tous les nombres complexes tels que : |z|²− |z−iz|=|z|.

3) Soit F une application du plan complexe(P) vers (P) et qui fait associ chaque point M d’affixe z 6=i

`

a un point M⁰ d’affixe f(z) = ¹−iz z−i .

• Montrer que quand M varie sur un cercle (C) de centre A(i) et de rayon 4, alors le point M⁰ varie sur un cercle (C⁰) qu’ on determine ces caract´e ristiques.

Proposition 0.5.4. .

Pour tout nombres complexes z et t on a : |z+t| ≤ |z|+|t| Preuve 6. .

Montrons que :|z+t| ≤ |z|+|t|.

|z+t|² = (z+t)(z+t) = (z+t)(z+t) = zz+zt+tz+tt

=|z|²+zt+tz+|t|².

Montrons que : zt+tz≤₂|z||t|.

On a : zt+tz= zt+zt=2Re(zt) et on sait que Re(zt) ≤ |Re(zt)|. C’est `a dire que : zt+zt ≤2|z||t|.

D’o`u : |z|²+zt+tz+|t|² ≤ |z|²+2|z||t|+|t|²= (|z|+|t|)². Donc |z+t|² ≤(|z|+|t|)². Conclusion : |z+t| ≤ |z|+|t| .

Application

• Calculer le module de z dans les cas suivants : 1)z = (1−i)³¹

2+

√3 2 i100

.

2)z = ^√

2 2 +

√ 2 2 i

i (3−4i)^{2 .} Exercice 1. .

Soit z ∈C−ⁿ− ⁱ 2

o

, et on consid`ere le nombre complexe u = ^z+2i 2z+i. - Montrer que : |u| =1⇐⇒ |z| =1.

Preuve 7. .

0.6 La forme trigonom´ etrique d’un nombre complexe non nul

La forme trigonom´etrique d’un nombre complexe non nul Argument d’un nombre complexe non nul

D´efinition 0.6.1. .

Soit z ∈C^∗ et le point M image de z.

Toutes mesure de l’angle orient´e (−→\ e1,−−→

OM) est appell´e argument du nombre complexe z. Remarque 0.6.1. .

• On sait que siα est une mesure de l’angle (−→\ e₁,−−→

OM), alors tout nombre de la forme α+2kπ (k ∈Z) est aussi une mesure de l’angle (−→\

e1,−−→

OM).

Donc siα est un argument de z alorsα+2kπ (k∈ Z) est aussi un argument de z.

On ´ecrit : arg(z)≡α[2π] ou arg(z) =α+2kπ. Exemple 0.6.1. .

• Determiner les arguments des nombres suivants : 2;−3; 3i;−2i; 1+i; 1−i; 1+3i. Soient A;B;C;D;E;F;G leurs images respectivement.

• _arg(2) ≡(−→ e1,−→

OA)[2π]≡₀[2π]

• arg(−3) ≡(−→ e₁,−→

OB)[2π] ≡π[2π]

• arg(3i)≡(−→ e1,−→

OC)[2π] ≡ ^π 2[2π]

• arg(−2i)≡(−→ e1,−→

OD)[2π]≡ −^π 2[2π]

• arg(1+i)≡(−→ e1,−→

OE)[2π] ≡ ^π 4[2π]

• arg(1−i)≡(−→ e1,−→

OF)[2π]≡ −^π 4[2π]

• arg(1+3i) ≡(−→ e1,−→

OG)[2π]≡α[2π] avec tan(α) = 3 Remarque 0.6.2. .

1) z ∈R^∗+ ⇐⇒ arg(z)≡0 [2π]. 2) z ∈R^∗− ⇐⇒ arg(z)≡π [₂π]. 3) z ∈ iR^∗+ ⇐⇒ arg(z) ≡ ^π

2 [2π]. 4) z ∈ iR^∗− ⇐⇒ arg(z) ≡ −^π

2 [2π]. 5) z ∈R+ ⇐⇒ arg(z) =kπ (k∈ Z). 6) z ∈R− ⇐⇒ arg(z) = ^π

2 +kπ (k ∈Z).

Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe

Soit z∈ C ^{et soitθ} son argument et r son module :|z| =r et arg(z)≡θ [₂π] et soit M l’image de z.

On a :OM =|A f f(M)| =|z| =r.

Les coordonn´ees de M sont(rcos(θ),rsin(θ)) alors : A f f(M) = rcos(θ) +irsin(θ) = z donc z=r(_cos(θ) +isin(θ))

Th´eor`eme et d´efinition 0.6.1. .

Tout nombre complexe z non nul s’´ecrit d’une mani`ere unique sous la forme z=r(<sub>cos</sub>(θ) +isin(θ)) o`u

|z| =r et arg(z) ≡θ [2π].

Cette ´ecriture s’appelle la forme trigonom´etrique du nombre complexe z et on ´ecrit : z= [r,θ]. Remarque 0.6.3. .

1) Le complexe z =0 n’a pas d’argument par suite pas de forme trigonom´etrique.

2) Si z= [r,θ] et le point M, l’image de z, alors le couple (r,θ) s’appelle le couple de coordonn´es polaires du point M.

Remarque 0.6.4. . 3)- [r,θ] = [r⁰,θ⁰] ⇐⇒

r=r⁰ θ≡θ⁰ [2π]

C’est `a dire que : z =z⁰ ⇐⇒

|z|=|z⁰|

arg(z) ≡arg(z⁰ [2π])

4)- Soit z= a+ib∈ C^∗, pour determiner la forme trigonom´etrique du complexe z on proc´ede comme suit :

z= a+ib=√

a²+b² a

√a²+b² +i b

√a²+b²

et on a : a²

a²+b² + ^b

2

a²+b² =1. Donc il ´existe un nombreα tel que :

cos(α) = √ ^a

a²+b² et sin(α) = √ ^b a²+b². D’o`u :

z =^pa²+b²(cos(α) +isin(α)) Proposition 0.6.1. .

Soit z =a+ib∈ C^∗.

La forme trigonom´etrique de z est z=r(cos(α) +isin(α) o`u r=√

a²+b² et cos(α) = √ ^a

a²+b² et sin(α) = √ ^b a²+b². Applications

Exercice 2. .

• D´eterminer la forme trigonom´etrique des nombres complexes suivants.

1) z =5; on a :|z| =5 et arg(z) ≡0[2π], donc z = [5, 0]. 2) z =−3 on a : |z|=3 et arg(z)≡π [2π], donc z = [3,π]. 3) z =2i on a : |z| =2 et arg(z) ≡ ^π

2 [2π], donc z=^h2,π 2 i

. 4) z =−3i on a : |z| =3 et arg(z) ≡ −^π

2 [2π] donc z=^h3,−^π 2 i

. 5) z =1+i√

3 on a : |z| =2 et arg(z)≡ ^π

3 [2π] donc z =^h2,π 3 i

. 6) z =√

3−i. 7) z =−√

2+√

6i. 8) z =−√

6−i√ 2. 9) z =sin(α) +icos(α) tel queα ∈R^. 10) z =−sin(α)−icos(α) tel queα ∈R^.

11) z =a(cos(α) +isin(α)) avec a∈ R^{∗ etα}∈ R^. Remarque 0.6.5. .

Si a>0 et z= a(cos(α) +isin(α)) alors z= [a,α]. Exercice 3. .

Soit z =1+cos(α) +isin(α) avecα ∈ [0, 2π].

• D´eterminer le module et l’argument de z. Preuve 8. .

z=1+cos(α) +isin(α) =2 cos²α 2

+2isinα 2

cosα 2

=2 cosα 2

cosα 2

+isinα 2

. On a : |z|=₂

cosα 2

. Etudiant le signe de cosα

2

sur l’intervalle [0, 2π]. cosα

2

=0 =cosπ 2

⇐⇒ ^α 2 = ^π

2 +kπ ⇐⇒α =π+2kπ.

On a :α ∈[0, 2π] doncα =π.

• Siα ∈[0,π[,alors cosα 2

>0 d’o`u |z| =2 cosα 2

et donc z=2 cosα 2

cosα 2

+isinα 2

, et z =^h_{2 cos}^α

2

,α 2 i

. Finalement |z|=2 cosα

2

et arg(z)≡ ^α 2 [2π].

• Siα ∈]π, 2π],alors cosα 2

<0 d’o`u |z|=−2 cosα 2

. Donc z =−2 cosα

2

−cosα 2

−isinα 2

=−2 cosα 2

cos

π+^α 2

+isin π +^α

2

Et on a : z=^h−2 cosα 2

,π+^α 2 i

. Finalement |z|=−2 cosα

2

et arg(z) ≡π+^α 2 [2π].

• Siα =π, alors |z| =0 c’est `a dire que z=0, donc z n’a pas d’argument.

Argument de z et z Soit z= [r,θ].

On a : z= [r,θ] =r(cos(θ) +isin(θ)) =r(cos(θ)−isin(θ))

=r(cos(−θ)isin(−θ))donc z= [r,−θ].

• arg(z) ≡ −θ [2π]≡ −arg(z) [2π].

On a :−z=−r(cos(θ) +isin(θ)) =r(−cos(θ)−isin(θ))

=r(cos(π+θ) +isin(π+θ)), donc −z = [r,π+θ]. D’o`u : arg(−z) ≡arg(z) +π [2π].

Proposition 0.6.2. .

• [eθ] = [r,−θ] c’est `a dire que arg(z) ≡ −arg(z) [2π].

• −[r,θ] = [r,π +θ] c’est `a dire que arg(−z)≡ arg(z) +π [2π]. Argument et op´erations dans C

Le produit

Soient z = [rθ] et z⁰ = [r⁰,θ⁰].

zz⁰ =r(cos(θ) +isin(θ))r⁰(cos(θ⁰) +isin(θ⁰))

=rr⁰h

(cos(θ)cos(θ⁰)−sin(θ)sin(θ⁰)) +i(cos(θ)sin(θ⁰)sin(θ)cos(θ⁰))ⁱ

=rr⁰(cos(θ+θ⁰) +isin(θ+θ⁰)) donc zz⁰ = [rr⁰,θ+θ⁰]. D’o`u arg(zz⁰)≡ arg(z) +arg(z⁰) [₂π].

Proposition 0.6.3. .

[r,θ]×[r⁰,θ⁰] = [rr⁰,θ+θ⁰] donc arg(zz⁰) ≡arg(z) +arg(z⁰) [2π] Remarque 0.6.6. .

1) ⁱ

=n

∏

i=1

[r_i,θ_i] =^hi=_∏ⁿ

i=1

r_i,ⁱ⁼∑ⁿ

i=1

θ_ii . 2) argi=n

∏

i=₁zi

≡ⁱ⁼_∑ⁿ

i=₁arg(zi) [2π]. 3) (∀n∈ N) : [r,θ]ⁿ = [rⁿ,nθ].

4) (∀n∈ N) : arg(zⁿ) ≡narg(z) [2π] 1

[r,θ] = ¹

r(cos(θ) +isin(θ))

= ¹

r(cos(θ)−isin(θ)) = ¹

r(cos(−θ) +isin(−θ)). Donc : 1

z =^h1 r,−θi

, et arg1 z

≡ −arg(z) [2π]. Proposition 0.6.4. .

1

[r,θ] =^h1 r,−θi

et arg1 z

≡ −arg(z) [₂π]. Remarque 0.6.7. .

(∀n ∈N) : [r,θ]⁻ⁿ = ¹

[r,θ]ⁿ = ¹

[rⁿ,nθ] =^h1

r,−nθi

Donc [r,θ]⁻ⁿ = [r⁻ⁿ,−nθ] et arg(z⁻ⁿ)≡ −narg(z) [2π]

Le quotient [r,θ]

[r⁰,θ⁰] = [r,θ]× ¹

[r⁰,θ⁰] = [r,θ]^h1 r⁰,−θ⁰i

=^hr

r⁰,θ−θ⁰i

Donc argz

z⁰

≡ arg z× ¹

z⁰

[2π] argz

z⁰

≡arg(z) +arg1 z⁰

[2π] ≡arg(z)−arg(z⁰) [2π]. Proposition 0.6.5. .

[r,θ]

[r⁰,θ⁰] =^hr

r⁰,θ−θ⁰i

et argz z⁰

≡_arg(_z)−_arg(_z⁰) [₂π]

Applications

1) D´eterminer la forme trigonom´etrique du nombre complexe z =2i(₁−i)⁴(√ 3+i) 5(√

3−_3i)^{2 .} 2) Soient z₁ =₁+i√

3, z₂ =₁+i et z = ^z z.

3) D´eterminer la forme trigonom´etrique des complexes z₁ et z₂. 4) En d´eduire cos(₁₂^π ) et sin(₁₂^π ).

Remarque 0.6.8. . [r,θ] = [r,θ+2kπ] Exercice 4. .

On consid`ere le nombre complexe z = ¹ 2 −i

√3 2 . 1) Calculer z²⁰¹⁷.

2) D´eterminer les valeurs du nombre entier relatif n pour les qu’elles zⁿ ∈R^. 3) D´eterminer suivants les valeurs du nombre entier naturel n, le complexe : zⁿ. Preuve 9. .

Angle determin´e par deux vecteurs

Soient −→_{u et}−→_v deux vecteurs non nuls d’affixes respectifs z^−→_u et z^−→_v. Soient A et B deux points du plan(P) tels que −→

OA =−→

u et−→

OB =−→ v. A f f(A) = A f f(−→

OA) = A f f(−→

u) = z^−→_u. A f f(B) = A f f(−→

OB) = A f f(−→_v ) = z^−→_v. On a :(−→\_u,−→_v ) ≡(−→\

OA,−→

OB) [2π].

≡(−→\ OA,−→_e

1) +(−→_e\

1,−→

OB) [2π].

≡(−→_e\

1,−→

OB)−(−→_e\

1,−→

OA) [₂π].

≡arg(A f f(B))−arg(a f f(A)) [2π].

≡arg(z^−→_v)−arg(z^−→_u) [2π].

≡arg(A f f(−→_v ))−arg(A f f(−→_u)) [₂π]. Proposition 0.6.6. .

(−→\ u ,−→

v )≡arg(A f f(−→

v ))−arg(A f f(−→

u )) [2π] Cas particuliers

1)(−→\ e1,−→

AB) ≡arg(A f f(−→

AB))−arg(1) [2π]

≡_arg(A f f(B)−_{A f f}(A)) [2π].

≡arg(z_B−z_A) [2π]. Donc(−→\

e1,−→

AB) ≡_arg(A f f(B)−_{A f f}(A)) [2π]. 2)(−→\

AB,−→

CD) ≡arg(A f f(−→

CD))−arg(−→

AB) [2π]

≡_arg(zD−_zC)−_arg(zB−_zA) [2π]. (−→\

AB,−→

CD)≡argzD −zC

z_B−z_A

[2π].

Applications

1) On consid`ere les points A(i), B(z1) etC(z2) tels que z1 et z2 sont des nombres complexes v´erifiant : z2 =iz1+i+1.

• Montrer que le triangle ABC est isoc`ele et rectangle en A.

2) D´eterminer et construire l’ensemble E =ⁿ_M(_z)/ _arg(_z−_i)² ≡ ^π

3 [₂π]^o. Formulle de Moivre et ces applications

Soientθ ∈ R ^et n∈ Z^, [1,θ]ⁿ = [1,nθ], c’est `a dire que : (cos(θ) +isin(θ))ⁿ =cos(nθ) +isin(nθ). Proposition 0.6.7. .

(∀θ∈ R)(∀n∈ Z): (cos(θ) +isin(θ))ⁿ =cos(nθ) +isin(nθ) Applications

Calcule decos(nx) et sin(nx) en fonction decos(x) etsin(x). On a :cos(nx) +isin(nx) = (cos(x) +isin(x))ⁿ =^k

=n

∑

k=0

C_n^k(cosx)^k(isinx)^n−k, d’o`u : cos(_nx) = _Re^hk=_∑ⁿ

k=0

C_n^k(_cosx)^k(_isinx)^n−ki. sin(nx) = Imhk=n

∑

k=0

C_n^k(cosx)^k(isinx)^n−ki. Exemple 0.6.2. .

• Calculer cos(5x) et sin(5x) en fonction de cos(x) et sin(x). Symbolisation exponentielle d’un nombre complexe Symbolisation

On d´esigne le nombre complexe [1,θ] par e^iθ. e^iθ = [_1,θ] =_cos(θ) +isin(θ).

Remarque 0.6.9. .

[r,θ] = r(cos(θ) +isin(θ)) =re^iθ. Donc [r,θ] =re^iθ Exemple 0.6.3. .

e^iπ4 =_cos^π 4

+isinπ 4

=

√2 2 +i

√2 2 .

√3+i=2

√3 2 + ¹

2

=2

cosπ 6

+isinπ 6

=2e^iπ6. Proposition 0.6.8. .

• e^iθe^iθ0 =e^i(θ+θ0) • ^e

iθ

e^iθ0 =e^i(θ−θ0) • ¹

e^iθ =e^−iθ.

• (∀n ∈Z) : (e^iθ)ⁿ =e^iθe^inθ • (e^iθ) = e^−iθ • −e^iθ =e^iπe^iθ =e^i(π+θ) Formules d’EULER

Soit x∈ R (1): e^ix =cos(x) +isin(x) et (2): e^−ix =cos(−x) +isin(−x) =cos(x)−isin(x). Du (1) + (2), on en d´eduit : 2 cos(x) = e^ix+e^−ix ⇐⇒ cos(x) = ^e

ix+e^−ix

2 .

Et du (1)−(2), on en d´eduit :2isin(x) =e^ix−e^−ix ⇐⇒ sin(x) = ^e

ix−_e^−ix 2i . Proposition 0.6.9. .

(∀x∈ R) : cos(x) = ^e

ix+e^−ix

2 et (∀x ∈R) : sin(x) = ^e

ix−e^−ix 2i Applications

Lin´earisation d’un polynˆome trigonom´etrique se traduit par l’´ecriture de ce polynˆome en fonction de cos(x) et sin(x).

Exercice 5. .

Lin´eariser le polynˆome : P(x) =cos³(x)sin³(x).

Remarque 0.6.10. .

M´ethodes de determiner la forme trigonom´etrique de la somme de deux nombres complexes de mˆeme module.

M´ethode 1

e^iα+e^iβ = (cos(α) +isin(α)) + (cos(β) +isin(β))

= (cos(α) +cos(β)) +i(sin(α) +sin(β))

=2 cosα+β 2

cosα−β 2

+i2 sinα+β 2

cosα−β 2

=2 cosα−β 2

h

cosα+β 2

+isinα+β 2

i .

= (cos(α)−cos(β)) +i(sin(α)−sin(β))

=−_{2 sin}^α+β 2

sinα−β 2

+i2 cosα+β 2

sinα−β 2

=2 sinα−β 2

h−sinα+β 2

+icosα+β 2

i . Remarque 0.6.11. .

M´ethode 2

e^iα+_e^iβ =_e^iα+β2 _e^iα−β2 +_e^−iα−β2

=e^iα+β2 ×2 cosα−β 2

=2 cosα−β 2

cosα+β 2

+isinα+β 2

e^iα−e^iβ =e^iα+β2

e^iα−β2 −e^−iα−β2 .

=e^iα+β2 ×_{2 sin}^α−β 2

i =2 sinα−β 2

e^iπ2e^iα+β2

=2 sinα−β 2

e^{i(α+β+π2 )}

=2 sinα−β 2

h

cosα+β+π 2

+isinα+β+π 2

i

0.7 Les racines ni` emes d’un nombre complexe non nul

Les racines ni`emes d’un nombre complexe non nul D´efinition 0.7.1. .

Soit Z ∈C ^{et soit} n ∈N^∗− {1}.

On appelle la racine ni`eme ou la racine d’ordre n du nombre complexe Z, tout nombre complexe z tel que zⁿ =Z.

Exemple 0.7.1. .

1) i²=−1 et (−i)² =−1, donc les nombres i et −i sont les racines d’ordre 2 du nombre complexe −1.

2) 1⁴ =1 et (−1)⁴ =1 et i⁴ =1 et (−i)⁴ =1, les nombres 1,−1,i et −i sont des racines d’ordre 4 du nombre 1

D´etermination des racines d’ordre n

Soit Z =re^iθ et soit z =ρe^iα, alors zⁿ =Z ⇐⇒ρⁿe^inα =re^iθ ⇐⇒

ρⁿ =r nα ≡θ[2π]

⇐⇒

( ρ= √ⁿ r α≡ ^θ

n h2π

n

i ⇐⇒

( ρ= √ⁿ r α= ^θ

n +^2kπ

n (k∈ Z⁾

⇐⇒

( ρ= √ⁿ r α= ^θ

n +^2kπ

n k ∈ {0; 1; 2; ....;(n−1)}

=⇒ z= √ⁿ reⁱ

θ n+^2kπ_n

/ k∈ {0; 1; ...;(n−1)}

Exemple 0.7.2. .

• D´eterminer les racines d’ordre 3 du nombre complexe Z=−√

2−i√ 2 Images des racines ni`emes

Soit Z =re^iθ tel que r >0.

Les racines ni`emes du complexe Z sont les nombres complexes

z_k = √ⁿ reⁱ

θ n+^2kπ_n

/k ∈ {0; 1; ...;(n−1)}

Soient M₀,M₁,....,M_n−1 les images respectifs des nombres z₀, z₁,...,z_n−1, on a : OM_k =|A f f(M_k)| =|z_k| = √ⁿ

r Donc les points M_k appartiennent au cercle de centre O et de rayon √ⁿ

r De mˆeme on a :

(−−→\

OMk,−−−−→

OMk+1) ≡_arg(zk+1)−_arg(zk) [2π]

≡^θ

n +²(k+1)π

n −^θ

n −^2kπ

n [2π]≡ ^2π n [2π]. Donc l’angle (−−→\

OM_k,−−−−→

OM_k+1) est constant, par cons´equent les points M_k forment un polygone r´egulier.

Les racines ni`emes de l’unit´e

Determination des racines ni`emes de l’unit´e

Soit z=1 =eⁱ⁰, donc les racines ni`emes de1 sont les nombres complexesω_k = √ⁿ 1eⁱ

0 n+^2kπ_n

. Doncω_k =e^i2kπn /k∈ {0; 1; ....;(n−1)}.

Proposition 0.7.1. .

Les racines d’ordre n du nombre 1 sont les nombres complexes : ω_k =e^i2kπn /k ∈ {0; 1; ....;(n−1)}

Exemple 0.7.3. .

• Les racines d’ordre 2 de l’unit´e 1 sont les nombres ω_k =e^i2kπ2 =e^ikπ/k ∈ {0; 1}. c’est `a dire que ω₀=1 etω₁ =e^iπ =−1.

• Les racines d’ordre 3 du nombres 1 sont les nombres complexes ω_k =e^i2kπ3 /k∈ {0; 1; 2}. C’est `a dire queω₀ =₁ et ω₁=e^i2π3 =−¹

2+i

√3

2 , etω₂ =e^i4π3 =−¹ 2 −i

√3 2 . Conclusion : les racines cubiques de l’unit´e sont 1 et j et j avec j =−¹

2 +i

√3 2 . Remarque 0.7.1. .

• j³ =1 • j² = j • 1+ j+ j=0

Donc • 1+j+j² =0 et • j² =−1−j

Les racines d’ordre4 de l’unit´e sont les nombres complexes :ω_k =e^i2kπ4 =e^ikπ2 / k∈ {0; 1; 2; 3} . 1)ω₀ =e⁰ =1 ω₁=e^iπ2 =i ω₂ =e^iπ =−1 ω₃ =e^i3π2 =−i.

Donc les racines d’ordre 4 de l’unit´e sont les nombres complexes : −1; −i; 1 eti. Soientω_k tel que k∈ {_{0; 1; ...;}(n−₁)}, les racines ni`emes de l’unit´e, donc on a :

ω_k =e^i2kπn = (e^i2πn )^k =ω^k₁ Proposition 0.7.2. .

Soientω_k tels que k∈ {0; 1; ...;(n−1)}, les racines ni`emes de l’unit´e.

∀_k∈ {0; 1; ....;(n−₁)} ω_k =ω^k₁ avec ω₁ =e^i2πn. Donc les racines ni`emes de l’unit´e sont les nombres :

1;ω₁;ω²₁; ...;ωⁿ₁⁻¹

2) Soientω_k tel que k ∈ {_{0; 1; ...;}(n−₁)}, les racines ni`emes de l’unit´e.

ω₀+ω₁+ω₂+...+ω_n−1 =1+ω₁+ω²₂+....+ωⁿ₁⁻¹

= (1−ω₁)(1+ω₁+ω²₂+....+ωⁿ₁⁻¹) (1−ω₁)

= ¹−ωⁿ₁

1−ω₁ = ¹−₁ 1−ω₁ =0.

Proposition 0.7.3. .

La somme des racines d’ordre n de l’unit´e est nulle.

Remarque 0.7.2. .

1) Siω est une racine ni`emes de l’unit´e alors ω et 1

ω sont aussi des racines ni`emes de l’unit´e.

2) Siω etω⁰ sont des racines ni`emes de l’unit´e alorsωω⁰ et ω

ω⁰ sont aussi des racines ni`emes de l’unit´e.

La relation entre les racines ni`emes de l’unit´e et les racines ni`emes d’un nombre complexe non nul

Soit Z ∈C^∗.

On suppose que a est une racine ni`eme du nombre Z c’est `a dire que aⁿ =Z.

• Determination des autre racines ni`emes de Z. zⁿ =Z ⇐⇒ zⁿ =aⁿ ⇐⇒ ^z

n

aⁿ =1

, ce qui signifi que z

a est une racine ni`eme de l’unit´e.

C’est `a dire que z

a =ω_k tel que k∈ {0, 1, 2, ....,(n−₁)}

D’o`u z =aω_k avec k∈ {0, 1, 2, ....,(n−₁)}. Proposition 0.7.4. .

Soit Z ∈C^{∗ et} a une racine ni`eme de Z.

On determine les racines ni`emes de Z en multipliant a par les racines ni`emes de l’unit´e.

Exemple 0.7.4. .

• Calculer (1+2i)³ et en d´eduire les racines d’ordre 3 du nombre Z=−11−2i Les racines carr´ees d’un nombre complexe non nul

M´ethode trigonom´etrique Soit Z =re^iθ avec r>0.

• Determinons les racines carr´ees de Z. z² =Z ⇐⇒ z² =re^iθ ⇐⇒ z²= (√

r)²e^(iθ2)2

⇐⇒

(

z=√ re^(iθ2) z=−√

re^(iθ2) Donc les racines carr´ees de Z sont √

re^(iθ2) et −√ re^(iθ2). M´ethode alg´ebrique

1) Si Z= a∈ R^∗+. On a : Z=a = (√

a)², donc √

a et −√

a sont les racines carre´es de Z.

2) Si Z=−a(a∈ R^∗+). Z =−a=i²(√

a²) = (i√

a)², donc les racines car´ees de Z sont i√

a et−i√ a.

3)Z =ib(b∈ R^∗+). Z =ib =2ib

2 = (₁+i)² rb

2

=(₁+i) rb

2 2

, donc les racines carr´ees de Z sont (₁+i) rb

2 et

−(1+i) rb

2.

4) Si Z=−ib(b ∈R^∗+). Z =−ib =−2ib

2 = (1−i)² rb

2

=(1−i) rb

2 2

, donc les racines carr´ees de Z sont (1−i) rb

2 et

−(1−i) rb

2.

5) Si Z= a+ib avec a6=0 et b 6=0.

Exemple 0.7.5. .

• D´eterminer les racines carr´ees du nombre complexe Z=−₃+4i. On pose : z=x+iy avec x et y des nombres r´eels.

On a : |z|=x²+y² et z²= x²−y²+2xyi, d’o`u : z² =Z ⇐⇒

z² =Z

|z|² =|Z| ⇐⇒







x²−y² =−3 (1) 2xy =4 (2) x²+y² =5 (3)

De (1) + (3) on d´eduit que 2x² =2 c’est `a dire que x=1 ou x=−1 et du (1)−(3), on d´eduit que : 2y<sup>2</sup> =8 c’est `a dire que y=2 ou y=−2 et de l’´egalt´e (2), on a xy =2>0 donc x et y ont le mˆeme signe,

d’o`u :

x=1 y=₂ ^ou

x=−1 y=−₂

Donc les racines carr´es de Z sont z=1+2i et −z

0.8 Les ´ equations du deuxi` eme degr´ e

Les ´equations du deuxi`eme degr´e

On consid`ere l’´equation : (E) : az²+bz+c =0 avec a∈ C^{∗ et} (b,c) ∈C^2. (E) ⇐⇒ a

z²+ ^b az+ ^c

a

=0⇐⇒ z+ ^b 2a

2

− ^b

2

4a² + ^c a =0

⇐⇒ z+ ^b 2a

2

− ^b

2−4ac

4a² =0, On pose∆ =b²−4ac donc :(E)⇐⇒ z+ ^b

2a 2

− ^∆ 4a² =₀.

• Si ∆=0, alors (E) ⇐⇒ z+ ^b 2a

2

=0⇐⇒ z =− ^b 2a. D’o`u S=ⁿ− ^b

2a o

.

• Si ∆6=0, alors∆ a deux racines carr´es u et −u (E) ⇐⇒z+ ^b

2a 2

− ^u

2

4a² =0⇐⇒ z+ ^b 2a + ^u

2a

z+ ^b 2a− ^u

2a

=0 Donc : (E) ⇐⇒ ^hz+ ^b

2a + ^u 2a

=₀ o`u z+ ^b

2a − ^u 2a

=₀ⁱ

⇐⇒ _z = −b−u

2a ou z= −b+u 2a . D’o`u S=ⁿ−b−u

2a , −b+u 2a

o . Proposition 0.8.1. .

Soit l’´equation az²+bz+c =0 avec (a,b,c)∈ C^∗×C^{2, et soit ∆} =b²−4ac. 1)- Si ∆=0, alors l’´equation admet une seule solution : z=− ^b

2a. D’o`u S=ⁿ− ^b

2a o

2)- Si Si ∆ 6=0, alors ∆ a deux racines carr´es u et −u, et l’´equation admet deux racines distinctes : z1 = −b−u

2a et z2 = −b+u 2a . Remarque 0.8.1. .

1) On consid`ere l’´equation : (E) : az²+bz+c =0 avec (a,b,c) ∈C^∗×C^2.

Si z1 et z2 sont les racines de l’´equation (E), alors :







z1+z2 =−^b a z₁z₂ = ^c

a

2) Soit l’´equation : az²+2b⁰z+c=0. Pour r´esoudre cette ´equation on utilise le discriminant r´eduit ;

∆⁰ =_b⁰²−_ac.

• Si ∆⁰ =0, alors l’´equation admet une racine unique z =−^b

0

a.

• Si ∆⁰ 6=0, alors l’´equation admet deux racines distinctes : z1 = −b⁰−u

a et z2 = −b⁰+u

a avec u est une racine carr´ee de ∆⁰. Application

• R´esoudre dansC ^{les ´equation :} 1)z²+z+₁ =₀.

2)(2+i)z²−(3+2i)z+1− ⁱ 2 =0.