mathématiques - S2
TD 6 : Systèmes linéaires et déterminants
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenobleexercices théoriques
1. Calculer, quand c’est possible, les sommesA+Bet les produitsAB : (a) A=
1 1 1 1 1 −1
,B =
2 1 3 0 1 3
.
(b) A=
−1 −1 5 2 2 −1
,B =
4
−3 1
.
(c) A=
−1 −1 5 2 2 −1
,B = 4 −3 1 .
(d) A=
0 2 −1
−2 0 1
−1 −1 1
,B =
1 −1 1
−1 −2 −1
−1 1 0
.
2. Calculer les déterminants : (a)
4 0 1 1
(b)
−1 −2 2 1
(c)
−1 −5 −2
−3 3 −2
−1 4 0
(d)
0 0 1 0 1 0 1 0 0
(e)
−4 4 8 4 4 12 16 0 −8
(f)
3 1 2 1
0 1 3 2
1 −1 4 0 1 2 −1 −2
(g)
−1 −1 0 0 0 1 1 0 −1 0 −1 0 0 −1 0 1 −1 0
10 0 R 0 0 0
0 50 0 10 0 0 10 −50 0 0 20 0
3. On considère le système (S)
x + y − z = 0 y + z = 1 2x − 3y − z = 0
(a) Montrer que(S)admet une solution(x, y, z)unique.
(b) Déterminer la coordonnéez de cette solution.
4. SoitA=
5 6 −3
−18 −19 9
−30 −30 14
.
(a) CalculerA2 et vérifier queA2−A−2I = 0.
(b) En déduire queAest inversible, et calculerA−1. (c) Résoudre les équationsAX =
1 1 1
etAY =
−2 1 4
.
(d) Déterminer les valeurs propres deA (les valeurs de λ telles que A−λI n’est pas inversible).
(e) On poseP(X) =X2−X−2.
Déterminer le reste de la division selon les puissances décrois- santes deX5 parP. En déduire l’expression deA5.
exercices pratiques 1. Pont de Wheatstone
Les intensités des courants dans les 6 branches d’un circuit vérifient le système
I6 =I1 +I2
I1 =I3 +I5
I4 =I2 +I5
10I1+RI3 = 70 50I2+ 10I4 = 70 10I1+ 20I5−50I2 = 0 CalculerI5en fonction deR.
DéterminerRtel queI5 = 0.
