D357. Le dé du Roi de Silla

D357. Le dé du Roi de Silla

Problème proposé par Pierre Henri Palmade

A l'occasion de fouilles réalisées en 1975 à Gyeongju en Corée du Sud, les archéologues ont découvert un dé à 14 faces appelé "juryeonggu" qui datait de l'époque du roi de Silla au 7ème siècle après J.C.

Ce dé comporte deux motifs : un carré reproduit sur six faces et un hexagone qui apparaît à l'identique sur huit faces.

Par convention, le côté de chaque carré est égal à l'unité et les longueurs distinctes des côtés de chaque hexagone sont 1 et a.

Q₁ Établir le patron de ce dé.

Q₂ Montrer que ce dé peut être obtenu par troncature d'un polyèdre régulier dont on donnera les dimensions en fonction de a.

Q₃ Calculer la valeur de a de sorte que les aires des 14 faces soient identiques (juryeonggu traditionnel).

Q₄ Pour les plus courageux: on admet qu'après avoir lancé le dé, la probabilité pour qu'il tombe sur l'une quelconque de ses faces est proportionnelle à l'angle solide sous-tendu par cette face. Peut-on dire qu’avec le juryeonggu traditionnel la probabilité d'apparition de l'une quelconque des faces visible est toujours égale à 1/14?

Q1) Le patron : 6 carrés et 8 hexagones.

Q2) Le dé peut être obtenu à partir d'un cube tronqué par 8 plans perpendiculaires aux diagonales du cube.

Chaque arête du cube est contenue dans l' intersection des plans de deux faces carrées du dé.

Deux faces carrées opposées sont symétriques par rapport à un plan qui découpe le dé suivant un octogone.

Ci-dessous est représenté

¼

de cet octogone :

les segments AB et CD sont des demi diagonales de faces carrées et mesurent √2/2, le côté BC mesure a, donc OA = OD = (1+a)√2/2. L'arête du cube est égale à 2OA = (1+a)√2.

Q3) L'aire d'une face hexagonale est obtenue par différence:

aire d'un triangle équilatéral de côté 2a+1 moins 3fois l'aire d'un triangle équilatéral de côté a : (4a²+4a+1-3a²)√3/4 = 1, a² + 4a – (4/√3 – 1) = 0 , a = – 2+

√

⁽³⁺

^√

^{(3)4 )} ≈ 0,304214

Q4) Soit un carré de côté 2x de centre A , et un point O situé sur la normale en A au plan du carré, avec OA = h l'angle solide sous lequel on voit ce carré depuis le point O est donné par 2Π – 8 asin (h/√(2(x²+h²))

Avec h= (1+a)/√2 = [– 1+

√

⁽³⁺

^√

^{(3)4 )} ]/√2 et 2x = 1, une valeur approchée de l'angle solide sous lequel une face carrée du dé est vue depuis le centre du dé est : 0,916692.

Les faces hexagonales sont vues sous l'angle solide (4Π – 6*0,916692)/8 = 0,883277

Avec le juryeonggu traditionnel la probabilité d'apparition de l'une quelconque des faces visible n'est jamais 1/14 : Les probabilités pour face carrée ou face hexagonale sont environ 0,072948 et 0,070289.

Pour que les 14 faces soient équiprobables, il faudrait que l'arête du cube soit 2h avec h tel que 2Π – 8 asin(h/√(1/2+2h²)) = 2Π/7, 8 asin(h/√(1/2+2h²)) = 12Π/7, h/√(1/2+2h²) = sin 3Π/14

1/2+2h² = h²/ sin²(3Π/14), h =

(

√

^{(2)∗sin(3Π}

14)) (2∗

√

^{(1−2sin²(3Π14 ))) =}

(

√

^(2)sin(3Π₁₄ ⁾⁾

(2

√

^{(cos(3Π7 )))}

h ≈ 0,934607, Arête du cube : A ≈ 1,86921,

Les côtés de chaque hexagone seraient 1 et a = A/√2 – 1 ≈ 0,32173.