Problème proposé par Pierre Henri Palmade
A l'occasion de fouilles réalisées en 1975 à Gyeongju en Corée du Sud, les archéologues ont découvert un dé à 14 faces appelé "juryeonggu" qui datait de l'époque du roi de Silla au 7ème siècle après J.C.
Ce dé comporte deux motifs : un carré reproduit sur six faces et un hexagone qui apparaît à l'identique sur huit faces. Par convention, le côté de chaque carré est égal à l'unité et les longueurs distinctes des côtés de chaque hexagone sont 1 et a.
Q₁ Etablir le patron de ce dé.
Q₂ Montrer que ce dé peut être obtenu par troncature d'un polyèdre régulier dont on donnera les dimensions en fonction de a.
Q₃ Calculer la valeur de a de sorte que les aires des 14 faces soient identiques (juryeonggu traditionnel).
Q₄ Pour les plus courageux: on admet qu'après avoir lancé le dé, la probabilité pour qu'il tombe sur l'une quelconque de ses faces est proportionnelle à l'angle solide sous-tendu par cette face. Peut-on dire qu’avec le juryeonggu traditionnel la probabilité d'apparition de l'une quelconque des faces visible est toujours égale à 1/14?
Q2 : Ce solide peut être (entre autres) obtenu en tronquant un cube à chaque sommet, d’un tétraèdre rectangle (plus grand que pour obtenir un cuboctaèdre). La section du solide par un plan diagonal de faces carrées opposées est un octogone dont tous les angles sont égaux (à 3π/4), avec des cotés alternativement égaux à a et √2. La distance de deux faces carrées opposées est (1+a)√2, soit le coté du cube tronqué.
Le solide est donc inscrit dans une sphère de rayon r=√(1+a+a2/2) , le centre voyant le coté d’un carré sous un angle égal à α=2Arcsin(1/2r)
Q3 : Chaque face hexagonale est un triangle équilatéral de coté 1+2a auquel on a enlevé un triangle équilatéral de coté a dans chaque angle. Sa surface est donc :
((1+2a)2-3a2)√3/4=(1+4a+a2)√3/4 : elle est donc égale à celle d’un carré, soit 1, pour a2+4a-(4/√3-1)=0 donc a=√(3+4/√3) -2=0,30421377... Pour le juryeonggu
traditionnel, r=1,1621 et α=2Arcsin(1/2r)=0,88955 rd
Q4 : Les faces seront équiprobables si et seulement si l’angle solide sous lequel est vue chaque face (donc un carré) est 4π/14. Les cotés d’un carré se projettent sur quatre grands cercles de la sphère, deux opposés formant un fuseau d’angle φ, (angle solide 2φ) ; de part et d’autre du «carré sphérique», on trouve deux triangles sphériques isocèles, (d’angles φ au sommet et ψ à la base) : un coté est vu sous l’angle α, et les deux autres sous l’angle (π-α)/2. Donc cosφ=(cosα-cos2((π-α)/2))/sin2((π-α)/2), soit cosφ =1-2tan2(α/2), et cosψ=cos((π-α)/2)(1-cosα)/(sinα sin((π-α)/2)=tan2(α/2). L’angle solide sous lequel est vu un triangle est θ=φ+2ψ-π, et donc le carré : 2(φ-θ)=2(π-2ψ).
Pour le juryeonggu traditionnel, on obtient 0,9167 sr, soit 4π/13,71 : il est un peu plus probable d’obtenir une face carrée qu’une face hexagonale. Ce serait pour a=0,322 que la probabilité serait à peu près égale.
