D357. Le dé du Roi de Silla
A l'occasion de fouilles réalisées en 1975 à Gyeongju en Corée du Sud, les archéologues ont découvert un dé à 14 faces appelé "juryeonggu" qui datait de l'époque du roi de Silla au 7ème siècle après J.C.
Ce dé comporte deux motifs : un carré reproduit sur six faces et un hexagone qui apparaît à l'identique sur huit faces. Par convention, le côté de chaque carré est égal à l'unité et les longueurs distinctes des côtés de chaque hexagone sont 1 et a.
Q1 Etablir le patron de ce dé.
Q2 Montrer que ce dé peut être obtenu par troncature d'un polyèdre régulier dont on donnera les dimensions en fonction de a.
Ce dé est un genre d'intermédiaire entre un cuboctaèdre et un octaèdre tronqué.
Il s'agit juste de trouver la bonne limite à la troncature entre triangle équilatéral et hexagone régulier. Il peut donc être obtenu par troncature d'un octaèdre régulier de dimension ( 2+a ) par un cube d'arête ( rac(2) (1+a) ) .
Son patron est donc en tout point similaire à celui des deux solides cités à ceci près que l'hexagone est semi-régulier.
Pour déterminer « a », il faut donc que les surfaces soient équivalentes.
( (1+2a)^2 – 3a^2 ) . rac(3) / 4 = 1 soit :
a = rac ( 3 + 4/ rac(3) ) -2
a ≈ 0,30421
L'angle solide d'un carré est le double de celui d'un triangle.
La longueur d'un segment rouge est de :
L = rac( ( (2+a) rac(2)/2 – rac(2) / 2 )^2 + 1/2 ) soit environ
L = 1,1621...
L'angle bleu X est tel que : L sin(X/2) = rac(2) / 2 donc
X = 74,958°
Les angles verts Y sont tels que : L sin(Y/2) = 1 / 2 donc
Y = 50,96735°
Les longueurs des arcs du triangle sphérique sont donc de 1,0337... et 1,52034....
La formule de l'Huilier nous donne donc la surface du triangle sphérique : S = 4R^2 arctan [ racine ( tan(p/2) tan ((p-a)/2) tan ((p-b)/2) tan ((p-c)/2)
et donc,
