D357- Le dé du roi de Silla
Problème proposé par Pierre Henri Palmade
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Q1
Le patron de ce dé est accessible sur la Toile.
Q2
À l'occasion de fouilles réalisées en 1975 à Gyeongju en Corée du Sud, les archéologues ont découvert un dé à 14 faces appelé "juryeonggu" qui datait de l'époque du roi de Silla au 7ème siècle après J.C.
Ce dé comporte deux motifs : un carré reproduit sur six faces et un hexagone qui apparaît à l'identique sur huit faces. Par convention, le côté de chaque carré est égal à l'unité et les longueurs distinctes des côtés de chaque hexagone sont 1 et a.
Q₁ Etablir le patron de ce dé.
Q₂ Montrer que ce dé peut être obtenu par troncature d'un polyèdre régulier dont on donnera les dimensions en fonction de a.
Q₃ Calculer la valeur de a de sorte que les aires des 14 faces soient identiques (juryeonggu traditionnel).
Q₄ Pour les plus courageux : on admet qu'après avoir lancé le dé, la probabilité pour qu'il tombe sur l'une quelconque de ses faces est proportionnelle à l'angle solide sous-tendu par cette face. Peut-on dire qu’avec le juryeonggu traditionnel la probabilité d'apparition de l'une quelconque des faces visible est toujours égale à 1/14?
Ce polyèdre est obtenu par troncature de l'octaèdre régulier avec le cube et réciproquement . ( chacun d'eux étant le dual de l'autre ). Et on ne garde que la matière commune aux deux.
Les 6 faces carrées de ce polyèdre ont pour côté : c et pour aire : c² . Soit X , l'arête de l'octaèdre à couper . Ainsi X = 2c + a
On continue en posant c = 1
L'aire totale de l'octaèdre avant sa troncature vaut : 8 x √3. X²/4 = 2 √3 X² . (√3 est la racine carrée de 3) Sa troncature avec le cube va ainsi supprimer 6 x 4 = 24 triangles équilatéraux de côté 1 , mais va aussi ajouter 6 carrés d'aire 1 .
Mais comme toutes les faces du dé doivent avoir la même aire , alors l'aire totale du dé vaut 14 . D'où l'égalité : 2 . √3 . X² - 6 . √3 + 6 = 14
On en déduit X ( l'arête de l'octaèdre ) : X² = ( 4.√3 + 9 ) / 3 => X = 2.30421376542.. = 2 + a .
Q3
D'où la valeur de a = X - 2 => a = 0.304213..
Q4
On regarde le dé de telle sorte qu'un sommet M d'une face carrée ABCM soit confondu avec le centre O de la sphère circonscrite au polyèdre ( dé ) .
L'angle xMy formé par les 2 tangentes en M au carré sphérique se calcule ainsi : xMy = 2 Arctan [ 1 / cos (pi/4 - arctan(a/X))] = 1.79996931949 rd = 103°.130.. .
L'angle solide sous-tendu par une face carrée mesure donc 4 x 1.79996931949 - 2pi = 0.91669197079 sr Pour une face hexagonale l'angle solide sous-tendu par cette dernière mesure quant à lui :
[ 4pi - 6 x 0.91669197079 sr ] / 8 = 0.8832773487 sr . D'où les probabilités de tomber sur :
a) un numéro figurant sur une face carrée : Pnc = 0.91669197079 / (4pi) = 0.07294802922 = 1.02127.. / 14 b) un numéro figurant sur une face hexagonale : Pnh = 0.8832773487 / (4pi) = 0.07028897808 = 0.984045..
/ 14
c) une quelconque face carrée : Pc = 6 x Pnc = 0.437688
d) une quelconque face hexagonale : Ph = 8 x Pnh = 0.562312 .
