Problème G239 – Solution de Jean Drabbe
Par commodité, nous identifions chacune des cases de l'échiquier infini à son centre.
Nous supposons que les centres soient exactement les points de coordonnées entières du plan euclidien et que la position de départ de tout périple soit le point O de coordonnées (0 , 0) .
Notons d(k) le nombre de cases que le cavalier peut atteindre finalement après exactement k déplacements.
d(k) ne tient pas compte de la restriction exclusivement au cours du k-ième déplacement de l'énoncé du problème.
Ainsi, d(3) doit comptabiliser le parcours
(0 , 0) ––> (1 , 2) ––> (0 , 0) ––> (1 , 2) .
Proposition 1 – d(0) = 1 , d(1) = 8 , d(2) = 33 et
pour tout k ≥ 3 , d(k) = 7 ● (k^2) + 4 ● k + 1
Une démonstration est donnée dans [1] (Problem 3.11). Une esquisse figure en annexe.
Proposition 2 – n(0) = 1 , n(1) = 8 , n(2) = 32 , n(3) = 68 , n(4) = 96
et pour tout k ≥ 5 , n(k) = 28 ● k – 20 = 28 ● (k – 1) + 8 . Ceci résulte immédiatement du fait que n(k) = d(k) – d(k – 2) (en prenant soin de poser d(–2) = d(–1) = 0 ) .
Une correction devrait intervenir sur la page A018842 du site Online-Encyclopedia of Integer Sequences : changer, à la ligne FORMULA,
a(n) = 28*n + 8 , n >= 4 en a(n) = 28*n – 20 , n >= 5 , (je proposerai cette modification à l'éditeur).
Proposition 3 – n(k) est un carré parfait si et seulement si k est supérieur à 4 et de la forme 7 ● (u^2) ± 6 ● u + 2 où u est un entier strictement positif.
Vérification : Si k est de la forme 7 ● (u^2) ± 6 ● u + 2 , alors
196 ● (u^2) ± 168 ● u + 56 = 28 ● k , 196 ● (u^2) ± 168 ● u + 36 = 28 ● k – 20 , (14 ● u ± 6 )^2 = 28 ● k – 20 . Réciproquement, si (14 ● u + a )^2 = 28 ● k – 20 , alors 196 ● (u^2) + 28 ● u ● a + a^2 = 28 ● k – 20 ,
a^2 – 8 ≡ 0 mod 14 et donc a ≡ ± 6 mod 14 .
k = 7 + 6 + 2 = 15 est la première valeur de k telle que n(k) est un carré parfait.
[1] PETKOVIC, M., Mathematics and Chess, Dover Publications (2003).
ANNEXE – Esquisse d'une démonstration de la proposition 1.
Les symétries qui apparaissent dans les déplacements permettent de vérifier la proposition
« à la main » pour k = 0 , 1 , 2 , 3 .
La figure ci-dessous représente la situation lorsque k = 3 . Pour une raison de lisibilité, les cases blanches de l'échiquier sont colorées en rouge.
La case de départ O est une case noire. Les cases accessibles après exactement 3 déplacements sont les cases rouges sur le périmètre et à l'intérieur de l'octogone sont les sommets sont (3 , 6) , (6 , 3) , (6 , – 3) , (3 , – 6) , (– 3 , – 6) , (– 6 , – 3) , (– 6 , 3) et (– 3 , 6) .
Le cas k = 3 est le prototype de la situation générale. Les cases accessibles après k > 2 déplacements apparaissent dans un octogone et l'égalité
d(k) = 7 ● (k^2) + 4 ● k + 1 peut être vérifiée par récurrence.
La couleur des cases concernées dépend évidemment de la parité de k .
Figure : voir page suivante.
(-3,6) • • • • • • • (3,6) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(-6,3) • • • • • • • • • • • • • (6,3) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • O • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
(-6,-3) • • • • • • • • • • • • • (6,-3)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • (-3,-6) • • • • • • • (3,-6)
