Faisons plusieurs fois l’exp´erience pour faire apparaˆıtre DCBA : elle donne des s´equences si, de longueur xi dont l’esp´erance estX

Enonc´e G114 (Diophante)

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Supposons que le singe dactylographe produise une suite infinie Σ de lettres, tir´ees de fa¸con ´equiprobable et ind´ependante.

Toute s´equence finie de lettres a une probabilit´e finie, non nulle, et figure une infinit´e de fois dans la suite (mˆeme s’il s’agit de l’oeuvre compl`ete de Victor Hugo !). L’intervalle entre les rangs des lettres terminant les apparitions de cette s´equence est (pour satisfaire la loi des grands nombres) l’inverse de la probabilit´e, soit 26⁴ = 456876 pour 4 lettres, qu’il s’agisse de PAPA, PAPE, DCBA, etc.

Le probl`eme porte sur le tempsXpour la premi`ere apparition de la s´equence,

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a partir d’un d´epart donn´e au singe. Faisons plusieurs fois l’exp´erience pour faire apparaˆıtre DCBA : elle donne des s´equences s_i, de longueur x_i dont l’esp´erance estX.

Chaque s´equencesise trouve dans Σ, une de ses r´ealisations se terminera au rangt, alors que l’apparition de DCBA qui pr´ec`ede imm´ediatement se ter- mine au rangt<sup>0</sup>. Le d´ebut des<sub>i</sub> se trouve quelque part entret<sup>0</sup>−2 (premi`ere valeur possible, commen¸cant au C de DCBA) et t−3 (derni`ere valeur pos- sible, commen¸cant au D de DCBA).

Inversement, je peux produire les diff´erentes s´equences s_i en prenant des couples (t⁰, t) correspondant `a des apparitions cons´ecutives dans Σ, et en prenant au hasard les d´ebuts de s´equence dans les t−t<sup>0</sup> rangs allant de t<sup>0</sup>−2 `a t−3 inclus, avec pour x_i des valeurs allant de 4 `a t−t⁰ + 3. Ne voyant pas de raison de privil´egier certaines de ces valeurs, je conclus queX, esp´erance de xi, est aussi l’esp´erance de la moyenne des valeurs possibles, soit de (t−t⁰+ 7)/2.

Je propose donc la valeurX = 228441,5 pour la s´equence DCBA.

Y a-t-il mati`ere `a raisonner diff´eremment pour les s´equences PAPA et PAPE ? Je ne le pense pas. Certes, la s´equence PAPA a la particularit´e qu’une partie initiale et une partie finale sont identiques (PA). D’autres exemples de cette propri´et´e sont les mots ENTRENT, MENTALEMENT, INTESTIN, etc. De ce fait on peut trouver des diff´erencest−t⁰ r´eduites `a 2, li´ees `a des s´equences PAPAPA, alors que pour PAPE, comme pour DCBA, cette diff´erence vaut au moins 4.

Mais le raisonnement sur l’intervalle (t⁰−2, t−3) pour le d´ebut des_i vaut encore sit−t⁰ = 2. La distribution de probabilit´e des valeurs de t−t⁰ est diff´erente selon que l’on consid`ere PAPA ou PAPE, mais l’esp´erance est la mˆeme.

Ma conclusion est donc que X1 =X2, bien que la loi de probabilit´e ne soit pas la mˆeme pour les temps d’apparition des s´equences PAPA et PAPE.

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