DS04 exponentielle, probabilités et fonction ln

Nom : . . . .

Prénom : . . . . Devoir n

11

Déc.2019 . . ./. . .

DS 04

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.

Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.

Attention ! Le sujet est sur 2 pages ( recto-verso ).

Exercice 1 6,5 points

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois tailles de panier :

• un panier de petite taille ;

• un panier de taille moyenne ;

• un panier de grande taille.

A

F

F

B

F

F

C

F

F

2 3

3 4 1 4

1 4

3 5 2 5

1 12

L’association envisage de proposer en outre des livraisons d’oeufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont intéressés, elle réalise un sondage.

On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants :

• A: « l’adhérent choisit un panier de petite taille » ;

• B: « l’adhérent choisit un panier de taille moyenne » ;

• C: « l’adhérent choisit un panier de grande taille » ;

• F: « l’adhérent est intéressé par une livraison d’oeufs frais ».

On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l’arbre ci-dessous :

1 Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l’arbre.

1 pt a. Calculer la probabilité que l’adhérent choisisse un panier de petite taille et soit intéressé par une livraison d’oeufs frais.

P(A∩F) =P(A)×P_A(F) =2 3×3

4=1 2.

P(A∩F) =1 2. 1.5 pt b. CalculerP

B∩F

, puis interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.

P B∩F

=P(B)×P_B B

=P(B)×(1−P_B(B)) =1 4×

1−3

5

= 1 10

La probabilité que l’adhérent choisisse un panier de taille moyenne et qu’il ne soit pas intéressé par une livraison d’œufs frais est égale à 1

10.

2 pts c. La livraison d’oeufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l’évènementF est supérieure à 0,6.

Pourquoi peut-on affirmer que cette livraison sera mise en place ? D’après la formule des probabilités totales,

P(F) =P(A∩F) +P(B∩F) +P(C∩F) =1 2+1

4×3

5+P(C∩F) = 0,65 +P(C∩F)>0,65 carP(C∩F)>0 DoncP(F)>0,65, donc la livraison d’ ?ufs frais sera mise en place.

2 Dans cette question, on suppose queP(F) = 0,675.

1 pt a. Démontrer que la probabilité conditionnelle deF sachantC, notéePC(F), est égale à 0,3.

P_C(F) =P(F∩C) P(C)

• P(C∩F) =P(F)−(P(A∩F) +P(B∩F)) = 0,675−0,65 = 0,025

• P(C) = 1−2 3−1

4= 1 12 P_C(F) =P(F∩C)

P(C) =0,025

1 12

= 12×0,025 = 0,3 b. L

1 pt ’adhérent interrogé est intéressé par la livraison d’oeufs frais.

Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille ? Arrondir le résultat à 10⁻². La probabilité qu’il ait choisi un panier de grande taille estP_F(C) =P(C∩F)

P(F) =0,025

0,675 ≈0,04.

P_F(C)≈0,04.

Exercice 2 4 points

Dans le lycée Probabilix :

• il y a 108 élèves en terminale scientifique, 21 ont choisi la spécialité mathématique, 27 l’option Latin et 8 élèves ont choisi les deux ;

• Il y a 40 élèves qui ont choisi l’espagnol en seconde langue et parmi ceci il y a 10 élèves qui ont choisi l’option Latin.

On choisit au hasard un élève de terminale et on appelle :

• L l’évènement « l’élève a choisi l’option latin ;

• M l’évènement « l’élève a choisi la spécialité mathématique ;

• E l’évènement « l’élève a choisi l’espagnol en seconde langue.

2 pts 1 Calculer les probabilités des évènementsL, MetL∩M.

M 13

L

8 19

68

On obtientP(L) = 27 108 =1

4;P(M) = 21 108 = 7

36 etP(L∩M) = 8 108= 2

27. P(L) =1

4;P(M) = 7

36 etP(L∩M) = 2 27. 1 pt 2 Les évènementsLetMsont-ils indépendants ?

Si les évènementsLetMsont indépendants alorsP(L∩M) =P(L)×P(M).

OrP(L)×P(M) =1 4× 7

36 = 7

144,P(L∩M)

Donc les évènementsLetMne sont pas indépendants.

1 pt 3 Les évènementsLetEsont-ils indépendants ?

E 30

L

10 19

49

Nous avons d ?une partP(L) =1

4, P(E) = 40 108 =10

27. doncP(L)×P(E) =1

4×10 27= 10

108 = 5 54. et d ?autre partP(L∩E) = 10

108 = 5 54 . On a doncP(L∩E) =P(L)×P(E).

On peut affirmer que les évènementsLetEsont indépendants.

Exercice 3 9,5 points

Résoudre les équations suivantes en ayant soin de déterminer l’ensemble sur lequel votre calcul est valable.

On visualisera cet ensemble sur une droite orientée.

1 a.

1.5 pt ln(2x+ 1) + ln(x−3) = ln(x+ 5)

• x∈D ⇐⇒











2x+ 1>0 x−3>0 x+ 5>0

⇐⇒









 x >−¹

x >32

x >−5

⇐⇒ x >3 D=]3; +∞[

•

ln(2x+ 1) + ln(x−3) = ln(x+ 5) ⇐⇒ ln ((2x+ 1)(x+ 5)) = ln(x+ 5)

⇐⇒ (2x+ 1)(x−3) =x+ 5

⇐⇒ 2x²−5x−3 =x+ 5

⇐⇒ 2x²−6x−8 = 0

⇐⇒ x²−3x−4 = 0 En calculant∆, on trouvez que−1 et 4 sont solutions

• −1<Ddonc -1 n’est pas solution.

4∈Ddonc 4 n’est pas solution.

S={4}. 2 pts b. ln(x²+ 5x+ 6) = ln(x+ 11)

• x∈D ⇐⇒

( x²+ 5x+ 6>0 x+ 11>0 ⇐⇒

( x²+ 5x+ 6>0 x >−11 Résolvons l’inéquationx²+ 5x+ 6>0

∆=b²−4ac= 1

x₁ =−b+

√

∆

2a x₂ =−b+

√

∆

=−2 =−32a

x²+ 5x+ 6 est un trinôme du second degré qui a pour racines−3 et −2 ; il a donc le signe dea= 1 à l’extérieur des racines et celui de−aà l’intérieur.

x

signe de x² + 5x+ 6

−∞ −3 −2 +∞

+ 0 − 0 +

x∈D ⇐⇒

( x²+ 5x+ 6>0 x >−11 ⇐⇒

( x <−3 oux >−2 x >−11

D=]−11;−3[∪]−2; +∞[

•

ln(x²+ 5x+ 6) = ln(x+ 11)) ⇐⇒ x²+ 5x+ 6 =x+ 11

⇐⇒ x²+ 4x−5 = 0 En calculant∆, on trouve que−5 et 1 sont solutions

• −5∈Ddonc -5 est solution.

1∈Ddonc 1 est solution.

S={−5; 1}. 2 Changement de variable :

0.5 pt a. Résoudre dansRl’équation 5X²−13X−6 = 0

∆=b²−4ac= 13²−4×5×(−6) = 289 = 17² X₁ =−b+

√

∆

2a X₂ =−b+

√

∆ 2a

=13 + 17

10 =13−17

10

= 3 =−2

5 S={−2

5; 3}. b. En déduire les solutions des équations suivantes :

i.

1 pt 5e^2x−13e^x−6 = 0 On poseX= e^x,

5e^2x−13e^x−6 = 0 ⇐⇒ 5X²−13X−6 = 0

⇐⇒ X= 3 ouX=−2 5

⇐⇒ e^x= 3 ou e^x=−2 5

⇐⇒ x= ln 3 L’équation e^x=−2

5n’a pas de solution car pour tout réelx; e^x>0.

S={ln 3}. ii.

1 pt 5 (ln(x))²−13 ln(x)−6 = 0 On poseX= lnx,

5 (ln(x))²−13 ln(x)−6 = 0 ⇐⇒ 5X²−13X−6 = 0

⇐⇒ X= 3 ouX=−2 5

⇐⇒ ln = 3 ou lnx=−2 5

⇐⇒ x= e³oux= e⁻²⁵ S={e³; e⁻²⁵}.

3 Résoudre les inéquations suivantes en ayant soin de déterminer l’ensemble sur lequel votre calcul est valable.

On visualisera cet ensemble sur une droite orientée.

2 pts a. ln 2x+ 1

x−1

≤0

x∈D ⇐⇒ 2x+ 1 x−1 >0 x

signe de (2x+ 1) signe dex−1 signe de 2x+ 1

x−1

−∞ −¹

2 1 +∞

- 0 + +

- - 0 +

+ 0 - +

D=]− ∞;−¹

2[∪]1; +∞[

ln 2x+ 1

x−1

≤0 ⇐⇒ 2x+ 1 x−1 ≤e⁰

⇐⇒ 2x+ 1 x−1 ≤1

⇐⇒ 2x+ 1 x−1 −1≤0

⇐⇒ 2x+ 1 x−1 −x−1

x−1 ≤0

⇐⇒ 2x+ 1−x+ 1 x−1 ≤0

⇐⇒ x+ 2 x−1 ≤0 x

signe de (x+ 2) signe dex−1 signe de x+ 2 x−1

−∞ −2 1 +∞

- 0 + +

- - 0 +

+ 0 - +

,

S= [−2; 1[∩D= [−2;−¹

2[ 1.5 pt b. ln (x+ 3)≤ln (1−x)

x∈D ⇐⇒















x+ 3>0 1−x >0

⇐⇒













 x >−3 x <1 D=]−3; 1[

ln (x+ 3)≤ln (1−x) ⇐⇒ x+ 3≤1−x

⇐⇒ 2x≤ −2

⇐⇒ x≤ −1 S=]− ∞;−1]∩D=]−3;−1]

Exercice 4 8,5 points

Soitgla fonction définie sur [0 ; +∞[ parg(x) = e^x−xe^x+ 1.

1 pt 1 Déterminer la limite degen +∞. On écritg(x) = e^x(1−x) + 1

xlim→+∞(1−x) =−∞

xlim→+∞e^x= +∞











Par produit lim

x→+∞ e^x(1−x) =−∞

Puis en ajoutant 1 :

xlim→+∞ g(x) = 1 1.5 pt 2 Étudier les variations de la fonctiong.

gest dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.

g=uv+ 1,d’oùg⁰=u⁰v+v⁰uavec pour tout réelx, dans [0 ; +∞[ :

( u(x) = 1−x

v(x) = e^x ainsi :

( u⁰(x) =−1 v⁰(x) = e^x g⁰(x) =−1×e^x+ e^x(1−x)

= e^x(−1 + 1−x)

=−xe^x

Signe de la dérivée : Pour tout réelxon a e^x>0 ; et doncg⁰(x) a le signe de−x.

Ainsi pour toutxde ]0; +∞[, on ag⁰(x)<0 ; ce qui prouve que la fonctiong est streictement décroissante sur [0; +∞[.

1 pt 3 Donner le tableau de variations deg.

x

g⁰(x)

Variations de g

0 +∞

0 −

2 2

−∞

−∞

4 a.

2 pts Démontrer que l’équationg(x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une unique solution. On noteαcette solution.

D’après le théorème de la bijection :

- gest une fonction dérivable (donc continue) sur l’ intervalleI= [0 ; +∞[.

- gest strictement décroissante sur l’ intervalleI= [0 ; +∞. - g(0) = 2 et lim

x→+∞g(x) = +∞

- gréalise donc une bijection de ].2;.3[ sur ]−∞; 2]

Comme 0∈]−∞; 2], l’équationg(x) = 0 a une racine uniqueαdans [0 ; +∞[ . 1 pt b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10⁻²deα.

On obtientg(1.27)≈0,04 etg(1,28)≈ −0,007, On doncg(1.267)<0< g(1,27)

soitg(1.267)< g(α)< g(1,27)

Orgest stictement décroissante sur [0 ; +∞[

Ainsi 1,27< α <1,28 1 pt c. Démontrer que e^α= 1

α−1. On utilise le fait queg(α) = 0 :

g(α) = 0 ⇐⇒ e^α−αe^α+ 1 = 0

⇐⇒ e^α(1−α) + 1 = 0

⇐⇒ e^α(1−α) =−1

⇐⇒ e^α= 1 α−1 1 pt 5 Déterminer le signe deg(x) suivant les valeurs dex.

x

g⁰(x)

Variations de g

Signe deg(x)

0 α +∞

0 − −

0

+ 0 -

Exercice 5 4 points

On considère la fonctionf définie sur [0 ; +∞[ par

f(x) = ln 3x+ 1

x+ 1

.

On admet que la fonctionf est dérivable sur [0 ; +∞[ et on notef⁰sa fonction dérivée.

On noteC_f la courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthogonal.

1.5 pt 1 Déterminer lim

x→+∞f(x) et en donner une interprétation graphique.

f(x) = ln 3x+ 1

x+ 1

= ln









 x

3 +¹_x x

1 +¹_x











= ln







 3 +¹_x 1 +¹_x









Comme lim

x→+∞ 1

x= 0 on déduit

xlim→+∞







 3 +¹_x 1 +¹_x







= 3 limt→3 lnt= ln 3















Par composée lim

x→+∞f(x) = ln 3

xlim→+∞f(x) = ln 3

xlim→+∞f(x) = ln 3, donc la droite d’équationy= ln 3 est asymptote horizontale àC_f au voisinage de +∞. 2 a.

1.5 pt Démontrer que, pour tout nombre réelxpositif ou nul, f⁰(x) = 2

(x+ 1)(3x+ 1) Sur [0 ; +∞[ , la fonctionu:x7→(3x+ 1

x+ 1 est :

• dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule.

• strictement poisitive. En effet six >0 alors 3x+ 1>0 etx+ 1>0.

f = lnuest donc dérivable comme composée de deux fonctions dérivables.

On peut écriref(x) ln(3x+ 1)−) ln(x+ 1) On utilise la formule (lnu)⁰=u⁰

u

f⁰(x) = 3

3x+ 1− 1 x+ 1

= 3(x+ 1)

(3x+ 1)(x+ 1)− (3x+ 1) (3x+ 1)(x+ 1)

=3x+ 3−3x−1 (3x+ 1)(x+ 1)

= 2

(3x+ 1)(x+ 1)

1 pt b. En déduire que la fonctionf est strictement croissante sur [0 ; +∞[.

On étudie le signe de la dérivée sur [0 ; +∞[.

sur [0 ; +∞[ ; on a 2>0 3x+ 1>0 x+ 1>0























Par quotient 2

(3x+ 1)(x+ 1)>0.

Ainsi pour toutx∈[0 ; +∞[ ; ce qui prouve que la fonctionf est strictement croissante sur [0 ; +∞[